2025版高中數(shù)學(xué)第2章數(shù)列2.2等差數(shù)列第1課時(shí)等差數(shù)列的概念與通項(xiàng)公式課時(shí)作業(yè)案新人教A版必修5

PAGEPAGE1第1課時(shí)等差數(shù)列的概念與通項(xiàng)公式A級(jí)基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．在等差數(shù)列{an}中，若a2＝4，a4＝2，則a6＝(B)A．－1 B．0C．1 D．6[解析]依據(jù)題意知：a4＝a2＋(4－2)d，易知d＝－1，所以a6＝a4＋(6－4)d＝0.2．等差數(shù)列{an}中，a5＝33，a45＝153，則201是該數(shù)列的第________項(xiàng)(B)A．60 B．61C．62 D．63[解析]設(shè)公差為d，由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋4d＝33,a1＋44d＝153))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝21,d＝3)).∴an＝a1＋(n－1)d＝21＋3(n－1)＝3n＋18.令201＝3n＋18，∴n＝61.3．在等差數(shù)列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，則a6＝(C)A．11 B．12C．13 D．14[解析]設(shè)公差為d，由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋2d＝7,a1＋d＋6＝a1＋4d))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝3,d＝2)).∴a6＝a1＋5d＝3＋10＝13.4．等差數(shù)列{an}中，a2＝4，a5＝10，則數(shù)列{an}的公差為(B)A．1 B．2C．eq\f(1,2) D．eq\f(3,2)[解析]設(shè)公差為d，由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋d＝4,a1＋4d＝10))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝2,d＝2)).5．已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且a1＝2，a2＋a3＝13，則a4＋a5＋a6等于(B)A．40 B．42C．43 D．45[解析]設(shè)公差為d，則a2＋a3＝a1＋d＋a1＋2d＝2a1＋3d＝4＋3d＝13，解得d＝3，所以a4＋a5＋a6＝(a1＋3d)＋(a1＋4d)＋(a1＋5d)＝3a1＋126．設(shè)x是a與b的等差中項(xiàng)，x2是a2與－b2的等差中項(xiàng)，則a，b的關(guān)系是(C)A．a(chǎn)＝－b B．a(chǎn)＝3bC．a(chǎn)＝－b或a＝3b D．a(chǎn)＝b＝0[解析]由等差中項(xiàng)的定義知：x＝eq\f(a＋b,2)，x2＝eq\f(a2－b2,2)，∴eq\f(a2－b2,2)＝(eq\f(a＋b,2))2，即a2－2ab－3b2＝0.故a＝－b或a＝3b.二、填空題7．在等差數(shù)列{an}中，a1＝1，a3＝－3，則an＝__－2n＋3__.[解析]設(shè)公差為d，由題意，得a3＝a1＋2d，∴－3＝1＋2d，∴d＝－2.∴an＝a1＋(n－1)d＝1－2(n－1)＝－2n＋3.8．《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為__eq\f(67,66)__升．[解析]設(shè)此等差數(shù)列為{an}，公差為d，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＋a3＋a4＝3,a7＋a8＋a9＝4))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a1＋6d＝3,3a1＋21d＝4))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(13,22),d＝\f(7,66))).∴a5＝a1＋4d＝eq\f(13,22)＋4×eq\f(7,66)＝eq\f(67,66).三、解答題9．(2024·吉林汪清六中高二月考)三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，其和為9，前兩項(xiàng)之積為后一項(xiàng)的6倍，求這三個(gè)數(shù)．[解析]設(shè)這三個(gè)數(shù)分別為a－d，a，a＋d，則3a＝9，∴a∴這三個(gè)數(shù)分別為3－d,3,3＋d.由題意，得3(3－d)＝6(3＋d)，∴d＝－1.∴這三個(gè)數(shù)分別為4,3,2.10．已知等差數(shù)列{an}中，a2＝6，a5＝15，若bn＝a2n，求bn及b15.[解析]設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝a1＋d＝6,a5＝a1＋4d＝15))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝3,d＝3)).∴an＝3＋3(n－1)＝3n.∴bn＝a2n＝3×2n＝6n.∴b15＝6×15＝90.B級(jí)素養(yǎng)提升一、選擇題1．在數(shù)列{an}中，已知a2＝2，a6＝0，且數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an＋1)))是等差數(shù)列，則a4等于(A)A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,4) D．eq\f(1,6)[解析]解法一：設(shè)數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an＋1)))的公差為d，則eq\f(1,a6＋1)－eq\f(1,a2＋1)＝4d，代入數(shù)據(jù)可得d＝eq\f(1,6).因此eq\f(1,a4＋1)＝eq\f(1,a2＋1)＋2d＝eq\f(2,3).故a4＝eq\f(1,2)，選A．解法二：由等差中項(xiàng)的性質(zhì)可知，2·eq\f(1,a4＋1)＝eq\f(1,a2＋1)＋eq\f(1,a6＋1)，解得a2＝eq\f(1,2).故選A．2．若a≠b，兩個(gè)等差數(shù)列a，x1，x2，b與a，y1，y2，y3，b的公差分別為d1，d2，則eq\f(d1,d2)等于(C)A．eq\f(3,2) B．eq\f(2,3)C．eq\f(4,3) D．eq\f(3,4)[解析]由題意，得b＝a＋3d1＝a＋4d2，∴d1＝eq\f(b－a,3)，d2＝eq\f(b－a,4)，∴eq\f(d1,d2)＝eq\f(b－a,3)·eq\f(4,b－a)＝eq\f(4,3).3．等差數(shù)列的首項(xiàng)為eq\f(1,25)，且從第10項(xiàng)起先為比1大的項(xiàng)，則公差d的取值范圍是(D)A．d>eq\f(8,75) B．d<eq\f(3,25)C．eq\f(8,75)<d<eq\f(3,25) D．eq\f(8,75)<d≤eq\f(3,25)[解析]由題意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a10>1,a9≤1))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,25)＋9d>1,\f(1,25)＋8d≤1))，∴eq\f(8,75)<d≤eq\f(3,25).4．等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a，公差為1，數(shù)列{bn}滿意bn＝eq\f(an,an＋1).若對隨意n∈N*，bn≤b6，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(B)A．(－8，－6) B．(－7，－6)C．(－6，－5) D．(6,7)[解析]∵{an}是首項(xiàng)為a，公差為1的等差數(shù)列，∴an＝n＋a－1.∴bn＝eq\f(an,an＋1)＝1－eq\f(1,n＋a).又∵對隨意的n∈N*，都有bn≤b6成立，可知eq\f(1,6＋a)≤eq\f(1,n＋a)，則必有7＋a－1<0且8＋a－1>0，∴－7<a<－6.故選B．二、填空題5．一個(gè)等差數(shù)列的前4項(xiàng)分別是a，x，b,2x，則eq\f(a,b)＝__eq\f(1,3)__.[解析]由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＝a＋b,2b＝3x))，∴a＝eq\f(x,2)，b＝eq\f(3,2)x，∴eq\f(a,b)＝eq\f(1,3).6．已知數(shù)列{an}滿意an－1＋an＋1＝2an(n∈N*，n≥2)且a1＝1，a2＝3，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為__an＝2n－1__.[解析]由an－1＋an＋1＝2an，得an＋1－an＝an－an－1(n≥2)．∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列．又a1＝1，a2＝3，∴d＝2，an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.三、解答題7．已知f(x)＝eq\f(2x,x＋2)，在數(shù)列{xn}中，x1＝eq\f(1,3)，xn＝f(xn－1)(n≥2，n∈N*)，試說明數(shù)列{eq\f(1,xn)}是等差數(shù)列，并求x95的值．[解析]因?yàn)楫?dāng)n≥2時(shí)，xn＝f(xn－1)，所以xn＝eq\f(2xn－1,xn－1＋2)(n≥2)，即xnxn－1＋2xn＝2xn－1(n≥2)，得eq\f(2xn－1－2xn,xnxn－1)＝1(n≥2)，即eq\f(1,xn)－eq\f(1,xn－1)＝eq\f(1,2)(n≥2)．又eq\f(1,x1)＝3，所以數(shù)列{eq\f(1,xn)}是以3為首項(xiàng)，eq\f(1,2)為公差的等差數(shù)列，所以eq\f(1,xn)＝3＋(n－1)×eq\f(1,2)＝eq\f(n＋5,2)，所以xn＝eq\f(2,n＋5)，所以x95＝eq\f(2,95＋5)＝eq\f(1,50).8．是否存在數(shù)列{an}(an≠0)同時(shí)滿意下列條件：(1){an}是等差數(shù)列且公差不為0；(2)數(shù)列{eq\f(1,an)}也是等差數(shù)列．[解析]設(shè)符合條件的數(shù)列{an}存在，其首項(xiàng)為a1，公差d≠