第八章 概率論初步第三節(jié)

第三節(jié)隨機(jī)變量及常見(jiàn)的概率分布一、

隨機(jī)變量二、離散型隨機(jī)變量三、

連續(xù)型隨機(jī)變量《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件隨機(jī)變量概念的產(chǎn)生

在實(shí)際問(wèn)題中，隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用數(shù)量來(lái)表示，由此就產(chǎn)生了隨機(jī)變量的概念.一、

隨機(jī)變量《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件有些試驗(yàn)結(jié)果本身與數(shù)值有關(guān)（本身就是一個(gè)數(shù)）.

例如，擲一顆骰子面上出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)；

七月份鄭州的最高溫度；每天從鄭州下火車的人數(shù)；昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)；《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件在有些試驗(yàn)中，試驗(yàn)結(jié)果看來(lái)與數(shù)值無(wú)關(guān)，但我們可以引進(jìn)一個(gè)變量來(lái)表示它的各種結(jié)果.也就是說(shuō)，把試驗(yàn)結(jié)果數(shù)值化.正如裁判員在運(yùn)動(dòng)場(chǎng)上不叫運(yùn)動(dòng)員的名字而叫號(hào)碼一樣，二者建立了一種對(duì)應(yīng)關(guān)系.

《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件

隨機(jī)變量概念的產(chǎn)生例

在一裝有紅球、白球的袋中任摸一個(gè)球,觀察摸出球的顏色.S={紅色、白色}

非數(shù)量將S數(shù)量化可采用下列方法紅色白色《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件即有X(紅色)=1,X(白色)=0.這樣便將非數(shù)量的S={紅色，白色}數(shù)量化了.《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件例1

拋擲骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).U={1，2，3，4，5，6}樣本點(diǎn)本身就是數(shù)量恒等變換且有則有《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件例2（乘客候車）開(kāi)往市區(qū)118路公共汽車每隔8分鐘發(fā)一輛車，一位不知情的乘客乘該路車，那么他候車時(shí)間是多少？由于乘客到車站的時(shí)間是不確定的，用表示其等車時(shí)間，則可以取[0,8]上的任何一個(gè)值，

究竟取哪一個(gè)值，取決于試驗(yàn)結(jié)果，這也是一個(gè)隨機(jī)變量.定義8.3.1一、隨機(jī)變量《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件

一個(gè)變量若滿足:（1）取值的隨機(jī)性，即它所取的不同數(shù)值由隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果而定；（2）概率的確定性，即它取某一個(gè)值或在某一區(qū)間內(nèi)取值的概率是確定的．則稱這樣的變量為隨機(jī)變量.隨機(jī)變量可用英文大寫字母,,等表示.定義8.3.2若隨機(jī)變量可取有限個(gè)或無(wú)限可列個(gè)數(shù)值，則稱變量為離散型隨機(jī)變量，如例1.若隨機(jī)變量的所有取值不能一一列出，而充滿某一實(shí)數(shù)區(qū)間，可以在某個(gè)區(qū)間內(nèi)連續(xù)取任何實(shí)數(shù)值的隨機(jī)變量，則稱變量為連續(xù)型隨機(jī)變量，如例2.隨機(jī)變量的分類離散型隨機(jī)變量連續(xù)型非離散型其它《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件

設(shè)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，它可能取的值是x1,x2,….

為了描述隨機(jī)變量X

，我們不僅需要知道隨機(jī)變量X的取值，而且還應(yīng)知道X取每個(gè)值的概率.二、離散型隨機(jī)變量《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件1.離散型隨機(jī)變量的分布律例3（次品數(shù)量）在10件同類產(chǎn)品中，有3件次品，現(xiàn)任取2件，用表示“這2件產(chǎn)品中的次品數(shù)”，的可能取值有哪些？

解

有三種可能取值，分別為0、1、2．在每次抽取之前，我們知道應(yīng)取0、1、2這三個(gè)數(shù)中的一個(gè)，但不能確定它究竟取哪一個(gè)，而只有依據(jù)抽取結(jié)果，得到的唯一取值，取每一個(gè)值的概率分別為，，．的可能取值及其概率如表說(shuō)明定義8.3.3《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件離散型隨機(jī)變量的分布律也可表示為《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件解例4產(chǎn)品有一、二、三等品及廢品，其一、二、三等品率和廢品率分別為60%、10%、20%、10%，從中任取一個(gè)產(chǎn)品檢驗(yàn)其質(zhì)量，用隨機(jī)變量描述檢驗(yàn)結(jié)果并寫出隨機(jī)變量的分布列．設(shè)與產(chǎn)品為等品()相對(duì)應(yīng)，產(chǎn)品為廢品相對(duì)應(yīng).是一個(gè)隨機(jī)變量，它可以取0、1、2、

3這4個(gè)可能值.依題意得，，，.《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件所以，得出的分布律如表

解則有例52.常見(jiàn)離散型隨機(jī)變量的概率分布設(shè)隨機(jī)變量X只可能取0與1兩個(gè)值,它的分布律為則稱X服從(0—1)分布或兩點(diǎn)分布.⑴兩點(diǎn)分布《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件例“拋硬幣”試驗(yàn),觀察正、反兩面情況.

隨機(jī)變量X服從(0—1)分布.其分布律為《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件例6100件產(chǎn)品中,有95件合格品,5件不合格品,現(xiàn)從中隨機(jī)抽取一件,那末,若規(guī)定取得不合格品,取得合格品.則隨機(jī)變量X服從(0—1)分布.《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件

兩點(diǎn)分布是最簡(jiǎn)單的一種分布,任何一個(gè)只有兩種可能結(jié)果的隨機(jī)現(xiàn)象,比如新生嬰兒是男還是女、明天是否下雨、種籽是否發(fā)芽等,都屬于兩點(diǎn)分布.說(shuō)明《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件定義8.3.5(n重伯努利試驗(yàn))

《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件⑵

二項(xiàng)分布例7

某書店開(kāi)設(shè)新書征訂業(yè)務(wù)，每位顧客在一周內(nèi)收到書店回單的概率是0.9，有四位顧客預(yù)訂新書，求一周內(nèi)有兩位顧客收到回單的概率。解將每位顧客一周內(nèi)是否收到回單看作一次試驗(yàn)，四位預(yù)訂者是互不相干的，可認(rèn)為這四次試驗(yàn)是獨(dú)立的，因此這是一個(gè)4重伯努利試驗(yàn).用表示第位顧客收到回單，則表示第位顧客沒(méi)收到回單，則，，．在4次試驗(yàn)中，有兩位顧客收到回單的情況有種：，，，，，．

由于事件之間相互獨(dú)立，則同理有所以“四位顧客中有兩位顧客收到回單”的概率為若設(shè)為“四位顧客中收到回單的顧客數(shù)”，則的所有可能取值為0,1,2,3,4.因此，“四位顧客中有兩位顧客收到回單”的事件可用｛｝表示，且有同樣地，“四位顧客都沒(méi)有收到回單”，“四位顧客中有一位顧客收到回單”，“四位顧客中有三位顧客收到回單”，“四位顧客都收到回單”的概率分別為一般地，“四位顧客中有位顧客收到回單”事件的概率為=()

二項(xiàng)概率公式且兩兩互不相容.《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件稱這樣的分布為二項(xiàng)分布.記為二項(xiàng)分布兩點(diǎn)分布《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件例8

在相同條件下相互獨(dú)立地進(jìn)行5次射擊,每次射擊時(shí)擊中目標(biāo)的概率為0.7,則擊中目標(biāo)的次數(shù)X服從b(5,0.7)的二項(xiàng)分布.《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件（1）命中靶心的概率（2）“命中三次靶心”的概率例9

從某大學(xué)到火車站途中有6個(gè)交通崗，假設(shè)在各個(gè)交通崗．

是否遇到紅燈相互獨(dú)立，并且每次遇到紅燈的概率都是（1）設(shè)為汽車在途中遇到的紅燈數(shù),求的分布律；（2）求汽車行駛途中至少遇到5次紅燈的概率．解（1）由題意,，于是的分布律為：=；（2）1.連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)

三、連續(xù)型隨機(jī)變量《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件例10（導(dǎo)彈實(shí)驗(yàn)）設(shè)某型號(hào)導(dǎo)彈的彈著點(diǎn)到目標(biāo)中心的距離為隨機(jī)變量．該型號(hào)導(dǎo)彈性能表明，彈著點(diǎn)落在以目標(biāo)為半徑的范圍內(nèi)的概率與該范圍的面積成正比，且偏差一定在以內(nèi)，隨機(jī)變量可取內(nèi)任意值．為圓心，的取值連續(xù)充滿區(qū)間，因此對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)討論其取某一個(gè)值的概率就沒(méi)有什么意義．我們只有確切知道了在某一范圍取值的概率，才能把握隨機(jī)概率分布的規(guī)律．由于變量變量定義8.3.6性質(zhì)《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件例11

已知連續(xù)型隨機(jī)變量具有密度函數(shù)求：（1）系數(shù)；（2）落在區(qū)間、內(nèi)的概率．解（1）由，可得《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件=1.所以；

（2）《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件例12

已隨機(jī)變量的密度函數(shù)求：（1）值；（2）解（1）由，可得所以（2）2.常見(jiàn)的連續(xù)型隨機(jī)變量⑴

均勻分布《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件例13

解《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件設(shè)公共汽車每隔6分鐘一班，乘客到站時(shí)間是隨機(jī)的，等車時(shí)間服從上的均勻分布，求乘客等車時(shí)間不超過(guò)3分鐘的概率．設(shè)表示等車時(shí)間，，于是的概率密度為于是乘客等車時(shí)間不超過(guò)3分鐘的概率為⑵正態(tài)分布

《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件

①正態(tài)分布的密度函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度表示為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布是偶函數(shù)《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件②標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布在正態(tài)分布的研究中有非常重要的地位．設(shè)，由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)，可計(jì)算隨機(jī)變量在任意區(qū)間上取值的概率．為了計(jì)算方便，書中附表（標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)值表）已給出了隨機(jī)變量在區(qū)間上取值的概率，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)記作，即隨機(jī)變量在區(qū)間上的概率因此，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的幾個(gè)重要結(jié)論：（1）（2）；

；

；

；

（3）

（4）

（5）．《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件例14

設(shè)隨機(jī)變量，求（1）（2）；

；（3）；（4）.

解查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)值表，可得（1）；（2）；==；（3）（4）=-=.（3）正態(tài)分布的概率計(jì)算隨機(jī)變量均可轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布來(lái)計(jì)算，可以證明，若隨機(jī)變量因此，例15

設(shè)隨機(jī)變量（1）求，

，

，

；（2）確定使.解（1）《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件例5《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件（