三重積分課件

三重積分一、三重積分的概念類比引入1.在定積分和二重積分的討論中，我們曾講過有共性的實例，即求非均勻物體的質(zhì)量.如果物體的密度是該物體上點P的連續(xù)函數(shù)f(P)，那么物體的質(zhì)量根據(jù)物體的不同幾何形狀，便有不同的積分概念.(1)物體是一個細的直線棒，則非均勻細棒的質(zhì)量為

其中f(x)是線密度函數(shù)(點P即為點x)，直線棒占有區(qū)間為［a,b］，于是一、三重積分的概念(2)物體是一塊平面薄片，則非均勻薄片的質(zhì)量為其中f(x,y)是面密度函數(shù)［點P即為點(x,y)］，薄片占有區(qū)域為D(D為xOy面上的閉區(qū)域)，于是一、三重積分的概念(3)如果物體是一空間立體，它占有空間為Ω，又該如何計算它的質(zhì)量呢？我們把空間立體Ω任意分成n個小立體Δvi(i=1,2,…,n)，且以Δvi表示第i個小立體的體積，在小立體Δvi上任取一點Pi(ξi,ηi,ζi)，顯然小立體的質(zhì)量近似等于

f(ξi,ηi,ζi)Δvi(i=1,2,…,n)

,

于是，立體Ω的總質(zhì)量近似地等于和式一、三重積分的概念令λ為這些小立體的最大直徑(直徑定義如前描述)，我們自然會想到，當λ→0時，上面的和式就會趨于這個立體的總質(zhì)量，也就是說，立體Ω的總質(zhì)量為這種和式極限與定積分、二重積分的和式極限結(jié)構(gòu)形式類似.它不僅在質(zhì)量計算中，而且在物理、力學(xué)、工程計算中也經(jīng)常會遇到，由此引出三重積分定義.一、三重積分的概念三重積分定義2.定義2設(shè)f(x,y,z)是空間有界閉區(qū)域Ω上的有界函數(shù).將Ω任意分成n個小閉區(qū)域Δv1,Δv2,…,Δvn，其中Δvi表示第i個小閉區(qū)域，也表示它的體積.在每個Δvi上任取一點(ξi,ηi,ζi)，作乘積f(ξi,ηi,ζi)Δvi(i=1,2,…,n)，如果當各小閉區(qū)域直徑中的最大值λ趨于0時，這個和式極限總存在，則稱此極限為函數(shù)f(x,y,z)在閉區(qū)域Ω上的三重積分，記作即(9-5)

其中dv稱為體積微元.一、三重積分的概念在直角坐標系中，如果用平行于坐標面的平面來劃分Ω，那么，除了包含Ω的邊界點的一些不規(guī)則小閉區(qū)域外，得到的小閉區(qū)域Δvi均為長方體.設(shè)長方體小閉區(qū)域的邊長為Δxj,Δyk,Δzl，則Δvi=ΔxjΔykΔzl.因此，在直角坐標系中，有時也把體積微元dv記作dxdydz，而把三重積分記作Ωf(x,y,z)dxdydz，其中dxdydz稱為直角坐標系中的體積微元.二、三重積分的計算由計算二重積分的方法推廣知，計算三重積分的基本方法是將三重積分化為三次定積分來計算.下面將在不同坐標系下分別討論三重積分化為三次定積分的計算方法，且只限于敘述計算方法，不作理論證明.二、三重積分的計算在直角坐標系下計算三重積分1.1）投影法設(shè)函數(shù)fx,y,z在空間閉區(qū)域Ω上連續(xù)，平行于z軸的任何直線與區(qū)域Ω的邊界曲面S的交點不多于兩個.閉區(qū)域Ω在xOy面上的投影為平面閉區(qū)域Dxy(見圖9-27).以Dxy的邊界為準線作母線平行于z軸的柱面.這柱面與曲面S的交線從S中分出的上、下兩部分，它們的方程分別為S1:z=z1x,y,S2:z=z2x,y,

其中z1x,y,z2x,y在Dxy上連續(xù),并且z1x,y≤z2x,y.圖9-27二、三重積分的計算式(9-8)把三重積分化為先對z、次對x、最后對y的三次積分.二、三重積分的計算(1)類似地，如果平行于x軸或y軸且穿過閉區(qū)域Ω內(nèi)部的直線與Ω的邊界曲面S相交不多于兩點，當把Ω投影到y(tǒng)Oz面上或zOx面上時，也可寫出相應(yīng)的三次積分.(2)若平行于坐標軸且穿過閉區(qū)域Ω內(nèi)部的直線與邊界曲面S的交點多于兩個,可仿照二重積分計算中所采用的方法,將Ω分成若干個小區(qū)域來討論.注二、三重積分的計算【例20】二、三重積分的計算【例21】計算三重積分Ωxdxdydz，其中Ω為三個坐標面及平面x+2y+z=1所圍成的閉區(qū)域.解作閉區(qū)域Ω如圖9-28所示.圖9-28二、三重積分的計算二、三重積分的計算2）截面法計算三重積分也可以化為先計算一個二重積分、再計算一個定積分，即所謂截面法(或先二后一法).設(shè)空間閉區(qū)域

Ω=x,y,zx,y∈Dz,c1≤z≤c2,

其中D

z是豎坐標為z的平面截閉區(qū)域Ω所得到的一個平面閉區(qū)域(見圖9-29)，則有(9-9)圖9-29二、三重積分的計算【例21】二、三重積分的計算3）利用對稱性計算在計算二重積分時，利用積分區(qū)域的對稱性和被積函數(shù)的奇偶性可化簡積分的計算，同理，對三重積分也有類似的結(jié)果.設(shè)f(x,y,z)在空間閉區(qū)域Ω內(nèi)連續(xù).(1)若f(－x,y,z)=－f(x,y,z)，且Ω關(guān)于yOz面對稱或f(x,－y,z)=－f(x,y,z)，且Ω關(guān)于zOx面對稱或f(x,y,－z)=－f(x,y,z)，且Ω關(guān)于xOy面對稱,則二、三重積分的計算(2)若f(－x,y,z)=f(x,y,z)，Ω關(guān)于yOz面對稱，則其中Ω1=x,y,zx,y,z∈Ω,x≥0.同理，對f(x,-y,z)=f(x,y,z),Ω關(guān)于zOx面對稱或f(x,y,-z)=f(x,y,z),Ω關(guān)于xOy面對稱也有類似的結(jié)論.二、三重積分的計算(3)若f(－x,y,z)=f(x,y,z)，f(x,－y,z)=f(x,y,z)，Ω關(guān)于yOz,zOx面對稱，則其中Ω1=x,y,zx,y,z∈Ω,x≥0,y≥0.同理，對f(-x,y,z)=f(x,y,z),f(x,y,-z)=f(x,y,z),Ω關(guān)于yOz,xOy面對稱或f(x,-y,z)=f(x,y,z),f(x,y,-z)=f(x,y,z),Ω關(guān)于zOx,xOy面對稱也有類似的結(jié)論.二、三重積分的計算(4)若f(－x,y,z)=f(x,y,z)，f(x,－y,z)=f(x,y,z)，f(x,y,－z)=f(x,y,z)，Ω關(guān)于yOz,zOx,xOy面對稱，則其中Ω1=x,y,zx,y,z∈Ω,x≥0,y≥0,z≥0.(5)若x,y,z依次輪換(x→y→z→x)后，Ω不變，即Ω關(guān)于x,y,z輪換對稱,則二、三重積分的計算【例24】解A的左邊等于0，右邊大于0，所以A不對；同理B,D不對;Ω1關(guān)于zOx面、yOz面對稱，且f(x,y,z)=z關(guān)于x,y均為偶函數(shù)，又Ω2關(guān)于x,y,z輪換對稱，所以C正確.二、三重積分的計算在柱面坐標系下計算三重積分2.設(shè)M(x,y,z)為空間內(nèi)一點，并設(shè)點M在xOy面上的投影P的極坐標為(ρ,θ)，則這樣的三個數(shù)ρ,θ,z就稱為點M的柱面坐標(見圖9-31)，這里規(guī)定ρ,θ,z的變化范圍為：0≤ρ<+∞,0≤θ≤2π,－∞<z<+∞.三組坐標面分別為ρ＝常數(shù)，即以z軸為軸的圓柱面；θ＝常數(shù)，即過z軸的半平面；

z＝常數(shù)，即與xOy面平行的平面.圖9-31二、三重積分的計算顯然，點M的直角坐標與柱面坐標的關(guān)系為

x=ρcosθy=ρsinθz=z.

(9-10)要把三重積分Ωf(x,y,z)dv中的變量變換為柱面坐標，用三組坐標面ρ＝常數(shù)，θ＝常數(shù)，z＝常數(shù)，把Ω分成許多小閉區(qū)域，除了含Ω的邊界點的一些不規(guī)則小閉區(qū)域外，這種小閉區(qū)域都是柱體.現(xiàn)在考慮由ρ,θ,z各取得微小增量所成的柱體體積(見圖9-32).這個體積等于高與底面積的乘積.其中高為dz，底面積在不計高階無窮小時為ρdρdθ(即極坐標系中的面積微元)，于是得

dv=ρdρdθdz，二、三重積分的計算圖9-32二、三重積分的計算這就是柱面坐標系中的體積微元.再由關(guān)系式(9-10)得其中F(ρ,θ,z)=f(ρcosθ,ρsinθ,z)，式(9-11)就是把三重積分的變量從直角坐標變換為柱面坐標的公式.變量變換為柱面坐標后的三重積分的計算，則可化為三次定積分來進行.化為三次定積分時，積分限應(yīng)根據(jù)ρ,θ,z在積分區(qū)域Ω中的變化范圍來確定，下面通過實例來說明.(9-11)二、三重積分的計算【例25】二、三重積分的計算在球面坐標系下計算三重積分3.設(shè)M(x,y,z)為空間內(nèi)一點，則點M也可用這樣三個有次序的數(shù)r,φ,θ來確定，其中r為原點O與點M之間的距離，φ為有向線段OM與z軸正向所夾的角，θ為從正z軸來看自x軸按逆時針方向轉(zhuǎn)到有向線段OP的角，這里P為點M在xOy面上的投影(見圖9-34).這樣的三個數(shù)r,φ,θ稱為點M的球面坐標，這里r,φ,θ的變化范圍是

0≤r<+∞,0≤φ≤π,0≤θ≤2π.圖9-34二、三重積分的計算三組坐標面分別為：

r＝常數(shù)，即以原點為中心的球面；φ＝常數(shù)，即以原點為頂點，z為旋轉(zhuǎn)軸的圓錐面；θ＝常數(shù)，即過z軸的半平面.設(shè)點M在xOy面上的投影為P，點P在x軸上的投影為A，則OA=x,AP=y，PM=z.又OP=rsinφ,z=rcosφ，因此，點M的直角坐標與球面坐標的關(guān)系為(9-12)二、三重積分的計算現(xiàn)在要把三重積分Ωf(x,y,z)dv中的變量從直角坐標變換為球面坐標.為此，用三組坐標面r＝常數(shù)，φ＝常數(shù)，θ＝常數(shù)，把Ω分成許多個小閉區(qū)域，除了含Ω的邊界點的一些不規(guī)則小閉區(qū)域外，這種小閉區(qū)域都是六面體.現(xiàn)在考慮由r,φ,θ各取得微小增量dr,dφ,dθ所成的六面體體積(見圖9-35).在不計高階無窮小時，這個六面體的體積可看做長方體的體積，其經(jīng)線方向的長為rdφ，緯線方向的寬為rsinφdθ，向徑方向的高為dr，于是得

dv=r2sinφdrdφdθ，這就是球面坐標系中的體積微元.再由關(guān)系式(9-12)得(9-13)二、三重積分的計算圖9-35二、三重積分的計算其中F(r,φ,θ)=f(rsinφcosθ,rsinφsinθ,rcosφ).式(9-13)就是把三重積分的變量從直角坐標變換為球面坐標的公式，對于變量變換為球面坐標后的三重積分的計算，同樣可化為對r、對φ和對θ的三次定積分來進行.化為三次定積分時，積分限應(yīng)根據(jù)r,φ,θ在積分區(qū)域Ω中的變化范圍來確定.若積分區(qū)域Ω的邊界曲面是一個包圍原點在內(nèi)的閉曲面，其球面坐標方程為r=r(φ,θ)，則二、三重積分的計算這就是我們立體幾何中球的體積計算公式.下面通過實例來說明：①在什么情況下利用球面坐標計算三重積分；②如何利用球面坐標來計算三重積分.二、三重積分的計算【例27】求半徑為a的球面與半頂角為α的內(nèi)接錐面所圍成的立體(見圖9-36)的體積.圖9-36二、三重積分的計算二、三重積分的計算【例28】