函數(shù)的極值與最值

函數(shù)的極值與最值函數(shù)的極值與最值理論和生產(chǎn)實踐中很多問題都可歸結(jié)為求某一函數(shù)(通常稱為目標(biāo)函數(shù))的最大值和最小值問題，如在一定條件下，怎樣使“產(chǎn)品最多”“用料最省”“成本最低”“效率最高”等.要解決這些問題，需先討論函數(shù)的極值.本節(jié)主要介紹函數(shù)的極值和最值的求法.

一、函數(shù)的極值及其求法定義1設(shè)函數(shù)f(x)在點x0的某鄰域內(nèi)有定義，若對該鄰域內(nèi)任一點x(x≠x0)，恒有f(x)<f(x0)［或f(x)>f(x0)］,

則稱f(x)在點x0處取得極大值(或極小值)，而x0稱為函數(shù)f(x)的極大值點(或極小值點).

極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值，極大值點與極小值點統(tǒng)稱為函數(shù)的極值點.一、函數(shù)的極值及其求法(1)函數(shù)的極值是局部概念，極值不一定是最值.也就是說，如果f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極大值(或極小值)，那只是就x0鄰近的一個局部范圍來說，對函數(shù)f(x)的整個定義域來說就不一定是最大(或最小)的了.注一、函數(shù)的極值及其求法(2)極值不唯一，極大值不一定比極小值大.如圖4-7所示，函數(shù)f(x)有兩個極大值f(x1)和f(x3)，兩個極小值f(x2)和f(x4)，其中極大值f(x1)比極小值f(x4)還小.圖4-7一、函數(shù)的極值及其求法定理9(必要條件)如果f(x)在點x0處可導(dǎo)，且在x0處取得極值，那么f′(x0)=0.

證不妨設(shè)x0是f(x)的極小值點，由極小值的定義可知，f(x)在點x0的某個鄰域U(x0)內(nèi)有定義，且對于x0+Δx∈U(x0)，恒有

Δy=f(x0+Δx)－f(x0)≥0,

于是一、函數(shù)的極值及其求法因為f(x)在點x0處可導(dǎo)，所以f′(x0)=f′-(x0)=f′+(x0),

從而f′(x0)=0.

根據(jù)定理9，可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點必定是它的駐點，但函數(shù)的駐點卻不一定是極值點.例如，y=x3在點x=0處的導(dǎo)數(shù)等于零，但顯然x=0不是y=x3的極值點.此外，函數(shù)在它的導(dǎo)數(shù)不存在的點處也可能取得極值.例如，函數(shù)f(x)=x在點x=0處不可導(dǎo)，但函數(shù)在該點取得極小值.

一、函數(shù)的極值及其求法當(dāng)求出函數(shù)的駐點或不可導(dǎo)點后，還要從這些點中判斷哪些是極值點，以及進(jìn)一步判斷極值點是極大值點還是極小值點.由函數(shù)極值的定義和函數(shù)單調(diào)性的判定法易知，函數(shù)在其極值點的鄰近兩側(cè)單調(diào)性改變(即函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)的符號改變)，由此可導(dǎo)出關(guān)于函數(shù)極值點判定的一個充分條件.

一、函數(shù)的極值及其求法定理10(第一充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在點x0處連續(xù)，且在x0的某去心鄰域內(nèi)可導(dǎo).

(1)若在點x0的左鄰域內(nèi)，f′(x)>0；在點x0的右鄰域內(nèi)，f′(x)<0，則f(x)在x0處取得極大值f(x0).

(2)若在點x0的左鄰域內(nèi)，f′(x)<0；在點x0的右鄰域內(nèi)，f′(x)>0，則f(x)在x0處取得極小值f(x0).

(3)若在點x0的鄰域內(nèi)，f′(x0)不變號，則f(x)在x0處沒有極值.一、函數(shù)的極值及其求法證(1)由題設(shè)條件，函數(shù)f(x)在點x0的左鄰域內(nèi)單調(diào)增加，在點x0的右鄰域內(nèi)單調(diào)減少，又f(x)在點x0處連續(xù)，故在點x0的去心鄰域內(nèi)任取一點x，有f(x)<f(x0).所以f(x)在x0處取得極大值f(x0).

同理可證(2),(3).

根據(jù)定理9和定理10，若函數(shù)f(x)在所討論的區(qū)間內(nèi)連續(xù)，除個別點外處處可導(dǎo)，則可按下列步驟來求函數(shù)的極值點和極值:

(1)確定函數(shù)f(x)的定義域，并求其導(dǎo)數(shù)f′(x).

(2)求出f(x)的全部駐點與不可導(dǎo)點.

(3)討論f′(x)在駐點和不可導(dǎo)點左、右兩側(cè)鄰近范圍內(nèi)符號變化的情況，確定函數(shù)的極值點.

(4)求出各極值點的函數(shù)值，就得到函數(shù)f(x)的全部極值.一、函數(shù)的極值及其求法求函數(shù)f(x)=(x+2)2(x－1)3的極值.解(1)函數(shù)定義域是(－∞,+∞)，且【例29】一、函數(shù)的極值及其求法【例30】一、函數(shù)的極值及其求法定理11(第二充分條件)設(shè)函數(shù)fx在點x0處具有二階導(dǎo)數(shù),且f′x0=0,f″x0≠0,則(1)當(dāng)f″x0<0時,函數(shù)fx在點x0處取得極大值.

(2)當(dāng)f″x0>0時,函數(shù)fx在點x0處取得極小值.

一、函數(shù)的極值及其求法證對情形(1)，由于f″(x0)<0，按二階導(dǎo)數(shù)的定義一、函數(shù)的極值及其求法求函數(shù)f(x)=x3－3x的極值.解f′(x)=3x2－3,f″(x)=6x.令f′(x)=0,求得駐點x1=－1,x2=1.因f″(1)=6>0,故極小值是f(1)=－2.由于f″(－1)=－6<0,故極大值是f(－1)=2.如果函數(shù)在駐點處的二階導(dǎo)數(shù)為零，則定理11失效，這種情況必須使用定理10判斷.【例31】一、函數(shù)的極值及其求法求函數(shù)f(x)=(x2－1)3+1的極值.解函數(shù)的定義域為－∞,+∞.由f′(x)=6x(x2－1)2，得函數(shù)的駐點為x1=－1,x2=0,x3=1.由f″(x)=6(x2－1)(5x2－1)，得f″(0)=6>0，由定理11知，x=0為函數(shù)的極小值點，但f″(－1)=f″(1)=0，定理11對x=±1失效，因此改用定理10.因為f′(x)在區(qū)間(－∞,－1),(－1,0)內(nèi)同號(均為負(fù))，在區(qū)間(0,1),(1,+∞)內(nèi)也同號(均為正)，所以x=±1均不是函數(shù)的極值點，函數(shù)只有極小值f(0)=0.【例32】二、函數(shù)的最值及其求法假定函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)，則函數(shù)在該區(qū)間上必取得最大值和最小值.函數(shù)的最大(小)值與函數(shù)的極大(小)值是有區(qū)別的，前者是指在整個閉區(qū)間［a,b］上的所有函數(shù)值中最大(小)的，因而最大(小)值是全局性的概念.但是，如果函數(shù)的最大(小)值在(

a,b

)內(nèi)達(dá)到，則最大(小)值同時也是極大(小)值.此外，函數(shù)的最大(小)值也可能在區(qū)間的端點處達(dá)到.二、