含參變量的積分

含參變量的積分第五節(jié)含參變量的積分本節(jié)不僅給出含參變量積分確定的函數(shù)的連續(xù)性、可微性、二次積分可交換性、求導公式，還通過例子進一步說明如何用這些性質(zhì)計算一些特殊類型的定積分.設f(x,y)是定義在矩形區(qū)域［a,b］×［c,d］上的連續(xù)函數(shù)，在a,b上任意取定x的一個值，于是f(x,y)是變量y在c,d上的一個一元連續(xù)函數(shù)，從而積分存在，這個積分依賴于取定的x值.當x的值改變時，一般來說這個積分的值也跟著改變.這個積分確定一個定義在a,b上的x的函數(shù)，記為φ(x)，即

（9-19）其中x在積分過程中是一個常量，稱為參變量，稱為含參變量x的積分.下面討論函數(shù)φ(x)的一些性質(zhì).第五節(jié)含參變量的積分如果函數(shù)f(x,y)在矩形［a,b］×［c,d］上連續(xù)，那么函數(shù)φ(x)在［a,b］上也連續(xù).定理1第五節(jié)含參變量的積分證明由于f(x,y)在［a,b］×［c,d］上連續(xù)，從而一致連續(xù)，因此對于

使得對于［a,b］×［c,d］內(nèi)的任意兩點，當時，有特別地，任取時，對于均有第五節(jié)含參變量的積分于是,由式(9-19)有所以φ(x)在點x0連續(xù).由點x0的任意性可知,φ(x)在［a,b］上連續(xù).下面研究φ(x)的可導性.第五節(jié)含參變量的積分如果函數(shù)f(x,y)及其偏導數(shù)fx(x,y)都在矩形［a,b］×［c,d］上連續(xù)，那么函數(shù)φ(x)在［a,b］上可導，且

（9-20）定理2第五節(jié)含參變量的積分證明對于a,b內(nèi)任一點x，設x+Δx∈a,b，則由拉格朗日中值定理及fxx,y在a,b×c,d上連續(xù)（從而一致連續(xù)），對0,只要

時，有其中θ∈0,1.因此故公式(9-20)成立.第五節(jié)含參變量的積分若函數(shù)f(x,y)在矩形［a,b］×［c,d］上連續(xù)，則定理3第五節(jié)含參變量的積分證明令由定理1知上連續(xù)，從而

令由于函數(shù)上連續(xù)，所以都在［a,b］×［c,d］上連續(xù)，由定理2知第五節(jié)含參變量的積分

于是,因此對(C為常數(shù)).又F(a)=0=G(a)，所以特別地，F(xiàn)(b)=G(b)，即第五節(jié)含參變量的積分以上所討論的含參變量積分，其上、下限c與d都為常數(shù).實際上還會遇到上、下限依賴于x的情況，即形如的含參變量x的積分.下面考慮這種更為廣泛地依賴于參變量的積分的某些性質(zhì).第五節(jié)含參變量的積分如果函數(shù)f(x,y)在矩形［a,b］×［c,d］上連續(xù)，函數(shù)u(x)與v(x)在區(qū)間［a,b］上連續(xù)，且

c≤u(x)≤d,c≤v(x)≤d(a≤x≤b).(1)函數(shù)Φ(x)在［a,b］上也連續(xù).(2)若fx(x,y)也在矩形［a,b］×［c,d］上連續(xù)，函數(shù)u(x)與v(x)在區(qū)間［a,b］上可導，則函數(shù)Φ(x)在［a,b］上也可導，且

（9-21）定理4第五節(jié)含參變量的積分證明

(1)對于x,x+Δx∈［a,b］，有

（9-22）當Δx→0時，式(9-22)右端的第一個積分趨近于零（與證明定理1時同樣的理由）.由積分中值定理和函數(shù)f(x,y)的連續(xù)性可知第五節(jié)含參變量的積分其中M是fx,y在［a,b］×［c,d］上的最大值.根據(jù)函數(shù)u(x)與v(x)在區(qū)間［a,b］上連續(xù)的假定，由以上兩式可見，式(9-22)后兩個積分都趨近于零，故當Δx→0時，所以函數(shù)Φ(x)在［a,b］上連續(xù).第五節(jié)含參變量的積分(2)對于x,x+Δx∈［a,b］，由式（9-22）得

（9-23）當Δx→0時，與證明定理2時同樣的理由,式(9-23)右端的第一個積分對于式(9-23)右端的第二項，應用積分中值定理得第五節(jié)含參變量的積分其中ξ在v(x)與v(x+Δx)之間.當Δx→0時，于是同理可證，當Δx→0時，因此，在式(9-23)的兩邊取極限（當Δx→0時），即得公式（9-21）.公式(9-21)稱為萊布尼茨公式.第五節(jié)含參變量的積分設

解由萊布尼茨公式，得【例1】第五節(jié)含參變量的積分求

解因為所以這里函數(shù)f(x,y)=xy在矩形［0,1］