2025年人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)寒假?gòu)?fù)習(xí) 專(zhuān)題26.6 反比例函數(shù)全章專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)【3大考點(diǎn)10種題型】（舉一反三）

專(zhuān)題26.6反比例函數(shù)全章專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)【3大考點(diǎn)10種題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【考點(diǎn)1反比例函數(shù)】 1【題型1反比例函數(shù)的識(shí)別】 2【題型2反比例函數(shù)定義的應(yīng)用】 3【題型3利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式】 3【考點(diǎn)2反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)】 4【題型4反比例函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用】 4【題型5比例系數(shù)k的幾何意義的應(yīng)用】 5【考點(diǎn)3反比例函數(shù)的應(yīng)用】 6【題型6利用反比例函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題】 6【題型7反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題】 8【題型8反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合】 9【題型9反比例函數(shù)與幾何問(wèn)題的綜合探究】 11【題型10反比例函數(shù)與點(diǎn)坐標(biāo)變換的綜合探究】 13【考點(diǎn)1反比例函數(shù)】（1）反比例函數(shù)的定義一般的，形如y=kx(是常數(shù)，k≠0)的函數(shù)叫做反比例函數(shù)。其它表示形式：y=kx-1，xy=k因?yàn)閤≠0，k≠0，相應(yīng)地y值也不能為0，所以反比例函數(shù)的圖象無(wú)限接近x軸和y軸，但與x軸、y軸永不相交．（2）求反比例函數(shù)的解析式①所求的反比例函數(shù)為:y=kx(是常數(shù)，k≠0);

②根據(jù)已知條件(自變量與函數(shù)的對(duì)應(yīng)值)列出含k的方程;

③由代人法解待定系數(shù)k的值;

④把k值代人函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=k【題型1反比例函數(shù)的識(shí)別】【例1】（2024·遼寧大連·三模）對(duì)于物理學(xué)中的庫(kù)侖定律，我們給出以下公式：F=kQqr2．其中F為點(diǎn)電荷A、B之間的作用力大小，k為常數(shù)，Q為點(diǎn)電荷A所帶的電量，q為點(diǎn)電荷B所帶的電量，r為兩個(gè)點(diǎn)電荷之間的距離．若兩個(gè)點(diǎn)電荷A、B的電量均為已知，且把r2整體看作變量t，則下列說(shuō)法正確的是（

A．當(dāng)r增大時(shí)，F(xiàn)隨著t的增大先減小再增大；B．當(dāng)r增大時(shí)，F(xiàn)隨著t的增大而增大；C．若改變題目條件，令F已知，Q?q為自變量，r2為因變量，則r2為關(guān)于D．若改變題目條件，令F已知，Q?q為自變量，r2為因變量，則r2為關(guān)于【變式1-1】（2024·廣西百色·一模）下列函數(shù)中，不是反比例函數(shù)的是（）A．xy=?13 B．y=5?x C．y=1【變式1-2】（2024·河南·二模）河南是中原糧倉(cāng)，糧食的水分含量是評(píng)價(jià)糧食品質(zhì)的重要指標(biāo)，糧食水分檢測(cè)對(duì)糧食的收購(gòu)、運(yùn)輸、儲(chǔ)存等都具有十分重要的意義．其中，電阻式糧食水分測(cè)量?jī)x的內(nèi)部電路如圖甲所示，將糧食放在濕敏電阻R1上，使R1的阻值發(fā)生變化，其阻值隨糧食水分含量的變化關(guān)系如圖乙所示．觀察圖象，下列說(shuō)法不正確的是（A．當(dāng)沒(méi)有糧食放置時(shí)，R1的阻值為B．R1C．該裝置能檢測(cè)的糧食水分含量的最大值是12.5D．濕敏電阻R1【變式1-3】（2024·北京·一模）下列數(shù)表中分別給出了變量y與x的幾組對(duì)應(yīng)值，其中是反比例函數(shù)關(guān)系的是（

）A．B．C．D．【題型2反比例函數(shù)定義的應(yīng)用】【例2】（2024·湖南株洲·一模）若函數(shù)y=m+1xm2?4m?6是y關(guān)于【變式2-1】（23-24九年級(jí)·全國(guó)·單元測(cè)試）若函數(shù)y=m+2xm?3是反比例函數(shù)，則【變式2-2】（23-24九年級(jí)·全國(guó)·課后作業(yè)）當(dāng)m取何值時(shí)，函數(shù)y=1【變式2-3】（23-24九年級(jí)·全國(guó)·課后作業(yè)）已知函數(shù)y=(5m﹣(1)當(dāng)m，n為何值時(shí)是一次函數(shù)？(2)當(dāng)m，n為何值時(shí)，為正比例函數(shù)？(3)當(dāng)m，n為何值時(shí)，為反比例函數(shù)？【題型3利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式】【例3】（23-24九年級(jí)·全國(guó)·課后作業(yè)）已知反比例函數(shù)y=kx的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)?2,5（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）求當(dāng)y=?4時(shí)，x的值；（3）這個(gè)函數(shù)的圖像在哪幾個(gè)象限？y隨著x的增大怎樣變化？（4）點(diǎn)A?12【變式3-1】（23-24九年級(jí)·全國(guó)·單元測(cè)試）已知反比例函數(shù)y=k求：（1）y關(guān)于x的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)x=?4時(shí)函數(shù)y的值．【變式3-2】（23-24九年級(jí)·上海金山·期末）已知：y=y1+y2，y1與x+1成正比例，y2與x成反比例．當(dāng)x=1時(shí)，y=7；當(dāng)x=3【變式3-3】（2024九年級(jí)·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）（1）平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(7?2m?，?5?m)在第二象限，且m為整數(shù)，求過(guò)點(diǎn)（2）若反比例函數(shù)y=k?3x?的圖像位于第二、四象限內(nèi)，正比例函數(shù)y=(【考點(diǎn)2反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)】（1）反比例函數(shù)的圖象及其性質(zhì)反比例函數(shù)如y=kx(是常數(shù)，k≠0)的圖象總是關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)的，它的位置和性質(zhì)受k的符號(hào)的影響.如y=kx(是常數(shù)，kk>0k<0圖象所在象限一、三(x，y同號(hào))二、四(x，y異號(hào))性質(zhì)在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大（2）反比例函數(shù)的k的幾何意義由如y=kx(是常數(shù)，k≠0)的圖象上任意一點(diǎn)向兩坐標(biāo)軸作垂線，兩垂線與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積為|k|.如圖①和②，S矩形PAOB＝PA·PB＝|y|·|x|＝|xy|＝|k|；同理可得S△OPA＝S△OPB＝eq\f(1,2)|xy|＝eq\f(1,2)|k|.【題型4反比例函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用】【例4】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△ABO的邊AO在x軸上，且AO＝2．一個(gè)反比例函數(shù)y＝?6x的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B．若該函數(shù)圖象上的點(diǎn)P（不與點(diǎn)B重合）到原點(diǎn)的距離等于BO，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為【變式4-1】（23-24九年級(jí)·安徽合肥·期末）若點(diǎn)A?3,y1，B?1,y2，C2,y3都在反比例函數(shù)y=【變式4-2】（23-24九年級(jí)·浙江·期中）已知某函數(shù)的圖象C與函數(shù)y=3x的圖象關(guān)于直線y=2對(duì)稱(chēng)．下列命題：①圖象C與函數(shù)y=3x的圖象交于點(diǎn)32,2；②點(diǎn)12,?2在圖象C上；③圖象C上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)都小于4，④Ax1,A．①② B．①③④ C．②③④ D．①②④【變式4-3】（23-24九年級(jí)·浙江嘉興·期末）已知點(diǎn)A（a，y1），B（2，y2）在反比例函數(shù)y=m【題型5比例系數(shù)k的幾何意義的應(yīng)用】【例5】（2024·廣西貴港·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，梯形OACB的頂點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，OA邊在y軸正半軸上，OB邊在x軸正半軸上，且OA∥BC，雙曲線y=kx（x＞0）經(jīng)過(guò)AC邊的中點(diǎn)，若S梯形OACB=4，則雙曲線y=kA．5 B．4 C．3 D．2【變式5-1】（2024·內(nèi)蒙古·二模）如圖．已知雙曲線y=kxk<0經(jīng)過(guò)Rt△OAB斜邊OA的中點(diǎn)D，且與直角邊AB相交于點(diǎn)C．若點(diǎn)A的坐標(biāo)為?6,4A．12 B．9 C．6 D．4.5【變式5-2】（23-24九年級(jí)·山東煙臺(tái)·期末）如圖，平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)D在y=kxk>0上，且AD⊥x軸，CA的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)E．若S△ABE

【變式5-3】（23-24九年級(jí)·福建泉州·期中）如圖，?ABCO的頂點(diǎn)B在雙曲線y=8x上，頂點(diǎn)C在雙曲線y=kx上，BC的中點(diǎn)P恰好落在y軸上，已知

A．?8 B．?6 C．4 D．?2【考點(diǎn)3反比例函數(shù)的應(yīng)用】【題型6利用反比例函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題】【例6】（23-24九年級(jí)·四川樂(lè)山·期末）心理學(xué)研究發(fā)現(xiàn)，一般情況下，在一節(jié)40分鐘的數(shù)學(xué)課中，學(xué)生的注意力隨上課時(shí)間的變化而變化．開(kāi)始上課時(shí)，學(xué)生的注意力逐步增強(qiáng)，中間有一段時(shí)間學(xué)生的注意力保持在較為理想的穩(wěn)定狀態(tài)，隨后學(xué)生的注意力開(kāi)始分散．通過(guò)實(shí)驗(yàn)分析可知，學(xué)生的注意力指標(biāo)數(shù)y隨時(shí)間x（分鐘）的變化規(guī)律如圖所示，點(diǎn)B的坐標(biāo)為10,40，點(diǎn)C的坐標(biāo)為24,40，CD為反比例函數(shù)圖象的一部分．(1)求CD所在的反比例函數(shù)的解析式；(2)吳老師計(jì)劃在課堂上講解一道推理題，準(zhǔn)備花費(fèi)20分鐘講解，為了達(dá)到最佳的教學(xué)效果，要求學(xué)生的注意力指標(biāo)數(shù)不低于38，請(qǐng)問(wèn)吳老師的安排是否合理？并說(shuō)明理由．【變式6-1】（23-24九年級(jí)·山東濟(jì)南·期末）某氣球內(nèi)充滿了一定質(zhì)量的氣體，當(dāng)溫度不變時(shí)，氣球內(nèi)氣體的氣壓pkPa是氣體體積V(1)求該函數(shù)的表達(dá)式；(2)當(dāng)氣球內(nèi)的氣壓大于140kPa時(shí)，氣球?qū)⒈?，為了安全起?jiàn)，氣體的體積應(yīng)不小于多少？（精確到0【變式6-2】（23-24九年級(jí)·浙江衢州·期末）綜合與實(shí)踐：如何測(cè)量一個(gè)空礦泉水瓶的質(zhì)量?素材1：如圖1是一架自制天平，支點(diǎn)O固定不變，左側(cè)托盤(pán)A固定在某處，右側(cè)托盤(pán)B在橫梁滑動(dòng)．在A中放置一個(gè)重物，在B中放置一定質(zhì)量的砝碼，移動(dòng)托盤(pán)B可使天平左右平衡．增加砝碼的質(zhì)量，多次試驗(yàn)，將砝碼的質(zhì)量x(g)與對(duì)應(yīng)的OB長(zhǎng)度素材2：由于一個(gè)空的礦泉水瓶太輕，無(wú)法稱(chēng)量．小組進(jìn)行如下操作，保持素材1的裝置不變，在托盤(pán)B中放置一個(gè)內(nèi)盛34g水的礦泉水瓶，移動(dòng)托盤(pán)B，使得天平左右平衡，測(cè)得OB=24(1)任務(wù)1：請(qǐng)?jiān)趫D1中連線，猜想y關(guān)于x的函數(shù)類(lèi)型，并求出函數(shù)表達(dá)式，且任選一對(duì)對(duì)應(yīng)值驗(yàn)證．(2)任務(wù)2：求出一個(gè)空礦泉水瓶的質(zhì)量．【變式6-3】（23-24九年級(jí)·江蘇揚(yáng)州·期末）小明家飲水機(jī)中原有水的溫度為20°C，通電開(kāi)機(jī)后，飲水機(jī)自動(dòng)開(kāi)始加熱，此過(guò)程中水溫y（°C）與開(kāi)機(jī)時(shí)間x（分）滿足一次函數(shù)關(guān)系，當(dāng)加熱到100°C時(shí)自動(dòng)停止加熱，隨后水溫開(kāi)始下降，此過(guò)程中水溫y（°C）與開(kāi)機(jī)時(shí)間(1)當(dāng)0≤x≤8時(shí)，求水溫y（°C）與開(kāi)機(jī)時(shí)間x(2)求圖中t的值；(3)有一天，小明在上午7:10（水溫20°C），開(kāi)機(jī)通電后去上學(xué)，中午放學(xué)回到家時(shí)間剛好11:15，請(qǐng)問(wèn)此時(shí)飲水機(jī)內(nèi)水的溫度約為多少°C？并求：在7:10～11:15這段時(shí)間里，水溫共有幾次達(dá)到【題型7反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題】【例7】（23-24九年級(jí)·福建泉州·期中）在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y=mx與y=mx?2(m≠0)的圖像大概是（

A．B．C．D．【變式7-1】（23-24九年級(jí)·上?！て谀┮阎瘮?shù)y=kxk≠0中，在每個(gè)象限內(nèi)，y的值隨xA． B．C． D．【變式7-2】（23-24九年級(jí)·四川宜賓·期末）一次函數(shù)y=ax+b與反比例函數(shù)y=abx（a，b為常數(shù)且均不等于A． B． C． D．【變式7-3】（23-24九年級(jí)·山東濟(jì)寧·階段練習(xí)）若函數(shù)y=kx?1和函數(shù)y=kxA．①③ B．①④ C．②③ D．②④【題型8反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合】【例8】（23-24九年級(jí)·江蘇鎮(zhèn)江·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，一次函數(shù)y=?x+2的圖象與反比例函數(shù)y=kx在第二象限的圖象交于點(diǎn)A(n,3)，與x軸交于點(diǎn)B，連結(jié)AO并延長(zhǎng)交這個(gè)反比例函數(shù)第四象限的圖象于點(diǎn)(1)求這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式．(2)求△ABC的面積．(3)當(dāng)直線AC對(duì)應(yīng)的函數(shù)值大于反比例函數(shù)y=kx的函數(shù)值時(shí)，直接寫(xiě)出【變式8-1】（23-24九年級(jí)·四川宜賓·期末）如圖，直線y=x+b與雙曲線y=kxx>0的交點(diǎn)為A1,a，與x軸的交點(diǎn)為B?1,0(1)求a的值及反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)如圖1，當(dāng)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為4時(shí)，判斷△AOC的形狀，并說(shuō)明理由；(3)如圖2，當(dāng)∠AOC=45°時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．【變式8-2】（23-24九年級(jí)·山西長(zhǎng)治·期末）如圖，正比例函數(shù)y=?3x與反比例函數(shù)y=kx的圖象交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)，A點(diǎn)縱坐標(biāo)為(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)與反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)觀察圖象，直接寫(xiě)出滿足不等式?3x<kx的(3)將直線y=?3x向上平移m個(gè)單位，交x軸于點(diǎn)E，當(dāng)△AOE的面積為2時(shí)，求直線AB平移后的函數(shù)表達(dá)式．【變式8-3】（23-24九年級(jí)·河南鄭州·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是矩形，反比例函數(shù)y=kx(x>0)的圖象分別與AB,BC交于點(diǎn)D和點(diǎn)E32

(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式和點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)若一次函數(shù)y=2x+m與反比例函數(shù)y=kx(x>0)的圖象相交于點(diǎn)M，當(dāng)點(diǎn)M在反比例函數(shù)圖象上D，E之間的部分時(shí)（點(diǎn)M可與點(diǎn)D，E【題型9反比例函數(shù)與幾何問(wèn)題的綜合探究】【例9】（23-24九年級(jí)·四川宜賓·期中）如圖，一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y=4x的圖象交于點(diǎn)Am,4，與x軸交于點(diǎn)B，與y

(1)求m的值和一次函數(shù)的表達(dá)式；(2)已知P為反比例函數(shù)y=4x圖象上的一點(diǎn)，S△OBP(3)若點(diǎn)Q是雙曲線y=4x在第一象限上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)OQ，將OQ繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度得到OM，點(diǎn)M在第二象限，隨著點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)【變式9-1】（2024·河南周口·二模）如圖，直線y=mx與反比例函數(shù)y=kx的圖像交于點(diǎn)A(?3,1)和點(diǎn)B，四邊形ACDE是正方形，其中點(diǎn)C，D分別在x軸的負(fù)半軸和y軸的正半軸上，過(guò)點(diǎn)D作DF∥AB，與反比例函數(shù)圖象在第二象限內(nèi)的部分相交于點(diǎn)(1)求m和k的值．(2)求點(diǎn)D的坐標(biāo)．(3)連接AF,BF，求△ABF的面積．【變式9-2】（23-24九年級(jí)·福建泉州·期中）如圖，點(diǎn)P是反比例函數(shù)y=2xx>0圖象上的一點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)P分別作x軸、y軸的平行線，分別與y軸、x軸交于點(diǎn)D、E，與經(jīng)過(guò)點(diǎn)2,5的雙曲線y=kxk≠0,x>0交于點(diǎn)(1)求k的值；(2)連接OA,OB．若點(diǎn)P橫坐標(biāo)為2，求△AOB的面積；(3)若直線AB分別與x軸，y軸交于點(diǎn)M，N，求證：AM=BN．【變式9-3】（23-24九年級(jí)·福建泉州·期中）如圖1，已知直線y=mx分別與雙曲線y=8x，y=kxx>0交于P，Q

(1)求k的值；(2)如圖2，若A是雙曲線y=8x上的動(dòng)點(diǎn)，AB∥x軸，AC∥y軸，分別交雙曲線y=kxx>0于B①直接寫(xiě)出A，B，C的坐標(biāo)，并求△ABC的面積；②當(dāng)m=2時(shí)，D為直線y=2x上的一點(diǎn)，若以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求A點(diǎn)坐標(biāo)．【題型10反比例函數(shù)與點(diǎn)坐標(biāo)變換的綜合探究】【例10】（23-24九年級(jí)·山東濟(jì)南·期中）如圖，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…是分別以A1，A2，A3，…為直角頂點(diǎn)，一條直角邊在x軸正半軸上的等腰直角三角形，其斜邊的中點(diǎn)C1（x1，y1），C2（x2，y2），C3（x3，y3），…均在反比例函數(shù)y=4x（x＞0）的圖象上．則y1+y2+…+y8的值為（

A．210 B．6 C．42 【變式10-1】（23-24九年級(jí)·全國(guó)·期末）如圖，已知反比例函數(shù)y=2x的圖象上有一組點(diǎn)B1，B2，……，Bn，它們的橫坐標(biāo)依次增加1，且點(diǎn)B1橫坐標(biāo)為1．“①，②，③……”分別表示如圖所示的三角形的面積，記S1【變式10-2】（23-24九年級(jí)·江蘇無(wú)錫·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l與x軸正半軸與y軸正半軸分別交于點(diǎn)A、B，設(shè)OA=a，OB=b（a>0，b>0）．將△AOB繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到△ADC，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C；再將△ADC沿射線AB方向平移，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合得到△BEF，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，點(diǎn)E在y軸上，點(diǎn)G為線段EF的中點(diǎn)，點(diǎn)C與點(diǎn)G恰好落在同一個(gè)反比例函數(shù)的圖象上．(1)當(dāng)a=1時(shí)，求反比例函數(shù)的解析式．(2)求ab(3)若線段BD、GO交于點(diǎn)P，且△PGC的面積為4，求a的值．【變式10-3】（23-24九年級(jí)·湖南·階段練習(xí)）如圖，在反比例函數(shù)y=4x的圖象上有A2,m、B兩點(diǎn)，連接AB，過(guò)這兩點(diǎn)分別作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)C、D，已知BD=12AC，點(diǎn)F1是CD的中點(diǎn)，連接AF1、BF1，得到△AF1B

專(zhuān)題26.6反比例函數(shù)全章專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)【3大考點(diǎn)10種題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【考點(diǎn)1反比例函數(shù)】 1【題型1反比例函數(shù)的識(shí)別】 2【題型2反比例函數(shù)定義的應(yīng)用】 4【題型3利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式】 6【考點(diǎn)2反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)】 9【題型4反比例函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用】 10【題型5比例系數(shù)k的幾何意義的應(yīng)用】 13【考點(diǎn)3反比例函數(shù)的應(yīng)用】 18【題型6利用反比例函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題】 18【題型7反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題】 23【題型8反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合】 26【題型9反比例函數(shù)與幾何問(wèn)題的綜合探究】 33【題型10反比例函數(shù)與點(diǎn)坐標(biāo)變換的綜合探究】 42【考點(diǎn)1反比例函數(shù)】（1）反比例函數(shù)的定義一般的，形如y=kx(是常數(shù)，k≠0)的函數(shù)叫做反比例函數(shù)。其它表示形式：y=kx-1，xy=k因?yàn)閤≠0，k≠0，相應(yīng)地y值也不能為0，所以反比例函數(shù)的圖象無(wú)限接近x軸和y軸，但與x軸、y軸永不相交．（2）求反比例函數(shù)的解析式①所求的反比例函數(shù)為:y=kx(是常數(shù)，k≠0);

②根據(jù)已知條件(自變量與函數(shù)的對(duì)應(yīng)值)列出含k的方程;

③由代人法解待定系數(shù)k的值;

④把k值代人函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=k【題型1反比例函數(shù)的識(shí)別】【例1】（2024·遼寧大連·三模）對(duì)于物理學(xué)中的庫(kù)侖定律，我們給出以下公式：F=kQqr2．其中F為點(diǎn)電荷A、B之間的作用力大小，k為常數(shù)，Q為點(diǎn)電荷A所帶的電量，q為點(diǎn)電荷B所帶的電量，r為兩個(gè)點(diǎn)電荷之間的距離．若兩個(gè)點(diǎn)電荷A、B的電量均為已知，且把r2整體看作變量A．當(dāng)r增大時(shí)，F(xiàn)隨著t的增大先減小再增大；B．當(dāng)r增大時(shí)，F(xiàn)隨著t的增大而增大；C．若改變題目條件，令F已知，Q?q為自變量，r2為因變量，則r2為關(guān)于D．若改變題目條件，令F已知，Q?q為自變量，r2為因變量，則r2為關(guān)于【答案】D【分析】本題考查了函數(shù)關(guān)系式：反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的判斷；根據(jù)兩類(lèi)函數(shù)的定義即可進(jìn)行判斷．形如y=k【詳解】解：當(dāng)兩個(gè)點(diǎn)電荷A、B的電量均為已知時(shí)，F(xiàn)關(guān)于t是反比例函數(shù)，當(dāng)r增大時(shí)，t也增大，此時(shí)F隨t的增大而減小，故A、B均錯(cuò)誤；當(dāng)F已知，Q?q為自變量，r2為因變量，此時(shí)r2=kF故選：D．【變式1-1】（2024·廣西百色·一模）下列函數(shù)中，不是反比例函數(shù)的是（）A．xy=?13 B．y=5?x C．y=1【答案】B【分析】本題考查了反比例函數(shù)的識(shí)別，把形如y=kx這樣的函數(shù)叫做反比例函數(shù)，根據(jù)反比例函數(shù)的概念即可作出判斷，掌握反比例函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵，注意比例系數(shù)【詳解】A、xy=?1B、y=5?x是一次函數(shù)，不是反比例函數(shù)，此選項(xiàng)符合題意；C、y=1D、y=2故選：B．【變式1-2】（2024·河南·二模）河南是中原糧倉(cāng)，糧食的水分含量是評(píng)價(jià)糧食品質(zhì)的重要指標(biāo)，糧食水分檢測(cè)對(duì)糧食的收購(gòu)、運(yùn)輸、儲(chǔ)存等都具有十分重要的意義．其中，電阻式糧食水分測(cè)量?jī)x的內(nèi)部電路如圖甲所示，將糧食放在濕敏電阻R1上，使R1的阻值發(fā)生變化，其阻值隨糧食水分含量的變化關(guān)系如圖乙所示．觀察圖象，下列說(shuō)法不正確的是（A．當(dāng)沒(méi)有糧食放置時(shí)，R1的阻值為B．R1C．該裝置能檢測(cè)的糧食水分含量的最大值是12.5D．濕敏電阻R1【答案】D【分析】本題考查了物理與數(shù)學(xué)的跨學(xué)科綜合，成反比例關(guān)系的概念，從函數(shù)圖象獲取信息，是解題的關(guān)鍵．根據(jù)圖象對(duì)每一個(gè)選項(xiàng)逐一判斷即可．【詳解】解：A、當(dāng)沒(méi)有糧食放置時(shí)，即水分含量為0，由圖象可知R1的阻值為40B、由圖象可知，R1C、由圖象可知，該裝置能檢測(cè)的糧食水分含量的最大值是12.5%D、如果兩個(gè)變量的每一組對(duì)應(yīng)值的乘積是一個(gè)不等于0的常數(shù)，那么就說(shuō)這兩個(gè)變量成反比例，從圖象中得到當(dāng)水分含量為0時(shí)，R1的阻值為40Ω，此時(shí)這水分含量×故選：D．【變式1-3】（2024·北京·一模）下列數(shù)表中分別給出了變量y與x的幾組對(duì)應(yīng)值，其中是反比例函數(shù)關(guān)系的是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的自變量與相應(yīng)函數(shù)值的乘積是常數(shù)，可得答案．【詳解】解：C中，xy=1，其余的都不具有這種關(guān)系∴C是反比例函數(shù)關(guān)系，故C正確；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)，反比例函數(shù)的自變量與相應(yīng)函數(shù)值的乘積是常數(shù)．【題型2反比例函數(shù)定義的應(yīng)用】【例2】（2024·湖南株洲·一模）若函數(shù)y=m+1xm2?4m?6是y關(guān)于【答案】5【分析】本題主要考查反比例函數(shù)的定義，根據(jù)定義列出m+1≠0且m2?4m?6=?1，求出【詳解】解：∵函數(shù)y=m+1xm2?4m?6∴m+1≠0且m2解得，m=5．故答案為：5．【變式2-1】（23-24九年級(jí)·全國(guó)·單元測(cè)試）若函數(shù)y=m+2xm?3是反比例函數(shù)，則【答案】2【分析】本題考查反比例函數(shù)的定義：形如y=kx（k為常數(shù)，k≠0）的函數(shù)就叫做反比例函數(shù)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)反比例函數(shù)的定義列出關(guān)于【詳解】解：∵函數(shù)y=m+2∴m?3=?1且m+2≠0解得：m=2，∴m的值為2．故答案為：2．【變式2-2】（23-24九年級(jí)·全國(guó)·課后作業(yè)）當(dāng)m取何值時(shí)，函數(shù)y=1【答案】m=0【詳解】試題分析：根據(jù)反比例函數(shù)的定義．即y=kx試題解析：∵函數(shù)y=1∴2m+1=1，解得：m=0．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的定義，熟記反比例函數(shù)的一般式y(tǒng)=kx【變式2-3】（23-24九年級(jí)·全國(guó)·課后作業(yè)）已知函數(shù)y=(5m﹣(1)當(dāng)m，n為何值時(shí)是一次函數(shù)？(2)當(dāng)m，n為何值時(shí)，為正比例函數(shù)？(3)當(dāng)m，n為何值時(shí)，為反比例函數(shù)？【答案】(1)n=1且m≠(2)n=1(3)n=3【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)的定義知2?n=1，且5m?3≠0，據(jù)此可以求得m、n的值；（2）根據(jù)正比例函數(shù)的定義知2?n=1，m+n=0，5m?3≠0，據(jù)此可以求得（3）根據(jù)反比例函數(shù)的定義知2?n=?1，m+n=0，5m?3≠0，據(jù)此可以求得【詳解】（1）解：當(dāng)函數(shù)y=(5m﹣3)x2﹣解得：n=1且m≠3（2）當(dāng)函數(shù)y=(5m﹣3)x解得：n=1，（3）當(dāng)函數(shù)y=(5m﹣3)x解得：n=3，【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)、正比例函數(shù)、反比例函數(shù)的定義．關(guān)鍵是掌握正比例函數(shù)是一次函數(shù)的一種特殊形式以及三種函數(shù)的形式．【題型3利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式】【例3】（23-24九年級(jí)·全國(guó)·課后作業(yè)）已知反比例函數(shù)y=kx的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）求當(dāng)y=?4時(shí)，x的值；（3）這個(gè)函數(shù)的圖像在哪幾個(gè)象限？y隨著x的增大怎樣變化？（4）點(diǎn)A?12【答案】（1）y=?10x；（2）x=52；（3）函數(shù)圖像在第二、四象限，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨著x的增大而增大；（4）點(diǎn)【分析】（1）把（-2，5）代入y=k【詳解】（1）∵反比例函數(shù)y=kx的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)∴5=k?2解得k=-10，∴反比例函數(shù)的解析式為：y=?10（2）∵反比例函數(shù)的解析式為：y=?10∴當(dāng)y=-4時(shí)，-4=?10解得：x=52（3）∵-10<0，∴反比例函數(shù)y=?10（4）∵?12×20=-10，?1∴點(diǎn)A?12【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征及反比例函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)于y=kx【變式3-1】（23-24九年級(jí)·全國(guó)·單元測(cè)試）已知反比例函數(shù)y=k求：（1）y關(guān)于x的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)x=?4時(shí)函數(shù)y的值．【答案】（1）y=?8x；（2）【分析】（1）將x=-3，y=83代入y＝k（2）將x=-4代入（1）中的反比例函數(shù)解析式，求y值即可．【詳解】解：（1）根據(jù)題意，得83解得，k=?8；∴該反比例函數(shù)的解析式是y=?8（2）由（1）知，該反比例函數(shù)的解析式是y=?8∴當(dāng)x=?4時(shí)，y=?8?4=2【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式．在解答該題時(shí)，還借用了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，經(jīng)過(guò)函數(shù)的某點(diǎn)一定在函數(shù)的圖象上．【變式3-2】（23-24九年級(jí)·上海金山·期末）已知：y=y1+y2，y1與x+1成正比例，y2與x成反比例．當(dāng)x=1時(shí)，y=7；當(dāng)x=3【答案】y＝12（x+1）+【分析】根據(jù)正比例與反比例的定義設(shè)出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，然后利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式計(jì)算即可得解【詳解】解：（1）設(shè)y1＝k1（x+1）（k1≠0），y2＝k2x（k∴y＝k1（x+1）+k2∵當(dāng)x＝1時(shí)，y＝7．當(dāng)x＝3時(shí)，y＝4，∴2k∴k1∴y關(guān)于x的函數(shù)解析式是：y＝12（x+1）+6【點(diǎn)睛】此題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法，熟練準(zhǔn)確計(jì)算．【變式3-3】（2024九年級(jí)·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）（1）平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(7?2m?，?5?m)在第二象限，且m為整數(shù)，求過(guò)點(diǎn)（2）若反比例函數(shù)y=k?3x?的圖像位于第二、四象限內(nèi)，正比例函數(shù)y=(【答案】（1）y=?1【分析】（1）由點(diǎn)A(7?2m，5?m)在第二象限，可知7?2m<0，5?m>0，得：72<m<5，

因?yàn)閙為整數(shù)，即可得：m=4，A?1，?1．設(shè)過(guò)點(diǎn)A的反比例函數(shù)解析式為y=（2）由反比例函數(shù)y=k?3x?圖像在二、四象限，可知k?3<0，即k<3，由正比例函數(shù)y=(23k?1)x過(guò)一、三象限，可知【詳解】解：（1）點(diǎn)A(7?2m，∴7?2m<05?m>0解得：72∵m為整數(shù)，∴m=4，∴A?1設(shè)過(guò)點(diǎn)A的反比例函數(shù)解析式為y=k∴k?1=1，解得：即反比例函數(shù)解析式為y=?1（2）∵反比例函數(shù)y=k?3∴k?3<0，即k<3，∵正比例函數(shù)y=(2∴23解得：k>3∴32∴整數(shù)k的值為2．【點(diǎn)睛】本題考查正比例函數(shù)和反比例函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，坐標(biāo)與圖形，一元一次不等式組的解法，根據(jù)函數(shù)所在象限判斷出相應(yīng)的比例系數(shù)的范圍是解本題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)2反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)】（1）反比例函數(shù)的圖象及其性質(zhì)反比例函數(shù)如y=kx(是常數(shù)，k≠0)的圖象總是關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)的，它的位置和性質(zhì)受k如y=kx(是常數(shù)，kk>0k<0圖象所在象限一、三(x，y同號(hào))二、四(x，y異號(hào))性質(zhì)在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大（2）反比例函數(shù)的k的幾何意義由如y=kx(是常數(shù)，k≠0)的圖象上任意一點(diǎn)向兩坐標(biāo)軸作垂線，兩垂線與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積為|k|.如圖①和②，S矩形PAOB＝PA·PB＝|y|·|x|＝|xy|＝|k|；同理可得S△OPA＝S△OPB＝eq\f(1,2)|xy|＝eq\f(1,2)|k|.【題型4反比例函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用】【例4】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△ABO的邊AO在x軸上，且AO＝2．一個(gè)反比例函數(shù)y＝?6x的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B．若該函數(shù)圖象上的點(diǎn)P（不與點(diǎn)B重合）到原點(diǎn)的距離等于BO，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為【答案】(?3,2)或(3,?2)或(2,?3)【分析】求得B的坐標(biāo)，然后根據(jù)題意得點(diǎn)P橫縱坐標(biāo)的絕對(duì)值是2和3或3和2，由此可得出答案．【詳解】解：Rt△ABO的邊AO在x軸上，且AO＝2，∴B的橫坐標(biāo)為﹣2，把x＝﹣2代入y=?6x得，∴B（﹣2，3），∵圖象上的點(diǎn)P（不與點(diǎn)B重合）到原點(diǎn)的距離等于BO，設(shè)點(diǎn)P(x,y)，∴x=2,y=3∵反比例圖像在二四象限，∴x與y異號(hào)，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：(?3,2),(2,?3),(3,?2)，故答案為：(?3,2)或(3,?2)或(2,?3)．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，解題關(guān)鍵是熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)以及分類(lèi)討論的思想．【變式4-1】（23-24九年級(jí)·安徽合肥·期末）若點(diǎn)A?3,y1，B?1,y2，C2,y3都在反比例函數(shù)y=【答案】y【分析】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，先根據(jù)反比例函數(shù)中k<0判斷出函數(shù)圖象所在的象限及增減性，再根據(jù)各點(diǎn)橫坐標(biāo)的特點(diǎn)即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵反比例函數(shù)y=kx中∴函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別位于二、四象限，且在每一象限內(nèi)y隨x的增大而增大．∵?3<0，?1<0，∴點(diǎn)A?3,y1∴y1∵?3<?1<0，∴0<y∵2>0，∴點(diǎn)C2,∴y3∴y故答案為：y3【變式4-2】（23-24九年級(jí)·浙江·期中）已知某函數(shù)的圖象C與函數(shù)y=3x的圖象關(guān)于直線y=2對(duì)稱(chēng)．下列命題：①圖象C與函數(shù)y=3x的圖象交于點(diǎn)32,2；②點(diǎn)12,?2在圖象C上；③圖象C上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)都小于4，④Ax1,A．①② B．①③④ C．②③④ D．①②④【答案】A【分析】根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)和圖象點(diǎn)的特征可知①正確；根據(jù)點(diǎn)12,?2關(guān)于y=2的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)在函數(shù)y=3x圖象上，即可判定②正確；由y=3x上任意一點(diǎn)為(x,y)，則點(diǎn)(x,y)與【詳解】解：∵點(diǎn)(32，2)是函數(shù)y=3∴點(diǎn)(32，2)是圖象C與函數(shù)∴①正確；點(diǎn)(12，?2)關(guān)于y=2對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為點(diǎn)(1∵(12，6)在函數(shù)∴點(diǎn)(12，?2)在圖象∴②正確；∵y=3x中y≠0，取y=3x上任意一點(diǎn)為則點(diǎn)(x,y)與y=2對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4?3∴圖象C上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)不一定小于4.故③錯(cuò)誤；A(x1，y1)，B(x2，y2)關(guān)于y=2對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(x∴4?y1=若x1>0>x若x1>x2>0∴④不正確；故選A．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)圖象及性質(zhì)及軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)；熟練掌握函數(shù)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)時(shí)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】（23-24九年級(jí)·浙江嘉興·期末）已知點(diǎn)A（a，y1），B（2，y2）在反比例函數(shù)y=m【答案】?2<a<0/【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的增減性和點(diǎn)的位置解答．【詳解】∵m2∴圖象經(jīng)過(guò)第一、三象限，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨著x的增大而減小，∵y1∴y1∵點(diǎn)Aa,y1，B2,y∴A點(diǎn)在第三象限，B點(diǎn)在第一象限，∴a<0∴y1∴m2∴m2∴a>?2∴?2<a<0故答案為：?2<a<0【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)的性質(zhì)，會(huì)根據(jù)函數(shù)值的大小確定點(diǎn)的位置是解題關(guān)鍵．【題型5比例系數(shù)k的幾何意義的應(yīng)用】【例5】（2024·廣西貴港·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，梯形OACB的頂點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，OA邊在y軸正半軸上，OB邊在x軸正半軸上，且OA∥BC，雙曲線y=kx（x＞0）經(jīng)過(guò)AC邊的中點(diǎn)，若S梯形OACB=4，則雙曲線y=kA．5 B．4 C．3 D．2【答案】D【分析】過(guò)AC的中點(diǎn)P作DE//x軸交y軸于D，交BC于E，作PF⊥x軸于F，如圖，先根據(jù)“AAS”證明△PAD?△PCE，則S△PAD=S△PCE，得到S梯形AOBC=S矩形BODE，再利用S矩形DOFP=1【詳解】過(guò)AC的中點(diǎn)P作DE//x軸交y軸于D，交BC于E，作PF⊥x軸于F，如圖，在△PAD和△PCE中，∠APD=∠CPE∠ADP=∠PEC∴△PAD?△PCE（AAS），∴S△PAD∴S梯形AOBC∵S矩形DOFP∴S矩形DOFP∴k=2而k>0，∴k=2.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)y=kxk≠0系數(shù)k的幾何意義：從反比例函數(shù)y=kxk≠0圖象上任意一點(diǎn)向【變式5-1】（2024·內(nèi)蒙古·二模）如圖．已知雙曲線y=kxk<0經(jīng)過(guò)Rt△OAB斜邊OA的中點(diǎn)D，且與直角邊AB相交于點(diǎn)C．若點(diǎn)A的坐標(biāo)為?6,4A．12 B．9 C．6 D．4.5【答案】D【分析】此題主要考查線段的中點(diǎn)坐標(biāo)、待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式、反比例函數(shù)的比例系數(shù)k的幾何意義，熟練掌握反比例函數(shù)的比例系數(shù)k的幾何意義是解題關(guān)鍵．先根據(jù)線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到D點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到k，根據(jù)反比例函數(shù)的比例系數(shù)k的幾何意義得到S△OBC，然后利用△AOC的面積=【詳解】解：∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為?6,4，點(diǎn)D為OA的中點(diǎn)，∴D點(diǎn)坐標(biāo)為?3，∴k=?3×2=?6，即反比例函數(shù)解析式為y=?6∴S△OBC∴△AOC的面積=S∵點(diǎn)D為OA的中點(diǎn)，∴△ACD的面積=1故選：D．【變式5-2】（23-24九年級(jí)·山東煙臺(tái)·期末）如圖，平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)D在y=kxk>0上，且AD⊥x軸，CA的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)E．若S△ABE

【答案】7【分析】設(shè)BC與x軸交于點(diǎn)F，連接DF、OD，由平行四邊形的性質(zhì)可得AD∥BC，AD=BC，根據(jù)三角形的面積公式可得S△ODF=S△BCE，S△ADF=S△ABC，由【詳解】解：設(shè)BC與x軸交于點(diǎn)F，連接DF、OD，如圖所示，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD=BC，∵AD⊥x，∴BC⊥x軸，∴BC∥y軸，OF⊥BC，∵S△ODF=12OF?AD，∴S△ODF=∵S△OAD=∴S∵S∴k∵k>0，∴k=7，故答案為：7．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，三角形的面積計(jì)算，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（23-24九年級(jí)·福建泉州·期中）如圖，?ABCO的頂點(diǎn)B在雙曲線y=8x上，頂點(diǎn)C在雙曲線y=kx上，BC的中點(diǎn)P恰好落在y軸上，已知

A．?8 B．?6 C．4 D．?2【答案】D【分析】連接BO，過(guò)B點(diǎn)和C點(diǎn)分別作y軸的垂線段BE和CD，根據(jù)全等三角形的判定可得△BEP≌△CDPAAS，推得S△BEP=S△CDP；根據(jù)三角形的面積可得S△BOE=【詳解】解：連接BO，過(guò)B點(diǎn)和C點(diǎn)分別作y軸的垂線段BE和CD，如圖：

∴∠BEP=∠CDP，又∵∠BPE=∠CPD，BP=CP，∴△BEP≌∴S△BEP∵點(diǎn)B在雙曲線y=8∴S△BOE∵點(diǎn)C在雙曲線y=k∴S△COD∵四邊形ABCO是平行四邊形，S?OABC∴S△BOC解得：k=?2（正數(shù)舍去），故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)k的幾何意義，平行四邊形的面積，解決這類(lèi)問(wèn)題，要熟知反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)到y(tǒng)軸的垂線段與此點(diǎn)與原點(diǎn)的連線組成的三角形面積是12【考點(diǎn)3反比例函數(shù)的應(yīng)用】【題型6利用反比例函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題】【例6】（23-24九年級(jí)·四川樂(lè)山·期末）心理學(xué)研究發(fā)現(xiàn)，一般情況下，在一節(jié)40分鐘的數(shù)學(xué)課中，學(xué)生的注意力隨上課時(shí)間的變化而變化．開(kāi)始上課時(shí)，學(xué)生的注意力逐步增強(qiáng)，中間有一段時(shí)間學(xué)生的注意力保持在較為理想的穩(wěn)定狀態(tài)，隨后學(xué)生的注意力開(kāi)始分散．通過(guò)實(shí)驗(yàn)分析可知，學(xué)生的注意力指標(biāo)數(shù)y隨時(shí)間x（分鐘）的變化規(guī)律如圖所示，點(diǎn)B的坐標(biāo)為10,40，點(diǎn)C的坐標(biāo)為24,40，CD為反比例函數(shù)圖象的一部分．(1)求CD所在的反比例函數(shù)的解析式；(2)吳老師計(jì)劃在課堂上講解一道推理題，準(zhǔn)備花費(fèi)20分鐘講解，為了達(dá)到最佳的教學(xué)效果，要求學(xué)生的注意力指標(biāo)數(shù)不低于38，請(qǐng)問(wèn)吳老師的安排是否合理？并說(shuō)明理由．【答案】(1)y(2)老師安排不合理，理由見(jiàn)解析【分析】本題考查的是一次函數(shù)與反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，理解題意是關(guān)鍵；（1）設(shè)CD所在反比例函數(shù)的解析式為yCD=k（2）先求解yAB=2x+20，再把【詳解】（1）解：由題意，設(shè)CD所在反比例函數(shù)的解析式為y∵過(guò)點(diǎn)C24,40∴40=∴k=960，∴y（2）解：老師安排不合理，理由如下：由題意，設(shè)y∵直線過(guò)點(diǎn)A0,20和∴解得m=2，n=20，∴令yAB∴38=2x+20，∴x=9令yCD∴x=∵480∴老師安排不合理．【變式6-1】（23-24九年級(jí)·山東濟(jì)南·期末）某氣球內(nèi)充滿了一定質(zhì)量的氣體，當(dāng)溫度不變時(shí)，氣球內(nèi)氣體的氣壓pkPa是氣體體積V(1)求該函數(shù)的表達(dá)式；(2)當(dāng)氣球內(nèi)的氣壓大于140kPa時(shí)，氣球?qū)⒈?，為了安全起?jiàn)，氣體的體積應(yīng)不小于多少？（精確到0【答案】(1)p=(2)0.69【分析】本題主要考查了求反比例函數(shù)關(guān)系式，應(yīng)用反比例函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題，理解氣壓和氣球體積的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)反比例函數(shù)關(guān)系式，再將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入即可得出答案；（2）將p=140kPa【詳解】（1）設(shè)p=k將A0.8,120代入，得120=k0.8∴所求函數(shù)的表達(dá)式為p=96（2）∵96>0，∴在第一象限內(nèi)，p隨V的增大而減小．當(dāng)p=140kPa時(shí)，V=∴為了安全起見(jiàn)，氣體的體積應(yīng)不小于0.69m【變式6-2】（23-24九年級(jí)·浙江衢州·期末）綜合與實(shí)踐：如何測(cè)量一個(gè)空礦泉水瓶的質(zhì)量?素材1：如圖1是一架自制天平，支點(diǎn)O固定不變，左側(cè)托盤(pán)A固定在某處，右側(cè)托盤(pán)B在橫梁滑動(dòng)．在A中放置一個(gè)重物，在B中放置一定質(zhì)量的砝碼，移動(dòng)托盤(pán)B可使天平左右平衡．增加砝碼的質(zhì)量，多次試驗(yàn)，將砝碼的質(zhì)量x(g)與對(duì)應(yīng)的OB長(zhǎng)度素材2：由于一個(gè)空的礦泉水瓶太輕，無(wú)法稱(chēng)量．小組進(jìn)行如下操作，保持素材1的裝置不變，在托盤(pán)B中放置一個(gè)內(nèi)盛34g水的礦泉水瓶，移動(dòng)托盤(pán)B，使得天平左右平衡，測(cè)得OB=24(1)任務(wù)1：請(qǐng)?jiān)趫D1中連線，猜想y關(guān)于x的函數(shù)類(lèi)型，并求出函數(shù)表達(dá)式，且任選一對(duì)對(duì)應(yīng)值驗(yàn)證．(2)任務(wù)2：求出一個(gè)空礦泉水瓶的質(zhì)量．【答案】(1)圖見(jiàn)解析；反比例函數(shù)；y=1200(2)16【分析】本題考查了反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)題意確定出反比例函數(shù)并求出其表達(dá)式是解題的關(guān)鍵．（1）把各點(diǎn)依次連起來(lái)，可以猜想是反比例函數(shù)的圖象，利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式即可，并任選一對(duì)值驗(yàn)證即可；（2）當(dāng)OB=24cm時(shí),即y=24，代入（1）中求出的函數(shù)表達(dá)式中即可求得x【詳解】（1）解：連線如下圖所示：反比例函數(shù)；

設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為y=k把40，30代入函數(shù)表達(dá)式得30=k40∴y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為y=1200x把x=80代入函數(shù)表達(dá)式，得120080（2）解：當(dāng)OB=24cm時(shí),即y=24,解得x=50則50?34=16g所以空礦泉水瓶的質(zhì)量為16g．【變式6-3】（23-24九年級(jí)·江蘇揚(yáng)州·期末）小明家飲水機(jī)中原有水的溫度為20°C，通電開(kāi)機(jī)后，飲水機(jī)自動(dòng)開(kāi)始加熱，此過(guò)程中水溫y（°C）與開(kāi)機(jī)時(shí)間x（分）滿足一次函數(shù)關(guān)系，當(dāng)加熱到100°C時(shí)自動(dòng)停止加熱，隨后水溫開(kāi)始下降，此過(guò)程中水溫y（°C）與開(kāi)機(jī)時(shí)間(1)當(dāng)0≤x≤8時(shí)，求水溫y（°C）與開(kāi)機(jī)時(shí)間x(2)求圖中t的值；(3)有一天，小明在上午7:10（水溫20°C），開(kāi)機(jī)通電后去上學(xué)，中午放學(xué)回到家時(shí)間剛好11:15，請(qǐng)問(wèn)此時(shí)飲水機(jī)內(nèi)水的溫度約為多少°C？并求：在7:10～11:15這段時(shí)間里，水溫共有幾次達(dá)到【答案】(1)y=10x+20(2)t=40(3)飲水機(jī)內(nèi)水溫約為70°C，共有6次達(dá)到【分析】本題考查了一次函數(shù)以及反比例函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意得出正確的函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．（1）利用待定系數(shù)法即可得出答案；（2）先求出反比例函數(shù)解析式進(jìn)而得出t的值即可得出答案；（3）先求出總時(shí)間，再利用每40分鐘圖象重復(fù)出現(xiàn)一次，即可得出答案．【詳解】（1）解：由圖象可知，當(dāng)0≤x≤8時(shí)是一次函數(shù)，設(shè)y=kx+b將0,20、8k+b=100b=20解得k=10b=20∴水溫y（°C）與開(kāi)機(jī)時(shí)間x（分）的函數(shù)關(guān)系式為：y=10x+20（2）在水溫下降過(guò)程中，設(shè)水溫y（°C）與開(kāi)機(jī)時(shí)間x（分）的函數(shù)關(guān)系式為y=依據(jù)題意得：100=m8，解得∴反比例函數(shù)解析式為：y=800當(dāng)y=20時(shí)，20=800解得：t=40；（3）由（2）t=40，結(jié)合圖象，可知每40分鐘圖象重復(fù)出現(xiàn)一次，7:10～11:15經(jīng)歷時(shí)間為245分鐘，245÷40=6?5,8>5，∴當(dāng)x=5時(shí)，y=10×5+20=70°答：飲水機(jī)內(nèi)水溫約為70°C，共有6次達(dá)到100°【題型7反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題】【例7】（23-24九年級(jí)·福建泉州·期中）在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y=mx與y=mx?2(m≠0)的圖像大概是（A．B．C．D．【答案】C【分析】本題考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)圖像性質(zhì)，熟練掌握兩個(gè)函數(shù)圖像與系數(shù)之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵；一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像與系數(shù)的符號(hào)有關(guān)，所以分m>0與m<0兩種情況進(jìn)行討論；當(dāng)m>0可以得出y=mx與y=mx?2所在的象限以及m＜0可以得出【詳解】根據(jù)題意需分m>0、m＜當(dāng)m>0時(shí)，y=mx的圖像在第一、三象限，當(dāng)m＜0時(shí)，y=m故選C．【變式7-1】（23-24九年級(jí)·上?！て谀┮阎瘮?shù)y=kxk≠0中，在每個(gè)象限內(nèi)，y的值隨xA． B．C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)與正比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，首先根據(jù)反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)判斷出k的范圍，再確定其所在象限，進(jìn)而確定正比例函數(shù)圖象所在象限，即可得到答案．【詳解】解：∵函數(shù)y=kx中，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨∴k<0，∴雙曲線在第二、四象限，∴函數(shù)y=?kx的圖象經(jīng)過(guò)第一、三象限，故選：A．【變式7-2】（23-24九年級(jí)·四川宜賓·期末）一次函數(shù)y=ax+b與反比例函數(shù)y=abx（a，b為常數(shù)且均不等于A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)，先根據(jù)一次函數(shù)圖象確定a、b的符號(hào)，進(jìn)而求出ab的符號(hào)，由此可以確定反比例函數(shù)圖象所在的象限，看是否一致即可求解，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)與函數(shù)圖象的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、∵一次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)第一、三、四象限，∴a>0，b<0，∴ab<0，∴反比例函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)二、四象限，與選項(xiàng)圖象不符，故該選項(xiàng)不合題意；B、∵一次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，∴a<0，b>0，∴ab<0，∴反比例函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)二、四象限，與選項(xiàng)圖象不符，故該選項(xiàng)不合題意；C、∵一次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，∴a<0，b>0，∴ab<0，∴反比例函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)二、四象限，與選項(xiàng)圖象相符，故該選項(xiàng)符合題意；D、∵一次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)第二、三、四象限，∴a<0，b<0，∴ab>0，∴反比例函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)一、三象限，與選項(xiàng)圖象不符，故該選項(xiàng)不合題意；故選：C．【變式7-3】（23-24九年級(jí)·山東濟(jì)寧·階段練習(xí)）若函數(shù)y=kx?1和函數(shù)y=kxA．①③ B．①④ C．②③ D．②④【答案】C【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)和一次函數(shù)的圖象性質(zhì)，先根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)判斷出k取值，然后在判斷一次函數(shù)的圖象與y軸的交點(diǎn)，最后判斷反比例函數(shù)圖象所在象限即可；關(guān)鍵是由k的取值確定一次函數(shù)的圖象與y軸的交點(diǎn)位置．【詳解】解：①：一次函數(shù)圖象是y隨x的增大而增大，則k>0．與②：一次函數(shù)圖象是y隨x的增大而增大，則k>0．與③：一次函數(shù)圖象是y隨x的增大而減小，則k<0，與y軸交于正半軸，反比例函數(shù)圖象在二、四象限，故正確，符合題意；④：一次函數(shù)圖象是y隨x的增大而減小，則k<0，與y軸交于正半軸，反比例函數(shù)圖象在二、四象限，故錯(cuò)誤，不符合題意；故：②③正確，故選：C．【題型8反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合】【例8】（23-24九年級(jí)·江蘇鎮(zhèn)江·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，一次函數(shù)y=?x+2的圖象與反比例函數(shù)y=kx在第二象限的圖象交于點(diǎn)A(n,3)，與x軸交于點(diǎn)B，連結(jié)AO并延長(zhǎng)交這個(gè)反比例函數(shù)第四象限的圖象于點(diǎn)(1)求這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式．(2)求△ABC的面積．(3)當(dāng)直線AC對(duì)應(yīng)的函數(shù)值大于反比例函數(shù)y=kx的函數(shù)值時(shí)，直接寫(xiě)出【答案】(1)y=?(2)S(3)x<?1或0<x<1【分析】本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，反比例函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，三角形面積，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合；（1）先求出點(diǎn)A的坐標(biāo)(?1,3)，然后代入反比例函數(shù)解析式，求出k的值即可；（2）由一次函數(shù)的解析式求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，利用反比例函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后根據(jù)S△ABC（3）根據(jù)圖象即可求得．【詳解】（1）解：∵A(n,3)在一次函數(shù)y=?x+2的圖象上，∴3=?n+2，解得n=?1，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(?1,3)，∴k=1×(?3)=?3，∴反比例函數(shù)的對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系為y=?3（2）解：當(dāng)y=0時(shí)，0=?x+2，解得x=2，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,0)．∵點(diǎn)C在反比例函數(shù)y=?3∵A(?1,3)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,?3)，∴S△ABC（3）解：由圖象可得，當(dāng)x<?1或0<x<1時(shí)，直線AC的圖象在反比例函數(shù)y=?3∴當(dāng)直線AC對(duì)應(yīng)的函數(shù)值大于反比例函數(shù)y=kx的函數(shù)值時(shí)，x<?1或【變式8-1】（23-24九年級(jí)·四川宜賓·期末）如圖，直線y=x+b與雙曲線y=kxx>0的交點(diǎn)為A1,a，與x軸的交點(diǎn)為B?1,0(1)求a的值及反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)如圖1，當(dāng)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為4時(shí)，判斷△AOC的形狀，并說(shuō)明理由；(3)如圖2，當(dāng)∠AOC=45°時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．【答案】(1)a=2，y=(2)△AOC為直角三角形，理由見(jiàn)解析(3)C【分析】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)，勾股定理的逆定理，熟練利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵．（1）把B?1,0代入一次函數(shù)，求得一次函數(shù)的解析式，再求出點(diǎn)A坐標(biāo)即可；再將點(diǎn)A（2）求出點(diǎn)C坐標(biāo)，利用勾股定理的逆定理即可判斷△AOC為直角三角形；（3）過(guò)點(diǎn)A做AF垂直O(jiān)A交射線OC于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)A做AD垂直y軸交y軸于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)F做FE垂直AD交直線AD于點(diǎn)F，利用全等三角形的性質(zhì)得到點(diǎn)F的坐標(biāo)，求得OF的解析式，點(diǎn)C即為反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)．【詳解】（1）解：∵直線AB過(guò)點(diǎn)B?1,0∴?1+b=0，解得：b=1，∴直線AB的表達(dá)式為y=x+1．∵點(diǎn)A1,a在直線AB∴a=1+1=2，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為1,2．又∵雙曲線y=kx(x>0)∴k=1×2=2，∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=2（2）解：△AOC為直角三角形，理由如下：∵點(diǎn)C在y=2x上，且點(diǎn)∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為12即點(diǎn)C∴OAACOC∴O∴△AOC為直角三角形；（3）解：如圖（2），過(guò)點(diǎn)A做AF垂直O(jiān)A交射線OC于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)A做AD垂直y軸交y軸于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)F做FE垂直AD交直線AD于點(diǎn)F．∵AF⊥OA∴∠OAF=又∵∠AOC=∴∠AFO=45∴OA=AF∵AD⊥y軸，F(xiàn)E⊥AD∴∠ADO=∴∠DOA+∠OAD=又∵∠OAF=∴∠DAO+∠EAF=∴∠AOD=∠EAF∴△ADO≌△AEF∴AE=OD=2，EF=AD=1∴易得F3,1設(shè)OF的函數(shù)解析式為y=mx∴1=3m即m=∴OF的函數(shù)解析式為y=聯(lián)立y=2即2x=∵x>0∴x=6，即C6【變式8-2】（23-24九年級(jí)·山西長(zhǎng)治·期末）如圖，正比例函數(shù)y=?3x與反比例函數(shù)y=kx的圖象交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)，A點(diǎn)縱坐標(biāo)為(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)與反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)觀察圖象，直接寫(xiě)出滿足不等式?3x<kx的(3)將直線y=?3x向上平移m個(gè)單位，交x軸于點(diǎn)E，當(dāng)△AOE的面積為2時(shí)，求直線AB平移后的函數(shù)表達(dá)式．【答案】(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為?3,9，反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=?27(2)?3<x<0或x>3；(3)y=?3x+4【分析】（1）把x=3代入y=?3x可得點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，進(jìn)而可得點(diǎn)A的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可求出反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）利用對(duì)稱(chēng)性求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再根據(jù)函數(shù)圖象即可求解；（3）設(shè)Ea,0，則OE=a，根據(jù)△AOE的面積為2可得12a×9=2得到E49,0，由直線y=?3x向上平移m個(gè)單位后的函數(shù)表達(dá)式為y=?3x+m本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，一次函數(shù)的平移，求一次函數(shù)解析式，掌握一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵【詳解】（1）解：把x=3代入y=?3x得，y=?9，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為?3,9，把A?3,9代入y=kx∴k=?27，∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=?27（2）解：∵點(diǎn)A、B是正比例函數(shù)y=?3x與反比例函數(shù)y=?27∴點(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)，∴B3,?9由圖象可得，當(dāng)?3<x<0或x>3時(shí)，?3x<k（3）解：設(shè)Ea,0，則OE=a∵△AOE的面積為2，∴12即12∴a=4∴E4將直線y=?3x向上平移m個(gè)單位后的函數(shù)表達(dá)式為y=?3x+m，把E40=?3×4∴m=4∴直線AB平移后的函數(shù)表達(dá)式為y=?3x+4【變式8-3】（23-24九年級(jí)·河南鄭州·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是矩形，反比例函數(shù)y=kx(x>0)的圖象分別與AB,BC交于點(diǎn)D和點(diǎn)E32

(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式和點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)若一次函數(shù)y=2x+m與反比例函數(shù)y=kx(x>0)的圖象相交于點(diǎn)M，當(dāng)點(diǎn)M在反比例函數(shù)圖象上D，E之間的部分時(shí)（點(diǎn)M可與點(diǎn)D，E【答案】(1)y=6x(x>0)(2)?4≤m≤1．【分析】本題主要考查了求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，矩形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．（1）利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到BC∥AO，BA⊥OA，，再由E為BC的中點(diǎn)得到點(diǎn)B坐標(biāo)，從而得到點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為3，進(jìn)而求出點(diǎn)（2）求出直線y=2x+m恰好經(jīng)過(guò)D和恰好經(jīng)過(guò)E時(shí)m的值，即可得到答案．【詳解】（1）解：∵反比例函數(shù)y=kx(x>0)的圖象分別與AB,BC交于點(diǎn)D∴k=3∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=∵四邊形OABC是矩形，∴BC∥AO，∵點(diǎn)E32,4，且點(diǎn)E∴B3,4∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為3，在y=6x中，∴D3,2（2）解：當(dāng)直線y=2x+m經(jīng)過(guò)點(diǎn)E32,4解得m=1；當(dāng)直線y=2x+m經(jīng)過(guò)點(diǎn)D3,2時(shí)，則2=2×3+m解得m=?4；∵一次函數(shù)y=2x+m與反比例函數(shù)y=kx(x>0)的圖象相交于點(diǎn)M，當(dāng)點(diǎn)M在反比例函數(shù)圖象上D，E之間的部分時(shí)（點(diǎn)M可與點(diǎn)D∴?4≤m≤1．【題型9反比例函數(shù)與幾何問(wèn)題的綜合探究】【例9】（23-24九年級(jí)·四川宜賓·期中）如圖，一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y=4x的圖象交于點(diǎn)Am,4，與x軸交于點(diǎn)B，與y

(1)求m的值和一次函數(shù)的表達(dá)式；(2)已知P為反比例函數(shù)y=4x圖象上的一點(diǎn)，S△OBP(3)若點(diǎn)Q是雙曲線y=4x在第一象限上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)OQ，將OQ繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度得到OM，點(diǎn)M在第二象限，隨著點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)【答案】(1)m=1，一次函數(shù)的解析式為y=x+3(2)P2,2或(3)y=?【分析】（1）先把點(diǎn)A坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式求出m的值，進(jìn)而求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再把點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式中求出一次函數(shù)解析式即可；（2）先求出OB=3，OC=3，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥y軸于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，如圖所示，根據(jù)S△OBP=2S△OAC可得12OB?PD=2×1（3）根據(jù)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡，可得點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡，設(shè)A1的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為M1，作A1E⊥OC于點(diǎn)E，作M1F⊥OB于點(diǎn)【詳解】（1）∵點(diǎn)Am,4在反比例函數(shù)y=∴4=4∴m=1，∴A1,4，又∵點(diǎn)A1,4，C0,3都在一次函數(shù)∴4=k+b解得k=1b=3，∴一次函數(shù)的解析式為y=x+3．（2）對(duì)于y=x+3，當(dāng)y=0時(shí)，x=?3，∴B?∴OB=3，∵C0,3∴OC=3

過(guò)點(diǎn)A作AH⊥y軸于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，如圖所示．

∵S△OBP∴1∴1解得PD=2．

∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為2或?2．將y=2代入y=4x得將y=?2代入y=∴點(diǎn)P2,2或?2,?2（3）∵點(diǎn)Q是雙曲線y=4∴將OQ繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度后，點(diǎn)Q的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M也在反比例函數(shù)圖象上運(yùn)動(dòng)，如圖，設(shè)A1的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為M1，作A1E⊥OC于點(diǎn)E，作

∵∠A1OE+∠CO∴∠A∵∠A1EO=∠∴∠A∴OF=OE=4，F(xiàn)M∴M設(shè)點(diǎn)M所在的反比例函數(shù)解析式為y=k∴k1∵點(diǎn)M在第二象限，∴這個(gè)函數(shù)解析式是y=?4【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，待定系數(shù)法，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的思想求解是解題的關(guān)鍵．【變式9-1】（2024·河南周口·二模）如圖，直線y=mx與反比例函數(shù)y=kx的圖像交于點(diǎn)A(?3,1)和點(diǎn)B，四邊形ACDE是正方形，其中點(diǎn)C，D分別在x軸的負(fù)半軸和y軸的正半軸上，過(guò)點(diǎn)D作DF∥AB，與反比例函數(shù)圖象在第二象限內(nèi)的部分相交于點(diǎn)(1)求m和k的值．(2)求點(diǎn)D的坐標(biāo)．(3)連接AF,BF，求△ABF的面積．【答案】(1)m=?(2)D(3)6【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題、求函數(shù)的解析式、正方形的性質(zhì)、三角形全等的判定和性質(zhì)、平行線間的距離相等等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）直接利用待定系數(shù)法求解即可；（2）如圖：過(guò)點(diǎn)A作AG⊥x軸于點(diǎn)G，易證△ACG≌△CDOAASCG=DO=3?1=2，即可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）利用中心對(duì)稱(chēng)求得B點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)同底等高的三角形面積相等可知△ABF的面積=△ABD的面積，據(jù)此即可解答．【詳解】（1）解：∵直線y=mx與反比例函數(shù)y=kx的圖像交于點(diǎn)∴1=?3m,1=k3，解得：（2）解：如圖：過(guò)點(diǎn)A作AG⊥x軸于點(diǎn)G，∵四邊形ACDE是正方形，∴∠ACD=90°，∴∠ACG+∠OCD=90°，∵∠OCD+∠CDO=90°，∴.∠ACG=∠CDO，在△ACG和△CDO中，∠ACG=∠CDO，∴△ACG≌∴AG=CO=1,CG=DO=3?1=2，∴D0,2（3）解：如圖，連接AD，∵直線y=mx與反比例函數(shù)y=kx的圖像交于點(diǎn)A(?3,1)和點(diǎn)∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為3,?1，∵DF∥∴S△ABF【變式9-2】（23-24九年級(jí)·福建泉州·期中）如圖，點(diǎn)P是反比例函數(shù)y=2xx>0圖象上的一點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)P分別作x軸、y軸的平行線，分別與y軸、x軸交于點(diǎn)D、E，與經(jīng)過(guò)點(diǎn)2,5的雙曲線y=kxk≠0,x>0交于點(diǎn)(1)求k的值；(2)連接OA,OB．若點(diǎn)P橫坐標(biāo)為2，求△AOB的面積；(3)若直線AB分別與x軸，y軸交于點(diǎn)M，N，求證：AM=BN．【答案】(1)k=10(2)24(3)證明見(jiàn)解析【分析】本題考查求反比例函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)與幾何的綜合應(yīng)用：（1）待定系數(shù)法求出k值即可；（2）過(guò)點(diǎn)A作AF⊥x軸于點(diǎn)F，根據(jù)S△AOB（3）過(guò)點(diǎn)B作BG⊥y軸于點(diǎn)G，直線AB函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而求出M,N的坐標(biāo)，證明△NGB≌△AFM，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)2,5的雙曲線y=k∴5=k解得：k=10；（2）過(guò)點(diǎn)A作AF⊥x軸于點(diǎn)F．∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，∴y=2∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為2,1．同理可得A10,1∵點(diǎn)A，B都在反比例函數(shù)y=10∴S∴S=1（3）過(guò)點(diǎn)B作BG⊥y軸于點(diǎn)G．設(shè)點(diǎn)Pm,2m，則點(diǎn)A5m,2m設(shè)直線AB函數(shù)關(guān)系式為y=k∴5m解得：k∴直線AB的函數(shù)關(guān)系式為y=?2當(dāng)x=0時(shí)，y=12m，當(dāng)y=0時(shí)，?2∴M(6m,0),N0,∴OM=6m，ON=12∴NG=ON?OG=ON?BE=12FM=OM－∴NG=AF=2m，∵∠NGB=∠AFM=90°，∴△NGB≌△AFM，∴AM=BN．【變式9-3】（23-24九年級(jí)·福建泉州·期中）如圖1，已知直線y=mx分別與雙曲線y=8x，y=kxx>0交于P，Q

(1)求k的值；(2)如圖2，若A是雙曲線y=8x上的動(dòng)點(diǎn)，AB∥x軸，AC∥y軸，分別交雙曲線y=kxx>0于B①直接寫(xiě)出A，B，C的坐標(biāo)，并求△ABC的面積；②當(dāng)m=2時(shí)，D為直線y=2x上的一點(diǎn)，若以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求A點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】(1)k=2(2)①A點(diǎn)坐標(biāo)為（t，8t），C點(diǎn)坐標(biāo)為（t，2t），B點(diǎn)坐標(biāo)為（t4，8t），S△ABC=94；②點(diǎn)A【分析】本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，反比例函數(shù)與平行四邊形的關(guān)系、坐標(biāo)與圖形等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用，利用數(shù)形結(jié)合和分類(lèi)討論思想求解是解答的關(guān)鍵．（1）設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為a,b，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為2a,2b，利用待定系數(shù)法求得ab=2求解即可；（2）①先根據(jù)已知的A點(diǎn)坐標(biāo)為t,8t，C點(diǎn)坐標(biāo)為t,2t，②分當(dāng)AC為邊時(shí)和當(dāng)AC為對(duì)角線時(shí)兩種情況，利用平行四邊形的性質(zhì)和坐標(biāo)與圖形性質(zhì)分別列方程求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為a,b，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為2a,2b．∵P點(diǎn)在雙曲線y=8x上，Q點(diǎn)在雙曲線∴2a?2b=8，則ab=2，∴k=ab=2．（2）解：①∵A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t，AB∥x軸，∴A點(diǎn)坐標(biāo)為t,8t，C點(diǎn)坐標(biāo)為t,2t，∴AC=8t?∴S△ABC②分兩種情況考慮：（Ⅰ）當(dāng)AC為邊時(shí)，如圖1所示．

∵四邊形ADBC為平行四邊形，∴AC=BD，AC∥∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為t4∴BD=8t?t2解得：t1=2，t2=?2（舍去），∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為2,4或27（Ⅱ）當(dāng)AC為對(duì)角線時(shí)，如圖2所示．

∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB=CD，AB∥∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為1t∴CD=t?1t=3解得：t1=277，t∴A點(diǎn)坐標(biāo)為277,4綜上所述，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，4）或（27，477）或（27【題型10反比例函數(shù)與點(diǎn)坐標(biāo)變換的綜合探究】【例10