2023年新高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新題型微專題（數(shù)學(xué)文化、新定義）專題08 數(shù)列專題（新定義）（解析版）

2023年新高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新題型微專題（數(shù)學(xué)文

化、新定義）專題08數(shù)列專題（新定義）

一、單選題

1.（2023春?甘肅張掖?高二高臺(tái)縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）對(duì)于正項(xiàng)數(shù)列｛〃“｝中，定義：

G”+2生+3：+…+以為數(shù)列｛q｝的,，勻稱值，，已知數(shù)列｛q｝的“勻稱值”為G.=〃+2,則該數(shù)列中的

%=（）

812921

A.-B.—C.-D.—

3541（）

2.（2023春?浙江?高二開(kāi)學(xué)考試）對(duì)任意工整數(shù)對(duì)6,々），定義函數(shù)/SM）如下：/（1,力=1,

++?=（；-!）/（/,；）,/＜；,則（）

A./（J+l,J）=lB./（/J）=2C；1

C.![/?/（/,J）]=J-（2y-l）D.￡￡["（。川=20+〃-2

I-IJ=1J=1

3.（2023春?安徽?高二合肥市第八中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）定義:對(duì)于數(shù)列｛4｝,如果存在一個(gè)常數(shù)7（TeN）,

使得對(duì)任意的正整數(shù)〃N〃o恒有4+『=4，則稱數(shù)列｛4｝是從第〃。項(xiàng)起的周期為T的周期數(shù)列.已知周期數(shù)

列｛2』滿足：3=1,3=3,bn=bz-bn-2（〃23）,則篇23=（）

A.-1B.-3C.-2D.1

C

4.（2023秋?福建南平?高二統(tǒng)考期末）若數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為，，〃=李，則稱數(shù)列也｝是數(shù)列｛4｝的“均

值數(shù)列”.已知數(shù)列也｝是數(shù)列｛%｝的“均指數(shù)歹廣且〃=〃，設(shè)數(shù)列?瓦金丁的前〃項(xiàng)和為小若

；_機(jī)+6-3）＜7；對(duì)〃wN?恒成立，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為（）

A.[-1,2]B.（-1,2）

C.（華，一1）D（N+8）D.（^?,-l]u[2,+oo）

5.（2023秋?山西長(zhǎng)治?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）對(duì)于一個(gè)〃項(xiàng)數(shù)列

A:ava2,,an,Sk=ax+a2++4(14W拉,&tN),記A的“Cesam平均值”為'(￡+S?++Sn),若數(shù)列

4,生，…，4(no的“Cesam平均值”為2022，數(shù)列乂4，的,…,喊的“Cesmv平均值”為2046,則X=()

A.24B.26C.1036D.1541

6.(2023春?湖北咸寧?高二?？奸_(kāi)學(xué)考試：等比數(shù)列｛叫中4=512,公比用口“=4。??…%表示

它的前〃項(xiàng)之積，則n?n2,山中最大的是()

A.nHB.nI0c.n9D.n8

7.(2022秋?北京?高二北京二中?？计谀?如果數(shù)列｛4｝滿足?：-空=女"為常數(shù))，那么數(shù)列｛q｝叫做

等比差數(shù)列，上叫做公比差.下列四個(gè)結(jié)論中所有正確結(jié)論的序號(hào)是()

①若數(shù)列｛勺｝滿足竽=2〃，則該數(shù)列是等比差數(shù)列；

②數(shù)列｛m2”｝是等比差數(shù)列；

③所有的等比數(shù)列都是等比差數(shù)列；

④存在等差數(shù)列是等比差數(shù)列.

A.①②③B.???C.①②④D.②③④

8.(2019秋?北京?高三101中學(xué)?？茧A段練習(xí))定義在(y,0)U(0,w)上的函數(shù)/(%),如果對(duì)于任意給定

的等比數(shù)列｛4｝,｛/(4)｝仍是等比數(shù)列，則稱/(力為“保等比數(shù)列函數(shù)現(xiàn)有定義在(-8,0)1)(0,侄)上

的如下函數(shù)：①/'5)=/；②〃"=2，；③f(x)=3@/(x)=ln|A|,其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的序號(hào)為

()

A.①②B.③④C.①③D.②④

12

9.(2023秋?吉林?高二吉林一中?？计谀?若數(shù)列｛《,｝滿足^——-=0,則稱｛4｝為“必會(huì)數(shù)列”，已知正

項(xiàng)數(shù)列｛〃”｝為“必會(huì)數(shù)列”，若4+4=3,則生+生=().

A.-B.1C.6D.12

9

10.(2022秋?陜西渭南?高二統(tǒng)考期末)設(shè)｛凡｝是無(wú)窮數(shù)列，若存在正整數(shù)底使得對(duì)任意的〃wN?，均有

為“＞凡，則稱｛%｝是間隔遞增數(shù)列，上是｛4｝的間隔數(shù).若也｝是間隔遞增數(shù)列，則數(shù)列低｝的通項(xiàng)不可熊

是()

9

A.b=2n—B.b=3n+\

nnn

Ca二1一/D-2二一〃（一2）”

11.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）對(duì)于數(shù)列&｝,若存在正整數(shù)人（&N2）,使得勺＜見(jiàn)一用＜4+1,則稱4是

...Q

數(shù)列｛/｝的“谷值”，2是z數(shù)列｛%｝的“谷值點(diǎn)”.在數(shù)列｛4｝中，若勺=〃+7—8,則數(shù)列｛%｝的“谷值點(diǎn)”為

（）

A.2B.7C.2,7D.2,5,7

12.（2023?全國(guó)?高二專題練習(xí)）若數(shù)列｛q｝滿足。川=2%-1,則稱｛叫為“對(duì)奇數(shù)列”.已知正項(xiàng)數(shù)列出+1｝

為“對(duì)奇數(shù)列”，且4=2,則勿=（）

A.2X3"TB.2n~'C.2n+,D.2”

13.（2022春?遼寧葫蘆島?高二校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)a（a“）表示落在區(qū)間［小凡］內(nèi)的偶數(shù)個(gè)數(shù).在等比數(shù)列

｛4一〃｝中，q=4,a2=11,則/2（%）=（）

A.21B.20C.41D.40

14.（2023春?湖北?高三黃岡中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）對(duì)于數(shù)列｛4｝,定義兒=。產(chǎn)2%++2"-4為數(shù)列｛q｝

的“加權(quán)和”，已知某數(shù)列｛4｝的“加權(quán)和”4=小2日,記數(shù)列｛4+p日的前〃項(xiàng)和為均,若毒ME對(duì)任意的

〃三N'恒成立，則實(shí)數(shù)p的取值范圍為（）

A-B-LT,-3JL2,_TJD.「〒工

15.（2023全國(guó)高三專題練習(xí)）若數(shù)列但｝滿足；若"一包（加,〃￡1＜）,則%則稱數(shù)列｛紇｝為“等

同數(shù)列已知數(shù)列｛為｝滿足％=5,且4=〃（。向-可），若“等同數(shù)列”也｝的前〃項(xiàng)和為3，且々=4=也，

4=/，S5=?|0,則Swz=（）

A.4711B.4712C.4714D.4718

16.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列k｝,若存在常數(shù)，對(duì)任意小的正數(shù)L總存在正整數(shù)〃°,當(dāng)〃2%

時(shí)，同一|＜$,則數(shù)列｛4｝為收斂數(shù)列.下列關(guān)于收斂數(shù)列說(shuō)法正確的是（）

A.若等比數(shù)列｛《,｝是收斂數(shù)列，則公比夕￡（0,1）

B.等差數(shù)列不可能是收斂數(shù)列

C.設(shè)公差不為。的等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為s.(s“/0),則數(shù)列9一定是收斂數(shù)列

D.設(shè)數(shù)列血｝的前〃項(xiàng)和為S“，滿足4=1,Sz=4+1,則數(shù)列｛4｝是收斂數(shù)列

17.(2022春?安徽亳州?高三蒙城縣第六中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試)設(shè)數(shù)列｛4｝：《，的，…，/?！?2),若

存在公比為夕的等比數(shù)列｛與向｝:存吊，…,%，使得<如，其中—1,2,則稱數(shù)列出向｝

為數(shù)列｛4｝的“等比分割數(shù)列”.若數(shù)列｛A。｝的通項(xiàng)公式為4=2”(〃=12…，⑼,其“等比分割數(shù)列”｛品｝的

首項(xiàng)為1，則數(shù)列｛昂｝的公比g的取值范圍是()

A.便,2)B.(2科,2)C.(2,2,D.(2,2,

18.(2022春?江蘇無(wú)錫?高二江蘇省江陰市第一中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試)若數(shù)列｛劭｝滿足

a2-^ai<a3-^a2<-<an-an_x<....則稱數(shù)列｛〃〃｝為“半差遞增”數(shù)列.已知“半差遞增”數(shù)列｛c〃｝的前〃

項(xiàng)和S〃滿足S“+2c”=2f-l(〃eN.),則實(shí)數(shù)，的取值范圍是()

A.(-8,g)B.(-co,1)

C.(―,4-co)D.(1,+cc)

19.(2022?浙江?高二學(xué)業(yè)考試)通過(guò)以下操作得到一系列數(shù)列：第1次，在2,3之間插入2與3的積6,

得到數(shù)列2,6,3；第2次，在2,6,3每?jī)蓚€(gè)相鄰數(shù)之間插入它們的積，得到數(shù)列2,12,6,18,3；類

似地，第3次操作后，得到數(shù)列：2,24,12,72,6,108,18,54,3.按上述這樣操作11次后，得到的數(shù)

列記為｛?,｝,則6物的值是()

A.6B.12C.18D.108

二、多選題

20.(2022秋?安徽阜陽(yáng)?高三安徽省臨泉第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))若數(shù)列｛卬｝滿足：對(duì)任意正整數(shù)

〃，何+「叫為遞減數(shù)列，則稱數(shù)列㈤｝為“差遞減數(shù)列給出下列數(shù)列｛叫(aN*),其中是“差遞減數(shù)歹『

的有：)

2

A.a?=2"B.an=n

C.an=4nD.4=121

21.（2023春?江西新余?高二新余市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）若數(shù)列｛可｝滿足：3ABeR,ABwO,使得對(duì)

于都有/=+則稱｛%｝具有“三項(xiàng)相關(guān)性”，下列說(shuō)法正確的有（）.

A.若數(shù)列｛外｝是等差數(shù)列，則｛〃“｝具有，三項(xiàng)相關(guān)性”

B.若數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列，則｛4｝具有“三項(xiàng)相關(guān)性”

C.若數(shù)列｛%｝是周期數(shù)列，則｛為｝具有“三項(xiàng)相關(guān)性”

D.若數(shù)列｛4｝具有正項(xiàng)“三項(xiàng)相關(guān)性“，且正數(shù)A,3滿足A+l=8,6+6=8,數(shù)歹U｛2｝的通項(xiàng)公式為

hn=B\｛q｝與低｝的前〃項(xiàng)和分別為S.，T”,則對(duì)版S“<7；恒成立

22.（2023春?廣東惠州?高三?？茧A段練習(xí)）斐波那契數(shù)列又稱黃金分割數(shù)列，因數(shù)學(xué)家列昂納多?斐波那契

以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”.斐波那契數(shù)列用遞推的方式可如下定義：用/表示斐波

那契數(shù)列的第〃項(xiàng)，則數(shù)列｛%｝滿足：4=1=1,4+2=4+I+4，記之4=4+6+…+凡，則下列結(jié)論正

i=l

確的是（）

A.數(shù)列｛4｝是遞增數(shù)列B.2an=an_2+an+l（n>3）

20222021

a

C.E4=生022,。2023D.Zi="2023-1

r=l*=1

23.（2023秋?河北邯鄲?高二統(tǒng)考期末）若｛凡｝不是等比數(shù)列，但｛凡｝中存在互不相同的三項(xiàng)可以構(gòu)成等比

數(shù)列，則稱｛4｝是局部等比數(shù)列.下列數(shù)列中是局部等比數(shù)列的是（）

A.12）"+8｝B,｛白｝C.｛9-右｝D.廳+25｝

24.（2023春?安徽蚌埠?高二蚌埠二中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列伍力是各項(xiàng)均為正數(shù)且公比不等于1的等比

數(shù)列（叱N）對(duì)于函數(shù)f（x）,若數(shù)列｛座&）｝為等差數(shù)列，則稱函數(shù)〃力為“保比差數(shù)列函數(shù)”，則定義

在（0,"）上的如下函數(shù)中是“保比差數(shù)列函數(shù)”的有（）

A.為“保比差數(shù)列函數(shù)“B.“力二/為，，保比差數(shù)列函數(shù)，，

C.〃x）=e，為“保比差數(shù)列函數(shù)"D.〃力=正為“保比差數(shù)列函數(shù)”

25.（2022秋?福建福州?高二校聯(lián)考期末）在數(shù)列｛4｝中，若d-43=p（〃N2EcN.,p為常數(shù)），則稱｛4｝為

“平方等差數(shù)列下列對(duì)“平方等差數(shù)列”的判斷，其中正確的為（）

A.｛（-2）”｝是平方等差數(shù)列

B.若｛4｝是平方等差數(shù)列，則｛〃；｝是等差數(shù)列

C.若｛&｝是平方等差數(shù)列，則｛也十可出bwNd力為常數(shù)）也是平方等差數(shù)列

D.若｛叫是平方等差數(shù)列，則｛傳用,｝（￡beN*A。為常數(shù)）也是平方等差數(shù)列

26.（2023秋?山西呂梁?高二統(tǒng)考期末）定義：在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入此兩項(xiàng)的積，形成新的數(shù)列，

這樣的操作叫作該數(shù)列的一次“美好成長(zhǎng)將數(shù)列1，4進(jìn)行“美好成長(zhǎng)”，第一次得到數(shù)列1,4,4；第二

次得到數(shù)列1,4,4,16,4,L，設(shè)第九次“美好成長(zhǎng)”后得到的數(shù)列為1出占1,外,4,并記

=log4（lx^xx,xLXXAX4）,則（）

A.%=5B.all+l=3an-\

C.k=2n+\D.數(shù)列｛〃q｝的前〃項(xiàng)和為3””（2〃7）；3+2〃（l+〃）

27.（2023春?安徽?高二合肥市第八中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）在數(shù)學(xué)課堂上，教師引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造新數(shù)列：在數(shù)

列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入此兩項(xiàng)的和，形成新的數(shù)列，再把所得數(shù)列按照同樣的方法不斷構(gòu)造出新的數(shù)列，

將數(shù)列1,2進(jìn)行構(gòu)造，第1次得到數(shù)列1,3,2；第2次得到數(shù)列1,4,3,5,2；…；第次得

到數(shù)列1,為，*2，均，…，冗,2.記?！?1+玉+%2+…+a+2,數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為S”，則（）

A.q=42B.。向=3。n-3

C.《=飄+3〃）D.W=33%2〃-3）

三、填空題

28.（2022春?上海長(zhǎng)寧?高二上海市延安中學(xué)?？计谥校?duì)于數(shù)列｛g｝,若存在正整數(shù)川，使得對(duì)任意正整

數(shù)〃，都有?！?可。（其中夕為非零常數(shù)），則稱數(shù)列｛〃“｝是以加為周期，以1為周期公比的“類周期性等

比數(shù)列”.若“類周期性等比數(shù)列”的前4項(xiàng)為1,1,2,3,周期為4,周期公比為3,則數(shù)列｛凡｝前21項(xiàng)的和

為

29.（2022秋?福建泉州.高二統(tǒng)考期末）對(duì)于數(shù)列｛叫，記：型）=」包，△￡）=請(qǐng)，△*=,，…，△?=消

（其中〃￡N'）,并稱數(shù)列｛△?｝為數(shù)列｛%｝的k階商分?jǐn)?shù)列.特殊地，當(dāng)｛△*｝為非零常數(shù)數(shù)列時(shí)，稱數(shù)列｛q｝

20

是々階等比數(shù)歹U.已知數(shù)列｛%｝是2階等比數(shù)列，且4=2,%=2048,d3=2,若則

30.（2023?河南鄭州?統(tǒng)考一模）“外觀數(shù)歹獷是一類有趣的數(shù)列，該數(shù)列由正整數(shù)構(gòu)成，后一項(xiàng)是前一項(xiàng)的“外

觀描達(dá)例如：取笫一項(xiàng)為1，將其外觀描述為“1個(gè)1”，則第二項(xiàng)為11;將描述為“2個(gè)1”，則第三項(xiàng)為

21；將21描述為“1個(gè)2,1個(gè)1”，則第四項(xiàng)為1211；將12n描述為力個(gè)1,1個(gè)個(gè)2個(gè)1”,則第五項(xiàng)為

111221,這樣每次從左到右將連續(xù)的相同數(shù)字合并起來(lái)描述，給定首項(xiàng)即可依次推出數(shù)列后面的項(xiàng).則

對(duì)于外觀數(shù)列｛q｝,下列說(shuō)法正確的有.

①若4=3,則從4開(kāi)始出現(xiàn)數(shù)字2；

②若％=k（攵=1,2,3,…，9）,則的最后一個(gè)數(shù)字均為匕

③｛q｝不可能為等差數(shù)列或等比數(shù)列：

④若q=123,則勺均不包含數(shù)字4.

31.（2023秋?內(nèi)蒙占阿拉善盟?高三阿拉善盟第一中學(xué)?？计谀┰O(shè)數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S〃，對(duì)任意〃GN

都有為+。向=，G為常數(shù)），則稱該數(shù)列為*數(shù)列“，若數(shù)列｛q｝為“2數(shù)列"，且4=-1,則$2023=.

32.（2023秋?寧夏吳忠?高二吳忠中學(xué)?？计谀┒x〃個(gè)正數(shù)外P2，…,區(qū)的“均倒數(shù)”為，：上，若

各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛an｝的前〃項(xiàng)的“均倒數(shù)，，為高，則％儂的值為

33.（2023秋?安徽淮北?高二淮北一中?？计谀?duì)給定的數(shù)歹叫4｝（見(jiàn)工0）,記2=也，則稱數(shù)列｛〃｝為

“fl

數(shù)列幾｝的一階商數(shù)列；記。二導(dǎo)，則稱數(shù)列｛。“｝為數(shù)列｛4｝的二階商數(shù)列；以此類推，可得數(shù)列｛&｝的

產(chǎn)階商數(shù)列（PcN）已知數(shù)列應(yīng)｝的二階商數(shù)列的各項(xiàng)均為e,且4=1,2=1,則4。=.

34.（2022秋?上海?高二期中）定義:對(duì)于任意數(shù)列｛4｝,假如存在一個(gè)常數(shù)。使得對(duì)任意的正整數(shù)〃都有a“〈a.

且㈣%="，則稱0為數(shù)列｛%｝的“上漸近值已知數(shù)列｛?！埃?=。，生=〃（〃為常數(shù)，且〃>°）,它的前〃

項(xiàng)和為S“，并且滿足S”=運(yùn)/），令％=2+學(xué)，記數(shù)列｛四+0++P”-方｝的“上漸近值''為h則

2°n+l%+2

100乃3,士生

cos——的值為

35.（2023?高二課時(shí)練習(xí)）定義：各項(xiàng)均不為零的數(shù)列｛&｝中，所有滿足4<0的正整數(shù)i的個(gè)數(shù)稱為這

4

個(gè)數(shù)列｛凡｝的變號(hào)數(shù).已知數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和S“=〃2—6〃+a（neN\。=5）,令4="，~（〃wN）,

若數(shù)列｛q｝的變號(hào)數(shù)為2,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

36.（2023春?湖北襄陽(yáng)?高二襄陽(yáng)市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列｛q｝滿足%=b°g（〃+［）n>2nwN'

定義使qqq4（"N*）為整數(shù)的上叫做“幸福數(shù)”，則區(qū)間［L2022］內(nèi)所有“幸福數(shù)”的和為.

37.（2022春?高二單元測(cè)試）對(duì)于任意一個(gè)有窮數(shù)列，可以通過(guò)在該數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入這兩項(xiàng)的

之和，構(gòu)造一個(gè)新的數(shù)列，現(xiàn)對(duì)數(shù)列1,5進(jìn)行構(gòu)造，第1次得到數(shù)列1,6,5,第2次得到數(shù)列1,7,6,

11,5,依此類推，第〃次得到數(shù)列1,與，x『與，…，5.記第〃次得到的數(shù)列的各項(xiàng)之和為S“，則｛S.｝

的通項(xiàng)公式2=.

38.（2022?黑龍江綏化?綏化市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）定義：若有窮數(shù)列《，出，…，%（〃eN）,滿足q=勺，

%=%，…，4=4,即（iwN，,且14區(qū)〃），則稱該數(shù)列為“對(duì)稱數(shù)列若數(shù)列也｝是項(xiàng)數(shù)

為201（左€4）的對(duì)稱數(shù)列，且％,b……,砥」構(gòu)成首項(xiàng)為30,公差為-2的等差數(shù)列，記數(shù)列低｝的

前24-1項(xiàng)的和為S21，則S2k取得最大值時(shí)k的值為.

39.（2020秋?陜西咸陽(yáng)?高二咸陽(yáng)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和

為同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列稱為等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)稱為該數(shù)列的公和.已知數(shù)列｛q｝是等和數(shù)列，且

4=-2,出g=8,則這個(gè)數(shù)列的前2020項(xiàng)的和為.

40.（2020秋?陜西咸陽(yáng)?高二咸陽(yáng)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的積

為同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列稱為等積數(shù)列，這個(gè)常數(shù)稱為該數(shù)列的公積.已知數(shù)列｛“”｝是等積數(shù)列，且

卬=-2,公積為5,那么這個(gè)數(shù)列的前2（）20項(xiàng)的和為一.

四、解答題

41.（2023秋?上海浦東新?高二上海南匯中學(xué)?？计谀┰O(shè)數(shù)列｛為｝的前〃項(xiàng)和為S”.若

1<^-<2（/i€N,n>l）,則稱｛%｝是“緊密數(shù)列”.

⑴已知數(shù)列｛叫是“緊密數(shù)列”，其前5項(xiàng)依次為,尹三,求x的取值范圍；

⑵若數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“=；（1+3）判斷｛4｝是否是“緊密數(shù)列”，并說(shuō)明理由；

（3）設(shè)數(shù)列｛%｝是公比為q的等比數(shù)歹IJ.若數(shù)列｛為｝與｛S,J都是“緊密數(shù)列”，求夕的取值范圍.

42.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))對(duì)于給定的正整數(shù)上若數(shù)列｛4｝滿足:

%.+%.+1+...+&T+a0+i+...+4皿+4.?=2姐,，對(duì)任意正整數(shù)〃(〃>幻總成立，則稱數(shù)列｛q｝是“P⑷

數(shù)列若數(shù)列｛“〃｝既是"P(2)數(shù)列”，又是“P(3)數(shù)列”，證明：｛%｝是等差數(shù)列.

43.(2023春?安徽淮北?高二淮北師范大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí))如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)都是實(shí)數(shù)，且

從第2項(xiàng)開(kāi)始，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的平方差是相同的常數(shù)，則稱該數(shù)列為等方差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列

的公方差.

(I)設(shè)數(shù)列｛%｝(q>())是公方差為P(P>0)的等方差數(shù)列，且6=1,求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列｛q｝既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，證明：數(shù)列｛〃“｝為常數(shù)列.

44.(2022春?上海黃浦?高三?？茧A段練E)對(duì)于給定數(shù)列｛%｝,如果存在實(shí)常數(shù)P、q使得=對(duì)

于任意〃eN”都成立，我們稱數(shù)列｛%｝是“M類數(shù)列”.

(1)若%=2〃,—W€N\數(shù)列｛%｝、｛"｝是否為類數(shù)列”？

⑵若數(shù)列應(yīng)｝是類數(shù)列”,求證：數(shù)列甩+q+J也是類數(shù)列”；

(3)若數(shù)列｛凡｝滿足4=2,4+可討=3/，為常數(shù).求數(shù)列｛〃“｝前2022項(xiàng)的和.

45.(2023?高二課時(shí)練習(xí))定義：稱工：,為〃個(gè)正數(shù)Pi，P-…,心，的“均倒數(shù)已知數(shù)列｛q｝

Pl+P二十…十Pn

的前〃項(xiàng)的“均倒數(shù)”為工，

⑴求｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)試判斷并說(shuō)明q+i-q(〃為正整數(shù))的符號(hào)；

(3)設(shè)函數(shù)/(力=-/+4%-嘉，是否存在最大的實(shí)數(shù)九，當(dāng)“。時(shí)，對(duì)于一切的自然數(shù)〃都有f(x)W0.

專題08數(shù)列專題(新定義)

一、單選題

1.(2023春?甘肅張掖?高二高臺(tái)縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí))對(duì)于正項(xiàng)數(shù)列｛〃”｝中，定義：

G,=巴墳土學(xué)土士%為數(shù)列｛《,｝的.，勻稱值，，己知數(shù)列｛q｝的，，勻稱值，，為伉=〃+2,則該數(shù)列中的

4o=()

8n12八9r21

A.-B.—C.-D.—

35410

【答案】D

【分析】確定〃G,=〃(〃+2)=4+2%+%+…+〃q,取〃=10和〃=9帶入式子，相減得到答案.

【詳解】0=4+物+3：3+-+〃可=〃+2,即〃G.=〃5+2)=4+%+34+3+W.，

故q+2%+物+…+l()4o=10x(10+2)；4+24+物+???+%=9x(9+2)；

21

兩式相減得10%=21,所以%=木.

故選：D

2.(2023春?浙江?高三開(kāi)學(xué)考試)對(duì)任意工整數(shù)對(duì)("幻，定義函數(shù)/(〃,2)如下：/(1J)=I,

A.+B./(/J)=2C；1

C.知產(chǎn)./(")]=D.￡為"),力]=2"+/一2

l-lj=\J=l

【答案】c

【分析】根據(jù)新定義得,令i=J即可判斷A,根據(jù)

=fg)二卜2〃4,j)J3

累乘可判斷B,利用二項(xiàng)式定理求得

川,j)27(2,j)3)(3,j)4

C+C+…+C=2”-1,結(jié)合￡[產(chǎn)/(3)]=史C”/(2，-l)判斷c,￡￡["?，/)]=力(2一),結(jié)

1=1r=17-I/-I7-I

合等比數(shù)列的前〃頂和公式判斷D.

【詳解】?.c”j)=g)小加鑼唱,

令，=人則。+?=0,"。+1，力=0,A錯(cuò)誤；

,./(2,j)_j-1/(3J)_j-2/(4J),f-3+l

'/(IJ)-27(2J)~3V(3J)~4'…'/(I,j)-i

累乘得：^二0一4一2)(丁3)(缶+D」

/(I,j)2x3x4x5x-xzj

???/aj)=i,.-jaj)=；cm),令j=[,則B錯(cuò)誤；

因?yàn)?l+l)"=C：+C；+C：+??+€：；；,所以C；+C：+?+C：=2"—1,

立產(chǎn)/Uj)卜皮c；=J(2y-1),則C正確;

r-l/-I

之%j??]=汽(2/-1)=2(：：")一〃=2fl+,-w-2,則D錯(cuò)誤.

>1/=1j=l1-2

故選：c.

3.（2023春?安徽?高二合肥市第八中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）定義:對(duì)于數(shù)列｛《｝,如果存在一個(gè)常數(shù)7（TeN）,

使得對(duì)任意的正整數(shù)〃。恒有/訂=4,則稱數(shù)列｛4｝是從第〃。項(xiàng)起的周期為T的周期數(shù)列.已知周期數(shù)

列｛〃』滿足：白=1,b2=3,一如（?>3）,則/23=（）

A.-1B.-3C.-2D.1

【答案】D

【分析】寫出周期數(shù)列圾｝的前幾項(xiàng)，發(fā)現(xiàn)周期為6,進(jìn)而求得怎23的值.

【詳解】寫出周期數(shù)列他｝的前幾項(xiàng)：

19392,—1,—3,—2，I，3,2,—1,—3,—2，1,...，

發(fā)現(xiàn)周期數(shù)列｛a｝是周期為6的周期數(shù)列，

??^2023=4:37x6+1=4=1?

故選：D.

q

4.（2023秋?福建南平?高二統(tǒng)考期末）若數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為2，b普,則稱數(shù)列也｝是數(shù)列｛q｝的“均

值數(shù)列”.已知數(shù)列出｝是數(shù)列｛%｝的“均管數(shù)歹廣且瓦=〃，設(shè)數(shù)列?瘋］施］，的前〃項(xiàng)和為刊，若

3(>—〃7+6-3)<7；對(duì)〃wN?恒成立，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為()

A.[-1,2]B.(-1,2)

C.(^o,-l)<J(2,+oo)D.(^ao,-l]u[2,-H?)

【答案】B

【分析】由新定義求得S”，然后由a'uS，-Si求得?！?，從而可求得。(裂項(xiàng)相消法)后得空的最小值，解

相應(yīng)不等式可得結(jié)論.

【詳解】由題意2=〃，即篦二川，

n

*12*52

:.〃22時(shí)，an=S“-S”T=w-(n-l)=2n-\,

又％=￡=1,，〃wN*時(shí)，an=2n-\,

11+

M+J2n-l+\!2n+l2

5省-16一百j2n+\->j2n-l，2〃+1-1

1,=---------1--------------FH------------------------=---------------?

“2222

易知｛叵?二§是遞增數(shù)列，.?.｛后?-1｝的最小值是與1(〃=1時(shí)取得)，

由題意g(m2-ni+x/3-3)<坦2],解得-1<w<2.

故選：B.

5.(2023秋?山西長(zhǎng)治?高三校聯(lián)考階段練習(xí))對(duì)于一個(gè)〃項(xiàng)數(shù)列

A:ava2,,an,Sk=a｝+a2++%(1WkeN’)，記人的“050?平均值”為：(5]+52++5.)，若數(shù)列

4，％，…，4(HO的平均值”為2022，數(shù)歹11“，4，,，…，4oio的“。如白2平均值”為2046，貝ljx=()

A.24B.26C.1036D.1541

【答案】B

【分析】先求出E+S2++S如。的值，再根據(jù)平均值的求法列出等式，即可求出工的值.

【詳解】因?yàn)閿?shù)列4，&，…，%no的“Cewv平均值”為江奇產(chǎn)叫=2022,

所以，+S?+…+九2=2022X1010.

?-…Lu。ux+(x+S[)+(x+S))+…+(x+Sime)

因?yàn)槠?，%,…，4(HO的“Cesam平均值''為一——<溫；-----——也=2046,

所以......-------=2046,所以x+2020=2046,解得x=26,

故選:B.

6.（2023春?湖北咸寧?高二?？奸_(kāi)學(xué)考試：等比數(shù)列｛叫中q=512,公比仁力，用n“=qq??…?！北硎?/p>

它的前〃項(xiàng)之積，則n-n2,n.中最大的是（）

A.nHB.n10c.n9D.ng

【答案】c

【分析】根據(jù)題意分析凡,n〃的符號(hào)，結(jié)合前〃項(xiàng)之積的性質(zhì)運(yùn)算求解.

【詳解】?.,4>0國(guó)=-3<0,則當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，q>0,當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，?！?lt;0，

二當(dāng)〃=4々一3卜￡[^）或〃=4々k61^）時(shí)，0?>0,

當(dāng)〃=4攵一2（AwN.）或力=4攵-l（AeN.）時(shí)，F(xiàn)I“<0,

若n“取到最大，則攵=3,〃=9,即｛n,r｝中最大的是口口

故選：C.

7.（2022秋?北京?高二北京二中?？计谀┤绻麛?shù)列｛4｝滿足腎旦=&"為常數(shù)），那么數(shù)列｛凡｝叫做

等比差數(shù)列，上叫做公比差.下列四個(gè)結(jié)論中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）

①若數(shù)列｛4｝滿足午■二？〃，則該數(shù)列是等比差數(shù)列；

②數(shù)列｛小2"｝是等比差數(shù)列；

③所有的等比數(shù)列都是等比差數(shù)列；

④存在等差數(shù)列是等比差數(shù)列.

A.①②③B.???C.①②④D.②③④

【答案】B

【分析】根據(jù)比等差數(shù)列的定義聯(lián)-4=女"為常數(shù)），逐一判斷①?③④是否是等比差數(shù)列即可可得到

4+14

答案.

【詳解】①數(shù)列｛七｝滿足如=2〃，則--+

4%4

滿足等比差數(shù)列的定義，故①正確：

②數(shù)列｛小2"｝,

八―=(〃+2>2/2(〃+1)?2向

*a「(〃+12向小2”

n-(rt+2)-2-(n+l)2-22

=,

〃(〃+1)n(n+\)

不滿足等比差數(shù)列的定義，故②錯(cuò)誤；

③設(shè)等比數(shù)列的公比為/則---=4-4=。，

4+14

滿足等比差數(shù)列，故③正確；

④設(shè)等差數(shù)列的公差為d,

則%!―%L=O+2d_組旦一4

'。向4a?+danq4+d)’

故當(dāng)d=0時(shí)，滿足吐一也=o,故存在等差數(shù)列是等比差數(shù)列，即④止確：

故答案為：①③④

故選:B.

8.(2019秋?北京?高三101中學(xué)?？茧A段練習(xí))定義在(-8,0)U(0,+8)上的函數(shù)/(4)，如果對(duì)于任意給定

的等比數(shù)列｛q｝,｛/(4)｝仍是等比數(shù)列，則稱/(力為“保等比數(shù)列函數(shù)現(xiàn)有定義在(y,o)u(o,y)上

的如下函數(shù)：①/(x)=d；②〃力=2"；③"x)=5?/(x)=ln|A|,其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的序號(hào)為

()

A.①②B.③④C.①③D.②④

【答案】C

【分析】根據(jù)新定義，結(jié)合等比數(shù)列性質(zhì)%%,2=一一加以判斷，即可得到結(jié)論.通過(guò)積的乘方，即

可判斷①；通過(guò)指數(shù)的暴的運(yùn)算，即可判斷②；通過(guò)積的運(yùn)算即可判斷③；白對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，即可判斷

【詳解】設(shè)｛凡｝是等比數(shù)列，由等比數(shù)列性質(zhì)知。必^二力…

對(duì)于①，/(4)/(4,2)=〃：。3=(。3)2=尸(4“)，即｛/(q)｝仍是等比數(shù)列，故正確；

對(duì)于②，f(an)f(an+2)=2^=2^=2小,

即｛/(《)｝不是等比數(shù)列，故不正確；

2

對(duì)于③，/(^)/(?n+2)=—?—=^-=/k+i),即｛/(4)｝是等比數(shù)列，故正確；

an4+2%+1

2

對(duì)于④，/(%)/(?！?2)=14dmi-I*(ln|aw+1|)=/(〃向)，

即｛/(q)｝不是等比數(shù)列，故不正確；

故選：c.

12

9.(2023秋?吉林?高二吉林一中?？计谀?若數(shù)列｛%｝滿足-------=°，則稱｛〃”｝為“必會(huì)數(shù)列”，己知正

an+\an

項(xiàng)數(shù)列｛為｝為“必會(huì)數(shù)列”，若4+%=3,則4+。3=().

A.-B.1C.6D.12

9

【答案】D

【分析】根據(jù)數(shù)列新定義可得數(shù)列｛q｝是以。=g為公比的等比數(shù)列,利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式,即可求得答

案.

,、121

【詳解】由題意數(shù)列滿足-------=0，可得4.廣”

an+lan2

故正項(xiàng)數(shù)列｛4｝是以g為公比的等比數(shù)列，

則4+%=42(4+/)=；(/+%)=3，，。2+。3=12,

故選：D

10.(2022秋?陜西渭南?高二統(tǒng)考期末)設(shè)｛凡｝是無(wú)窮數(shù)列，若存在正整數(shù)3使得對(duì)任意的〃eN,,均有

凡“>凡，則稱｛〃”｝是間隔遞增數(shù)列，上是｛4｝的間隔數(shù).若也｝是間隔遞增數(shù)列，則數(shù)列低｝的通項(xiàng)不可熊

是()

9

A.b=2n——B.b=r+\

nnn

C.a=1D."=一〃(一2)”

【答案】D

【分析】根據(jù)間隔遞增數(shù)列的定義求解即可.

99

【詳解】對(duì)于A：2+廣”=25+攵)一正可一2〃+/

9

化簡(jiǎn)得：b-b=k2+——>0,

n+knn(n+k)

存在正整數(shù)上使得對(duì)任意的〃eN?，2+,-2>0恒成立,

所以佃｝是間隔遞增數(shù)列；

對(duì)于B：bn+k-b?=3〃+"+1-3"-1=（3氏-1）3〃，

因?yàn)樽鬄檎麛?shù)且〃eN，所以（3人-1）3">0,

所以"〃-2：>0,所以｛勿｝是間隔遞增數(shù)列；

對(duì)于c：%一2=1一，

因?yàn)锳為正整數(shù)且〃wN"所以邦-"卜0，

所以4〃-2>0,所以｛2｝是間隔遞增數(shù)列；

對(duì)J。D：bn+k-hn=一（〃+左）（—2）'-*+〃（一2）”

=（—2『［〃—（〃+女）（一2）［,

當(dāng)人正奇數(shù)，?時(shí)，2y>0,

（-2）”的正負(fù)由?的奇偶性決定，此時(shí)方3-勿>0不恒成立，

不符合間隔遞增數(shù)列的定義；

當(dāng)％w正偶數(shù)，“EN,時(shí)，〃-（〃+&）（-2『<0,

（-2）”的正負(fù)由〃的奇偶性決定，此時(shí)為〃一2>0不恒成立，

不符合間隔遞增數(shù)列的定義；

故選：D.

11.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）對(duì)于數(shù)列?。?若存在正整數(shù)攵（々之2）,使得倏<4-4<4句，則稱4是

9

數(shù)列｛%｝的“谷值”，k是數(shù)列｛%｝的“谷值點(diǎn)”.在數(shù)列｛4｝中，若可=〃+>8,則數(shù)列｛為｝的“谷值點(diǎn)”為

（）

A.2B.7C.2,7D.2,5,7

【答案】C

376129

【分析】先求出4=2,=-,%=2,a=-,%=￡,4=彳，%=：，4=三，再得到〃27,〃eN,

2445278

9

n+--8>0,結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性以及谷值點(diǎn)的定義即可得求解.

n

9

【詳解】因?yàn)椤?=〃+-—8,

n

376129

所以4=2,a=-,4=2,a=-,

24。產(chǎn)〒4瓦

999c

當(dāng)〃27,〃wN,n-\8>0,所以q=8=〃+—8,

nnn

Q

因?yàn)楹瘮?shù)y=x+（-8在［7,+oo）上單調(diào)遞增,

9

所以力27時(shí)，數(shù)列。”=〃+3-8為單調(diào)遞增數(shù)列,

n

所以&<q,〃2<%，%v4，/</，

所以數(shù)列｛凡｝的“谷值點(diǎn)”為2,7.

故選：C.

12.（2023?全國(guó)?高二專題練習(xí)）若數(shù)列｛&｝滿足。向=2%-1,則稱｛&｝為“對(duì)奇數(shù)列”.已知正項(xiàng)數(shù)歹￡2+1｝

為“對(duì)奇數(shù)列”，且4=2,則"=（）

A.2x3n-1B.C.2W"D.2"

【答案】D

【分析】根據(jù)題意可得“+|+1=2（〃+1）T,進(jìn)而可得｛4｝為等比數(shù)列，再求得通項(xiàng)公式即可.

【詳解】由題意得力向+1=2（0+1）—1,所以心=血，又仇=2,所以也｝是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)

列，所以"=2X2"T=2".

故選：D.

13.（2022春?遼寧葫蘆島?高二校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)介（勺）表示落在區(qū)間［〃,對(duì)］內(nèi)的偶數(shù)個(gè)數(shù).在等比數(shù)列

｛4-〃｝中，4=4,。2=11，則必。4）=（）

A.21B.20C.41D.40

【答案】C

【分析】設(shè)｛4-〃｝的公比為小根據(jù)《和。2求出9,從而得。“和心，再根據(jù)Q（q）的定義可求出結(jié)果.

x、生―211—2與

【詳解】設(shè)質(zhì)-〃｝的公比為小則夕=七=二77=3,

q-］q-I

所以4-1),^-'=(4-1)3"-'=3",則4=〃+3”，

所以q=4+3"=85.

所以落在區(qū)間[4,85]內(nèi)的偶數(shù)共有41個(gè)，故九（4）=41.

故選：C

14.（2023春?湖北?高三黃岡中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）對(duì)于數(shù)列｛叫，定義4=%+2生++2"”“為數(shù)列｛&｝

的“加權(quán)和“，已知某數(shù)列｛4｝的“加權(quán)和''4=〃?2"”，記數(shù)歹￡為+8｝的前〃項(xiàng)和為小若對(duì)任意的

〃eN'恒成立，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍為（）

1271f1671F5121「169-

A-B.[-7-5JC.[-5，-二」D.「亍，工

【答案】A

【分析】根據(jù)4與勺的關(guān)系求出凡，再根據(jù)等差數(shù)列的求和公式求出將（4豈化為

（〃-+也當(dāng)]K0對(duì)任意的〃€*恒成立，分類討論〃可求出結(jié)果.

I〃+6）

【詳解】由4=%+2/+??+2”T《,=〃?2"、

???〃22時(shí),4+2^++2"-%/1_]=（〃_1）?2",

???.4=〃?2"J(〃-1).2",.?.a.=2〃+2