2024-2025學(xué)年山東省德州市高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)階段性檢測(cè)試題（附解析）

2024-2025學(xué)年山東省德州市高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)階段性檢測(cè)試題一、未知（本大題共8小題）1．已知集合，則滿足的非空集合B的個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．4 C．7 D．82．已知是拋物線上的一點(diǎn)，為的焦點(diǎn)，若，則的縱坐標(biāo)為（

）A．8 B．9 C．10 D．113．已知平面向量，則向量在向量上的投影向量是（

）A． B．C． D．4．已知函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，則的最小值為（

）A． B． C． D．5．若是方程的一個(gè)虛數(shù)根，則（

）A．0 B．-1 C． D．-1或6．已知直線：和曲線：有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．7．已知雙曲線C：的左右焦點(diǎn)分別是，，點(diǎn)P是C的右支上的一點(diǎn)（異于頂點(diǎn)），過(guò)作的角平分線的垂線，垂足是M，O是原點(diǎn)，則（

）A．隨P點(diǎn)變化而變化 B．5C．4 D．28．已知定義在上的奇函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)的所有零點(diǎn)為，當(dāng)號(hào)時(shí)，（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共2小題）9．已知數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則（

）A．是等差數(shù)列 B．是等差數(shù)列C．是等比數(shù)列 D．是等比數(shù)列10．已知是雙曲線上任意一點(diǎn)，，是雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)，設(shè)直線，的斜率分別為，，若恒成立，且實(shí)數(shù)的最大值為1，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．雙曲線的方程為B．雙曲線的離心率為C．函數(shù)的圖象恒過(guò)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)D．設(shè)分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若的面積為，則三、未知（本大題共1小題）11．已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則（

）A．的最小正周期為B．在上單調(diào)遞增C．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)D．若，且在上無(wú)零點(diǎn)，則的最小值為四、填空題（本大題共3小題）12．已知甲：，乙：關(guān)于的不等式，若甲是乙的必要不充分條件，則的取值范圍是．13．已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)積為，且滿足，則.14．已知等邊的邊長(zhǎng)為，P為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍是.五、解答題（本大題共5小題）15．過(guò)橢圓內(nèi)一點(diǎn)的弦.(1)若點(diǎn)M恰為弦AB的中點(diǎn)，求直線AB的方程；

(2)求過(guò)點(diǎn)M的弦的中點(diǎn)的軌跡方程．16．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，證明：．17．如圖，長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)為，將矩形沿折痕翻折，使得兩點(diǎn)均落于邊上的點(diǎn)，若.(1)當(dāng)時(shí)，求長(zhǎng)方形寬的長(zhǎng)度；(2)當(dāng)時(shí)，求長(zhǎng)方形寬的最大值.18．已知橢圓的離心率，點(diǎn)在橢圓C上．A，B分別為橢圓C的上下頂點(diǎn)，動(dòng)直線l交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，滿足AP⊥AQ，AH⊥PQ，垂足為H．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求面積的最大值．19．模糊數(shù)學(xué)普遍存在于自然界和數(shù)學(xué)模型中，比如天氣預(yù)測(cè)?種群數(shù)量變化和天體運(yùn)動(dòng)等等.假設(shè)在一個(gè)模糊數(shù)學(xué)系統(tǒng)中，用來(lái)表示系統(tǒng)在第個(gè)時(shí)刻的狀態(tài)值，且該系統(tǒng)下一時(shí)刻的狀態(tài)滿足，，其中.(1)當(dāng)時(shí)，若滿足對(duì)，有，求；(2)當(dāng)時(shí)，判斷中是否存在連續(xù)的三項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列；若存在，求出連續(xù)的三項(xiàng)；若不存在，說(shuō)明理由.(3)若，，記，證明.

答案1．【正確答案】A【詳解】所以滿足的非空集合B有，，，故個(gè)數(shù)為3，故選：A2．【正確答案】B【詳解】由題意得的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為直線．因?yàn)?，所以到直線的距離為11，則的縱坐標(biāo)為．故選：B.3．【正確答案】D【詳解】根據(jù)平面向量的投影向量的規(guī)定可得:向量在向量上的投影向量為：，即，因，則，，則向量在向量上的投影向量為.故選：D.4．【正確答案】B【詳解】函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng),則，解得，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，取得最小值.故選：B5．【正確答案】A【詳解】方程化為：，依題意，或，顯然，又，即，所以.故選：A6．【正確答案】C【詳解】因?yàn)?，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)，曲線：化簡(jiǎn)即為：，如圖所示：由圖可知，若直線與曲線有交點(diǎn)，則直線介于與之間即可，由圓心到直線的距離等于半徑得：，整理得：，解得：或（舍），同理，由圓心到直線的距離等于半徑得：，整理得：，解得：（舍）或，所以.故選：C7．【正確答案】B【詳解】雙曲線的左右焦點(diǎn)分別是，，延長(zhǎng)交于，是的角平分線，，在雙曲線上，，，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是△的中位線，，即，雙曲線中，則．故選：B．8．【正確答案】C【詳解】解：定義在上的奇函數(shù)滿足，故圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，，故，，即周期為4，又因?yàn)楫?dāng)，時(shí)，，函數(shù)的所有零點(diǎn)即為的交點(diǎn)，因?yàn)闀r(shí)，對(duì)應(yīng)圖象如圖，故共有5個(gè)零點(diǎn)，一個(gè)為2，另兩對(duì)都關(guān)于對(duì)稱(chēng)，，故選：．9．【正確答案】AD【分析】由題意得數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后寫(xiě)出每個(gè)選項(xiàng)中對(duì)應(yīng)的數(shù)列的通項(xiàng)公式，再判斷是等差數(shù)列還是等比數(shù)列.【詳解】由題意得，所以數(shù)列是常數(shù)列，A正確；數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，B錯(cuò)誤；，所以數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，C錯(cuò)誤；，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，D正確.故選AD.10．【正確答案】ACD【詳解】依題意，A?2,0，，設(shè)Px,y，則，即則，，，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，則，由實(shí)數(shù)的最大值為1，得即，對(duì)于AB，雙曲線的方程為，離心率，A正確，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，雙曲線的焦點(diǎn)為，函數(shù)圖象恒過(guò)點(diǎn)，C正確；對(duì)于D，，令，則，由余弦定理得，于是，因此，兩邊平方得，而，解得，又，所以，D正確.故選：ACD

11．【正確答案】ACD【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，所以，即，解得，，且，對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，若，則，可得或者，，或，，且的半周期為，在上無(wú)零點(diǎn)，則的最小值為，故D正確.故選：ACD.12．【正確答案】【詳解】甲：，設(shè)此范圍對(duì)應(yīng)集合；由，則乙：，設(shè)此范圍對(duì)應(yīng)集合，因?yàn)榧资且业谋匾怀浞謼l件，則是的真子集，則，所以的取值范圍是.故13．【正確答案】【詳解】由題意，且，所以，又，且，所以，則，又，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，故，所以.故答案為.14．【正確答案】【詳解】以點(diǎn)A為原點(diǎn)，直線AB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，等邊的邊長(zhǎng)為，則，又，設(shè)，因此，，因?yàn)椋校瑒t當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，所以的取值范圍是.故15．【正確答案】(1);(2).【詳解】解：(1)設(shè)的坐標(biāo)分別為，，則,兩式相減得，為的中點(diǎn)，，，.直線的方程為,即.(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且它們的坐標(biāo)分別為，，的中點(diǎn)為，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，即，則有,兩式相減并化簡(jiǎn)得，即，又，,化簡(jiǎn)為.綜上可得，過(guò)點(diǎn)的弦的中點(diǎn)的軌跡方程為.16．【正確答案】(1)答案見(jiàn)詳解(2)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，f′x>0，當(dāng)時(shí)，f′x<0，故在0,1上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，（2）（法一）當(dāng)時(shí)，由（1）可知，即，當(dāng)時(shí)，f′x<0，當(dāng)時(shí)，f′x>0，所以在0,1單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，因此，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)）（法二）當(dāng)時(shí)，令，可知于是在0,1單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，因此，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)）．令，則由（1）知：故在單調(diào)遞增，因此．所以．17．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）依題意,在△中,,,,的長(zhǎng)度即為△的邊上的高,當(dāng)時(shí)，,所以，設(shè)，①由余弦定理得,得,，,②.（2）在中，，①，②.18．【正確答案】(1)(2)．【詳解】（1）由已知得，解得，所以；（2）由題意直線PQ斜率存在，設(shè)，，由得，，因?yàn)椋?，即，，代入韋達(dá)定理化簡(jiǎn)得，即或2（舍），所以，由已知得，聯(lián)立兩直線可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，所以的最大值為；綜上，橢圓方程，的最大值為.19．【正確答案】(1)(2)不存在，理由見(jiàn)解析(3