2.6-全等模型-2023年升初二人教版暑假銜接教材

?2.6全等模型（1）考點先知考點先知知識考點中點模型1.中點模型-倍長中線角平分線模型2.角平分線模型-截長補短一線三等角模型3.一線三等角模型，一線三直角模型題型精析題型精析知識點一中點模型-倍長中線知識點一中點模型-倍長中線全等三角形的判定原理內容如圖所示，D為BC邊上的中點，將中線延長并使得AD=DE（即倍長中線），則△ADB≌△EDC（SAS）.題型一角平分線的性質題型一角平分線的性質例1在中，，，是邊上的中線，則的取值范圍是（）例1A．B．C．D．變1在中，，，則邊上的中線的取值范圍是____________．變1例2辰萱同學遇到這樣一個問題：如圖，中，，，是中線，求的取值范圍．她的做法是：延長到，使，連接，證明，經(jīng)過推理和計算使問題得到解決．請回答：例2（1）求出的取值范圍；（2）如圖，是的中線，在上取一點，連結并延長交于點，若，求證：．變2如圖，在△ABC中，AB＞AC，E為BC邊的中點，AD為∠BAC的平分線，過E作AD的平行線，交AB于F，交CA的延長線于G．求證：BF=CG．變2例3規(guī)定：有兩組邊相等，且它們所夾的角互補的兩個三角形叫兄弟三角形．如圖，，，，回答下列問題：例3（1）求證：△OAC和△OBD是兄弟三角形．（2）取的中點P，連接，請證明．例4如圖1，在△ABC中，若AB=10，BC=8，求AC邊上的中線BD例4（1）小聰同學是這樣思考的：延長BD至E，使DE=BD，連接CE，可證得△CED≌△ABD．①請證明△CED≌△ABD；②中線BD的取值范圍是____________．（2）問題拓展：如圖2，在△ABC中，點D是AC的中點，分別以AB，BC為直角邊向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中，AB=BM，BC=BN，∠ABM=∠NBC=∠90°，連接MN．請寫出BD與MN的數(shù)量關系，并說明理由．變3（1）方法學習：數(shù)學興趣小組活動時，張老師提出了如下問題：如圖1，在△ABC中，AB=8，AC=6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法（如圖2），變3①延長AD到M，使得DM=AD；②連接BM，通過三角形全等把AB、AC、2AD轉化在△ABM中；③利用三角形的三邊關系可得AM的取值范圍為AB﹣BM＜AM＜AB+BM，從而得到AD的取值范圍是____________；方法總結：上述方法我們稱為“倍長中線法”．“倍長中線法”多用于構造全等三角形和證明邊之間的關系．（2）請你寫出圖2中AC與BM的數(shù)量關系和位置關系，并加以證明．（3）深入思考：如圖3，AD是△ABC的中線，AB=AE，AC=AF，∠BAE=∠CAF=90°，請直接利用（2）的結論，試判斷線段AD與EF的數(shù)量關系，并加以證明．知識點二角平分線模型-截長補短知識點二角平分線模型-截長補短全等三角形的判定原理內容如圖所示，BD是∠ABC的角平分線，且BC>BA.【截長】在BC上作一點E，使得BE=BA，則△ABD≌△EBD.【補短】延長BA至E，使得BE=BC，則△EAD≌△CBD.題型一角平分線的性質題型一角平分線的性質例1如圖，已知在四邊形ABCD中，BD是的平分線，．求證：．例1例2如圖，△ABC中，AC=BC，AD平分∠BAC，若AC+CD=AB，求∠C例2變1已知在△ABC中，∠B=2∠C，∠BAC的平分線AD交BC邊于點D．求證：AC=AB+BD．變1變2如圖所示，在四邊形ABCD中，BC＞BA，AD=DC，BD平分∠ABC，則∠A+∠C的度數(shù)是______度．變2例3如圖，△ABC中，∠B=2∠A，∠ACB的平分線CD交AB于點D，已知AC=16，BC=9，則BD的長為（例3A．6B．7C．8D．9變3如圖，在中，AD平分，，，，則AC的長為（）變3A．3B．9C．11D．15例4如圖，，，分別平分和，經(jīng)過點E．求證：．例4例5如圖中，分別平分相交于點．例5（1）求的度數(shù)；（2）求證：變4如圖，，，，直線過點交于，交于點．求證：．變4知識點三一線三等角模型知識點三一線三等角模型全等三角形的判定原理內容如圖所示，AB=AC，∠B=∠ADE=∠C（即一線三等角），則△ABD≌△DCE（AAS）.如圖所示，∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°（即一線三直角），則△ADC≌△CEB（AAS）.題型三一線三等角模型題型三一線三等角模型例1如圖，在中，，、、三點都在直線上，并且有，若，，求的長．例1例2在直線上依次取互不重合的三個點，，，在直線上方有，且滿足．例2（1）如圖1，當時，猜想線段，，之間的數(shù)量關系是____________；（2）如圖2，當時，問題（1）中結論是否仍然成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由．變1如圖所示．已知，，則：變1（1）嗎？（2）嗎？變2已知：D，A，E三點都在直線m上，在直線m的同一側作△ABC，使AB=AC，連接BD，CE．變2（1）如圖①，若∠BAC=90°，BD⊥m，CE⊥m，求證：△ABD≌△ACE；（2）如圖②，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，請判斷BD，CE，DE三條線段之間的數(shù)量關系，并說明理由．例3在中，，，直線經(jīng)過點，且于，于．例3（1）當直線繞點旋轉到圖（1）的位置時，求證：①；②；（2）當直線繞點旋轉到圖（2）的位置時，求證：；（3）當直線繞點旋轉到圖（3）的位置時，請直接寫出，，之間的等量關系．變3在中，，，直線經(jīng)過點，且于，于．變3（1）當直線繞點旋轉到圖1的位置時，①求證：；②若，，求長．（2）當直線繞點旋轉到圖2的位置時，，，求長；（3）當直線繞點旋轉到圖3的位置時，，，求長．課后強化課后強化1.三角形兩邊長分別為8cm和5cm，第三邊的中線長可以是（）A．1cmB．2cmC．7cmD．8cm2.已知是中邊上的中線，，，則的取值范圍是（）A．B．C．D．3.已知：在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點，且BE=AC，延長BE交AC于F，求證：AF=EF．4.如圖．AB=AE，AB⊥AE，AD=AC．AD⊥AC，點M為BC的中點，求證：DE=2AM．5.（1）已知如圖1，在中，，求邊上的中線的取值范圍．（2）思考：已知如圖2，是的中線，，試探究線段與的數(shù)量和位置關系，并加以證明．6.如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，∠C=2∠CDB，AB=12，CD=3，則△ABC的周長為（）A．21B．24C．27D．307.如圖，中，平分，，，則的度數(shù)為______．8.如圖，在△ABC中，∠ACB=∠ABC=40o，BD是∠ABC的角平分線，延長BD至點E，使得DE=DA，則∠ECA=______．9.如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC和∠BCD的平分線的交點E在AD上．求證：（1）點E是AD的中點；（2）BC=AB+CD．10.（1）問題解決：如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD=α，∠BCD=180°﹣α，BD平分∠ABC．①如圖1，若α=90°，根據(jù)教材中一個重要性質直接可得AD=CD，這個性質是__________________；②在圖2中，求證：AD=CD；（2）拓展探究：根據(jù)（1）的解題經(jīng)驗，請解決如下問題：如圖3，在等腰△ABC中，∠BAC=100°，BD平分∠ABC，求證BD+AD=BC．11.如圖，在等腰直角三角形中，，，點在直線上，過作于，過作于．下列給出四個結論：①；②與互余；③．其中正確結論的序號是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③12.如圖，在中，，，于點，于點，若，，則______