八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第一部分基礎(chǔ)知識(shí)篇第5課一元二次方程的應(yīng)用一元二次方程例題課件浙教版

例1.如圖，某中學(xué)準(zhǔn)備在校園里利用圍墻的一段，再砌三面墻，圍成一個(gè)矩形花園ABCD（圍墻MN最長(zhǎng)可利用25m），現(xiàn)在已備足可以砌50m長(zhǎng)的墻的材料，試設(shè)計(jì)一種砌法，使矩形花園的面積為300m2．重點(diǎn)中學(xué)與你有約解題技巧一讀關(guān)鍵詞：一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，矩形面積公式二聯(lián)重要結(jié)論：根據(jù)矩形的面積公式建立一元二次方程.重要方法：數(shù)形結(jié)合三解解：四悟應(yīng)用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)要檢驗(yàn)方程的根是否符合實(shí)際情況.設(shè)AB為xm，則BC為（50﹣2x）m，例1.如圖，某中學(xué)準(zhǔn)備在校園里利用圍墻的一段，再砌三面墻，圍成一個(gè)矩形花園ABCD（圍墻MN最長(zhǎng)可利用25m），現(xiàn)在已備足可以砌50m長(zhǎng)的墻的材料，試設(shè)計(jì)一種砌法，使矩形花園的面積為300m2．根據(jù)題意得方程：x（50﹣2x）=300，解得：x1=10，x2=15，當(dāng)x=10時(shí)BC=50﹣2x=30＞25（不合題意，舍去），答：可以圍成AB的長(zhǎng)為15米，BC長(zhǎng)為20米的矩形舉一反三思路分析:根據(jù)可以砌100m長(zhǎng)的墻的材料，即總長(zhǎng)度是100米，AB=x米，則BC=（100﹣2x）米，再根據(jù)矩形的面積公式得出函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而得出最值.學(xué)校準(zhǔn)備在校園里利用圍墻的一段，圍成一個(gè)矩形植物園．如圖所示：現(xiàn)已備足可以砌100米長(zhǎng)的墻的材料，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種能使圍成面積最大的砌墻方法．失誤防范一元二次方程解應(yīng)用題的基本步驟：審題；找已知量和未知量及等量關(guān)系；設(shè)未知量；用所設(shè)未知數(shù)字母的代數(shù)式表示其他的相關(guān)量；列方程；解方程；檢驗(yàn).例2.有一人患了流感，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有64人患了流感.（1）求每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了幾個(gè)人？（2）如果不及時(shí)控制，第三輪將又有多少人被傳染？重點(diǎn)中學(xué)與你有約解題技巧一讀關(guān)鍵詞：一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，解方程二聯(lián)重要結(jié)論：用一元二次方程解決增長(zhǎng)類問(wèn)題.重要方法：列方程求解三解解：四悟建立數(shù)學(xué)模型，讀懂題意，正確列出方程是解題的關(guān)鍵.（1）設(shè)每輪傳染中平均每人傳染了x個(gè)人，根據(jù)題意得1+x+x（x+1）=64，解得：x1=7，x2=-9（不合題意，舍去）答：每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了7個(gè)人（2）64×7=448答：第三輪將又有448人被傳染例2.有一人患了流感，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有64人患了流感.（1）求每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了幾個(gè)人？（2）如果不及時(shí)控制，第三輪將又有多少人被傳染？舉一反三思路分析:設(shè)1個(gè)人傳染x人，第一輪共傳染（x+1）人，第二輪共傳染（x+1）2人，由此列方程解答，再進(jìn)一步求問(wèn)題的答案．有一人患了流感，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有121人患了流感，問(wèn)經(jīng)過(guò)三輪傳染后共有多少個(gè)人患流感？失誤防范一元二次方程應(yīng)用于傳染類問(wèn)題：解答此題的關(guān)鍵是找出題目中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系：1個(gè)人傳染x人，第一輪有（x+1）人，第二輪共傳染（x+1）2人，n輪共傳染（x+1）n人．此類問(wèn)題首先建立數(shù)學(xué)模型，利用一元二次方程來(lái)解決問(wèn)題.讀懂題意，正確列出方程是解題的關(guān)鍵.例3.小林準(zhǔn)備進(jìn)行如下操作實(shí)驗(yàn)：把一根長(zhǎng)為40cm的鐵絲剪成兩段，并把每一段各圍成一個(gè)正方形.（1）要使這兩個(gè)正方形的面積之和等于58cm2，小林該怎么剪？（2）小峰對(duì)小林說(shuō)：“這兩個(gè)正方形的面積之和不可能等于48cm2．”他的說(shuō)法對(duì)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．重點(diǎn)中學(xué)與你有約解題技巧一讀關(guān)鍵詞：一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，列方程求解二聯(lián)重要結(jié)論：用一元二次方程解決幾何類問(wèn)題.重要方法：列方程求解三解解：四悟解答本題時(shí)找到等量關(guān)系建立方程和運(yùn)用根的判別式是關(guān)鍵．（1）設(shè)其中一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為xcm，則另一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為（10﹣x）cm，由題意得x2+（10﹣x）2=58，解得：x1=3，x2=73×4=12，4×7=28.所以小林應(yīng)把繩子剪成12cm和28cm的兩段.（2）假設(shè)能圍成.由（1）得x2+（10﹣x）2=48化簡(jiǎn)得x2﹣10x+26=0因?yàn)閎2﹣4ac=(-10)2-4×1×26=-4<0所以此方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，所以小峰的說(shuō)法是對(duì)的舉一反三思路分析:根據(jù)弧長(zhǎng)等于半徑的扇形稱為“等邊扇形”，得出扇形半徑長(zhǎng)，再利用扇形面積公式求出即可.我們知道，三條邊都相等的三角形叫等邊三角形．類似地，我們把弧長(zhǎng)等于半徑的扇形稱為“等邊扇形”．小明準(zhǔn)備將一根長(zhǎng)為120cm的鐵絲剪成兩段，并把每一段鐵絲圍成一個(gè)“等邊扇形”．小明想使這兩個(gè)“等邊扇形”的面積之和等于625cm2，他該怎么剪？舉一反三失誤防范一元二次方程應(yīng)用于面積問(wèn)題：（1）根據(jù)面積之和列出一元二次方程，求解；（2）根據(jù)兩正方形的面積之和得一元二次方程，再根據(jù)方程有沒(méi)有實(shí)數(shù)解判斷說(shuō)法是否正確；解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是理清題目中的數(shù)量關(guān)系，根據(jù)相等關(guān)系列出一元二次方程，解方程.例4.菜農(nóng)李偉種植的某蔬菜計(jì)劃以每千克5元的單價(jià)對(duì)外批發(fā)銷售，由于部分菜農(nóng)盲目擴(kuò)大種植規(guī)模，造成該蔬菜滯銷．李偉為了加快銷售，減少損失，對(duì)價(jià)格經(jīng)過(guò)兩次下調(diào)后，以每千克3.2元的單價(jià)對(duì)外批發(fā)銷售．（1）求平均每次下調(diào)的百分率；（2）小華準(zhǔn)備到李偉處購(gòu)買5噸該蔬菜，因數(shù)量多，李偉決定再給予兩種優(yōu)惠方案以供選擇：方案一：打九折銷售；方案二：不打折，每噸優(yōu)惠現(xiàn)金200元．試問(wèn)小華選擇哪種方案更優(yōu)惠，請(qǐng)說(shuō)明理由．重點(diǎn)中學(xué)與你有約解題技巧一讀關(guān)鍵詞：銷售，打折，更優(yōu)惠.二聯(lián)重要結(jié)論：一元二次方程的應(yīng)用，增長(zhǎng)率問(wèn)題.重要方法：列方程求解三解解：（1）設(shè)平均每次下調(diào)的百分率為x．由題意得，5（1﹣x）2=3.2．解這個(gè)方程，得x1=0.2，x2=1.8，因?yàn)榻祪r(jià)的百分率不可能大于1，所以x2=1.8不符合題意，符合題目要求的是x1=0.2=20%．答：平均每次下調(diào)的百分率是20%．（2）小華選擇方案一購(gòu)買更優(yōu)惠．理由：方案一所需費(fèi)用為：3.2×0.9×5000=14400（元），方案二所需費(fèi)用為：3.2×5000﹣200×5=15000（元）．∵14400＜15000，∴小華選擇方案一購(gòu)買更優(yōu)惠．四悟在解決有關(guān)增長(zhǎng)率的問(wèn)題時(shí)，注意其固定的等量關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵.舉一反三果農(nóng)李明種植的草莓計(jì)劃以每千克15元的單價(jià)對(duì)外批發(fā)銷售，由于部分果農(nóng)盲目擴(kuò)大種植，造成該草莓滯銷．李明為了加快銷售，減少損失，對(duì)價(jià)格經(jīng)過(guò)兩次下調(diào)后，以每千克9.6元的單價(jià)對(duì)外批發(fā)銷售．（1）求李明平均每次下調(diào)的百分率；（2）小劉準(zhǔn)備到李明處購(gòu)買3噸該草莓，因數(shù)量多，李明決定再給予兩種優(yōu)惠方案以供其選擇：方案一：打九折銷售；方案二：不打折，每噸優(yōu)惠現(xiàn)金400元．試問(wèn)小劉選擇哪種方案更優(yōu)惠，請(qǐng)說(shuō)明理由．舉一反三思路分析:（1）設(shè)出平均每次下調(diào)的百分率，根據(jù)從15元下調(diào)到9.6列出一元二次方程求解即可；（2）根據(jù)優(yōu)惠方案分別求得兩種方案的費(fèi)用后比較即可得到結(jié)果．答案：（1）設(shè)平均每次下調(diào)的百分率為x．由題意，得15（1﹣x）2=9.6．解這個(gè)方程，得x1=0.2，x2=1.8．因?yàn)榻祪r(jià)的百分率不可能大于1，所以x2=1.8不符合題意，符合題目要求的是x1=0.2=20%．答：平均每次下調(diào)的百分率是20%．（2）小劉選擇方案一購(gòu)買更優(yōu)惠．理由：方案一所需費(fèi)用為：9.6×0.9×3000=25920（元），方案二所需費(fèi)用為：9.6×3000﹣400×3=27600（元）．∵25920＜27600，∴小劉選擇方案一購(gòu)買更優(yōu)惠．失誤防范1.常見(jiàn)題型--利潤(rùn)贏虧問(wèn)題：

銷售問(wèn)題中常出現(xiàn)的量有：進(jìn)價(jià)、售價(jià)、標(biāo)價(jià)、利潤(rùn)等

有關(guān)關(guān)系式：商品利潤(rùn)=商品售價(jià)—商品進(jìn)價(jià)=商品標(biāo)價(jià)×折扣率—商品進(jìn)價(jià)

商品利潤(rùn)率=商品利潤(rùn)/商品進(jìn)價(jià)

商品售價(jià)=商品標(biāo)價(jià)×折扣率

存款利率問(wèn)題：利息=本金×利率×期數(shù)

本息和=本金+利息

利息稅=利息×稅率（20%）失誤防范2.解答此類問(wèn)題需要注意的事項(xiàng)：列一元二次方程解應(yīng)用題首先，要適當(dāng)?shù)丶僭O(shè)未知數(shù)，這一步非常關(guān)鍵，往往影響后面解方程的計(jì)算量；再仔細(xì)分析題意，列出方程，解方程，得到方程的解；這時(shí)一定要注意檢驗(yàn)方程的解是否符合實(shí)際意義，不符合實(shí)際意義的解要舍去；最后答題.對(duì)于帶有單位的應(yīng)用題，在假設(shè)、答題中要帶著單位，中間過(guò)程不需要單位.例5.山西特產(chǎn)專賣店銷售核桃，其進(jìn)價(jià)為每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克.后來(lái)經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，單價(jià)每降低2元，則平均每天的銷售量可增加20千克.若該專賣店銷售這種核桃要想平均每天獲利2240元，請(qǐng)回答：（1）每千克核桃應(yīng)降價(jià)多少元？（2）在平均每天獲利不變的情況下，為盡可能讓利于顧客，贏得市場(chǎng)，該店應(yīng)按原售價(jià)的幾折出售？重點(diǎn)中學(xué)與你有約解題技巧一讀關(guān)鍵詞：銷售，降低，獲利.二聯(lián)重要結(jié)論：一元二次方程的應(yīng)用，增長(zhǎng)率問(wèn)題.重要方法：列方程求解三解解：（1）設(shè)每千克核桃應(yīng)降價(jià)x元．根據(jù)題意，得（60﹣x﹣40）（100+×20）=2240．化簡(jiǎn)得x2﹣10x+24=0解得x1=4，x2=6．答：每千克核桃應(yīng)降價(jià)4元或6元．（2）由（1）可知每千克核桃可降價(jià)4元或6元．因?yàn)橐M可能讓利于顧客，所以每千克核桃應(yīng)降價(jià)6元．

此時(shí)，售價(jià)為：60﹣6=54（元），

%=90%.

答：該店應(yīng)按原售價(jià)的九折出售．四悟根據(jù)題目中的等量關(guān)系列出方程是解答本題的關(guān)鍵.舉一反三商場(chǎng)將每件進(jìn)價(jià)為80元的某種商品原來(lái)按每件100元出售，一天可售出100件．后來(lái)經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查，發(fā)現(xiàn)這種商品單價(jià)每降低1元，其銷量可增加10件．（1）問(wèn)商場(chǎng)經(jīng)營(yíng)該商品原來(lái)一天可獲利潤(rùn)多少元？（2）若商場(chǎng)經(jīng)營(yíng)該商品一天要獲利潤(rùn)2160元，則每件商品售價(jià)應(yīng)為多少元？舉一反三思路分析:（1）不降價(jià)時(shí)，利潤(rùn)=不降價(jià)時(shí)商品的單件利潤(rùn)×商品的件數(shù)．（2）可根據(jù)：降價(jià)后的單件利潤(rùn)×降價(jià)后銷售的商品的件數(shù)=2160，來(lái)列出方程，求出未知數(shù)的值，進(jìn)而求出商品的售價(jià)．答案：（1）若商店經(jīng)營(yíng)該商品不降價(jià)，則一天可獲利潤(rùn)100×（100﹣80）=2000（元）．（2）設(shè)后來(lái)該商品每件降價(jià)x元，依題意，得（100﹣80﹣x）（100+10x）=2160，即x2﹣10x+16=0．解得x1=2，x2=8．當(dāng)x=2時(shí)，售價(jià)為100﹣2=98（元），當(dāng)x=8時(shí)，售價(jià)為100﹣8=92（元）．故商店經(jīng)營(yíng)該商品一天要獲利潤(rùn)2160元時(shí)，每件商品應(yīng)售價(jià)應(yīng)為98元或92元．失誤防范1.銷售問(wèn)題：?jiǎn)渭麧?rùn)×銷售的商品的件數(shù)=總利潤(rùn)．2.增長(zhǎng)率問(wèn)題：這種增長(zhǎng)率(或降低率)的問(wèn)題在實(shí)際生活普遍存在,有一定的模式，正確解答此類問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握好此類問(wèn)題中的等量關(guān)系的確定方法：在存在基礎(chǔ)量a的前提下，若連續(xù)增長(zhǎng)（或降低）n次，且平均增長(zhǎng)（或降低）率為x，則增長(zhǎng)后的數(shù)量為a(1+x)n（或降低后的數(shù)量為a(1－x)n），要特別注意1與x的位置不要調(diào)換.例6.如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=6，點(diǎn)P從A開始沿AC邊向C點(diǎn)以1m/s的速度移動(dòng)，同時(shí)Q點(diǎn)從C沿邊CB以2m/s的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為ts．請(qǐng)解答下列問(wèn)題：（1）出發(fā)幾秒后，PQ=3？（2）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段PQ能否把△ABC面積平分？若能，求出t的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．重點(diǎn)中學(xué)與你有約解題技巧一讀關(guān)鍵詞：△ABC，點(diǎn)移動(dòng).二聯(lián)重要結(jié)論：一元二次方程的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，三角形的面積.重要方法：列方程求解三解解：（1）設(shè)經(jīng)過(guò)t秒，PQ=3，則CP=3﹣t，CQ=2t，∵PQ=3，∴32=（3﹣t）2+4t2解得：t=0（舍去）或t=即經(jīng)過(guò)

秒，PQ=3．（2）設(shè)經(jīng)過(guò)t秒線段PQ把△ABC面積平分，S△PCQ=×2t（3﹣t）=，整理得：2t2﹣6t+9=0∵b2﹣4ac=36﹣4×2×9＜0，∴在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段PQ不能把△ABC面積平分．四悟根據(jù)三角形的面積公式列出一元二次方程是解答本題的關(guān)鍵.舉一反三如圖，在△ABC中，∠B=90°，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向點(diǎn)B以2cm/s的速度移動(dòng)，Q從點(diǎn)B開始沿BC向C點(diǎn)以4cm/s的速度移動(dòng)，如果點(diǎn)P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，幾秒鐘后，△PBQ的面積等于16cm2？舉一反三思路分析:

本題中根據(jù)直角三角形的面積公式和路程=速度×?xí)r間進(jìn)行求解即可．答案：設(shè)x秒鐘后，△PBQ的面積等于16cm2，其中0＜x＜6，由題意可得：4x（12﹣2x）÷2=16，解得x1=2，x2=4，經(jīng)檢驗(yàn)均是原方程的解．答：2或4秒鐘后，△PBQ的面積等于8cm2．失誤防范1.一元二次方程與幾何運(yùn)動(dòng)問(wèn)題：動(dòng)態(tài)幾何圖形中邊長(zhǎng)的表示：（1）題設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，表示出動(dòng)點(diǎn)有關(guān)邊長(zhǎng)；（2）再通過(guò)幾何性質(zhì)表示出其他邊長(zhǎng)；（3）滿足題中要求建立方程.動(dòng)態(tài)圖形中面積問(wèn)題：（1）題設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，表示出動(dòng)點(diǎn)有關(guān)邊長(zhǎng)；（2）再通過(guò)幾何性質(zhì)表示出其他邊長(zhǎng)；（3）根據(jù)面積建立方程.失誤防范2.幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題解題技巧：（1）關(guān)鍵——以靜代動(dòng)

把動(dòng)的點(diǎn)進(jìn)行轉(zhuǎn)換,變?yōu)榫€段的長(zhǎng)度,（2）方法——時(shí)間變路程

求“動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間”可以轉(zhuǎn)化為求“動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路程”，也是求線段的長(zhǎng)度;（3）常找的數(shù)量關(guān)系——面積，勾股定理等由此,學(xué)會(huì)把動(dòng)點(diǎn)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為靜點(diǎn)的問(wèn)題,是解這類問(wèn)題的關(guān)鍵.

例7.某汽車銷售公司6月份銷售某廠家的汽車，在一定范圍內(nèi)，每部汽車的售價(jià)與銷售量有如下關(guān)系：若當(dāng)月僅售出1部汽車，則該部汽車的進(jìn)價(jià)為27萬(wàn)元，每多售出1部，所有售出的汽車的進(jìn)價(jià)均降低0.1萬(wàn)元/部，月底廠家根據(jù)銷售量一次性返利給銷售公司，銷售10部以內(nèi)（含10部），每部返利0.5萬(wàn)元；銷售量10部以上，每部返利1萬(wàn)元．（1）若該公司當(dāng)月售出3部汽車，則每部汽車的進(jìn)價(jià)為

萬(wàn)元；（2）如果汽車的售價(jià)為28萬(wàn)元/部，該公司計(jì)劃當(dāng)月盈利12萬(wàn)元，那么需要售出多少部汽車？（盈利=銷售利潤(rùn)+返利）重點(diǎn)中學(xué)與你有約解題技巧一讀關(guān)鍵詞：銷售，返利，盈利.二聯(lián)重要結(jié)論：一元二次方程的應(yīng)用，銷售問(wèn)題.重要方法：列方程求解三解解：（1）27﹣0.2=26.8；（2）設(shè)需要銷售出x部汽車，可盈利12萬(wàn)元，①當(dāng)銷售10部以內(nèi)（含10部）時(shí)，依題意可得[28﹣27+0.1（x﹣1）]x+0.5x=12，可化為x2+14x﹣120=0，解得x1=﹣20（不合題意，舍去），x2=6，∴當(dāng)銷售6部汽車，當(dāng)月可盈利12萬(wàn)元，②當(dāng)銷售10部以上時(shí)，依題意可得[28﹣27+0.1（x﹣1）]x+x=12，，可化為x2+19x﹣120=0，解得x1=5，x2=﹣24，均不合題意，應(yīng)舍去，答：當(dāng)銷售6部汽車，當(dāng)月可盈利12萬(wàn)元．四悟讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系并進(jìn)行分段討論是解題關(guān)鍵．舉一反三小王在某校門口開了一家書包專賣店．該店采用廠家鋪貨方式經(jīng)營(yíng)，即先銷售后結(jié)帳．在一定銷售數(shù)量?jī)?nèi)，每個(gè)書包的進(jìn)價(jià)與銷售量有如下關(guān)系：若當(dāng)月銷售量不超過(guò)50個(gè)，則每個(gè)書包進(jìn)價(jià)為2