2025版高中數(shù)學(xué)第3章不等式3.4基本不等式第1課時(shí)基本不等式課時(shí)作業(yè)案新人教A版必修5

PAGEPAGE1第1課時(shí)基本不等式A級(jí)基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．若2x＋2y＝1，則x＋y的取值范圍是(D)A．[0,2] B．[－2,0]C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2][解析]∵2x>0,2y>0，∴2x＋2y≥2eq\r(2x·2y)＝2eq\r(2x＋y)(當(dāng)且僅當(dāng)2x＝2y時(shí)，等號(hào)成立)，∴eq\r(2x＋y)≤eq\f(1,2)，∴2x＋y≤eq\f(1,4)，∴x＋y≤－2.2．(2024·山東昌樂一中高二月考)設(shè)a，b滿意2a＋3b＝6(a＞0，b＞0)，則eq\f(2,a)＋eq\f(3,b)的最小值為(A)A．eq\f(25,6) B．eq\f(8,3)C．eq\f(11,3) D．4[解析]∵2a＋3b＝6，∴eq\f(a,3)＋eq\f(b,2)＝1，∴eq\f(2,a)＋eq\f(3,b)＝(eq\f(2,a)＋eq\f(3,b))(eq\f(a,3)＋eq\f(b,2))＝eq\f(13,6)＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥eq\f(13,6)＋2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝eq\f(13,6)＋2＝eq\f(25,6)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(b,a)＝eq\f(a,b)，即a＝b＝eq\f(6,5)時(shí)，等號(hào)成立．3．(2024·江西弋陽(yáng)一中高二月考)下列結(jié)論正確的是(D)A．當(dāng)x＞0，x≠1時(shí)，lgx＋eq\f(1,lgx)≥2B．當(dāng)x≥2時(shí)，x＋eq\f(1,x)的最小值為2C．當(dāng)x∈R時(shí)，x2＋1＞2xD．當(dāng)x＞0時(shí)，eq\r(x)＋eq\f(1,\r(x))的最小值為2[解析]當(dāng)0＜x＜1時(shí)，lgx＜0，解除A；當(dāng)x≥2時(shí)，y＝x＋eq\f(1,x)單調(diào)遞增，ymin＝2＋eq\f(1,2)＝eq\f(5,2)，解除B；當(dāng)x＝1時(shí)，x2＋1＝2x，解除C，故選D．4．函數(shù)f(x)＝eq\f(\r(x),x＋1)的最大值為(B)A．eq\f(2,5) B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(2),2) D．1[解析]令t＝eq\r(x)(t≥0)，則x＝t2，∴f(x)＝eq\f(\r(x),x＋1)＝eq\f(t,t2＋1).當(dāng)t＝0時(shí)，f(x)＝0；當(dāng)t>0時(shí)，f(x)＝eq\f(1,\f(t2＋1,t))＝eq\f(1,t＋\f(1,t)).∵t＋eq\f(1,t)≥2，∴0<eq\f(1,t＋\f(1,t))≤eq\f(1,2).∴f(x)的最大值為eq\f(1,2).5．已知x>0，y>0，x、a、b、y成等差數(shù)列，x、c、d、y成等比數(shù)列，則eq\f(a＋b2,cd)的最小值是(D)A．0 B．1C．2 D．4[解析]由等差、等比數(shù)列的性質(zhì)得eq\f(a＋b2,cd)＝eq\f(x＋y2,xy)＝eq\f(x,y)＋eq\f(y,x)＋2≥2eq\r(\f(y,x)·\f(x,y))＋2＝4.當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)取等號(hào)，∴所求最小值為4.6．設(shè)a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且a≠b，①a5＋b5>a3b2＋a2b3，②a2＋b2≥2(a－b－1)，③eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)>2.上述三個(gè)式子恒成立的有(B)A．0個(gè) B．1個(gè)C．2個(gè) D．3個(gè)[解析]①a5＋b5－(a3b2＋a2b3)＝a3(a2－b2)＋b3(b2－a2)＝(a2－b2)(a3－b3)＝(a－b)2(a＋b)(a2＋ab＋b2)>0不恒成立；(a2＋b2)－2(a－b－1)＝a2－2a＋b2＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0恒成立；eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)>2或eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)<－2.故選B．二、填空題7．若對(duì)隨意x>0，eq\f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，則a的取值范圍是__[eq\f(1,5)，＋∞)__.[解析]令f(x)＝eq\f(x,x2＋3x＋1)(x>0)＝eq\f(1,x＋\f(1,x)＋3)≤eq\f(1,2\r(x·\f(1,x))＋3)＝eq\f(1,5)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(1,x)，即x＝1時(shí)等號(hào)成立，∴a≥f(x)max＝eq\f(1,5).8．已知正數(shù)x、y滿意x＋2y＝2，則eq\f(x＋8y,xy)的最小值為__9__.[解析]因?yàn)閤、y為正數(shù)，且x＋2y＝2，所以eq\f(x＋8y,xy)＝(eq\f(1,y)＋eq\f(8,x))·(eq\f(x,2)＋y)＝eq\f(x,2y)＋eq\f(8y,x)＋5≥2eq\r(\f(x,2y)·\f(8y,x))＋5＝9，當(dāng)且僅當(dāng)x＝4y＝eq\f(4,3)時(shí)，等號(hào)成立，所以eq\f(x＋8y,xy)的最小值為9.三、解答題9．已知x>0，y>0.(1)若2x＋5y＝20，求u＝lgx＋lgy的最大值；(2)若lgx＋lgy＝2，求5x＋2y的最小值．[解析](1)∵x>0，y>0，由基本不等式，得2x＋5y≥2eq\r(2x·5y)＝2eq\r(10)·eq\r(xy).又∵2x＋5y＝20，∴20≥2eq\r(10)·eq\r(xy)，∴eq\r(xy)≤eq\r(10)，∴xy≤10，當(dāng)且僅當(dāng)2x＝5y時(shí)，等號(hào)成立．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＝5y,2x＋5y＝20))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5,y＝2)).∴當(dāng)x＝5，y＝2時(shí)，xy有最大值10.這樣u＝lgx＋lgy＝lg(xy)≤lg10＝1.∴當(dāng)x＝5，y＝2時(shí)，umax＝1.(2)由已知，得x·y＝100，5x＋2y≥2eq\r(10xy)＝2eq\r(103)＝20eq\r(10).∴當(dāng)且僅當(dāng)5x＝2y＝eq\r(103)，即當(dāng)x＝2eq\r(10)，y＝5eq\r(10)時(shí)，等號(hào)成立．所以5x＋2y的最小值為20eq\r(10).10．已知直角三角形兩條直角邊的和等于10cm，求面積最大時(shí)斜邊的長(zhǎng)．[解析]設(shè)一條直角邊長(zhǎng)為xcm，(0<x<10)，則另一條直角邊長(zhǎng)為(10－x)cm，面積s＝eq\f(1,2)x(10－x)≤eq\f(1,2)[eq\f(x＋10－x,2)]2＝eq\f(25,2)(cm2)等號(hào)在x＝10－x即x＝5時(shí)成立，∴面積最大時(shí)斜邊長(zhǎng)L＝eq\r(x2＋10－x2)＝eq\r(52＋52)＝5eq\r(2)(cm)．B級(jí)素養(yǎng)提升一、選擇題1．若0<a<1,0<b<1，且a≠b，則a＋b,2eq\r(ab)，2ab，a2＋b2中最大的一個(gè)是(D)A．a(chǎn)2＋b2 B．2eq\r(ab)C．2ab D．a(chǎn)＋b[解析]解法一：∵0<a<1,0<b<1，∴a2＋b2>2ab，a＋b>2eq\r(ab)，a>a2，b>b2，∴a＋b>a2＋b2，故選D．解法二：取a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(1,3)，則a2＋b2＝eq\f(13,36)，2eq\r(ab)＝eq\f(\r(6),3)，2ab＝eq\f(1,3)，a＋b＝eq\f(5,6)，明顯eq\f(5,6)最大．2．(2024·福建莆田一中高二月考)某工廠第一年產(chǎn)量為A，其次年的增長(zhǎng)率為a,第三年的增長(zhǎng)率為b，這兩年的平均增長(zhǎng)率為x，則(B)A．x＝eq\f(a＋b,2) B．x≤eq\f(a＋b,2)C．x＞eq\f(a＋b,2) D．x≥eq\f(a＋b,2)[解析]∵這兩年的平均增長(zhǎng)率為x∴A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)，∴(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)，由題設(shè)a＞0，b＞0.∴1＋x＝eq\r(1＋a1＋b)≤eq\f(1＋a＋1＋b,2)＝1＋eq\f(a＋b,2)，∴x≤eq\f(a＋b,2)，等號(hào)在1＋a＝1＋b，即a＝b時(shí)成立．∴選B．3．已知向量a＝(x－1,2)，b＝(4，y)(x、y為正數(shù))，若a⊥b，則xy的最大值是(A)A．eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C．1 D．－1[解析]由已知得4(x－1)＋2y＝0，即2x＋y＝2.∴xy＝x(2－2x)＝eq\f(2x2－2x,2)≤eq\f(1,2)×(eq\f(2x＋2－2x,2))2＝eq\f(1,2)，等號(hào)成立時(shí)2x＝2－2x，即x＝eq\f(1,2)，y＝1，∴xy的最大值為eq\f(1,2).4．假如正數(shù)a，b，c，d滿意a＋b＝cd＝4，那么(A)A．a(chǎn)b≤c＋d，且等號(hào)成立時(shí)，a，b，c，d的取值唯一B．a(chǎn)b≥c＋d，且等號(hào)成立時(shí)，a，b，c，d的取值唯一C．a(chǎn)b≤c＋d，且等號(hào)成立時(shí)，a，b，c，d的取值不唯一D．a(chǎn)b≥c＋d，且等號(hào)成立時(shí)，a，b，c，d的取值不唯一[解析]因?yàn)閍＋b＝cd＝4，所以由基本不等式得a＋b≥2eq\r(ab)，故ab≤4.又因?yàn)閏d≤eq\f(c＋d2,4)，所以c＋d≥4，所以ab≤c＋d，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝d＝2時(shí)，等號(hào)成立．故選A．二、填空題5．已知函數(shù)y＝x－4＋eq\f(9,x＋1)(x>－1)，當(dāng)x＝a時(shí)，y取得最小值b，則a＋b＝__3__.[解析]y＝x－4＋eq\f(9,x＋1)＝x＋1＋eq\f(9,x＋1)－5，因?yàn)閤>－1，所以x＋1>0，eq\f(9,x＋1)>0，所以由均值不等式得y＝x＋1＋eq\f(9,x＋1)－5≥2eq\r(x＋1×\f(9,x＋1))－5＝1，當(dāng)且僅當(dāng)x＋1＝eq\f(9,x＋1)，即x＝2時(shí)，等號(hào)成立，所以a＝2，b＝1，a＋b＝3.6．設(shè)a，b>0，a＋b＝5，則eq\r(a＋1)＋eq\r(b＋3)的最大值為__3eq\r(2)__.[解析](eq\r(a＋1)＋eq\r(b＋3))2＝a＋b＋4＋2eq\r(a＋1)·eq\r(b＋3)≤9＋2×eq\f(\r(a＋1)2＋\r(b＋3)2,2)＝9＋a＋b＋4＝18，當(dāng)且僅當(dāng)a＋1＝b＋3且a＋b＝5，即a＝eq\f(7,2)，b＝eq\f(3,2)時(shí)等號(hào)成立，所以eq\r(a＋1)＋eq\r(b＋3)≤3eq\r(2).三、解答題7．已知：a>0，b>0，a＋b＝1，求(a＋eq\f(1,a))2＋(b＋eq\f(1,b))2的最小值．[解析](a＋eq\f(1,a))2＋(b＋eq\f(1,b))2＝a2＋b2＋eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)＋4＝(a2＋b2)(1＋eq\f(1,a2b2))＋4＝(1－2ab)(1＋eq\f(1,a2b2))＋4，∵a>0，b>0，a＋b＝1，∴ab≤(eq\f(a＋b,2))2＝eq\f(1,4)，∴1－2ab≥1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，且eq\f(1,a2b2)≥16,1＋eq\f(1,a2b2)≥17.∴原式≥eq\f(1,2)×17＋4＝eq\f(25,2)(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝eq\f(1,2)時(shí)，等號(hào)成立)，∴(a＋eq\f(1,a))2＋(b＋eq\f(1,b))2的最小值是eq\f(25,2).8．求函數(shù)y＝1－2x－eq\f(3,x)的值域．[解析]y＝1－2x－eq\f(3,x)＝1－(2x＋eq\f(3,x))．①當(dāng)x>0時(shí)，2x＋eq\f(3,x)≥2eq\r(2x·\f(3,x))＝2eq\r(6).當(dāng)且僅當(dāng)2x＝eq\f(3,x)，即x＝eq\f(\r(6),2)時(shí)取等號(hào)．∴y＝1－(2x＋eq\f(3,x))≤1－2eq\