2025年滬科版七年級數(shù)學(xué)寒假預(yù)習(xí) 第01講 平方根、立方根

第01講平方根、立方根模塊一思維導(dǎo)圖串知識模塊二基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測1．了解平方根、算術(shù)平方根、立方根的概念，會用根號表示數(shù)的平方根、算術(shù)平方根和立方根；2．會求一個數(shù)的平方根、算術(shù)平方根、立方根；知識點(diǎn)1平方根1.算術(shù)平方根（1）一般地、如果一個正數(shù)的平方等于，即，那么這個正數(shù)叫做的算術(shù)平方根.規(guī)定0的舞術(shù)平方根是0.（2）a的算術(shù)平方根記為，讀作“根號”,叫做被開方數(shù).注意：(1)只有非負(fù)數(shù)才存在算術(shù)平方根，負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根.(2)算術(shù)平方根是它本身的數(shù)只有0和1.(3)算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)，即。2.算術(shù)平方根的規(guī)律被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右或者向左移動2位，它的算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)就相應(yīng)地向右或者向左移動1位.3.無限不循環(huán)小數(shù)無限不循環(huán)小數(shù)是指小數(shù)位數(shù)無限，且小數(shù)部分是不循環(huán)的小數(shù).許多正有理數(shù)的算術(shù)平方根是無限不循環(huán)小數(shù)(例如：，，等).注意：的結(jié)果有兩種情況：當(dāng)是完全平方數(shù)時(shí)，是一個有理數(shù)；當(dāng)不是一個完全平方數(shù)時(shí)，是一個無限不循環(huán)小數(shù).4.平方根的定義一般地，如果一個數(shù)的平方等于,那么這個數(shù)叫做的平方根或二次方根.即如果,那么x叫做的平方根.如2和-2是4的平方根，簡記為±2是4的平方根.5.平方根的表示方法正數(shù)的算術(shù)平方根可以用表示；正數(shù)的負(fù)的平方根，可以用符號“-”表示，故正數(shù)的平方根可以用符號“±”表示，讀作“正、負(fù)根號”.6.平方根的性質(zhì)(1)正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù).(2)負(fù)數(shù)沒有平方根.(3)0的平方根是0.7.開平方(1)定義：求一個數(shù)的平方根的運(yùn)算，叫做開平方，其中數(shù)叫做被開方數(shù).(2)平方運(yùn)算與開平方運(yùn)算是互為逆運(yùn)算的關(guān)系.8.平方根的求法(1)被開方數(shù)是完全平方數(shù)，可以通過開平方運(yùn)算求平方根，81的平方根是±9.(2)被開方數(shù)不是完全平方數(shù)，可用計(jì)算器求正數(shù)的算術(shù)平方根，所得的值是近似值.注意：(1)在求平方根的運(yùn)算中，被開方數(shù)會經(jīng)常以和的形式出現(xiàn)，應(yīng)先將和計(jì)算后，再求其平方根，如的平方根是±2.(2)在進(jìn)行帶分?jǐn)?shù)的開平方運(yùn)算時(shí)，應(yīng)先將帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，再開方.9.,,±的意義(1)表示非負(fù)數(shù)，即,表示的算術(shù)平方根.(2)(a≥0)表示的算術(shù)平方根的相反數(shù)，也表示的負(fù)的平方根.(3)±(a≥0)表示的平方根.當(dāng)>0時(shí)，±表示兩個數(shù)，且這兩個數(shù)互為相反數(shù).知識點(diǎn)2立方根1.立方根的概念與性質(zhì)（1）立方根的定義：如果一個數(shù)的立方等于,那么這個數(shù)就叫做的立方根或三次方根.即如果=，則叫做的立方根.2.表示方法：一個數(shù)的立方根，用符號表示，讀作“三次根號”,其中是被開方數(shù)，3是根指數(shù).3.性質(zhì)(1)正數(shù)的立方根是正數(shù).(2)負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù).(3)0的立方根是0.4.開立方:求一個數(shù)的立方根的運(yùn)算，叫做開立方.開立方是一種運(yùn)算，正如開平方與平方互為逆運(yùn)算一樣，開立方與立方也互為逆運(yùn)算.開立方所得的結(jié)果就是立方根，根據(jù)開立方與立方互為逆運(yùn)算的關(guān)系，我們可以求出一個數(shù)的立方根，或者檢驗(yàn)一個數(shù)是不是某個數(shù)的立方根.注意：(1)開立方時(shí)，被開方數(shù)可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)或零.(2)立方根等于它本身的數(shù)是0,±1.(3)==.(4)當(dāng)求一個帶分?jǐn)?shù)的立方根時(shí)，先將它化為假分?jǐn)?shù)，然后再求它的立方根.5.立方根與平方根的區(qū)別與聯(lián)系（1）聯(lián)系①都與相應(yīng)的乘方互為逆運(yùn)算.開平方與平方互為逆運(yùn)算，開立方與立方互為逆運(yùn)算.②在研究被開方數(shù)和方根的關(guān)系時(shí)，小數(shù)點(diǎn)的移動規(guī)律類似.③0的立方根與平方根都是0.（2）區(qū)別①表示方法不同，用符號表示平方根時(shí)，根指數(shù)2可省略，如±;用符號表示立方根時(shí)，根指數(shù)3不可省略，的立方根必須寫為.②只有非負(fù)數(shù)才有平方根，任何數(shù)都有立方根.③正數(shù)有兩個平方根，但只有一個立方根.④互為相反數(shù)的兩個數(shù)的立方根也互為相反數(shù).6.平方根與立方根的估算要估算“”的近似值，第一步先確定估算數(shù)的整數(shù)范圍，如23<10<33,所以2<<3;第二步以較小整數(shù)為基礎(chǔ)，開始逐步加0.1(或以較大整數(shù)為基礎(chǔ)，開始逐步減0.1),并求其立方確定被估算數(shù)的十分位，…,如此繼續(xù)下去，可按要求估算“”的近似值，即用“夾逼法”.利用“夾逼法”也可確定一個數(shù)的平方根的取值范圍?？键c(diǎn)01：求一個數(shù)的算術(shù)平方根例題1.若，則的算術(shù)平方根是．【變式1-1】的算術(shù)平方根為（

）A． B． C． D．【變式1-2】已知，則的算術(shù)平方根是．【變式1-3】的算術(shù)平方根是，的算術(shù)平方根是．考點(diǎn)02：估計(jì)算術(shù)平方根的范圍例題2．（23-24七年級下·湖北孝感·期中）已知，，則．【變式2-1】估算值是在（

）A．3和4之間 B．4和5之間 C．5和6之間 D．6和7之間【變式2-2】（2024·江蘇揚(yáng)州·一模）估計(jì)18的算術(shù)平方根介于（

）A．1和2之間 B．2和3之間 C．3和4之間 D．4和5之間【變式2-3】（23-24七年級下·湖北·期中）已知，那么下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．考點(diǎn)03：求一個數(shù)的平方根例題3．（22-23七年級下·貴州遵義·期中）已知a的平方根為，的算術(shù)平方根為2．(1)求a，b的值；(2)求的平方根．【變式3-1】若，則的平方根是（

）A． B． C． D．【變式3-2】的平方根是．【變式3-3】（23-24七年級下·遼寧鐵嶺·期中）已知，求的平方根．考點(diǎn)04：求代數(shù)式的平方根例題4．一個正數(shù)b的平方根是與，(1)求a和b的值．(2)求平方根．【變式4-1】（23-24七年級下·山東濱州·期末）若x，y為實(shí)數(shù)，且與互為相反數(shù)，則的平方根為．【變式4-2】（22-23七年級下·陜西安康·期中）一個正數(shù)的兩個不同的平方根分別是和．(1)求和的值．(2)求的平方根．【變式4-3】已知與是一個正數(shù)的平方根，求的值和這個正數(shù)．考點(diǎn)05：已知一個數(shù)的平方根求這個數(shù)例題5．如果和是正數(shù)A的平方根，則A為（

）A．1或9 B．1或 C．1 D．【變式5-1】若一個數(shù)的平方根為和，則這個數(shù)是．【變式5-2】一個正數(shù)x的兩個不同的平方根是和，則a的值為．【變式5-3】（23-24七年級下·廣東東莞·期中）已知一個正數(shù)x的兩個平方根分別是和，求a和x的值．考點(diǎn)06：利用平方根解方程例題6．求下列各式中x的值．(1)；(2)．【變式6-1】（23-24七年級下·貴州安順·期中）滿足方程中的x的值為．【變式6-2】解方程：【變式6-3】（23-24七年級下·福建龍巖·期中）已知，求未知數(shù)x的值考點(diǎn)07：平方根的應(yīng)用例題7．如圖，這是一個3階魔方，由三層完全相同的27個小立方體組成，體積為27．(1)求出這個魔方的棱長．(2)圖中陰影部分是一個正方形，求出陰影部分的面積及其邊長．【變式7-1】（23-24七年級下·山西呂梁·期中）如圖，小英的爸爸在一塊邊長為5米的正方形內(nèi)種植玉米，為了增加產(chǎn)量，小英的爸爸決定擴(kuò)大種植面積，若擴(kuò)大后的正方形面積是現(xiàn)在正方形面積的3.24倍，則邊長需要延長（

）A．3米 B．3.5米 C．4米 D．4.5米【變式7-2】母親節(jié)，是一個感恩母親的節(jié)日．哥哥小宇和弟弟小旭準(zhǔn)備自制節(jié)日禮物送給母親．小旭自制了一張面積為的正方形賀卡，小宇自制了一個面積為的長方形信封，其長寬之比為．小旭自制的賀卡不折疊能完全放入小宇自制的信封中嗎？請通過計(jì)算說明你的判斷．【變式7-3】（23-24七年級下·吉林延邊·期中）如圖，兩個邊長為2的正方形重疊，重疊部分是邊長為a的正方形．若空白部分面積之和為3.5，求a的值．考點(diǎn)08：平方根、立方根的概念理解例題8．有下列說法：①的平方根是4；②表示6的算術(shù)平方根的相反數(shù)；③的立方根是；④是的平方根.其中，正確的說法有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式8-1】判斷下列說法正確的是（

）．A．的平方根是； B．是64的立方根；C．是的立方根； D．的平方根是．【變式8-2】（23-24七年級下·內(nèi)蒙古赤峰·期末）一個數(shù)的平方根和立方根都等于它本身，這個數(shù)是【變式8-3】絕對值是它本身的數(shù)是，平方和平方根都是它本身的數(shù)是，倒數(shù)是它本身的數(shù)是，相反數(shù)是它本身的數(shù)是．考點(diǎn)09：求一個數(shù)的立方根例題9．求下列各式中的值：(1)；(2)；(3)．【變式9-1】的立方根是．【變式9-2】的平方根是，算術(shù)平方根是，?8的立方根是【變式9-3】若，則．【答案】或考點(diǎn)10：已知一個數(shù)的立方根求這個數(shù)例題10．（23-24七年級下·云南曲靖·期中）已知的立方根是3，的算術(shù)平方根是4．(1)求的值；(2)求的平方根．【變式10-1】已知的兩個平方根分別是和的立方根是的值為．【變式10-2】知一個正數(shù)的平方根是和，的立方根為－3．(1)求a，b的值；(2)求的平方根．【變式10-3】（23-24七年級下·貴州安順·期中）若既是的一個平方根，又是的立方根，求的立方根．考點(diǎn)11：算術(shù)平方根與立方根的綜合應(yīng)用例題11．若是的算術(shù)平方根，為的立方根，求的立方根；【變式11-1】（23-24七年級下·山東德州·期末）若的算術(shù)平方根是5，則的立方根是．【變式11-2】（23-24七年級下·河北保定·期末）一個正數(shù)m的平方根是和，求正數(shù)m的立方根．【變式11-3】（23-24七年級下·北京·期中）已知的算術(shù)平方根是3，，求的立方根．一、單選題1．（23-24七年級下·云南曲靖·期中）一個正方形的面積是，則這個正方形的邊長是（

）A．5 B． C． D．2．（23-24七年級下·廣東東莞·期中）在下列各式中正確的是（

）A． B． C． D．3．（23-24七年級下·河北保定·期末）化簡的結(jié)果是（

）A．4 B．6 C． D．0二、填空題4．（23-24七年級下·云南紅河·期末）已知，則的立方根是．5．（23-24七年級下·安徽安慶·期末）已知，則的值是．6．（22-23七年級下·福建廈門·期末）某款儲物箱A的底面是面積為的正方形，在一間長，寬的長方形倉庫中堆放這款儲物箱A，要求儲物箱從墻角開始，依次整齊正向擺放，則一層最多能放下個儲物箱A．7．（22-23七年級下·安徽池州·期末）若，，．三、解答題8．（23-24七年級下·安徽阜陽·期中）求x的值：(1)(2)9．（23-24七年級下·安徽滁州·期中）已知的平方根是，求的立方根．10．（23-24七年級下·安徽合肥·期中）已知x的兩個平方根分別是與，且的立方根是．(1)求a，b的值；(2)求的算術(shù)平方根．

第01講平方根、立方根模塊一思維導(dǎo)圖串知識模塊二基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測1．了解平方根、算術(shù)平方根、立方根的概念，會用根號表示數(shù)的平方根、算術(shù)平方根和立方根；2．會求一個數(shù)的平方根、算術(shù)平方根、立方根；知識點(diǎn)1平方根1.算術(shù)平方根（1）一般地、如果一個正數(shù)的平方等于，即，那么這個正數(shù)叫做的算術(shù)平方根.規(guī)定0的舞術(shù)平方根是0.（2）a的算術(shù)平方根記為，讀作“根號”,叫做被開方數(shù).注意：(1)只有非負(fù)數(shù)才存在算術(shù)平方根，負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根.(2)算術(shù)平方根是它本身的數(shù)只有0和1.(3)算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)，即。2.算術(shù)平方根的規(guī)律被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右或者向左移動2位，它的算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)就相應(yīng)地向右或者向左移動1位.3.無限不循環(huán)小數(shù)無限不循環(huán)小數(shù)是指小數(shù)位數(shù)無限，且小數(shù)部分是不循環(huán)的小數(shù).許多正有理數(shù)的算術(shù)平方根是無限不循環(huán)小數(shù)(例如：，，等).注意：的結(jié)果有兩種情況：當(dāng)是完全平方數(shù)時(shí)，是一個有理數(shù)；當(dāng)不是一個完全平方數(shù)時(shí)，是一個無限不循環(huán)小數(shù).4.平方根的定義一般地，如果一個數(shù)的平方等于,那么這個數(shù)叫做的平方根或二次方根.即如果,那么x叫做的平方根.如2和-2是4的平方根，簡記為±2是4的平方根.5.平方根的表示方法正數(shù)的算術(shù)平方根可以用表示；正數(shù)的負(fù)的平方根，可以用符號“-”表示，故正數(shù)的平方根可以用符號“±”表示，讀作“正、負(fù)根號”.6.平方根的性質(zhì)(1)正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù).(2)負(fù)數(shù)沒有平方根.(3)0的平方根是0.7.開平方(1)定義：求一個數(shù)的平方根的運(yùn)算，叫做開平方，其中數(shù)叫做被開方數(shù).(2)平方運(yùn)算與開平方運(yùn)算是互為逆運(yùn)算的關(guān)系.8.平方根的求法(1)被開方數(shù)是完全平方數(shù)，可以通過開平方運(yùn)算求平方根，81的平方根是±9.(2)被開方數(shù)不是完全平方數(shù)，可用計(jì)算器求正數(shù)的算術(shù)平方根，所得的值是近似值.注意：(1)在求平方根的運(yùn)算中，被開方數(shù)會經(jīng)常以和的形式出現(xiàn)，應(yīng)先將和計(jì)算后，再求其平方根，如的平方根是±2.(2)在進(jìn)行帶分?jǐn)?shù)的開平方運(yùn)算時(shí)，應(yīng)先將帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，再開方.9.,,±的意義(1)表示非負(fù)數(shù)，即,表示的算術(shù)平方根.(2)(a≥0)表示的算術(shù)平方根的相反數(shù)，也表示的負(fù)的平方根.(3)±(a≥0)表示的平方根.當(dāng)>0時(shí)，±表示兩個數(shù)，且這兩個數(shù)互為相反數(shù).知識點(diǎn)2立方根1.立方根的概念與性質(zhì)（1）立方根的定義：如果一個數(shù)的立方等于,那么這個數(shù)就叫做的立方根或三次方根.即如果=，則叫做的立方根.2.表示方法：一個數(shù)的立方根，用符號表示，讀作“三次根號”,其中是被開方數(shù)，3是根指數(shù).3.性質(zhì)(1)正數(shù)的立方根是正數(shù).(2)負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù).(3)0的立方根是0.4.開立方:求一個數(shù)的立方根的運(yùn)算，叫做開立方.開立方是一種運(yùn)算，正如開平方與平方互為逆運(yùn)算一樣，開立方與立方也互為逆運(yùn)算.開立方所得的結(jié)果就是立方根，根據(jù)開立方與立方互為逆運(yùn)算的關(guān)系，我們可以求出一個數(shù)的立方根，或者檢驗(yàn)一個數(shù)是不是某個數(shù)的立方根.注意：(1)開立方時(shí)，被開方數(shù)可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)或零.(2)立方根等于它本身的數(shù)是0,±1.(3)==.(4)當(dāng)求一個帶分?jǐn)?shù)的立方根時(shí)，先將它化為假分?jǐn)?shù)，然后再求它的立方根.5.立方根與平方根的區(qū)別與聯(lián)系（1）聯(lián)系①都與相應(yīng)的乘方互為逆運(yùn)算.開平方與平方互為逆運(yùn)算，開立方與立方互為逆運(yùn)算.②在研究被開方數(shù)和方根的關(guān)系時(shí)，小數(shù)點(diǎn)的移動規(guī)律類似.③0的立方根與平方根都是0.（2）區(qū)別①表示方法不同，用符號表示平方根時(shí)，根指數(shù)2可省略，如±;用符號表示立方根時(shí)，根指數(shù)3不可省略，的立方根必須寫為.②只有非負(fù)數(shù)才有平方根，任何數(shù)都有立方根.③正數(shù)有兩個平方根，但只有一個立方根.④互為相反數(shù)的兩個數(shù)的立方根也互為相反數(shù).6.平方根與立方根的估算要估算“”的近似值，第一步先確定估算數(shù)的整數(shù)范圍，如23<10<33,所以2<<3;第二步以較小整數(shù)為基礎(chǔ)，開始逐步加0.1(或以較大整數(shù)為基礎(chǔ)，開始逐步減0.1),并求其立方確定被估算數(shù)的十分位，…,如此繼續(xù)下去，可按要求估算“”的近似值，即用“夾逼法”.利用“夾逼法”也可確定一個數(shù)的平方根的取值范圍?？键c(diǎn)01：求一個數(shù)的算術(shù)平方根例題1.若，則的算術(shù)平方根是．【答案】【分析】本題主要考查了算術(shù)平方根的定義，求一個數(shù)的平方根，應(yīng)先找出所要求的這個數(shù)是哪一個數(shù)的平方．由開平方和平方是互逆運(yùn)算，用平方的方法求這個數(shù)的平方根，由，利用算術(shù)平方根的定義可以得，求出x的值，即可得出x的算術(shù)平方根．【解析】解：，，，的算術(shù)平方根是，故答案為：．【變式1-1】的算術(shù)平方根為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】此題主要考查了算術(shù)平方根的定義：如果一個數(shù)的平方等于a，那么這個數(shù)就叫做a的平方根，其中非負(fù)的平方根叫做這個數(shù)的算術(shù)平方根．根據(jù)算術(shù)平方根的定義解答即可．【解析】解：的算術(shù)平方根是，故選：A．【變式1-2】已知，則的算術(shù)平方根是．【答案】3【分析】本題考查的是算術(shù)平方根的含義，先求解，再利用算術(shù)平方根的含義可得答案．【解析】解：∵，∴的算術(shù)平方根是，故答案為：【變式1-3】的算術(shù)平方根是，的算術(shù)平方根是．【答案】2【分析】本題主要考查了求一個數(shù)的算術(shù)平方根，對于兩個實(shí)數(shù)a、b若滿足，那么a就叫做b的平方根，若a為非負(fù)數(shù)，那么a就叫做b的算術(shù)平方根，據(jù)此求解即可．【解析】解：∵，而的算術(shù)平方根是，∴的算術(shù)平方根是2，∵，而的算術(shù)平方根是，∴的算術(shù)平方根是，故答案為：2；．考點(diǎn)02：估計(jì)算術(shù)平方根的范圍例題2．（23-24七年級下·湖北孝感·期中）已知，，則．【答案】【分析】本題主要考查了算術(shù)平方根的估算，根據(jù)被開方數(shù)每向左（向右）移動兩位，則開方的結(jié)果的向左（向右）移動一位進(jìn)行求解即可．【解析】解：∵，∴，故答案為：．【變式2-1】估算值是在（

）A．3和4之間 B．4和5之間 C．5和6之間 D．6和7之間【答案】D【分析】本題主要考查二次根式的估算，先估算出的取值范圍，再得出的取值范圍即可．【解析】解：∵，∴，∴，∴值是在6和7之間，故選：D【變式2-2】（2024·江蘇揚(yáng)州·一模）估計(jì)18的算術(shù)平方根介于（

）A．1和2之間 B．2和3之間 C．3和4之間 D．4和5之間【答案】D【分析】本題考查了估算無理數(shù)的大小，利用了算術(shù)平方根與被開方數(shù)的關(guān)系．根據(jù)算術(shù)平方根越大被開方數(shù)越大，可得答案．【解析】解：由，得，即，故選：D．【變式2-3】（23-24七年級下·湖北·期中）已知，那么下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了算術(shù)平方根的估算，根據(jù)被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)每向右（左）移動兩位，其算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)每向右（左）移動一位進(jìn)行求解即可．【解析】解：∵，∴，，這兩個式子都不成立，故選：A．考點(diǎn)03：求一個數(shù)的平方根例題3．（22-23七年級下·貴州遵義·期中）已知a的平方根為，的算術(shù)平方根為2．(1)求a，b的值；(2)求的平方根．【答案】(1)，(2)【分析】此題主要考查了算術(shù)平方根以及平方根；（1）直接利用平方根的定義以及算術(shù)平方根的定義分析得出答案；（2）直接利用平方根的定義分析得出答案．【解析】（1）∵a的平方根為，∴，∵的算術(shù)平方根為2∴，∴；（2）∵，，∴，∴的平方根為．【變式3-1】若，則的平方根是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，求一個數(shù)的平方根，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到，則，再根據(jù)若兩個實(shí)數(shù)a、b滿足，那么a就叫做b的平方根進(jìn)行求解即可．【解析】解：∵，，∴，∴，∴，∴，∴的平方根為，故選：B．【變式3-2】的平方根是．【答案】【分析】本題考查了平方根，根據(jù)平方根的定義即可求解，掌握平方根的定義是解題的關(guān)鍵．【解析】解：的平方根是，故答案為：．【變式3-3】（23-24七年級下·遼寧鐵嶺·期中）已知，求的平方根．【答案】【分析】此題考查絕對值和算術(shù)平方根的非負(fù)性，根據(jù)非負(fù)性得到方程組是解題的關(guān)鍵．根據(jù)絕對值和算術(shù)平方根的非負(fù)性得到方程組，解方程組后即可得到答案．【解析】解：∵，∴，解得：，∴，∴的平方根為．考點(diǎn)04：求代數(shù)式的平方根例題4．一個正數(shù)b的平方根是與，(1)求a和b的值．(2)求平方根．【答案】(1)，(2)【分析】本題主要考查平方根：（1）根據(jù)正數(shù)的兩個平方根互為相反數(shù)，列方程求出a的值，再根據(jù)平方根求出b的值；（2）將（1）中結(jié)果代入，再計(jì)算平方根即可．【解析】（1）解：∵正數(shù)b的平方根是與，∴，∴．∴，，∵9的個平方根是，∴；（2）解：∵，，∴，∴，即平方根是．【變式4-1】（23-24七年級下·山東濱州·期末）若x，y為實(shí)數(shù)，且與互為相反數(shù)，則的平方根為．【答案】【分析】此題主要考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)以及平方根的定義．直接利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得出x，y的值，進(jìn)而利用平方根的定義得出答案．【解析】解：∵與互為相反數(shù)，∴，∴，，解得：，，則，故的平方根為：．故答案為：．【變式4-2】（22-23七年級下·陜西安康·期中）一個正數(shù)的兩個不同的平方根分別是和．(1)求和的值．(2)求的平方根．【答案】(1)(2)【分析】本題考查平方根定義與性質(zhì)、相反數(shù)性質(zhì)，熟記平方根定義與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)平方根性質(zhì)，一個正數(shù)的兩個平方根互為相反數(shù)，列方程求解即可得到答案；（2）由（1）中，代入，利用平方根定義求解即可得到答案．【解析】（1）解：∵一個正數(shù)的兩個不同的平方根分別是和，∴，解得，∴；（2）解：將代入中，得，∵的平方根為，∴的平方根為．【變式4-3】已知與是一個正數(shù)的平方根，求的值和這個正數(shù)．【答案】的值為9，這個正數(shù)是或的值為3，這個正數(shù)是【分析】根據(jù)平方根的定義進(jìn)行計(jì)算即可．【解析】解：當(dāng)如果與相等時(shí)，那么，解得，此時(shí)，則，所以這個正數(shù)為；當(dāng)如果與互為相反數(shù)時(shí)，那么解得，此時(shí)，，則，所以這個正數(shù)為，答：的值為9，這個正數(shù)是或的值為3，這個正數(shù)是．考點(diǎn)05：已知一個數(shù)的平方根求這個數(shù)例題5．如果和是正數(shù)A的平方根，則A為（

）A．1或9 B．1或 C．1 D．【答案】A【分析】此題主要考查了平方根．首先根據(jù)正數(shù)有兩個平方根，它們可能互為相反數(shù)或相等，則列方程求解即可．【解析】解：當(dāng)兩數(shù)互為相反數(shù)時(shí)，，解得：，∴，，則這個正數(shù)為1；當(dāng)兩數(shù)相等時(shí)，，∴，∴，這個正數(shù)是9．故這個正數(shù)為1或9，故選：A．【變式5-1】若一個數(shù)的平方根為和，則這個數(shù)是．【答案】【分析】本題考查了平方根的概念，根據(jù)平方根的概念分得和互為相反數(shù)，據(jù)此即可列出方程求得的值，熟練掌握平方根的概念是解題的關(guān)鍵．【解析】解：∵一個數(shù)的平方根為和，∴和互為相反數(shù)，即，解得，則這個數(shù)是；故答案為：．【變式5-2】一個正數(shù)x的兩個不同的平方根是和，則a的值為．【答案】4【分析】本題考查了平方根的概念，根據(jù)一個正數(shù)的兩個不同的平方根互為相反數(shù)列出式子，計(jì)算即可得出答案．【解析】解：依題意，得：，解得，故答案為：．【變式5-3】（23-24七年級下·廣東東莞·期中）已知一個正數(shù)x的兩個平方根分別是和，求a和x的值．【答案】a的值為4，x的值為25【分析】本題考查平方根，根據(jù)一個正數(shù)的2個平方根互為相反數(shù)，得到，求出的值，進(jìn)而求出x的值即可．【解析】解：依題意得，解得，當(dāng)，，∴故a的值為4，x的值為25．考點(diǎn)06：利用平方根解方程例題6．求下列各式中x的值．(1)；(2)．【答案】(1)；(2)或．【分析】本題考查了平方根的定義，正確理解平方根的定義是解題的關(guān)鍵．（1）利用平方根的定義解方程即可；（2）利用平方根的定義解方程即可；【解析】（1）移項(xiàng)，得，開平方，得；（2）開平方，得，解得：或．【變式6-1】（23-24七年級下·貴州安順·期中）滿足方程中的x的值為．【答案】【分析】本題考查了平方根的性質(zhì)，根據(jù)平方根的性質(zhì)求解即可．【解析】解：，∴，故答案為：．【變式6-2】解方程：【答案】【分析】本題考查了利用平方根的定義解方程，整理方程，利用平方根的定義求解即可．【解析】解：，．【變式6-3】（23-24七年級下·福建龍巖·期中）已知，求未知數(shù)x的值【答案】或【分析】本題主要考查了根據(jù)求平方根的方法解方程，先把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊，再把方程兩邊同時(shí)開方解方程即可．【解析】解：∵，∴，∴或，解得或．考點(diǎn)07：平方根的應(yīng)用例題7．如圖，這是一個3階魔方，由三層完全相同的27個小立方體組成，體積為27．(1)求出這個魔方的棱長．(2)圖中陰影部分是一個正方形，求出陰影部分的面積及其邊長．【答案】(1)3．(2)正方形的面積是5，邊長為．【分析】本題考查了立方根和平方根的意義，熟練掌握立方根和平方根的意義是解答本題的關(guān)鍵．（1）直接根據(jù)立方根的意義求解即可；（2）先求出陰影部分的面積，再根據(jù)平方根的意義求解即可．【解析】（1）設(shè)魔方的棱長為x，根據(jù)題意，得，解得．故魔方的棱長為3．（2）∵魔方的棱長為3，∴陰影面積為：，設(shè)正方形的邊長為y，則，解得，（舍去），故正方形的面積是5，邊長為．【變式7-1】（23-24七年級下·山西呂梁·期中）如圖，小英的爸爸在一塊邊長為5米的正方形內(nèi)種植玉米，為了增加產(chǎn)量，小英的爸爸決定擴(kuò)大種植面積，若擴(kuò)大后的正方形面積是現(xiàn)在正方形面積的3.24倍，則邊長需要延長（

）A．3米 B．3.5米 C．4米 D．4.5米【答案】C【分析】本題考查了平方根的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出方程是解題的關(guān)鍵．設(shè)需要延長邊長x米，則擴(kuò)大后的正方形黃瓜地的邊長為米，根據(jù)擴(kuò)大后的正方形黃瓜地的種植面積是現(xiàn)在的3.24倍，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．【解析】解：設(shè)需要延長邊長x米，則擴(kuò)大后的正方形黃瓜地的邊長為米，依題意得：，即∴解得：，（不符合題意，舍去），∴需要延長邊長4米．故選：C【變式7-2】母親節(jié)，是一個感恩母親的節(jié)日．哥哥小宇和弟弟小旭準(zhǔn)備自制節(jié)日禮物送給母親．小旭自制了一張面積為的正方形賀卡，小宇自制了一個面積為的長方形信封，其長寬之比為．小旭自制的賀卡不折疊能完全放入小宇自制的信封中嗎？請通過計(jì)算說明你的判斷．【答案】能，理由見解析【分析】本題主要考查了平方根的應(yīng)用．先求出正方形的邊長為，然后設(shè)長方形的信封的長為，寬為，根據(jù)題意可得，從而確定長方形的長寬即可得出結(jié)果．【解析】解：能，理由如下：∵正方形賀卡的面積為，∴正方形的邊長為，設(shè)長方形的信封的長為，寬為，依題得：，即，∴，∴或（舍去），∴，∴能將這張賀卡不折疊地放入此信封中．【變式7-3】（23-24七年級下·吉林延邊·期中）如圖，兩個邊長為2的正方形重疊，重疊部分是邊長為a的正方形．若空白部分面積之和為3.5，求a的值．【答案】【分析】本題考查平方根的應(yīng)用，解理的關(guān)鍵是看懂重疊部分、空白部分與兩個正方形面積之間的關(guān)系．根據(jù)大小正方形的面積之差的2倍等于重疊部分面積，由此列式可解．【解析】解：∵空白部分面積之和為，∴∴則∵∴考點(diǎn)08：平方根、立方根的概念理解例題8．有下列說法：①的平方根是4；②表示6的算術(shù)平方根的相反數(shù)；③的立方根是；④是的平方根.其中，正確的說法有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】本題考查了平方根、立方根的相關(guān)概念，掌握相關(guān)結(jié)論即可．【解析】解：①，的平方根是，故①錯誤；②表示6的算術(shù)平方根的相反數(shù)，故②正確；③的立方根是，故③正確；④，是的平方根，故④正確；故選：C【變式8-1】判斷下列說法正確的是（

）．A．的平方根是； B．是64的立方根；C．是的立方根； D．的平方根是．【答案】C【分析】本題考查了平方根、立方根的定義，根據(jù)平方根、立方根的定義逐項(xiàng)判定即可．【解析】解∶A．是負(fù)數(shù)，沒有平方根，故原說法錯誤，不符合題意；B．4是64的立方根，故原說法錯誤，不符合題意；C．是的立方根，故原說法正確，符合題意；D．的平方根是，故原說法錯誤，不符合題意；故選∶C．【變式8-2】（23-24七年級下·內(nèi)蒙古赤峰·期末）一個數(shù)的平方根和立方根都等于它本身，這個數(shù)是【答案】【分析】此題主要考查了平方根和立方根的定義和性質(zhì)，任意一個數(shù)都有立方根，正數(shù)的立方根是正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)，的立方根是．根據(jù)平方根和立方根的性質(zhì)解答即可．【解析】解：∵的平方根是它本身，的立方根是它本身，∴一個數(shù)的平方根和立方根都等于它本身，這個數(shù)是．故答案為：．【變式8-3】絕對值是它本身的數(shù)是，平方和平方根都是它本身的數(shù)是，倒數(shù)是它本身的數(shù)是，相反數(shù)是它本身的數(shù)是．【答案】正數(shù)和000【分析】本題考查了絕對值，倒數(shù)，相反數(shù)和平方根的性質(zhì)，據(jù)此相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容進(jìn)行逐項(xiàng)分析，即可作答．【解析】解：絕對值是它本身的數(shù)是正數(shù)和0，平方和平方根都是它本身的數(shù)是0，倒數(shù)是它本身的數(shù)是，相反數(shù)是它本身的數(shù)是0．故答案為：正數(shù)和0，0，，0．考點(diǎn)09：求一個數(shù)的立方根例題9．求下列各式中的值：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查的是解方程，靈活運(yùn)用立方根解方程是關(guān)鍵．（1）利用立方根解方程即可；（2）整理后，利用立方根解方程即可；（3）利用立方根解方程即可．【解析】（1）解：，方程可化為，；（2）解：，方程可化為，；（3）解：，方程可化為，，．【變式9-1】的立方根是．【答案】2【分析】本題考查了算術(shù)平方根，平方根，熟練掌握算術(shù)平方根，平方根是解題的關(guān)鍵；先求出的值，再求出其立方根即可．【解析】解：，的立方根是2，故答案為：2．【變式9-2】的平方根是，算術(shù)平方根是，的立方根是【答案】【分析】本題主要考查了求一個數(shù)的平方根，算術(shù)平方根和立方根，對于兩個實(shí)數(shù)a、b若滿足，那么a就叫做b的平方根，若a為非負(fù)數(shù)，那么a就叫做b的算術(shù)平方根，對于兩個實(shí)數(shù)a、b若滿足，那么a就叫做b的立方根，據(jù)此求解即可．【解析】解：的平方根是，算術(shù)平方根是，的立方根是，故答案為：；．【變式9-3】若，則．【答案】或【分析】本題考查利用算術(shù)平方根定義解方程，涉及算術(shù)平方根、平方根及立方根定義與求法，利用平方根、算術(shù)平方根及立方根的解法求解即可得到答案，熟記平方根及立方根定義是解決問題的關(guān)鍵．【解析】解：，，解得或，故答案為或．考點(diǎn)10：已知一個數(shù)的立方根求這個數(shù)例題10．（23-24七年級下·云南曲靖·期中）已知的立方根是3，的算術(shù)平方根是4．(1)求的值；(2)求的平方根．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了算術(shù)平方根和立方根的定義及代數(shù)式求值，熟練掌握算術(shù)平方根和立方根的定義是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)算術(shù)平方根和立方根的定義列方程組求解即可；（2）將（1）中的結(jié)果代入中求出值，再求平方根即可．【解析】（1）由的立方根是3，的算術(shù)平方根是4，可得：，解得：．（2）由（1）可知，∵，∵的平方根是，∴的平方根為．【變式10-1】已知的兩個平方根分別是和的立方根是的值為．【答案】185【分析】本題考查了平方根，立方根的應(yīng)用，注意：一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)，0的平方根是0，負(fù)數(shù)沒有平方根．根據(jù)一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)得出方程，求出，即可求出x、y,代入求出即可．【解析】解：∵的兩個平方根分別是和，∴，解得，，∴，∵的立方根是，∴，∴．【變式10-2】知一個正數(shù)的平方根是和，的立方根為－3．(1)求a，b的值；(2)求的平方根．【答案】(1)，(2)【分析】本題考查的是平方根、立方根和算術(shù)平方根的定義，正數(shù)的平方根有兩個，且互為相反數(shù)；正數(shù)的算術(shù)平方根是正數(shù)，0的算術(shù)平方根是0，負(fù)數(shù)沒有平方根．（1）利用正數(shù)的平方根有兩個，且互為相反數(shù)列出方程，求出方程的解即可得到a的值，根據(jù)立方根的定義求出b的值；（2）根據(jù)平方根的定義求值．【解析】（1）解：（1）由題意得，，，解得：，；（2）解：∵，∴的平方根是．【變式10-3】（23-24七年級下·貴州安順·期中）若既是的一個平方根，又是的立方根，求的立方根．【答案】1【分析】本題主要考查了立方根，平方根的定義，先根據(jù)立方根，平方根的定義，求出a，b的值，然后代入求出，然后再根據(jù)立方根的定義求解即可．【解析】解：既是的一個平方根，又是的立方根，∴，，∴，，∴，∴的立方根還是1．考點(diǎn)11：算術(shù)平方根與立方根的綜合應(yīng)用例題11．若是的算術(shù)平方根，為的立方根，求的立方根；【答案】的立方根是1．【分析】本題考查了算術(shù)平方根以及立方根的定義．根據(jù)算術(shù)平方根以及立方根的定義，A和B的根指數(shù)分別是2和3，即可得到一個關(guān)于a，b的方程組求得a，b的值，進(jìn)而得到A、B的值，從而求解．【解析】解：根據(jù)題意得：，解得：，則，，則，∴的立方根是1．【變式11-1】（23-24七年級下·山東德州·期末）若的算術(shù)平方根是5，則的立方根是．【答案】2【分析】本題考查算術(shù)平方根，立方根．根據(jù)的算術(shù)平方根是5可得，從而求出a的值，進(jìn)而求出，即可求出它的立方根．【解析】解：∵的算術(shù)平方根是5，∴，∴，∴，∴的立方根是2．故答案為：2【變式11-2】（23-24七年級下·河北保定·期末）一個正數(shù)m的平方根是和，求正數(shù)m的立方根．【答案】【分析】本題主要考查平方根，立方根的知識，根據(jù)題意求出，再求出，再進(jìn)行計(jì)算即可．【解析】解：由題意得，解得，∴∴∴【變式11-3】（23-24七年級下·北京·期中）已知的算術(shù)平方根是3，，求的立方根．【答案】【分析】本題主要考查了算術(shù)平方根和立方根的定義，根據(jù)的算術(shù)平方根是3，，先求出，，然后再代入求值即可．【解析】解：∵，，∴，，∴，，∴．一、單選題1．（23-24七年級下·云南曲靖·期中）一個正方形的面積是，則這個正方形的邊長是（

）A．5 B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查的是算術(shù)平方根的概念以及正方形的面積的計(jì)算，掌握算術(shù)平方根的概念是解題的關(guān)鍵．根據(jù)算術(shù)平方根的概念以及正方形的面積公式計(jì)算即可