2023-2024學(xué)年九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷（魯教版）

2023-2024學(xué)年九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分）拋物線y=3（x-2）2+5的對(duì)稱軸是（）A.x=2 B.x=?2 C.x=5 D.x=?2平面內(nèi)有一點(diǎn)P到圓上最遠(yuǎn)的距離是6，最近的距離是2，則圓的半徑是（）A.2 B.4 C.2

或4 D.8如圖，PA，PB分別與⊙O相切于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)E在AB上，過點(diǎn)E作⊙O的切線，分別與PA，PB相交于點(diǎn)C，D．若PA=3cm，則△PCD的周長(zhǎng)等于（）

A.3cm B.6cm C.9cm D.12cm已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c中，函數(shù)y與自變量x的部分對(duì)應(yīng)值如表，則方程ax2+bx+c=0的一個(gè)解的范圍是（）x6.176.186.196.20y-0.03-0.010.020.04A.?0.01<x<0.02 B.6.17<x<6.18 C.6.18<x<6.19 D.6.19<x<6.20如圖，邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，半徑為1的⊙O的圓心O在格點(diǎn)上，則∠BED的正切值等于（）A.255

B.55

C.2

如圖，已知二次函數(shù)y1=23x2-43x的圖象與正比例函數(shù)y2=23x的圖象交于點(diǎn)A（3，2），與x軸交于點(diǎn)B（2，0），若0＜y1＜y2，則x的取值范圍是（）A.0<x<2

B.0<x<3

C.2<x<3

D.x<0或x>3

將函數(shù)y=kx2與y=kx+k的圖象畫在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中，可能的是（）A. B. C. D.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，F(xiàn)是CD上一點(diǎn)，且DF=BC，連接CF并延長(zhǎng)交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接AC，若∠ABC=105°，∠BAC=25°，則∠E的度數(shù)為（）A.45°

B.50°

C.55°

如圖，直線y=x與拋物線y=ax2（a＞0）在y軸右側(cè)依次交于A1，A2，A3…An，且OA1=A1A2=A2A3=…=An-1An（n為正整數(shù)），其中經(jīng)過點(diǎn)A1的拋物線為y=x2，則過點(diǎn)An的拋物線為（）A.y=1nx?2 B.y=1n?1如圖，在扇形OAB中，∠AOB=110°，將扇形OAB沿過點(diǎn)B的直線折疊，點(diǎn)O恰好落在AB上的點(diǎn)D處，折痕交OA于點(diǎn)C，則AD的度數(shù)為（）A.40°

B.50°

C.60°

二、填空題（本大題共5小題，共15.0分）如圖所示，在直角△AOB中，AB⊥OB，且AB=OB=3，設(shè)直線x=t截此三角形所得的陰影部分面積是S，則S與t之間的函數(shù)關(guān)系式是______．

如圖是拋物線型拱橋，當(dāng)拱頂離水面2m時(shí)，水面寬4m，水面下降2m，水面寬度增加______m．

定義符號(hào)min{a，b}的含義為：當(dāng)a≥b時(shí)，min{a，b}=b；當(dāng)a＜b時(shí)，min{a，b}=a．如min{1，-2}=-2，min{-1，2}=-1，則min{x2-1，-2}的值是______．如圖，小量角器的0°刻度線在大量角器的0°刻度線上，且小量角器的中心在大量角器的外緣邊上．如果它們外緣邊上的公共點(diǎn)P在大量角器上對(duì)應(yīng)的度數(shù)為40°，那么在小量角器上對(duì)應(yīng)的度數(shù)為______．（只考慮小于90°的角度）如圖，已知⊙O的半徑為5，銳角△ABC內(nèi)接于⊙O，AB=8，BD⊥AC于D，若CD=4，則BD的長(zhǎng)為______．

三、解答題（本大題共7小題，共55.0分）如圖所示，破殘的圓形輪片上，弦AB的垂直平分線交弧AB于點(diǎn)C，交弦AB于點(diǎn)D．已知：AB=24cm，CD=8cm．

（1）求作此殘片所在的圓（不寫作法，保留作圖痕跡）；

（2）求（1）中所作圓的半徑．

如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=12mm，BC=24mm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊AB向B以2mm/s的速度移動(dòng)（不與點(diǎn)B重合），動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿邊BC向C以4mm/s的速度移動(dòng)（不與點(diǎn)C重合）．如果P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，那么經(jīng)過多少秒，四邊形APQC的面積最小．

青島市某大酒店豪華間實(shí)行淡季、旺季兩種價(jià)格標(biāo)準(zhǔn)，旺季每間價(jià)格比淡季上漲13．下表是去年該酒店豪華間某兩天的相關(guān)記錄：

淡季旺季未入住房間數(shù)100日總收入（元）2400040000（1）該酒店豪華間有多少間？旺季每間價(jià)格為多少元？

（2）今年旺季來臨，豪華間的間數(shù)不變．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果豪華間仍舊實(shí)行去年旺季價(jià)格，那么每天都客滿；如果價(jià)格繼續(xù)上漲，那么每增加25元，每天未入住房間數(shù)增加1間．不考慮其他因素，該酒店將豪華間的價(jià)格上漲多少元時(shí)，豪華間的日總收入最高？最高日總收入是多少元？

如圖，AB是⊙O的直徑，在圓上取點(diǎn)C，延長(zhǎng)BC到D，使BC=CD，連接AD交⊙O于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF⊥AD，垂足為F．

（1）求證：CF是⊙O的切線．

（2）若AE=25，sin∠BAE=23，求CF的長(zhǎng)．

某游樂園有一個(gè)直徑為16米的圓形噴水池，噴水池的周邊有一圈噴水頭，噴出的水柱為拋物線，在距水池中心3米處達(dá)到最高，高度為5米，且各方向噴出的水柱恰好在噴水池中心的裝飾物處匯合．如圖所示，以水平方向?yàn)閤軸，噴水池中心為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系．

（1）求水柱所在拋物線（第一象限部分）的函數(shù)表達(dá)式；

（2）王師傅在噴水池內(nèi)維修設(shè)備期間，噴水管意外噴水，為了不被淋濕，身高1.8米的王師傅站立時(shí)必須在離水池中心多少米以內(nèi)？

（3）經(jīng)檢修評(píng)估，游樂園決定對(duì)噴水設(shè)施做如下設(shè)計(jì)改進(jìn)：在噴出水柱的形狀不變的前提下，把水池的直徑擴(kuò)大到32米，各方向噴出的水柱仍在噴水池中心保留的原裝飾物（高度不變）處匯合，請(qǐng)?zhí)骄繑U(kuò)建改造后噴水池水柱的最大高度．

小明在課外學(xué)習(xí)時(shí)遇到這樣一個(gè)問題：

定義：如果二次函數(shù)y=a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常數(shù)）與y=a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常數(shù)）滿足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，則稱這兩個(gè)函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．

求函數(shù)y=-x2+3x-2的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．

小明是這樣思考的：由函數(shù)y=-x2+3x-2可知，a1=-1，b1=3，c1=-2，根據(jù)：a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，求出a2、b2、c2，就能確定這函數(shù)的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．

請(qǐng)參考小明的方法解決下面問題：

（1）寫出函數(shù)y=-x2+3x-2的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”；

（2）若函數(shù)y=-x2+43mx-2與y=x2-2nx+n互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，求（m+n）2018；

（3）已知函數(shù)y=-12(x+1)(x?4)的圖象與x軸交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A、B、C關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別是A1、B1、C1，試證明經(jīng)過點(diǎn)A1、B1、C1的二次函數(shù)與函數(shù)y=-12(x+1)(x?4)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．

已知拋物線y=ax2+bx+3（a≠0）經(jīng)過A（3，0），B（4，1）兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求拋物線y=ax2+bx+3（a≠0）的函數(shù)關(guān)系式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）如圖（1），連接AB，在題（1）中的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使△PAB是以AB為直角邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）如圖（2），連接AC，E為線段AC上任意一點(diǎn)（不與A、C重合）經(jīng)過A、E、O三點(diǎn)的圓交直線AB于點(diǎn)F，當(dāng)△OEF的面積取得最小值時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．

答案和解析1.【答案】A

【解析】解：∵y=3（x-2）2+5，

∴此函數(shù)的對(duì)稱軸就是x=2．

故選：A．

由于所給的是二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，故能直接求出其對(duì)稱軸．

本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-h）2+k中，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（h，k），對(duì)稱軸是x=h．2.【答案】C

【解析】解：∵點(diǎn)P到⊙O的最近距離為2，最遠(yuǎn)距離為6，則：

當(dāng)點(diǎn)在圓外時(shí)，則⊙O的直徑為6-2=4，半徑是2；

當(dāng)點(diǎn)在圓內(nèi)時(shí)，則⊙O的直徑是6+2=8，半徑為4，

故選：C．

分兩種情況：點(diǎn)在圓外，直徑等于兩個(gè)距離的差；點(diǎn)在圓內(nèi)，直徑等于兩個(gè)距離的和．

本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，注意此題的兩種情況．從過該點(diǎn)和圓心的直線中，即可找到該點(diǎn)到圓的最小距離和最大距離．3.【答案】B

【解析】解：∵PA，PB切⊙O于A、B兩點(diǎn)，CD切⊙O于點(diǎn)E，

∴PB=PA=3cm，CA=CE，DB=DE，

∴△PCD的周長(zhǎng)=PC+CE+PD=PC+CE+DE+PC=PC+CA+DB+PD=PA+PB=6cm；

故△PCD的周長(zhǎng)是6cm．

故選：B．

由PA，PB切⊙O于A、B兩點(diǎn)，CD切⊙O于點(diǎn)E，根據(jù)切線長(zhǎng)定理可得：PB=PA=3cm，CA=CE，DB=DE，繼而可得△PCD的周長(zhǎng)=PA+PB．

此題主要考查了切線長(zhǎng)定理的應(yīng)用，能夠?qū)ⅰ鱌CD的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)換為切線PA、PB的長(zhǎng)，是解答此題的關(guān)鍵．4.【答案】C

【解析】解：由表格中的數(shù)據(jù)看出-0.01和0.02更接近于0，故x應(yīng)取對(duì)應(yīng)的范圍．

故選：C．

觀察表格可知，y隨x的值逐漸增大，ax2+bx+c的值在6.18～6.19之間由負(fù)到正，故可判斷ax2+bx+c=0時(shí)，對(duì)應(yīng)的x的值在6.18～6.19之間．

本題考查了用圖象法求一元二次方程的近似根，解題的關(guān)鍵是找到y(tǒng)由正變?yōu)樨?fù)時(shí)，自變量的取值即可．5.【答案】D

【解析】解：∵∠DAB=∠DEB，

∴tan∠DAB=tan∠DEB=．

故選：D．

根據(jù)同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等來求解．

此題主要考查了圓周角定理（同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等）和正切的概念，正確得出相等的角是解題關(guān)鍵．6.【答案】C

【解析】解：∵二次函數(shù)y1=x2-x的圖象與正比例函數(shù)y2=x的圖象交于點(diǎn)A（3，2），與x軸交于點(diǎn)B（2，0），

∴由圖象得：若0＜y1＜y2，則x的取值范圍是：2＜x＜3．

故選：C．

由二次函數(shù)y1=x2-x的圖象與正比例函數(shù)y2=x的圖象交于點(diǎn)A（3，2），與x軸交于點(diǎn)B（2，0），然后觀察圖象，即可求得答案．

此題考查了二次函數(shù)與不等式的關(guān)系．注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用是關(guān)鍵．7.【答案】C

【解析】解：當(dāng)k＞0時(shí)，

函數(shù)y=kx2的圖象是開口向上，頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線，y=kx+k的圖象經(jīng)過第一、二、三象限，是一條直線，故選項(xiàng)A、B均錯(cuò)誤，

當(dāng)k＜0時(shí)，

函數(shù)y=kx2的圖象是開口向下，頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線，y=kx+k的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，是一條直線，故選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤，

故選：C．

根據(jù)題意，利用分類討論的方法，討論k＞0和k＜0，函數(shù)y=kx2與y=kx+k的圖象，從而可以解答本題．

本題考查二次函數(shù)的圖象、一次函數(shù)的圖象，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．8.【答案】B

【解析】解：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ABC=105°，

∴∠ADC=180°-∠ABC=180°-105°=75°．

∵=，∠BAC=25°，

∴∠DCE=∠BAC=25°，

∴∠E=∠ADC-∠DCE=75°-25°=50°．

故選：B．

先根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出∠ADC的度數(shù)，再由圓周角定理得出∠DCE的度數(shù)，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論．

本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟知圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)是解答此題的關(guān)鍵．9.【答案】A

【解析】解：分別作A1B1垂直x軸，A2B2垂直x軸，…AnBn垂直x軸，

∵經(jīng)過點(diǎn)A1的拋物線為y=x2，直線為y=x，

∴可得點(diǎn)A1坐標(biāo)為（1，1），A1B1=1，OB1=1，

又∵A1B1∥A2B2∥AnBn，OA1=A1A2=A2A3=…=An-1An，

∴可得A1B1=1，A2B2=2，…AnBn=n，

故可得拋物線經(jīng)過點(diǎn)（n，n），代入拋物線y=ax2（a＞0），可得a=，

故拋物線方程為：y=x2．

故選：A．

分別作A1B1垂直x軸，A2B2垂直x軸，…AnBn垂直x軸，先根據(jù)題意求出A1的坐標(biāo)，從而利用平行線分線段成比例的知識(shí)，可求出y=x與拋物線交點(diǎn)坐標(biāo)的特點(diǎn)，繼而代入拋物線方程即可得出答案．

此題屬于二次函數(shù)的綜合題，求出A1的坐標(biāo)，利用平行線分線段成比例的知識(shí)求出An的坐標(biāo)是解答本題的關(guān)鍵，難度一般．10.【答案】B

【解析】解：連結(jié)OD，如圖，

∵扇形OAB沿過點(diǎn)B的直線折疊，點(diǎn)O恰好落在上的點(diǎn)D處，折痕交OA于點(diǎn)C，

∴BC垂直平分OD，

∴BD=BO，

∵OB=OD，

∴△OBD為等邊三角形，

∴∠DOB=60°，

∴∠AOD=∠AOB-∠DOB=110°-60°=50°，

∴的度數(shù)為為50°，

故選：B．

連結(jié)OD，先根據(jù)折疊的性質(zhì)得到BC垂直平分OD，則BD=BO，易得△OBD為等邊三角形，所以∠DOB=60°，則∠AOD=∠AOB-∠DOB=50°．

本題考查了圓周角定理和折疊的性質(zhì)，解題時(shí)注意：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．11.【答案】S=12t2（0≤t≤3）

解：∵Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB=OB=3，

∴∠AOB=∠A=45°，

∵CD⊥OB，

∴CD∥AB，

∴∠OCD=∠A，

∴∠AOD=∠OCD=45°，

∴OD=CD=t，

∴S△OCD=×OD×CD

=t2（0≤t≤3），

∴S與t之間的函數(shù)關(guān)系式是S=t2（0≤t≤3），

故答案為S=t2（0≤t≤3）．

Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB=OB=3，所以很容易求得∠AOB=∠A=45°；再由平行線的性質(zhì)得出∠OCD=∠A，即∠AOD=∠OCD=45°，進(jìn)而證明OD=CD=t；最后根據(jù)三角形的面積公式，解答出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．

本題主要考查了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式是解決問題的關(guān)鍵．12.【答案】（42-4）

【解析】解：建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)橫軸x通過AB，縱軸y通過AB中點(diǎn)O且通過C點(diǎn)，則通過畫圖可得知O為原點(diǎn)，

拋物線以y軸為對(duì)稱軸，且經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，OA和OB可求出為AB的一半2米，拋物線頂點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，2），

通過以上條件可設(shè)頂點(diǎn)式y(tǒng)=ax2+2，其中a可通過代入A點(diǎn)坐標(biāo)（-2，0），

到拋物線解析式得出：a=-0.5，所以拋物線解析式為y=-0.5x2+2，

當(dāng)水面下降2米，通過拋物線在圖上的觀察可轉(zhuǎn)化為：

當(dāng)y=-2時(shí)，對(duì)應(yīng)的拋物線上兩點(diǎn)之間的距離，也就是直線y=-2與拋物線相交的兩點(diǎn)之間的距離，

可以通過把y=-2代入拋物線解析式得出：

-2=-0.5x2+2，

解得：x=±2，所以水面寬度增加到4米，比原先的寬度當(dāng)然是增加了（4-4）米，

故答案為：4-4．

根據(jù)已知建立平面直角坐標(biāo)系，進(jìn)而求出二次函數(shù)解析式，再通過把y=-2代入拋物線解析式得出水面寬度，即可得出答案．

此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)已知建立坐標(biāo)系從而得出二次函數(shù)解析式是解決問題的關(guān)鍵．13.【答案】-2

【解析】解：∵x2≥0，

∴x2-1≥-1，

∴x2-1＞-2．

∴min{x2-1，-2}=-2，

故答案為-2．

比較x2-1與-2的大小，得到答案．

本題考查的是與二次函數(shù)和一次函數(shù)有關(guān)的新定義，根據(jù)題意理解新定義的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵，注意：一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)的運(yùn)用．14.【答案】70°

【解析】解：設(shè)大量角器的左端點(diǎn)是A，小量角器的圓心是B，連接AP，BP，則∠APB=90°，∠PAB=20°，因而∠PBA=90°-20°=70°，在小量角器所求弧所對(duì)的圓心角為70°，因而P在小量角器上對(duì)應(yīng)的度數(shù)為70°．

故答案為：70°；

設(shè)大量角器的左端點(diǎn)為A，小量角器的圓心為B．利用三角形的內(nèi)角和定理求出∠PBA的度數(shù)．然后根據(jù)圓的知識(shí)可求出小量角器上對(duì)應(yīng)的度數(shù)．

本題主要考查了直徑所對(duì)的圓周角是90度．能把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題是解決本題的關(guān)鍵．15.【答案】163

解：如圖，延長(zhǎng)BO交⊙O于H，連接AH，

∵BH是⊙O的直徑，

∴∠HAB=90°，

∴AH===6，

∵∠HAB=∠CDB=90°，∠H=∠C，

∴△HAB∽△CDB，

∴=，即=，

解得，BD=，

故答案為：．

延長(zhǎng)BO交⊙O于H，連接AH，根據(jù)勾股定理求出AH，證明△HAB∽△CDB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列式計(jì)算即可．

本題考查的是三角形的外接圓與外心、相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握?qǐng)A周角定理、勾股定理是解題的關(guān)鍵．16.【答案】解：（1）作弦AC的垂直平分線與弦AB的垂直平分線交于O點(diǎn)，以O(shè)為圓心OA長(zhǎng)為半徑作圓O就是此殘片所在的圓，如圖．

（2）連接OA，設(shè)OA=x，AD=12cm，OD=（x-8）cm，

則根據(jù)勾股定理列方程：

x2=122+（x-8）2，

解得：x=13．

答：圓的半徑為13cm．

【解析】

（1）、由垂徑定理知，垂直于弦的直徑是弦的中垂線，故作AC，BC的中垂線交于點(diǎn)O，則點(diǎn)O是弧ACB所在圓的圓心；

（2）、在Rt△OAD中，由勾股定理可求得半徑OA的長(zhǎng)．

本題利用了垂徑定理，中垂線的性質(zhì)，勾股定理求解．17.【答案】解：設(shè)經(jīng)過x秒，四邊形APQC的面積最小

由題意得，AP=2x，BQ=4x，

則PB=12-2x，

△PBQ的面積=12×BQ×PB

=12×（12-2x）×4x

=-4（x-3）2+36，

當(dāng)x=3s時(shí)，△PBQ的面積的最大值是36mm2，

此時(shí)四邊形APQC的面積最?。?/p>

設(shè)經(jīng)過x秒，四邊形APQC的面積最小，根據(jù)題意列出△PBQ的面積關(guān)于x的解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出△PBQ的面積的最大值，得到答案．

本題考查的是二次函數(shù)的應(yīng)用，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18.【答案】解：（1）設(shè)淡季每間的價(jià)格為x元，酒店豪華間有y間，

x(y?10)=24000x(1+13)y=40000，

解得，y=50x=600，

∴x+13x=600+13×600=800，

答：該酒店豪華間有50間，旺季每間價(jià)格為800元；

（2）設(shè)該酒店豪華間的價(jià)格上漲x元，日總收入為y元，

y=（800+x）（50-x25）=?125(x?225)2+42025，

∴當(dāng)x

（1）根據(jù)題意可以列出相應(yīng)的方程組，進(jìn)而求得該酒店豪華間的間數(shù)和旺季每間的價(jià)格；

（2）根據(jù)題意可以求得總收入和上漲價(jià)格之間的函數(shù)解析式，然后化為頂點(diǎn)式即可解答本題．

本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．19.【答案】解：（1）連接OC．

∵BC=CD，OB=OA，

∴OC∥AD，

∵CF⊥AD，

∴OC⊥CF，

∴CF是⊙O的切線．

（2）連接BE．

∵AB是直徑，

∴∠BEA=90°，

∵sin∠BAE=BEAB=23，設(shè)BE=2k，AB=3k，

則AE=5k，

∵AE=25，

∴k=2，BE=4，

∵CF∥BE，BC=CD，

∴EF=DF，

∴CF=12BE=2．

（1）欲證明CF是切線，只要證明OC⊥CF即可；

（2）想辦法求出BE，再證明CF是△BDE的中位線即可解決問題；

本題考查切線的判定、圓周角定理、三角形的中位線定理、銳角三角函數(shù)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，學(xué)會(huì)利用此時(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型．20.【答案】解：（1）設(shè)水柱所在拋物線（第一象限部分）的函數(shù)表達(dá)式為y=a（x-3）2+5（a≠0），

將（8，0）代入y=a（x-3）2+5，得：25a+5=0，

解得：a=-15，

∴水柱所在拋物線（第一象限部分）的函數(shù)表達(dá)式為y=-15（x-3）2+5（0＜x＜8）．

（2）當(dāng)y=1.8時(shí)，有-15（x-3）2+5=1.8，

解得：x1=-1，x2=7，

∴為了不被淋濕，身高1.8米的王師傅站立時(shí)必須在離水池中心7米以內(nèi)．

（3）當(dāng)x=0時(shí)，y=-15（x-3）2+5=165．

設(shè)改造后水柱所在拋物線（第一象限部分）的函數(shù)表達(dá)式為y=-15x2+bx+165，

∵該函數(shù)圖象過點(diǎn)（16，0），

∴0=-15×162+16b+165，解得：b=3，

∴改造后水柱所在拋物線（第一象限部分）的函數(shù)表達(dá)式為y=-15x2+3x+165=-15（x-15

（1）根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)可設(shè)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，代入點(diǎn)（8，0），求出a值，此題得解；

（2）利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，求出當(dāng)y=1.8時(shí)x的值，由此即可得出結(jié)論；

（3）利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，由拋物線的形狀不變可設(shè)改造后水柱所在拋物線（第一象限部分）的函數(shù)表達(dá)式為y=-x2+bx+，代入點(diǎn)（16，0）可求出b值，再利用配方法將二次函數(shù)表達(dá)式變形為頂點(diǎn)式，即可得出結(jié)論．

本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)表達(dá)式；（2）利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出當(dāng)y=1.8時(shí)x的值；（3）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)表達(dá)式．21.【答案】解：（1）由y=-x2+3x-2函數(shù)可知a1=-1，b1=3，c1=-2．

由a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，得

a2=1，b2=3，c2=2．

函數(shù)y=-x2+3x-2的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”為y=x2+3x+2；

（2）由y=-x2+43mx-2與y=x2-2nx+n互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)“，得

-2n=43m，-2+n=0．

解得n=2，m=-3．

當(dāng)m=2，n=-3時(shí)，（m+n）2018=（2-3）2018=（-1）2018=1；

（3）∵當(dāng)y=0時(shí)，-12（x+1）（x-4）=0，解得x=-1，x=4，

∴A（-1，0），B（4，0）．

當(dāng)x=0時(shí)，y=-12×（-4）=2，即C（0，2）．

由點(diǎn)A，B，C關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別是A1，B1，C1，得

A1（1，0），B1（-4，0），C1（0，-2）．

設(shè)過點(diǎn)A1，B1，C1的二次函數(shù)y=ax2+bx+c，將A1，B1，C1代入，得

a+b+c=016a?4b+c=0c=?2，

解得a=12b=32c=?2，

過點(diǎn)A1，B1，C1的二次函數(shù)y=12x2+32x-2．

y=-12（x+1）（x-4）=-12x2+32x+2函數(shù)可知a1=-12，b1=32，c1=2．

由a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，得a2=12，b2=32，c2=-2．

y=-12（x+1）（x-4）的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”為y=12x2+32x-2．

（1）根據(jù)y=a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常數(shù)）與y=a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常數(shù)）滿足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，則稱這兩個(gè)函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，可得a2，b2，c2，可得旋轉(zhuǎn)函數(shù)；

（2）根據(jù)y=a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常數(shù)）與y=a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常數(shù)）滿足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，則稱這兩個(gè)函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，可得a2，b2，c2，根據(jù)負(fù)數(shù)偶數(shù)次冪是正數(shù)，可得答案；

（3）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得A、B、C的坐標(biāo)，根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，可得A1，B1，C1，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；根據(jù)y=a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常數(shù)）與y=a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常數(shù)）滿足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，則稱這兩個(gè)函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，可得a2，b2，c2，可得旋轉(zhuǎn)函數(shù)．

本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用y=a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常數(shù)）與y=a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常數(shù)）滿足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，則稱這兩個(gè)函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”得出a2，b2，c2是解題關(guān)鍵．22.【答案】解：（1）∵拋物線y=ax