2025年滬科版七年級(jí)數(shù)學(xué)寒假?gòu)?fù)習(xí) 專(zhuān)題05 幾何圖形初步

專(zhuān)題05幾何圖形初步考點(diǎn)聚焦：核心考點(diǎn)+中考考點(diǎn)，有的放矢重點(diǎn)專(zhuān)攻：知識(shí)點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)梳理，查漏補(bǔ)缺提升專(zhuān)練：真題感知+精選專(zhuān)練，全面突破知識(shí)點(diǎn)1：幾何圖形1.點(diǎn)、線、面、體的關(guān)系2.常見(jiàn)的幾何體分類(lèi)圖例特征柱體圓柱底面是圓，側(cè)面是曲的面有兩個(gè)面（底面）互相平行且能完全重合棱柱底面是多邊形，側(cè)面是平行四邊形錐體圓錐底面是圓，側(cè)面是曲的面有一個(gè)頂點(diǎn)棱錐底面是多邊形，側(cè)面是三角形各側(cè)面有一個(gè)公共頂點(diǎn) 球體表面是曲的面知識(shí)點(diǎn)2：線段、射線、直線1.直線、射線、線段的區(qū)別與聯(lián)系直線射線線段區(qū)別圖形表示方法直線AB或直線l射線OA線段AB或線段a端點(diǎn)個(gè)數(shù)012延伸情況向兩方無(wú)限延伸向一方無(wú)限延伸不能延伸度量情況不能度量不能度量能度量2.線段的基本事實(shí)和兩點(diǎn)之間的距離（1）線段的基本事實(shí)：兩點(diǎn)之間的所有連線中，線段最短；（2）兩點(diǎn)之間的距離：兩點(diǎn)之間線段的長(zhǎng)度，叫做這兩點(diǎn)間的距離.知識(shí)點(diǎn)3：角1.角的表示方法2.角的分類(lèi)3.角的單位換算1周角=3600

1平角=18004.角的和、差5.角平分線、補(bǔ)角和余角（1）角的平分線在角的內(nèi)部，以角的頂點(diǎn)為端點(diǎn)的一條射線把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，這條射線叫做這個(gè)角的平分線.（2）補(bǔ)角如果兩個(gè)角的和等于一個(gè)平角，那么我們就稱(chēng)這兩個(gè)角互為補(bǔ)角，簡(jiǎn)稱(chēng)互補(bǔ).（3）余角如果兩個(gè)角的和等于一個(gè)直角，那么我們就稱(chēng)這兩個(gè)角互為余角，簡(jiǎn)稱(chēng)互余.（4）余角、補(bǔ)角的性質(zhì)①同角（或等角）的余角相等；②同角（或等角）的補(bǔ)角相等.題型歸納【考點(diǎn)01幾何體】1．（23-24七年級(jí)上·湖北宜昌·期末）下列四個(gè)幾何體中，是圓柱的是（

）A．B． C． D．2．（22-23七年級(jí)上·湖北隨州·期末）下列幾何體中，含有曲面的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)3．（24-25七年級(jí)上·河北石家莊·期中）如圖，從一個(gè)棱長(zhǎng)為的正方體的一頂點(diǎn)處挖去一個(gè)棱長(zhǎng)為的正方體，則第二個(gè)幾何體有（）個(gè)面．A．6 B．7 C．8 D．94．（22-23七年級(jí)上·山東臨沂·期末）如圖，正方體的6個(gè)面上分別標(biāo)有漢字“河”“東”“初”“中”“數(shù)”“學(xué)”，將該正方體按圖示方式轉(zhuǎn)動(dòng)，根據(jù)圖形可得與“學(xué)”相對(duì)的是（）A．河 B．東 C．初 D．?dāng)?shù)【考點(diǎn)02點(diǎn)線面體之間的聯(lián)系】1．（23-24七年級(jí)上·山東德州·期末）朱自清的《春》一文里，在描寫(xiě)春雨時(shí)有“像牛毛，像細(xì)絲，密密地斜織著”的語(yǔ)句，這里用數(shù)學(xué)的眼光來(lái)看其實(shí)是把雨滴看成了，把雨看成，說(shuō)明（

）A．點(diǎn)；直線；點(diǎn)動(dòng)成線 B．點(diǎn)；線；點(diǎn)動(dòng)成線 C．線；面；線動(dòng)成面 D．線；面；面動(dòng)成體2．（23-24七年級(jí)下·黑龍江綏化·期末）如圖，如果以直角三角形的一條直角邊為軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)圓錐，這個(gè)圓錐的體積最大是______立方厘米．（

）A．37.68 B．50.24 C．78.5 D．6283．（24-25六年級(jí)上·山東青島·期中）流星劃破夜空，留下美麗的弧線，這說(shuō)明了．4．（23-24七年級(jí)上·河南商丘·期末）紙翻花是我國(guó)傳統(tǒng)的紙制工藝品，它花里有花，花中變花，花姿優(yōu)美，栩栩如生，深受兒童的喜愛(ài)，轉(zhuǎn)動(dòng)翻花的花柄平面圖形變換成不同的美麗的立體圖形，這說(shuō)明了．【考點(diǎn)03直線、射線、線段之間的區(qū)別與聯(lián)系】1．（23-24七年級(jí)上·河北保定·期末）下列說(shuō)法：（1）兩點(diǎn)確定一條線段；（2）畫(huà)一條射線，使它的長(zhǎng)度為；（3）線段和線段是同一條線段；（4）射線和射線是同一條射線；（5）直線和直線是同一條直線．其中錯(cuò)誤的有（）個(gè)A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．（22-23七年級(jí)上·廣西賀州·期末）如圖，下列說(shuō)法中：①線段與線段是同一條線段；②線段與線段是同一條線段；③直線與直線是同一條直線；④點(diǎn)A在線段上；⑤點(diǎn)C在射線上，正確的有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)3．（23-24七年級(jí)上·河南平頂山·期末）如圖，對(duì)于圖中直線的描述，正確的是（

）A．圖中有直線 B．圖中有直線C．直線與直線交于點(diǎn)O D．直線與直線m交于點(diǎn)O4．（23-24七年級(jí)上·河南新鄉(xiāng)·期末）下列幾何圖形與相應(yīng)語(yǔ)言描述相符的是（

）A．如圖1所示，點(diǎn)C在線段上B．如圖2所示，射線經(jīng)過(guò)點(diǎn)AC．如圖3所示，直線a和直線b相交于點(diǎn)AD．如圖4所示，射線和線段沒(méi)有交點(diǎn)【考點(diǎn)04線段的長(zhǎng)短】1．（23-24七年級(jí)上·安徽合肥·期末）已知C為的中點(diǎn)，E為線段上的一點(diǎn)，D為線段的中點(diǎn)．（1）如圖①，若，，則；（2）如圖②，若，，則．2．（23-24七年級(jí)上·安徽合肥·期末）如圖，B，C兩點(diǎn)把線段分成三部分，P是的中點(diǎn)，已知，求線段的長(zhǎng)．3．（23-24七年級(jí)上·安徽合肥·期末）如圖，已知線段a、b、及內(nèi)部一點(diǎn)P．按下列要求畫(huà)出圖形（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；①用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)在∠O的一條邊上作線段，另一條邊上作線段；②畫(huà)出直線；③畫(huà)射線與直線相交于點(diǎn)C；4．（23-24七年級(jí)上·北京·期末）如圖，線段，動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿射線運(yùn)動(dòng)，M為的中點(diǎn)．(1)出發(fā)多少秒后，？(2)當(dāng)P在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試說(shuō)明為定值．(3)當(dāng)P在延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，N為的中點(diǎn)，下列兩個(gè)結(jié)論：長(zhǎng)度不變；的值不變．選擇一個(gè)正確的結(jié)論，并求出其值．【考點(diǎn)05角的概念與表示】1．（23-24七年級(jí)上·河北廊坊·期末）如圖，從點(diǎn)O處觀測(cè)點(diǎn)A，點(diǎn)D的方向，下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（

）A．點(diǎn)A在點(diǎn)O的北偏東方向上 B．點(diǎn)D在點(diǎn)O的東南方向上C．點(diǎn)A在點(diǎn)O的北偏東方向上 D．點(diǎn)D在點(diǎn)O的南偏東方向上2．（23-24七年級(jí)上·江蘇泰州·期末）比較大?。海ㄓ谩?gt;”“<”“=”填空）．3．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）在我國(guó)古代，人們用“銅壺滴漏”的方法計(jì)時(shí)，把一晝夜分為十二時(shí)辰，對(duì)應(yīng)于今天的二十四小時(shí)，又劃為九十六刻，一刻對(duì)應(yīng)于今天的十五分鐘．已知寅時(shí)為凌晨三點(diǎn)到五點(diǎn)．則寅時(shí)二刻所對(duì)應(yīng)鐘表時(shí)間的時(shí)針和分針之間所夾的角度為．4．（23-24七年級(jí)上·湖北孝感·期末）計(jì)算：(1)(2)【考點(diǎn)06三角板中的角度計(jì)算問(wèn)題】1．（23-24七年級(jí)下·云南大理·期末）如圖，把一個(gè)含角的三角板的直角頂點(diǎn)放置在直線上，過(guò)作直線，使，若，平分，將三角板以每秒的速度繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到三角形，同時(shí)直線以每秒的速度繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到直線，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為秒．(1)求的度數(shù)；(2)當(dāng)直線平分時(shí)，求旋轉(zhuǎn)時(shí)間的值．2．（22-23七年級(jí)上·湖北武漢·期末）將三角板的直角頂點(diǎn)O放置在直線上．(1)如圖，且，射線平分，則的大小為；(2)在（1）的條件下，射線平分，射線平分，求的度數(shù)；(3)若將三角板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，射線平分，射線平分．請(qǐng)寫(xiě)出與度數(shù)的等量關(guān)系：．3．（24-25七年級(jí)上·河北石家莊·期中）把一副三角尺與按如圖所示那樣拼在一起，其中A、B、D三點(diǎn)在同一直線上，BM為的平分線．(1)求和的度數(shù)；(2)若為的平分線，求的度數(shù)．(3)若將圖中三角尺逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)20度，則大小變化嗎？（選填不變、增大或縮小多少度）請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論．4．（23-24七年級(jí)上·江蘇泰州·期末）（1）將一副直角三角板，按如圖1所示位置擺放，，．分別作，的平分線，．試求的度數(shù)；（2）將三角板從圖1位置開(kāi)始繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2所示的位置，，仍然是，的平分線．試求的度數(shù)；（3）將三角板從圖1位置開(kāi)始繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，，仍然是，的平分線．在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，的度數(shù)會(huì)發(fā)生改變嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【考點(diǎn)07角平分線的有關(guān)計(jì)算】1．（24-25七年級(jí)上·遼寧沈陽(yáng)·期末）如圖所示，點(diǎn)在直線上，射線平分，射線平分，射線在內(nèi)，下列說(shuō)法中不正確的是（

）A．是鈍角 B．是銳角 C．是直角 D．是平角2．（23-24七年級(jí)上·湖南婁底·期末）如圖，O為直線上一點(diǎn)，平分．(1)求出的度數(shù)；(2)請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明是否平分．3．（23-24七年級(jí)上·浙江杭州·期末）直線相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作．(1)如圖1，若，求的度數(shù)．(2)如圖2，作射線使，則是的平分線．請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)在圖1上作，寫(xiě)出與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．4．（23-24七年級(jí)上·天津·期末）探究題：已知O為直線上的一點(diǎn)，以O(shè)為頂點(diǎn)作，射線平分．(1)如圖1，若，則________．(2)若將繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，射線仍然平分，請(qǐng)寫(xiě)出與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)若將繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至圖3的位置，射線仍然平分求的度數(shù)．【考點(diǎn)08余角與補(bǔ)角的計(jì)算】1．（22-23七年級(jí)上·安徽蕪湖·期末）利用折紙可以作出角平分線，如圖1折疊，則為的平分線，如圖2、圖3，折疊長(zhǎng)方形紙片，，均是折痕，折疊后，點(diǎn)A落在點(diǎn)，點(diǎn)B落在點(diǎn)，連接．(1)如圖2，若點(diǎn)恰好落在上，且，則；(2)如圖3，當(dāng)點(diǎn)在的內(nèi)部時(shí)，連接，若，，求的度數(shù)．2．（23-24七年級(jí)上·浙江寧波·期末）如圖，直角三角板的直角頂點(diǎn)O在直線上，平分．(1)比較和的大小，并說(shuō)明理由；(2)若平分，求的度數(shù)．3．（23-24七年級(jí)上·湖北武漢·期末）已知在的內(nèi)部，，是補(bǔ)角的（本題出現(xiàn)的角均指不大于平角的角）．(1)如圖1，求的值；(2)在（1）的條件下，平分，射線滿(mǎn)足，求的大?。?3)如圖2，若，射線繞點(diǎn)O以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，同時(shí)射線以每秒的速度繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)射線與重合后，再以每秒的速度繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)．設(shè)射線，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（），當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出t的值．4．（23-24七年級(jí)上·湖南婁底·期末）定義：如果兩個(gè)角的差的絕對(duì)值等于，就稱(chēng)這兩個(gè)角互為垂角，例如：，，則和互為垂角．(1)如圖1，O為直線上的一點(diǎn)，，直接寫(xiě)出圖中一對(duì)垂角；(2)如果一個(gè)銳角的垂角等于這個(gè)角的余角的3倍，求這個(gè)角的度數(shù)；(3)如圖2，O為直線上的一點(diǎn)，若，且射線繞O以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，射線繞點(diǎn)O以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，兩條射線同時(shí)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（），試求當(dāng)t為何值時(shí)，和互為垂角？過(guò)關(guān)檢測(cè)一、單選題1．（23-24七年級(jí)上·廣東佛山·期末）下列說(shuō)法：其中正確的是（

）A．一個(gè)有理數(shù)不是整數(shù)就是分?jǐn)?shù) B．絕對(duì)值等于本身的數(shù)只有C．如果，則點(diǎn)是線段的中點(diǎn) D．一個(gè)角的兩邊越長(zhǎng)，角度越大2．（24-25七年級(jí)上·河北石家莊·期中）有兩根木條，一根長(zhǎng)為，另一根長(zhǎng)為，在它們的中點(diǎn)處各有一個(gè)小圓孔、（圓孔直徑忽略不計(jì)，、抽象成兩個(gè)點(diǎn)），將它們的一端重合，放置在同一條直線上，此時(shí)兩根木條的小圓孔之間的距離是（

）A． B．C．或 D．以上都不對(duì)3．（23-24七年級(jí)上·河北石家莊·期末）點(diǎn)C是線段上任意一點(diǎn)，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．當(dāng)點(diǎn)C為的中點(diǎn)時(shí)，C．如果，那么 D．如果，那么4．（24-25七年級(jí)上·山東威海·期中）如圖，將一副三角尺按不同位置擺放，擺放方式中的圖形有（）A． B．C． D．5．（23-24七年級(jí)上·重慶·期末）如圖，將一副三角尺疊放在一起，使直角頂點(diǎn)重合于點(diǎn)O，若，為的角平分線，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．6．（23-24七年級(jí)上·重慶渝北·期末）如圖，已知A、B是線段上兩點(diǎn)，，、分別為、的中點(diǎn)，且，則長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．7．（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·期末）用正方形硬紙板做三棱柱盒子，每個(gè)盒子由3個(gè)長(zhǎng)方形側(cè)面和2個(gè)正三角形底面組成．硬紙板以如圖兩種方法裁剪(裁剪后邊角料不再利用)．A方法：剪6個(gè)側(cè)面；B方法：剪4個(gè)側(cè)面和5個(gè)底面．現(xiàn)有19張硬紙板，裁剪時(shí)x張用A方法，其余用B方法．若裁剪出的側(cè)面和底面恰好全部用完，則能做成三棱柱盒子的個(gè)數(shù)為（

）A．24 B．30 C．32 D．368．（23-24七年級(jí)上·湖南婁底·期末）某公司員工分別住在A，B，C三個(gè)住宅區(qū)，A區(qū)有30人，B區(qū)有15人，C區(qū)有10人．三個(gè)區(qū)在一條直線上，位置如圖所示，．公司的接送打算在此間只設(shè)一個(gè)?？奎c(diǎn)，要使所有員工步行到?？奎c(diǎn)的路程總和最少，那么?？奎c(diǎn)的位置應(yīng)在（

）A．A區(qū) B．B區(qū) C．C區(qū) D．不確定二、填空題9．（23-24七年級(jí)上·遼寧沈陽(yáng)·期末）如圖，是一個(gè)正方體的展開(kāi)圖，折疊后它們的相對(duì)兩面的數(shù)字之和相等，則的值為．10．（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·期末）將一張長(zhǎng)方形紙片按如圖所示的方式折疊，為折痕．，則＝度．11．（23-24七年級(jí)上·湖南衡陽(yáng)·期末）在銳角內(nèi)部，畫(huà)出1條射線，可以畫(huà)出3個(gè)銳角；畫(huà)出2條不同的射線，可以畫(huà)出6個(gè)銳角；畫(huà)出3條不同的射線，可以畫(huà)出10個(gè)銳角……照此規(guī)律，畫(huà)2020條不同的射線，可以畫(huà)出個(gè)銳角．12．（23-24七年級(jí)上·重慶沙坪壩·期末）如圖，直線于點(diǎn)，，三角形其中一個(gè)頂點(diǎn)與點(diǎn)重合，，平分，現(xiàn)將三角形以每秒的速度繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至三角形，同時(shí)直線也以每秒的速度繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，當(dāng)直線平分時(shí)，則．三、解答題13．（23-24七年級(jí)上·廣東廣州·期末）如圖，點(diǎn)C是線段上的一點(diǎn)，點(diǎn)M是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)N是線段的中點(diǎn)．(1)如果，，求的長(zhǎng)；(2)如果，求的長(zhǎng)．14．（24-25七年級(jí)上·遼寧沈陽(yáng)·期末）已知平面內(nèi)有A，B，C三點(diǎn)．(1)按下列要求畫(huà)圖：①作射線，線段；②延長(zhǎng)到D，使，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，點(diǎn)F是的中點(diǎn)；(2)在（1）的條件下，若，求的長(zhǎng)．15．（22-23七年級(jí)上·云南紅河·期末）如圖，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，以為頂點(diǎn)作，且、位于直線兩側(cè)，平分．(1)當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)．(2)請(qǐng)你猜想和的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．16．（24-25七年級(jí)上·遼寧錦州·期中）如圖，把一邊長(zhǎng)為的正方形紙板的四個(gè)角各剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為的小正方形，然后把它折成一個(gè)無(wú)蓋紙盒．(1)求該紙盒的表面積；（用x，y表示）(2)若時(shí)，求該紙盒的體積；(3)為了使紙盒底面更加牢固且達(dá)到廢物利用的目的，現(xiàn)考慮將剪下的四個(gè)小正方形平鋪在盒子的底面，要求既不重疊又恰好鋪滿(mǎn)（不考慮紙板的厚度），請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)x與y之間的倍數(shù)關(guān)系．17．（23-24七年級(jí)上·福建莆田·期末）在數(shù)軸上，點(diǎn)為原點(diǎn)，點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為，且、滿(mǎn)足．(1)求線段的長(zhǎng)；(2)，兩點(diǎn)分別從，兩點(diǎn)同時(shí)沿?cái)?shù)軸的正方向運(yùn)動(dòng)，在到達(dá)點(diǎn)前，，兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度分別為個(gè)單位長(zhǎng)度/秒和個(gè)單位長(zhǎng)度/秒．當(dāng)點(diǎn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)后，它的速度變?yōu)樵俣鹊囊话耄稽c(diǎn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)后，它的速度變?yōu)樵俣鹊谋叮O(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．①當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時(shí)，求線段的長(zhǎng)；②數(shù)軸上點(diǎn)表示的數(shù)為，當(dāng)時(shí)，求的值．18．（22-23七年級(jí)上·四川綿陽(yáng)·期末）如圖1所示，點(diǎn)在直線上，一副直角三角板的直角頂點(diǎn)與點(diǎn)重合，直角邊，在直線上，．(1)將圖1中的三角板繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，若與互補(bǔ)，的余角比它的補(bǔ)角的一半少，求的度數(shù)；(2)將圖1中的三角板繞點(diǎn)按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖3，，，平分，求的度數(shù)．（用含的代數(shù)式表示）19．（22-23七年級(jí)上·吉林·期末）如圖，在直線上順次取，，三點(diǎn)，已知，，點(diǎn)，分別從，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．當(dāng)其中一動(dòng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，，同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．已知點(diǎn)的速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．(1)用含的式子表示線段的長(zhǎng)度為_(kāi)_____；(2)當(dāng)為何值時(shí)，，兩點(diǎn)重合？(3)若點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn)．問(wèn)：是否存在時(shí)間，使長(zhǎng)度為5？若存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．20．（23-24七年級(jí)上·河南鄭州·期末）綜合與探究【問(wèn)題情境】將一副三角尺按如圖1所示位置擺放，三角尺中，，；三角尺中，，，．分別作的角平分線．【初步探究】現(xiàn)將三角尺按照?qǐng)D2，圖3所示的方式擺放，仍然是的角平分線．在圖2中與重合，在圖3中與重合在一起．（1）計(jì)算：圖2中的度數(shù)為_(kāi)__________°，圖3中的度數(shù)為_(kāi)__________°（直接寫(xiě)出答案）．【深入探究】（2）通過(guò)初步探究，請(qǐng)你猜想圖1中的度數(shù)為_(kāi)__________°．如果設(shè)，請(qǐng)求出圖1中的度數(shù)．【類(lèi)比拓展】（3）再將三角尺按照?qǐng)D4所示的方式擺放，仍然是的平分線．請(qǐng)你求出的度數(shù)．

專(zhuān)題05幾何圖形初步考點(diǎn)聚焦：核心考點(diǎn)+中考考點(diǎn)，有的放矢重點(diǎn)專(zhuān)攻：知識(shí)點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)梳理，查漏補(bǔ)缺提升專(zhuān)練：真題感知+精選專(zhuān)練，全面突破知識(shí)點(diǎn)1：幾何圖形1.點(diǎn)、線、面、體的關(guān)系2.常見(jiàn)的幾何體分類(lèi)圖例特征柱體圓柱底面是圓，側(cè)面是曲的面有兩個(gè)面（底面）互相平行且能完全重合棱柱底面是多邊形，側(cè)面是平行四邊形錐體圓錐底面是圓，側(cè)面是曲的面有一個(gè)頂點(diǎn)棱錐底面是多邊形，側(cè)面是三角形各側(cè)面有一個(gè)公共頂點(diǎn) 球體表面是曲的面知識(shí)點(diǎn)2：線段、射線、直線1.直線、射線、線段的區(qū)別與聯(lián)系直線射線線段區(qū)別圖形表示方法直線AB或直線l射線OA線段AB或線段a端點(diǎn)個(gè)數(shù)012延伸情況向兩方無(wú)限延伸向一方無(wú)限延伸不能延伸度量情況不能度量不能度量能度量2.線段的基本事實(shí)和兩點(diǎn)之間的距離（1）線段的基本事實(shí)：兩點(diǎn)之間的所有連線中，線段最短；（2）兩點(diǎn)之間的距離：兩點(diǎn)之間線段的長(zhǎng)度，叫做這兩點(diǎn)間的距離.知識(shí)點(diǎn)3：角1.角的表示方法2.角的分類(lèi)3.角的單位換算1周角=3600

1平角=18004.角的和、差5.角平分線、補(bǔ)角和余角（1）角的平分線在角的內(nèi)部，以角的頂點(diǎn)為端點(diǎn)的一條射線把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，這條射線叫做這個(gè)角的平分線.（2）補(bǔ)角如果兩個(gè)角的和等于一個(gè)平角，那么我們就稱(chēng)這兩個(gè)角互為補(bǔ)角，簡(jiǎn)稱(chēng)互補(bǔ).（3）余角如果兩個(gè)角的和等于一個(gè)直角，那么我們就稱(chēng)這兩個(gè)角互為余角，簡(jiǎn)稱(chēng)互余.（4）余角、補(bǔ)角的性質(zhì)①同角（或等角）的余角相等；②同角（或等角）的補(bǔ)角相等.題型歸納【考點(diǎn)01幾何體】1．（23-24七年級(jí)上·湖北宜昌·期末）下列四個(gè)幾何體中，是圓柱的是（

）A．B． C． D．【答案】B【解析】解：A、是四棱錐，故不符合題意；B、是圓柱，故符合題意；C、是四棱柱，故不符合題意；D、是三棱柱，故不符合題意；故選：B．2．（22-23七年級(jí)上·湖北隨州·期末）下列幾何體中，含有曲面的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【解析】解：球的表面是曲面，圓柱的側(cè)面是曲面，三棱柱由兩個(gè)三角形和三個(gè)矩形組成，都是平面圖形，六棱柱由兩個(gè)六邊形，六個(gè)矩形組成，都是平面圖形．∴含有曲面的有2個(gè)．故選B．3．（24-25七年級(jí)上·河北石家莊·期中）如圖，從一個(gè)棱長(zhǎng)為的正方體的一頂點(diǎn)處挖去一個(gè)棱長(zhǎng)為的正方體，則第二個(gè)幾何體有（）個(gè)面．A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【解析】解：因?yàn)閺囊粋€(gè)棱長(zhǎng)為的正方體的一頂點(diǎn)處挖去一個(gè)棱長(zhǎng)為的正方體，增加了三個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形面，所以第二個(gè)幾何體有9個(gè)面．故選：D．4．（22-23七年級(jí)上·山東臨沂·期末）如圖，正方體的6個(gè)面上分別標(biāo)有漢字“河”“東”“初”“中”“數(shù)”“學(xué)”，將該正方體按圖示方式轉(zhuǎn)動(dòng)，根據(jù)圖形可得與“學(xué)”相對(duì)的是（）A．河 B．東 C．初 D．?dāng)?shù)【答案】C【解析】由第一次旋轉(zhuǎn)知，與“中”相對(duì)的是“數(shù)”，由第二次旋轉(zhuǎn)知，與“學(xué)”相對(duì)是的“學(xué)”，故選：C【考點(diǎn)02點(diǎn)線面體之間的聯(lián)系】1．（23-24七年級(jí)上·山東德州·期末）朱自清的《春》一文里，在描寫(xiě)春雨時(shí)有“像牛毛，像細(xì)絲，密密地斜織著”的語(yǔ)句，這里用數(shù)學(xué)的眼光來(lái)看其實(shí)是把雨滴看成了，把雨看成，說(shuō)明（

）A．點(diǎn)；直線；點(diǎn)動(dòng)成線 B．點(diǎn)；線；點(diǎn)動(dòng)成線 C．線；面；線動(dòng)成面 D．線；面；面動(dòng)成體【答案】B【解析】解：由題意可得，這里用數(shù)學(xué)的眼光來(lái)看其實(shí)是把雨滴看成了點(diǎn)，把雨看成線，說(shuō)明點(diǎn)動(dòng)成線，故選：B．2．（23-24七年級(jí)下·黑龍江綏化·期末）如圖，如果以直角三角形的一條直角邊為軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)圓錐，這個(gè)圓錐的體積最大是______立方厘米．（

）A．37.68 B．50.24 C．78.5 D．628【答案】B【解析】解：（立方厘米）答：這個(gè)圓錐的體積最大是50.24立方厘米；故選：B3．（24-25六年級(jí)上·山東青島·期中）流星劃破夜空，留下美麗的弧線，這說(shuō)明了．【答案】點(diǎn)動(dòng)成線【解析】解：流星劃破夜空，留下美麗的弧線，這說(shuō)明了點(diǎn)動(dòng)成線，故答案是：點(diǎn)動(dòng)成線．4．（23-24七年級(jí)上·河南商丘·期末）紙翻花是我國(guó)傳統(tǒng)的紙制工藝品，它花里有花，花中變花，花姿優(yōu)美，栩栩如生，深受兒童的喜愛(ài)，轉(zhuǎn)動(dòng)翻花的花柄平面圖形變換成不同的美麗的立體圖形，這說(shuō)明了．【答案】面動(dòng)成體【解析】解：轉(zhuǎn)動(dòng)翻花的花柄平面圖形變換成不同的美麗的立體圖形，這說(shuō)明了面動(dòng)成體，故答案為：面動(dòng)成體．【考點(diǎn)03直線、射線、線段之間的區(qū)別與聯(lián)系】1．（23-24七年級(jí)上·河北保定·期末）下列說(shuō)法：（1）兩點(diǎn)確定一條線段；（2）畫(huà)一條射線，使它的長(zhǎng)度為；（3）線段和線段是同一條線段；（4）射線和射線是同一條射線；（5）直線和直線是同一條直線．其中錯(cuò)誤的有（）個(gè)A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【解析】解：（1）兩點(diǎn)確定一條直線，故此項(xiàng)錯(cuò)誤；（2）射線是不可度量的，故此項(xiàng)錯(cuò)誤；（3）線段和線段是同一條線段，故此項(xiàng)正確；（4）射線和射線是不同一條射線，故此項(xiàng)錯(cuò)誤；（5）直線和直線是同一條直線，故此項(xiàng)正確；∴錯(cuò)誤的有3個(gè)．故選：C．2．（22-23七年級(jí)上·廣西賀州·期末）如圖，下列說(shuō)法中：①線段與線段是同一條線段；②線段與線段是同一條線段；③直線與直線是同一條直線；④點(diǎn)A在線段上；⑤點(diǎn)C在射線上，正確的有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】B【解析】解：①線段與線段是同一條線段，正確；②線段與線段不是同一條線段，原來(lái)的說(shuō)法錯(cuò)誤；③直線與直線是同一條直線，正確；④點(diǎn)A不在線段上，原來(lái)的說(shuō)法錯(cuò)誤；⑤點(diǎn)C在射線上，正確；綜上所述，正確的有3個(gè)．故選：B．3．（23-24七年級(jí)上·河南平頂山·期末）如圖，對(duì)于圖中直線的描述，正確的是（

）A．圖中有直線 B．圖中有直線C．直線與直線交于點(diǎn)O D．直線與直線m交于點(diǎn)O【答案】D【解析】解：圖中有直線，直線，直線，直線，直線與直線交于點(diǎn)O，直線與直線m交于點(diǎn)O，∴A，B，C錯(cuò)誤，不符合題意；D正確，符合題意；故選：D．4．（23-24七年級(jí)上·河南新鄉(xiāng)·期末）下列幾何圖形與相應(yīng)語(yǔ)言描述相符的是（

）A．如圖1所示，點(diǎn)C在線段上B．如圖2所示，射線經(jīng)過(guò)點(diǎn)AC．如圖3所示，直線a和直線b相交于點(diǎn)AD．如圖4所示，射線和線段沒(méi)有交點(diǎn)【答案】C【解析】解：由題意知，如圖1所示，點(diǎn)C在直線上，A錯(cuò)誤，故不符合要求；如圖2所示，射線不經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B錯(cuò)誤，故不符合要求；如圖3所示，直線a和直線b相交于點(diǎn)A，C正確，故符合要求；如圖4所示，射線和線段有交點(diǎn)，D錯(cuò)誤，故不符合要求；故選：C．【考點(diǎn)04線段的長(zhǎng)短】1．（23-24七年級(jí)上·安徽合肥·期末）已知C為的中點(diǎn)，E為線段上的一點(diǎn)，D為線段的中點(diǎn)．（1）如圖①，若，，則；（2）如圖②，若，，則．【答案】64.5【解析】解：（1）∵C為線段的中點(diǎn)，，∴．又∵，∴．∵D為線段的中點(diǎn)，∴，故答案為：6．（2）設(shè)，則．D為線段的中點(diǎn)，∴．∵，即，∴，解得，即．∵，C為線段的中點(diǎn)，∴．∴，故答案為：2．（23-24七年級(jí)上·安徽合肥·期末）如圖，B，C兩點(diǎn)把線段分成三部分，P是的中點(diǎn)，已知，求線段的長(zhǎng)．【答案】2.5【解析】解：如圖，，可設(shè)，，，∵，即∴，∴，∵P為的中點(diǎn)，∴，．3．（23-24七年級(jí)上·安徽合肥·期末）如圖，已知線段a、b、及內(nèi)部一點(diǎn)P．按下列要求畫(huà)出圖形（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；①用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)在∠O的一條邊上作線段，另一條邊上作線段；②畫(huà)出直線；③畫(huà)射線與直線相交于點(diǎn)C；【解析】解：如圖所示，4．（23-24七年級(jí)上·北京·期末）如圖，線段，動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿射線運(yùn)動(dòng)，M為的中點(diǎn)．(1)出發(fā)多少秒后，？(2)當(dāng)P在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試說(shuō)明為定值．(3)當(dāng)P在延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，N為的中點(diǎn)，下列兩個(gè)結(jié)論：長(zhǎng)度不變；的值不變．選擇一個(gè)正確的結(jié)論，并求出其值．【答案】(1)出發(fā)6秒后；(2)，理由見(jiàn)解析；(3)選，，理由見(jiàn)解析．【解析】（1）解：設(shè)出發(fā)x秒后，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B左邊時(shí)，，，，由題意得，，解得：；當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右邊時(shí)，，，，由題意得：，方程無(wú)解；綜上可得：出發(fā)6秒后．（2）解：，，，；（3）解：選；，，，，定值；變化．【考點(diǎn)05角的概念與表示】1．（23-24七年級(jí)上·河北廊坊·期末）如圖，從點(diǎn)O處觀測(cè)點(diǎn)A，點(diǎn)D的方向，下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（

）A．點(diǎn)A在點(diǎn)O的北偏東方向上 B．點(diǎn)D在點(diǎn)O的東南方向上C．點(diǎn)A在點(diǎn)O的北偏東方向上 D．點(diǎn)D在點(diǎn)O的南偏東方向上【答案】A【解析】解：由圖可得：點(diǎn)A在點(diǎn)O的東偏北方向上，∴點(diǎn)A在點(diǎn)O的北偏東方向上，∴選項(xiàng)A錯(cuò)誤，符合題意；選項(xiàng)C正確，不符合題意；∵點(diǎn)D在點(diǎn)O的東南方向上，點(diǎn)D在點(diǎn)O的東偏南方向上，∴點(diǎn)D也在點(diǎn)O的南偏東方向上，選項(xiàng)B、D均正確，不符合題意；故選：A．2．（23-24七年級(jí)上·江蘇泰州·期末）比較大小：（用“>”“<”“=”填空）．【答案】【解析】解：∵，∴，故答案為：3．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）在我國(guó)古代，人們用“銅壺滴漏”的方法計(jì)時(shí)，把一晝夜分為十二時(shí)辰，對(duì)應(yīng)于今天的二十四小時(shí)，又劃為九十六刻，一刻對(duì)應(yīng)于今天的十五分鐘．已知寅時(shí)為凌晨三點(diǎn)到五點(diǎn)．則寅時(shí)二刻所對(duì)應(yīng)鐘表時(shí)間的時(shí)針和分針之間所夾的角度為．【答案】【解析】解：寅時(shí)二刻是指，∵時(shí)，時(shí)針與分針?biāo)山嵌葹?，再過(guò)15分鐘，分針轉(zhuǎn)動(dòng)的角度：，時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的角度：，∴，故答案為：．4．（23-24七年級(jí)上·湖北孝感·期末）計(jì)算：(1)(2)【答案】(1)(2)【解析】（1）解：；（2）解：．【考點(diǎn)06三角板中的角度計(jì)算問(wèn)題】1．（23-24七年級(jí)下·云南大理·期末）如圖，把一個(gè)含角的三角板的直角頂點(diǎn)放置在直線上，過(guò)作直線，使，若，平分，將三角板以每秒的速度繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到三角形，同時(shí)直線以每秒的速度繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到直線，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為秒．(1)求的度數(shù)；(2)當(dāng)直線平分時(shí)，求旋轉(zhuǎn)時(shí)間的值．【答案】(1)60°(2)或【解析】（1）解：∵，平分，∴．∵，∴；（2）解：∵，∴．．下面分兩種情況說(shuō)明．如解圖①，當(dāng)邊在直線上方時(shí)，此時(shí)．．．．∵直線平分，∴．即．解得．如解圖②，當(dāng)邊在直線下方時(shí)，此時(shí)平分，∴．．∵．∴．解得．∵，∴或．2．（22-23七年級(jí)上·湖北武漢·期末）將三角板的直角頂點(diǎn)O放置在直線上．(1)如圖，且，射線平分，則的大小為；(2)在（1）的條件下，射線平分，射線平分，求的度數(shù)；(3)若將三角板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，射線平分，射線平分．請(qǐng)寫(xiě)出與度數(shù)的等量關(guān)系：．【答案】(1)(2)(3)或【解析】（1）解：，，平分，，故答案為：；（2）解：，，平分，，；（3）解：或，理由如下：當(dāng)射線與線段不相交時(shí)，如圖：射線平分，射線平分，，，當(dāng)射線與線段相交時(shí)，如圖：射線平分，射線平分，，，，故答案為：或．3．（24-25七年級(jí)上·河北石家莊·期中）把一副三角尺與按如圖所示那樣拼在一起，其中A、B、D三點(diǎn)在同一直線上，BM為的平分線．(1)求和的度數(shù)；(2)若為的平分線，求的度數(shù)．(3)若將圖中三角尺逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)20度，則大小變化嗎？（選填不變、增大或縮小多少度）請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論．【答案】(1)，(2)(3)不變【解析】（1）解：∵A、B、D三點(diǎn)在同一直線上，∴，又∵BM為的平分線，∴，∴；（2）解：，∵為的平分線，∴，∴；（3）解：不變，理由為：三角尺逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)20度時(shí)，∴，，又∵BM為的平分線，為的平分線，∴，，∴；4．（23-24七年級(jí)上·江蘇泰州·期末）（1）將一副直角三角板，按如圖1所示位置擺放，，．分別作，的平分線，．試求的度數(shù)；（2）將三角板從圖1位置開(kāi)始繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2所示的位置，，仍然是，的平分線．試求的度數(shù)；（3）將三角板從圖1位置開(kāi)始繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，，仍然是，的平分線．在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，的度數(shù)會(huì)發(fā)生改變嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）（2）（3）不變，理由見(jiàn)解析【解析】解：（1）∵，仍然是，的平分線，，，∴，，∴．（2）∵，，∴，，，仍然是，的平分線，∴，，∴；（3）不變，如圖，，此時(shí)，，∴；如圖，，此時(shí)，，∴；如圖，，此時(shí)，，∴；如圖，即為第（2）小問(wèn)，此時(shí)，；如圖，，此時(shí)，，∴；如圖，，此時(shí)，，∴；綜上所述，當(dāng)在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，的度數(shù)保持不變．【考點(diǎn)07角平分線的有關(guān)計(jì)算】1．（24-25七年級(jí)上·遼寧沈陽(yáng)·期末）如圖所示，點(diǎn)在直線上，射線平分，射線平分，射線在內(nèi)，下列說(shuō)法中不正確的是（

）A．是鈍角 B．是銳角 C．是直角 D．是平角【答案】D【解析】解：在直線上，，射線平分，，故C正確；射線平分，，是鈍角，故A正確；射線在內(nèi)，是銳角，故B正確；，不是平角，故D錯(cuò)誤，故選：D．2．（23-24七年級(jí)上·湖南婁底·期末）如圖，O為直線上一點(diǎn)，平分．(1)求出的度數(shù)；(2)請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明是否平分．【答案】(1)(2)平分，理由見(jiàn)解析【解析】（1）解：，平分，，；（2）平分．理由如下：∵，∴，∵，∴，∴，∴平分．3．（23-24七年級(jí)上·浙江杭州·期末）直線相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作．(1)如圖1，若，求的度數(shù)．(2)如圖2，作射線使，則是的平分線．請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)在圖1上作，寫(xiě)出與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析(3)或，理由見(jiàn)解析【解析】（1）解：∵．∴，即，∵，∴；（2）解：∵．∴，即，∵，∴，又∵，∴，即是的平分線；（3）解：如圖11，，理由如下：∵，∴，即，∵．∴，即，∵，∴∵，∴．如圖12，，理由如下：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴．4．（23-24七年級(jí)上·天津·期末）探究題：已知O為直線上的一點(diǎn)，以O(shè)為頂點(diǎn)作，射線平分．(1)如圖1，若，則________．(2)若將繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，射線仍然平分，請(qǐng)寫(xiě)出與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)若將繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至圖3的位置，射線仍然平分求的度數(shù)．【答案】(1)(2)，理由見(jiàn)解析(3)【解析】（1）解：，，，，故答案為：；（2）解：，理由如下：∵平分，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴；（3）解：，∴，∵平分，∴，∴．【考點(diǎn)08余角與補(bǔ)角的計(jì)算】1．（22-23七年級(jí)上·安徽蕪湖·期末）利用折紙可以作出角平分線，如圖1折疊，則為的平分線，如圖2、圖3，折疊長(zhǎng)方形紙片，，均是折痕，折疊后，點(diǎn)A落在點(diǎn)，點(diǎn)B落在點(diǎn)，連接．(1)如圖2，若點(diǎn)恰好落在上，且，則；(2)如圖3，當(dāng)點(diǎn)在的內(nèi)部時(shí)，連接，若，，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)【解析】（1）解：由題意知，，，故答案為：；（2）解：由題意知，，，．2．（23-24七年級(jí)上·浙江寧波·期末）如圖，直角三角板的直角頂點(diǎn)O在直線上，平分．(1)比較和的大小，并說(shuō)明理由；(2)若平分，求的度數(shù)．【答案】(1)；理由見(jiàn)解析(2)【解析】（1）解：；理由如下：，，平分，，，，．（2）解：設(shè)，平分，，，，平分，，，，．3．（23-24七年級(jí)上·湖北武漢·期末）已知在的內(nèi)部，，是補(bǔ)角的（本題出現(xiàn)的角均指不大于平角的角）．(1)如圖1，求的值；(2)在（1）的條件下，平分，射線滿(mǎn)足，求的大小；(3)如圖2，若，射線繞點(diǎn)O以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，同時(shí)射線以每秒的速度繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)射線與重合后，再以每秒的速度繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)．設(shè)射線，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（），當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出t的值．【答案】(1)的值為；(2)的大小為或，過(guò)程見(jiàn)解析；(3)或【解析】（1）解：；又是補(bǔ)角的，，即，，，故的值為；（2）解：平分，，，，當(dāng)射線在內(nèi)部時(shí)，

，，，，當(dāng)射線在外部時(shí)，

，，，，故的大小為或；（3）解：當(dāng)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，，，代入，，即，去絕對(duì)值符號(hào)：或，（舍）或，當(dāng)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，，，代入，，即，去絕對(duì)值符號(hào)：或，（舍）或，故答案為：或．4．（23-24七年級(jí)上·湖南婁底·期末）定義：如果兩個(gè)角的差的絕對(duì)值等于，就稱(chēng)這兩個(gè)角互為垂角，例如：，，則和互為垂角．(1)如圖1，O為直線上的一點(diǎn)，，直接寫(xiě)出圖中一對(duì)垂角；(2)如果一個(gè)銳角的垂角等于這個(gè)角的余角的3倍，求這個(gè)角的度數(shù)；(3)如圖2，O為直線上的一點(diǎn)，若，且射線繞O以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，射線繞點(diǎn)O以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，兩條射線同時(shí)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（），試求當(dāng)t為何值時(shí)，和互為垂角？【答案】(1)和互為垂角(2)(3)2或14或26【解析】（1）解：∵，∴，∴和互為垂角；（2）解：設(shè)這個(gè)銳角的度數(shù)為，則，它的垂角是，，解得，∴這個(gè)角的度數(shù)是；（3）解：分四種情況：當(dāng)時(shí)，，∴，解得；當(dāng)時(shí)，，∴，解得（舍去）；當(dāng)時(shí)，，∴，解得；當(dāng)時(shí)，，∴，解得，綜上，當(dāng)t的值為2或14或26時(shí)，和互為垂角．過(guò)關(guān)檢測(cè)一、單選題1．（23-24七年級(jí)上·廣東佛山·期末）下列說(shuō)法：其中正確的是（

）A．一個(gè)有理數(shù)不是整數(shù)就是分?jǐn)?shù) B．絕對(duì)值等于本身的數(shù)只有C．如果，則點(diǎn)是線段的中點(diǎn) D．一個(gè)角的兩邊越長(zhǎng)，角度越大【答案】A【解析】解：A、一個(gè)有理數(shù)不是整數(shù)就是分?jǐn)?shù)，選項(xiàng)正確；B、絕對(duì)值等于本身的數(shù)有0和1，選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、如果，且點(diǎn)A，B，C在同一直線上，則點(diǎn)B是線段的中點(diǎn)，選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、一個(gè)角的兩邊的長(zhǎng)度和角度大小沒(méi)有關(guān)系，選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：A．2．（24-25七年級(jí)上·河北石家莊·期中）有兩根木條，一根長(zhǎng)為，另一根長(zhǎng)為，在它們的中點(diǎn)處各有一個(gè)小圓孔、（圓孔直徑忽略不計(jì)，、抽象成兩個(gè)點(diǎn)），將它們的一端重合，放置在同一條直線上，此時(shí)兩根木條的小圓孔之間的距離是（

）A． B．C．或 D．以上都不對(duì)【答案】C【解析】解：（1）當(dāng)A、C（或B、D）重合，且剩余兩端點(diǎn)在重合點(diǎn)同側(cè)時(shí)，（厘米）；（2）當(dāng)B、C（或A、C）重合，且剩余兩端點(diǎn)在重合點(diǎn)兩側(cè)時(shí)，（厘米）．所以?xún)筛緱l的小圓孔之間的距離是或．故選：C．3．（23-24七年級(jí)上·河北石家莊·期末）點(diǎn)C是線段上任意一點(diǎn)，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．當(dāng)點(diǎn)C為的中點(diǎn)時(shí)，C．如果，那么 D．如果，那么【答案】C【解析】A：∵M(jìn)、N分別是、的中點(diǎn)，∴，，∵C為上任意一點(diǎn)，∴不一定等于，∴不一定等于，∴A錯(cuò)誤，不符合題意；B：當(dāng)C為中點(diǎn)時(shí)，，∴，∴，∴B錯(cuò)誤，不符合題意；C：∵，∴，∴，∴C正確，符合題意；D：∵，∴，∴，∴D錯(cuò)誤，不符合題意；故選：C．4．（24-25七年級(jí)上·山東威海·期中）如圖，將一副三角尺按不同位置擺放，擺放方式中的圖形有（）A． B．C． D．【答案】D【解析】解：、由圖可得，，，∴，該選項(xiàng)不合題意；、由圖可得，，，∴，該選項(xiàng)不合題意；、由圖可得，，該選項(xiàng)不合題意；、由圖可得，，，∴，該選項(xiàng)符合題意；故選：．5．（23-24七年級(jí)上·重慶·期末）如圖，將一副三角尺疊放在一起，使直角頂點(diǎn)重合于點(diǎn)O，若，為的角平分線，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：設(shè)，則，由題意可知，，，∴解得，，∴，∵為的角平分線，∴，∴故選：D．6．（23-24七年級(jí)上·重慶渝北·期末）如圖，已知A、B是線段上兩點(diǎn)，，、分別為、的中點(diǎn)，且，則長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：，可以設(shè)，，，而、分別為、的中點(diǎn)，，，，，，，，的長(zhǎng)為．故選：D．7．（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·期末）用正方形硬紙板做三棱柱盒子，每個(gè)盒子由3個(gè)長(zhǎng)方形側(cè)面和2個(gè)正三角形底面組成．硬紙板以如圖兩種方法裁剪(裁剪后邊角料不再利用)．A方法：剪6個(gè)側(cè)面；B方法：剪4個(gè)側(cè)面和5個(gè)底面．現(xiàn)有19張硬紙板，裁剪時(shí)x張用A方法，其余用B方法．若裁剪出的側(cè)面和底面恰好全部用完，則能做成三棱柱盒子的個(gè)數(shù)為（

）A．24 B．30 C．32 D．36【答案】B【解析】解：裁剪時(shí)張用方法，裁剪時(shí)張用方法，側(cè)面的個(gè)數(shù)為：個(gè)，底面的個(gè)數(shù)為：個(gè)；由題意得：，

解得：，盒子的個(gè)數(shù)為：（個(gè)），故選B．8．（23-24七年級(jí)上·湖南婁底·期末）某公司員工分別住在A，B，C三個(gè)住宅區(qū)，A區(qū)有30人，B區(qū)有15人，C區(qū)有10人．三個(gè)區(qū)在一條直線上，位置如圖所示，．公司的接送打算在此間只設(shè)一個(gè)?？奎c(diǎn)，要使所有員工步行到停靠點(diǎn)的路程總和最少，那么?？奎c(diǎn)的位置應(yīng)在（

）A．A區(qū) B．B區(qū) C．C區(qū) D．不確定【答案】A【解析】解：當(dāng)?？奎c(diǎn)在A區(qū)時(shí)，所有員工步行到?？奎c(diǎn)路程總和是米；當(dāng)?？奎c(diǎn)在B區(qū)時(shí)，所有員工步行到?？奎c(diǎn)路程總和是米；當(dāng)停靠點(diǎn)在C區(qū)時(shí)，所有員工步行到?？奎c(diǎn)路程總和是米；因?yàn)?，即在A區(qū)時(shí)，路程之和最小，為4500米，設(shè)在A區(qū)、B區(qū)之間時(shí)，設(shè)距離A區(qū)x米，則所有員工步行路程之和，∴當(dāng)x=0時(shí)，即在A區(qū)時(shí)，路程之和最小，為4500米，設(shè)在B區(qū)、C區(qū)之間時(shí)，設(shè)距離B區(qū)x米，則所有員工步行路程之和，，∴當(dāng)x=0時(shí)，即在B區(qū)時(shí)，路程之和最小，為5000米，綜上，當(dāng)?？奎c(diǎn)在A區(qū)時(shí)，所有員工步行到停靠點(diǎn)路程和最小，所以?？奎c(diǎn)的位置應(yīng)在A區(qū)．故選：A．二、填空題9．（23-24七年級(jí)上·遼寧沈陽(yáng)·期末）如圖，是一個(gè)正方體的展開(kāi)圖，折疊后它們的相對(duì)兩面的數(shù)字之和相等，則的值為．【答案】【解析】解：因?yàn)?，正方體的表面展開(kāi)圖，相對(duì)的面之間一定相隔一個(gè)正方形，所以，3和相對(duì)，x和y相對(duì)，和2相對(duì)．因?yàn)?，相?duì)兩面的數(shù)字之和相等，所以，，，所以，，，所以，．10．（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·期末）將一張長(zhǎng)方形紙片按如圖所示的方式折疊，為折痕．，則＝度．【答案】【解析】解：根據(jù)翻折的性質(zhì)可知，，，又∵，∴，又∵，∴．故答案為．11．（23-24七年級(jí)上·湖南衡陽(yáng)·期末）在銳角內(nèi)部，畫(huà)出1條射線，可以畫(huà)出3個(gè)銳角；畫(huà)出2條不同的射線，可以畫(huà)出6個(gè)銳角；畫(huà)出3條不同的射線，可以畫(huà)出10個(gè)銳角……照此規(guī)律，畫(huà)2020條不同的射線，可以畫(huà)出個(gè)銳角．【答案】2043231【解析】解：∵在銳角內(nèi)部，畫(huà)1條射線，可得個(gè)銳角，在銳角內(nèi)部，畫(huà)2條射線，可得個(gè)銳角，在銳角內(nèi)部，畫(huà)3條射線，可得個(gè)銳角，……∴從一個(gè)角的內(nèi)部引出n條射線所得到的銳角的個(gè)數(shù)是∴畫(huà)2020條不同的射線，可得銳角故答案為：2043231．12．（23-24七年級(jí)上·重慶沙坪壩·期末）如圖，直線于點(diǎn)，，三角形其中一個(gè)頂點(diǎn)與點(diǎn)重合，，平分，現(xiàn)將三角形以每秒的速度繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至三角形，同時(shí)直線也以每秒的速度繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，當(dāng)直線平分時(shí)，則．【答案】2或14【解析】解：平分，，以每秒的速度繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，以每秒的速度點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，①如圖1中，當(dāng)平分時(shí)，解得；②如圖2，當(dāng)平分時(shí)，解得，故答案為：2或14．三、解答題13．（23-24七年級(jí)上·廣東廣州·期末）如圖，點(diǎn)C是線段上的一點(diǎn)，點(diǎn)M是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)N是線段的中點(diǎn)．(1)如果，，求的長(zhǎng)；(2)如果，求的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【解析】（1）解：∵點(diǎn)M是線段的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∵，∴；（2）解：∵點(diǎn)M是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)N是線段的中點(diǎn)，∴，，∵，∴．14．（24-25七年級(jí)上·遼寧沈陽(yáng)·期末）已知平面內(nèi)有A，B，C三點(diǎn)．(1)按下列要求畫(huà)圖：①作射線，線段；②延長(zhǎng)到D，使，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，點(diǎn)F是的中點(diǎn)；(2)在（1）的條件下，若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)①見(jiàn)解析，②見(jiàn)解析(2)【解析】（1）解：①如圖，射線，線段AB即為所求；②如圖，線段BD，點(diǎn)即為所求；（2）解：點(diǎn)E是的中點(diǎn)，點(diǎn)F是的中點(diǎn)，，，，，．15．（22-23七年級(jí)上·云南紅河·期末）如圖，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，以為頂點(diǎn)作，且、位于直線兩側(cè)，平分．(1)當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)．(2)請(qǐng)你猜想和的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案