2025年滬科版八年級(jí)數(shù)學(xué)寒假預(yù)習(xí) 第01講 二次根式

第01講二次根式模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測(cè)1．了解二次根式的概念；2．掌握二次根式的性質(zhì)，能夠運(yùn)用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)；知識(shí)點(diǎn)1二次根式的概念1.定義一般地，我們把形如(≥0)的式子叫做二次根式.其中“”稱為二次根號(hào)，“”稱為被開方數(shù).2.二次根式定義的理解(1)二次根式“”,一般省略根指數(shù)2,寫作“”(2)二次根式中的被開方數(shù)既可以是一個(gè)數(shù)，也可以是一個(gè)含有字母的式子.(3)≥0是有意義的前提條件，(4)在具體問題中，如果已知二次根式,就意味著給出≥0這一隱含條件。知識(shí)點(diǎn)2二次根式的性質(zhì)1.二次根式的性質(zhì)（1），即非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù).（2），即非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于它本身.（3）即一個(gè)數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值。2.與的區(qū)別與聯(lián)系表達(dá)式取值范

圍不同是全體實(shí)數(shù)區(qū)

別運(yùn)算順

序不同先平方后開方先開方后平方運(yùn)算結(jié)

果不同聯(lián)系①結(jié)果都是非負(fù)數(shù)；

②當(dāng)時(shí)，考點(diǎn)01：二次根式有意義的條件例題1．若在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是．【變式1-1】已知函數(shù)有意義，則的取值范圍．【變式1-2】若，則的值是．【變式1-3】（22-23八年級(jí)下·四川成都·期中）如果分式有意義，那么x的取值范圍是．考點(diǎn)02：求二次根式的值例題2.已知，均為實(shí)數(shù)，，則的值為．【變式2-1】計(jì)算：．【變式2-2】當(dāng)時(shí)，二次根式的值為．【變式2-3】已知關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)解，那么m的取值范圍是．考點(diǎn)03：求二次根式中的參數(shù)例題3.如果是二次根式，且值為5，試求的算術(shù)平方根．【變式3-1】二次根式與的和為0，則的值為．【變式3-2】（23-24八年級(jí)下·浙江紹興·期末）已知是整數(shù)，則自然數(shù)的值是．【變式3-3】（23-24八年級(jí)下·甘肅武威·期中）已知是整數(shù)，求自然數(shù)n的值．考點(diǎn)04：利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)例題4.實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，化簡(jiǎn)．【變式4-1】（23-24八年級(jí)下·山西朔州·期中）若，則．【變式4-2】（23-24八年級(jí)上·內(nèi)蒙古包頭·期中）已知a，b在數(shù)軸上的位置如圖，化簡(jiǎn)＝．?【變式4-3】已知a為整數(shù)，且滿足，則a的值為．一、單選題1．（24-25九年級(jí)上·福建泉州·期中）下列各式中，一定是二次根式的是（

）A． B． C．3 D．2．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中一定是二次根式的有（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)3．（24-25八年級(jí)上·遼寧大連·期末）當(dāng)a是怎樣的實(shí)數(shù)時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義（

）A． B． C． D．二、填空題4．（24-25八年級(jí)上·四川成都·期中）若，則．5．（24-25八年級(jí)上·四川成都·期中）已知x，y為實(shí)數(shù)，且，則．6．（24-25八年級(jí)上·上?！て谥校┤绻趯?shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則、的大小關(guān)系為．三、解答題7．（23-24八年級(jí)上·湖南郴州·期末）下列式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，求的取值范圍．(1)；(2)；(3)；(4)．8．（23-24八年級(jí)下·重慶開州·期中）若，都是實(shí)數(shù)，且滿足，試化簡(jiǎn)代數(shù)式：．9．（23-24八年級(jí)下·貴州黔西·期末）二次根式的雙重非負(fù)性是指被開方數(shù)，其化簡(jiǎn)的結(jié)果，利用的雙重非負(fù)性解決以下問題：(1)已知，則的值為______；(2)若x，y為實(shí)數(shù)，且，求的值．10．（23-24八年級(jí)下·安徽蕪湖·期中）（1）問題背景：請(qǐng)認(rèn)真閱讀下列這道例題的解法．例：已知，求的值．解：由，得，，______；（2）嘗試應(yīng)用：若，為實(shí)數(shù)，且，化簡(jiǎn)：；（3）拓展創(chuàng)新：已知，求的值．

第01講二次根式模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測(cè)1．了解二次根式的概念；2．掌握二次根式的性質(zhì)，能夠運(yùn)用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)；知識(shí)點(diǎn)1二次根式的概念1.定義一般地，我們把形如(≥0)的式子叫做二次根式.其中“”稱為二次根號(hào)，“”稱為被開方數(shù).2.二次根式定義的理解(1)二次根式“”,一般省略根指數(shù)2,寫作“”(2)二次根式中的被開方數(shù)既可以是一個(gè)數(shù)，也可以是一個(gè)含有字母的式子.(3)≥0是有意義的前提條件，(4)在具體問題中，如果已知二次根式,就意味著給出≥0這一隱含條件。知識(shí)點(diǎn)2二次根式的性質(zhì)1.二次根式的性質(zhì)（1），即非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù).（2），即非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于它本身.（3）即一個(gè)數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值。2.與的區(qū)別與聯(lián)系表達(dá)式取值范

圍不同是全體實(shí)數(shù)區(qū)

別運(yùn)算順

序不同先平方后開方先開方后平方運(yùn)算結(jié)

果不同聯(lián)系①結(jié)果都是非負(fù)數(shù)；

②當(dāng)時(shí)，考點(diǎn)01：二次根式有意義的條件例題1．若在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是．【答案】且【解析】解：由題意得：，且，解得：且，故答案為：且．【變式1-1】已知函數(shù)有意義，則的取值范圍．【答案】【分析】此題考查了二次根式有意義的條件，根據(jù)二次根式的二次根式有意義的條件即可求出的范圍，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式有意義的條件．【解析】解：∵函數(shù)有意義，∴，∴，故答案為：．【變式1-2】若，則的值是．【答案】【分析】本題考查了二次根式的概念，理解二次根式被開方數(shù)大于或等于零是解決問題的關(guān)鍵．和被開方數(shù)互為相反數(shù)，且必須大于或等于零，所以，由此可以求得，的值．【解析】解：和有意義，，，，，．故答案為：．【變式1-3】（22-23八年級(jí)下·四川成都·期中）如果分式有意義，那么x的取值范圍是．【答案】且【分析】本題考查了二次根式及分式有意義的條件，熟知二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)分式及二次根式有意義的條件解答即可．【解析】解：由題意得，且，解得且．故答案為：且．考點(diǎn)02：求二次根式的值例題2.已知，均為實(shí)數(shù)，，則的值為．【答案】8【分析】直接利用二次根式有意義的條件得出x的值，進(jìn)而得出y的值，進(jìn)而得出答案．【解析】解：∵，∴，，，，故答案為：8【變式2-1】計(jì)算：．【答案】【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)計(jì)算，即可得到答案．【解析】故答案為：3．【變式2-2】當(dāng)時(shí)，二次根式的值為．【答案】【分析】把代入原式化簡(jiǎn)即可．【解析】解：當(dāng)時(shí)，原式，故答案為：．【變式2-3】已知關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)解，那么m的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)二次根式的非負(fù)性，即可求解．【解析】∵∴∴∴故答案為：考點(diǎn)03：求二次根式中的參數(shù)例題3.如果是二次根式，且值為5，試求的算術(shù)平方根．【答案】【分析】本題考查的是算術(shù)平方根的含義，二次根式的定義，根據(jù)二次根式的定義可得：，，可得，再進(jìn)一步解答即可．【解析】解：是二次根式，且值為5，，解得．故的算術(shù)平方根為．【變式3-1】二次根式與的和為0，則的值為．【答案】【分析】本題考查了二次根式的非負(fù)性，求整式的值；可得，由二次根式的非負(fù)性得，，求出和，代值即可求解；理解二次根式的非負(fù)性（）是解題的關(guān)鍵．【解析】解：由題意得，，，解得：，，；故答案：．【變式3-2】（23-24八年級(jí)下·浙江紹興·期末）已知是整數(shù)，則自然數(shù)的值是．【答案】或【分析】本題考查了求二次根式中參數(shù)的值，先根據(jù)二次根式中被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)求出的范圍，再分析求出的值．【解析】解：根據(jù)被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)可得，中的，解得：，∵是自然數(shù)，∴，∵是整數(shù)，∴，，∴自然數(shù)的值是或，故答案為：或．【變式3-3】（23-24八年級(jí)下·甘肅武威·期中）已知是整數(shù)，求自然數(shù)n的值．【答案】10，9，6，1【分析】本題考查二次根式的性質(zhì)，利用二次根式的性質(zhì)、化簡(jiǎn)法則及自然數(shù)指大于等于0的整數(shù)，分析求解．【解析】由題意得，又n為自然數(shù)，∴，∵是整數(shù)，∴，，，，∴自然數(shù)n所有可能的值為10，9，6，1．考點(diǎn)04：利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)例題4.實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，化簡(jiǎn)．【答案】【分析】由題圖可知，于是可得，，，，然后對(duì)原式化簡(jiǎn)絕對(duì)值并利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，即可得出答案．【解析】解∶由題圖可知，，，，，，．【變式4-1】（23-24八年級(jí)下·山西朔州·期中）若，則．【答案】8【分析】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)，解題的關(guān)鍵是化簡(jiǎn)．【解析】解：，，，故答案為：8．【變式4-2】（23-24八年級(jí)上·內(nèi)蒙古包頭·期中）已知a，b在數(shù)軸上的位置如圖，化簡(jiǎn)＝．?【答案】【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)、絕對(duì)值、數(shù)軸等知識(shí)點(diǎn)，關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)軸得出，進(jìn)而得出，去括號(hào)后合并即可．【解析】解：由數(shù)軸可得，且，則，，原式，故答案為：．【變式4-3】已知a為整數(shù)，且滿足，則a的值為．【答案】【分析】利用二次根式的性質(zhì)把5寫成二次根式的形式，再解不等式組求出a的范圍得解．【解析】解：，，，又∵為整數(shù)，．故答案為：25．一、單選題1．（24-25九年級(jí)上·福建泉州·期中）下列各式中，一定是二次根式的是（

）A． B． C．3 D．【答案】B【解析】解：A、被開方數(shù)有可能是負(fù)數(shù)，二次根式無意義，故此選項(xiàng)不合題意；B、是二次根式，故此選項(xiàng)符合題意；C、是有理數(shù)，不符合二次根式的定義，故此選項(xiàng)不合題意；D、時(shí)，被開方數(shù)是負(fù)數(shù)，二次根式無意義，故此選項(xiàng)不合題意；故選：B．2．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中一定是二次根式的有（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】B【解析】解：①當(dāng)時(shí)，不是二次根式；②當(dāng)時(shí)，不是二次根式；③是二次根式；④當(dāng)時(shí)，不是二次根式；⑤是二次根式；⑥是二次根式．故選B．3．（24-25八年級(jí)上·遼寧大連·期末）當(dāng)a是怎樣的實(shí)數(shù)時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：由題意得，解得：，故選：C．二、填空題4．（24-25八年級(jí)上·四川成都·期中）若，則．【答案】【解析】解：∵式子與在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，∴，解得，∴，∴．故答案為：．5．（24-25八年級(jí)上·四川成都·期中）已知x，y為實(shí)數(shù)，且，則．【答案】5或【解析】解：∵，∴且，∴，即，解得，∴，∴或，故答案為：5或．6．（24-25八年級(jí)上·上?！て谥校┤绻趯?shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則、的大小關(guān)系為．【答案】【解析】解：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則，總小于0，，，故答案為：．三、解答題7．（23-24八年級(jí)上·湖南郴州·期末）下列式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，求的取值范圍．(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】（1）解：∵要使有意義，∴，解得：；（2）解：要使有意義，∴，∴；（3）解：∵要使有意義，∴∴；（4）解：∵要使有意義，∴，∴．8．（23-24八年級(jí)下·重慶開州·期中）若，都是實(shí)數(shù)，且滿足，試化簡(jiǎn)代數(shù)式：．【答案】【解析】解：由題可知，，解得，將代入求得，則．9．（23-24八年級(jí)下·貴州黔西·期末）二次根式的雙重非負(fù)性是指被開方數(shù)，其化簡(jiǎn)的結(jié)果，利用的雙重非負(fù)性解決以下問題：(1)已知，則的值為______；(2)若x，y為實(shí)數(shù)，且，求的