【八年級下冊數(shù)學蘇科版】第九章 中心對稱圖形平行四邊形（單元重點綜合測試）

第九章中心對稱圖形平行四邊形（單元重點綜合測試）單選題（共8題，每題3分，共24分）1．圍棋起源于中國，古代稱之為“弈”，至今已有四千多年的歷史．下列由黑、白棋子擺成的圖案中，是中心對稱圖形的是（

）A． B．C． D．2．菱形、矩形、正方形都具有的特點是（

）A．對角線互相垂直B．對角線相等 C．對角線互相平分 D．對角線平分對角3．平行四邊形不一定具備的是（

）A．對角線相等 B．兩組對邊分別平行C．兩組對邊分別相等 D．對角線互相平分4．如圖，在中，點是邊上的點與、兩點不重合，過點作，分別交、于、兩點，下列說法正確的是（

）

A．若平分，則四邊形是菱形B．若，則四邊形是菱形C．若垂直平分，則四邊形是矩形D．若，則四邊形是矩形5．如圖，將一個三角板，繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)，連接，且，則線段（）

A．﹣ B． C． D．16．如圖，點是矩形的對角線的中點，交于點，若，，則的長為（

）A．5 B．4 C． D．7．如圖，在一張矩形紙片中，，點E，F(xiàn)分別在邊上，將紙片沿直線折疊，點C落在邊上的點H處，點D落在點G處，有下列四個結(jié)論：①四邊形是菱形；②平分；③線段長的取值范圍是；④當點H與點A重合時，2，其中，正確的是（

）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④8．如圖，在矩形中，O為的中點，過點O的一條直線分別與交于點E，F(xiàn)，連接交于點M，連接，若，，則下列結(jié)論：①，；②；③四邊形是菱形；④.其中正確結(jié)論的個數(shù)是（

）

A．1 B．2 C．3 D．4填空題（共10題，每題3分，共30分）9．如圖，矩形的對角線、交于點O，若，則______．10．如圖，中，，，，點P為邊上任一點，過P分別作于E，于，則線段的最小值是___________．11．如圖，在中，，將繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到．若點恰好落在邊上，且，則的度數(shù)為______．

12．如圖，平行四邊形的對角線相交于點O，且，過點O作，交AD于點M．如果△CDM的周長為8，那么平行四邊形的周長是______．13．如圖，在菱形中，對角線，交于點O，點E為的中點，點F在上，，連接交于點G，若，連接，，則線段的長為_____．14．如圖，兩個邊長為a的正方形重疊，其中一個的頂點在另一個的對角線的交點上，則重疊部分的面積為__________平方單位．15．如圖，平行四邊形紙片中，，，將平行四邊形紙片沿折疊，使點與點重合，則下列結(jié)論正確的是______．①；②；③④16．如圖，E是正方形ABCD的邊AD上一點，對角線AC，BD交于一點O,EF⊥AC于點F，EG⊥BD于點G，若AC=10,則EF+EG=_______17．如圖，在四邊形紙片中，，，將紙片折疊，點、分別落在、處，為折痕，交于點，若，則_____度．18．如圖，平行四邊形OABC的頂點O為，點C在x軸的正半軸上，，延長BA交y軸于點D，．將繞點O順時針旋轉(zhuǎn)得到，當點D的對應(yīng)點落在OA上時，的延長線恰好經(jīng)過點C，則點C的坐標為______．三、解答題（一共9題，共86分）19．（本題6分）在平面直角坐標系中，的位置如圖所示（每個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形）(1)出關(guān)于原點對稱的；(2)將繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，畫出旋轉(zhuǎn)后有到的．20．（本題8分）如圖，在四邊形中，，連接AC，將繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°，點C與點D重合，得到，若，(1)求證：是等邊三角形；(2)求線段的長度．21．（本題10分）如圖，在中，，點是邊上一點，點是中點，過點作的平行線交的延長線于點，且，連接．(1)判斷四邊形的形狀，并證明；(2)當時，直接寫出四邊形的形狀．22．（本題10分）已知：如圖，矩形中，是與的交點，過點的直線與，的延長線分別相交于點E，．(1)求證：；(2)當與滿足什么關(guān)系時，以A，E，，為頂點的四邊形是菱形？并給出證明．23．（本題10分）如圖，在正方形中，點、分別在和上，．(1)與有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(2)連接交于點，延長至點，．使，連接，，判斷四邊形是什么特殊的四邊形，并說明理由．24．（本題8分）已知：如圖，、分別是的內(nèi)外角平分線，過點A作、的垂線，垂足分別為E、F．(1)求證：四邊形是矩形；(2)當滿足什么條件時，四邊形是正方形，請說明理由．25．（本題10分）如圖，在菱形中，過點A作于點E，延長至，使，連接．(1)求證：四邊形是矩形；(2)若，，求四邊形的面積．26．（本題10分）（1）概念理解：如圖1，對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．（2）性質(zhì)探究：如圖1，四邊形的對角線交于點．求證：；（3）解決問題：如圖2，分別以的直角邊和斜邊為邊向外作正方形和正方形，連接．已知．①請問四邊形是垂美四邊形嗎？并說明理由；②求的長．

27．（本題14分）（教材呈現(xiàn)）如圖是數(shù)學教材第77頁的部分內(nèi)容．（定理證明）（1）請根據(jù)教材內(nèi)容，結(jié)合圖①，寫出證明過程．（定理應(yīng)用）（2）如圖②，四邊形中，分別為的中點，邊延長線交于點，，則的度數(shù)是_______．（3）如圖③，矩形中，，，點在邊上，且．將線段繞點旋轉(zhuǎn)一定的角度，得到線段，是線段的中點，直接寫出旋轉(zhuǎn)過程中線段長的最大值和最小值．

第九章中心對稱圖形平行四邊形（單元重點綜合測試）答案全解全析一、單選題（共8題，每題3分，共24分）1．圍棋起源于中國，古代稱之為“弈”，至今已有四千多年的歷史．下列由黑、白棋子擺成的圖案中，是中心對稱圖形的是（

）A．

B．C．

D．【答案】A【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念判斷即可．把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形．【詳解】解：選項B、C、D不都能找到一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)后與原來的圖形重合，所以不是中心對稱圖形．選項A能找到一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)后與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形．故選：A．【點睛】本題考查的是中心對稱圖形，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)后與自身重合．2．菱形、矩形、正方形都具有的特點是（

）A．對角線互相垂直B．對角線相等 C．對角線互相平分 D．對角線平分對角【答案】C【分析】本題考查了菱形、矩形、正方形的性質(zhì)，理解菱形、矩形、正方形之間的關(guān)系，掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A.矩形的對角線不一定互相垂直，故不符合題意；B.菱形的對角線不一定相等，故不符合題意；C.菱形、矩形、正方形的對角線互相平分，故符合題意；D.矩形的對角線不一定平分對角，故不符合題意；故選：C．3．平行四邊形不一定具備的是（

）A．對角線相等 B．兩組對邊分別平行C．兩組對邊分別相等 D．對角線互相平分【答案】A【分析】從邊、角、對角線分析平行四邊形的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：平行四邊形具有：兩組對邊分別平行，兩組對邊分別相等，對角線互相平分，故選：A．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．如圖，在中，點是邊上的點與、兩點不重合，過點作，分別交、于、兩點，下列說法正確的是（

）

A．若平分，則四邊形是菱形B．若，則四邊形是菱形C．若垂直平分，則四邊形是矩形D．若，則四邊形是矩形【答案】A【分析】由矩形的判定和菱形的判定即可得出結(jié)論．【詳解】解：、若平分，則四邊形是菱形；正確；B、若，則四邊形是平行四邊形，不一定是菱形；錯誤；C、若垂直平分，則四邊形是菱形，不一定是矩形；錯誤；D、若，則四邊形是平行四邊形，不一定是矩形；錯誤；故選：．【點睛】本題考查了矩形的判定、菱形的判定；熟記菱形和矩形的判定方法是解決問題的關(guān)鍵．5．如圖，將一個三角板，繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)，連接，且，則線段（）

A．﹣ B． C． D．1【答案】A【分析】連接，延長交于點，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，，可得是等邊三角形，可證是的垂直平分線，由勾股定理可求的值，即可求解．【詳解】解：如圖，連接，延長交于點，，，，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，，，，是等邊三角形，且，是的垂直平分線，，，，，，，．故選：A．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，證明是的垂直平分線是本題的關(guān)鍵．6．如圖，點是矩形的對角線的中點，交于點，若，，則的長為（

）A．5 B．4 C． D．【答案】D【分析】已知是的中位線，再結(jié)合已知條件則的長可求出，所以利用勾股定理可求出的長，由直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)則的長即可求出．【詳解】解：∵是矩形的對角線的中點，∴，∵四邊形是矩形，∴，，∵，∴，∴，∴，∴是的中位線，∵，∴，∵，∴，∴，故選：D．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理的運用，直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)以及三角形的中位線的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出的長．7．如圖，在一張矩形紙片中，，點E，F(xiàn)分別在邊上，將紙片沿直線折疊，點C落在邊上的點H處，點D落在點G處，有下列四個結(jié)論：①四邊形是菱形；②平分；③線段長的取值范圍是；④當點H與點A重合時，2，其中，正確的是（

）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】C【分析】先判斷出四邊形是平行四邊形，再根據(jù)翻折的性質(zhì)可得，然后根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明，判斷出①正確；由菱形的性質(zhì)可得，由點C落在上的一點H處，不一定等于30°，可判斷②；當點H與點A重合時，有最小值，由勾股定理可求的最小值，若與重合時，有最大值，由正方形的性質(zhì)可求的最大值，可判斷③；如圖，過點H作于M，由勾股定理可求的長，可判斷④；即可求解．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是菱形，故①正確；∵四邊形是菱形，∴，若平分，∴，∴，∵點C落在上的一點H處，∴不一定等于30°∴不一定平分，故②錯誤；當點H與點A重合時，有最小值，設(shè)，則，在中，，即，解得，∴，若落在上時，有最大值，∴四邊形是正方形，∴，∴最大值為4，∴，故③正確；如圖，過點F作于M，

∴四邊形是矩形，∴，∵四邊形是菱形，∴，∴，∴，故④正確，故選C.【點睛】本題考查了翻折變換的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，難點在于靈活運用菱形的判定與性質(zhì)與勾股定理等其它知識有機結(jié)合．8．如圖，在矩形中，O為的中點，過點O的一條直線分別與交于點E，F(xiàn)，連接交于點M，連接，若，，則下列結(jié)論：①，；②；③四邊形是菱形；④.其中正確結(jié)論的個數(shù)是（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)和，證明為等邊三角形，再證明，得到是的角平分線，故可證明①；根據(jù)，可得，即可證明四邊形是平行四邊形，再證明即可得到，故可證明③；根據(jù)，故無法證明，故②錯誤；根據(jù)含有角的直角三角形的三邊關(guān)系和勾股定理可得，故可證明④．【詳解】解：四邊形是矩形，O為的中點，，為等腰三角形，，為等邊三角形，，，，，，故①正確；,，，，，，，即，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，平行四邊形是菱形，故③正確；，無法證明，故②錯誤；，，在中，，，，在中，，．故正確的為①③④，為3個，故選：C．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練運用上述性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．填空題（共10題，每題3分，共30分）9．如圖，矩形的對角線、交于點O，若，則______．【答案】58【分析】本題考查矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理，利用矩形性質(zhì)得到，再根據(jù)等邊對等角求解即可，熟知矩形的性質(zhì)是關(guān)鍵．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，，，∴，∵，，即，故答案為：58．10．如圖，中，，，，點P為邊上任一點，過P分別作于E，于，則線段的最小值是___________．【答案】【分析】連接，根據(jù)勾股定理求出的長，證明四邊形是矩形，推出，過作，由垂線段最短可知，，再利用的面積，求出的長，即可得到答案．【詳解】解：如圖，連接，，，，，，，四邊形是矩形，，過作，由垂線段最短可知，，即的最小值為的長，，，即線段的最小值是，故答案為：．【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)和判定，三角形的面積，垂線段最短，勾股定理等知識，能得到是解此題的關(guān)鍵．11．如圖，在中，，將繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到．若點恰好落在邊上，且，則的度數(shù)為______．

【答案】/度【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，由等腰三角形的性質(zhì)可得，，由三角形的外角性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可求解．【詳解】解：∵，∴，∴，∵將繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：．12．如圖，平行四邊形的對角線相交于點O，且，過點O作，交AD于點M．如果△CDM的周長為8，那么平行四邊形的周長是______．【答案】16【分析】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)及周長的計算，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，證得AM=MC是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意，垂直平分，所以，因此△的周長，可得平行四邊形的周長．【詳解】解：∵是平行四邊形，∴，∵，∴．∴△的周長，∴平行四邊形的周長是．故答案為16．13．如圖，在菱形中，對角線，交于點O，點E為的中點，點F在上，，連接交于點G，若，連接，，則線段的長為_____．【答案】【分析】取中點M，連接，可證明是的中位線，得到，，因此，推出，得到，從而求出的長，得到的長，求出的長，由三角形面積公式求出長，得到的長，由勾股定理即可求出的長．【詳解】解：取中點M，連接，∵四邊形是菱形，∴，，，∵點E為的中點，M為中點，∴是的中位線，∴，，∴，，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴．故答案為：．【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，勾股定理等知識，靈活運用相關(guān)知識解決問題是解題關(guān)鍵．14．如圖，兩個邊長為a的正方形重疊，其中一個的頂點在另一個的對角線的交點上，則重疊部分的面積為____________平方單位．【答案】【分析】根據(jù)題意，證明△COF≌△DOE進而可得四邊形OECF的面積＝S△OCD＝S正方形ABCD．【詳解】解：如圖，∵四邊形ABCD是正方形，∴BO＝CO＝DO，∠BDC＝∠BCO＝45°，AC⊥BD，∴∠DOC＝∠EOF＝90°，∴∠DOE＝∠COF，在△COF和△DOE中，，∴△COF≌△DOE（ASA），∴S△COF＝S△DOE，∴四邊形OECF的面積＝S△OCD＝S正方形ABCD＝a2，∴重疊部分的面積為a2，故答案為a2．【點睛】本題考查了根據(jù)正方形的性質(zhì)求正方形重疊面積，三角形全等的性質(zhì)與判定，證明△COF≌△DOE是解題的關(guān)鍵．15．如圖，平行四邊形紙片中，，，將平行四邊形紙片沿折疊，使點與點重合，則下列結(jié)論正確的是______．①；②；③④【答案】②④/④②【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)、翻折的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、三角形中線的性質(zhì)、三角形的面積等進行推理證明即可得解．【詳解】解：∵將平行四邊形紙片折疊，使點與點重合∴根據(jù)翻折的性質(zhì)可知，∴，，∴在和中，∴，∴∴（故②正確）∴（故③錯誤）∵四邊形是平行四邊形∴，∴∵，∴∴（故④正確）∵折痕與對角線沒有重合，∴對角線和不垂直∴不是菱形∴∴∴（故①錯誤）．故答案是：②④【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、翻折的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、三角形中線的性質(zhì)、三角形的面積等知識點，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．16．如圖，E是正方形ABCD的邊AD上一點，對角線AC，BD交于一點O,EF⊥AC于點F，EG⊥BD于點G，若AC=10,則EF+EG=_______【答案】5【詳解】如圖，連接OE，∵四邊形ABCD是正方形，AC、BD相交于點O，AC=10，∴AO=DO=5，∠AOD=90°，∴S△AOD=AODO=.∵EF⊥OA，EG⊥OD，∴S△AOD=S△AOE+S△DOE=AOEF+DOEG=5(EF+EG),∴5(EF+EG)=，∴EF+EG=5.17．如圖，在四邊形紙片中，，，將紙片折疊，點、分別落在、處，為折痕，交于點，若，則_____度．【答案】【分析】由題意可得，四邊形為平行四邊形，則，所以．根據(jù)折疊和平行的性質(zhì)，，且，即，故，聯(lián)立與，與的關(guān)系，即可解得與之和，最后求得．【詳解】由題意得四邊形為平行四邊形，，，根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得，，，，即，，，．【點睛】本題綜合考查了折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)定理等知識，仔細觀察圖形，掌握性質(zhì)定理，尋找數(shù)量關(guān)系是解答關(guān)鍵．18．如圖，平行四邊形OABC的頂點O為，點C在x軸的正半軸上，，延長BA交y軸于點D，．將繞點O順時針旋轉(zhuǎn)得到，當點D的對應(yīng)點落在OA上時，的延長線恰好經(jīng)過點C，則點C的坐標為______．【答案】【分析】延長至點C，根據(jù)勾股定理和平行四邊形性的性質(zhì)即可算出OD的長，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)得到O的長，在根據(jù)勾股定理即可算出答案．【詳解】解：延長至點C，如下圖∵ABCO，且四邊形ABCO是平行四邊形，∴B=AOC=ODA=60°，又∵OCDO，且ABCO，∴ADO=90°，且AD=1，∴OD=，∵O是由ODA旋轉(zhuǎn)得到，∴O=90°，又∵AOC=60°，且OD=O=,∴OC=2，∴C點的坐標為：．故答案為：．【點睛】本題考查了勾股定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解決此題的關(guān)鍵．三、解答題（一共9題，共86分）19．（本題6分）在平面直角坐標系中，的位置如圖所示（每個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形）(1)出關(guān)于原點對稱的；(2)將繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，畫出旋轉(zhuǎn)后有到的．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題主要考查了坐標與圖形變化—中心對稱和旋轉(zhuǎn)，正確根據(jù)變換方式找到對應(yīng)點的位置是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)關(guān)于原點對稱的點橫縱坐標都互為相反數(shù)找到A、B、C對應(yīng)點的位置，然后順次連接即可；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)方式結(jié)合網(wǎng)格的特點找到A、B、C對應(yīng)點的位置，然后順次連接即可．【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；（2）解：如圖所示，即為所求．20．（本題8分）如圖，在四邊形中，，連接AC，將繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°，點C與點D重合，得到，若，(1)求證：是等邊三角形；(2)求線段的長度．【答案】(1)證明見解析(2)線段AC的長度是【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明．（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，，根據(jù)等邊三角形的判定定理即可求證．（2）由等邊三角形的性質(zhì)可證，利用勾股定理求出即可．【詳解】（1）是由旋轉(zhuǎn)得到的，，，，，是等邊三角形（2）是等邊三角形，，，，在中，，21．（本題10分）如圖，在中，，點是邊上一點，點是中點，過點作的平行線交的延長線于點，且，連接．(1)判斷四邊形的形狀，并證明；(2)當時，直接寫出四邊形的形狀．【答案】(1)四邊形是矩形，證明見解析(2)四邊形是正方形【分析】（1）由條件先判定四邊形是平行四邊形，由等腰三角形的性質(zhì)可以證明，即可證明問題；（2）由直角三角形的性質(zhì)可以證明，由（1）知四邊形是矩形，于是可以解決問題．【詳解】（1）解：四邊形是矩形，證明：∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴，∵點是中點，∴，∴，∴，∵，∴，∵∴，∴，∴四邊形是矩形；（2）四邊形是正方形，理由如下：∵，∴是等腰直角三角形，∵，∴，∴四邊形是菱形，由（1）知四邊形是矩形，∴四邊形是正方形．【點睛】本題考查矩形，正方形的判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握矩形，正方形的判定方法是解題的關(guān)鍵．22．（本題10分）已知：如圖，矩形中，是與的交點，過點的直線與，的延長線分別相交于點E，．(1)求證：；(2)當與滿足什么關(guān)系時，以A，E，，為頂點的四邊形是菱形？并給出證明．【答案】(1)見解析(2)當時，四邊形是菱形，證明見解析【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)和菱形的判定．解答此題的關(guān)鍵是熟知矩形、菱形、全等三角形的判定與性質(zhì)定理．（1）由矩形的性質(zhì)：，根據(jù)得，利用可證得；（2）若四邊形是菱形，則對角線互相垂直，進而解答即可．【詳解】（1）∵四邊形是矩形，，，，在與中，，；（2）當時，四邊形是菱形．證明：∵四邊形是矩形，，，，在與中，，，∵四邊形是矩形，，四邊形是平行四邊形，∵，四邊形是菱形．23．（本題10分）如圖，在正方形中，點、分別在和上，．(1)與有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(2)連接交于點，延長至點，．使，連接，，判斷四邊形是什么特殊的四邊形，并說明理由．【答案】(1)，理由見解析(2)四邊形是菱形，理由見解析【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)，菱形的判定；（1）證，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可求解；（2）由于四邊形是正方形，易得，；聯(lián)立（）的結(jié)論，可證得，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可證得（即）垂直平分；已知，則、互相平分，再根據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，即可判定四邊形是菱形．【詳解】（1）四邊形是正方形，，，在和中，，，（2）四邊形是菱形，理由為：證明：四邊形是正方形，，，，，即，在和中，，，，又，四邊形是平行四邊形，，平行四邊形是菱形．24．（本題8分）已知：如圖，、分別是的內(nèi)外角平分線，過點A作、的垂線，垂足分別為E、F．(1)求證：四邊形是矩形；(2)當滿足什么條件時，四邊形是正方形，請說明理由．【答案】(1)見解析(2)時，四邊形是正方形，理由見解析【分析】本題主要考查矩形和正方形的判定，能證明四邊形是矩形是解此題的關(guān)鍵．（1）求出，即可得出結(jié)論；（2），推出，求出即可．【詳解】（1）證明：、分別是的內(nèi)外角平分線，，，，，四邊形是矩形．（2）解：當滿足時，四邊形是正方形，理由是：，，，，四邊形是矩形，四邊形是正方形．25．（本題10分）如圖，在菱形中，過點A作于點E，延長至，使，連接．(1)求證：四邊形是矩形；(2)若，，求四邊形的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，勾股定理，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)得到且，等量代換得到，推出四邊形是平行四邊形，根據(jù)矩形的判定定理即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)菱形的四條邊相等，設(shè)，由得，在直角中根據(jù)勾股定理，得出方程求解，計算矩形的面積即可．【詳解】（1）證明：四邊形是菱形，∴，，，，，，四邊形是平行四邊形，，，平行四邊形是矩形；（2）解：∵四邊形是菱形，∴，∵，∴，∵，在矩形中，，∴在直角中，，設(shè)，則，∴，解得：，∴，∴矩形的面積．26．（本題10分）（1）概念理解：如圖1，對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．（2）性質(zhì)探究：如圖1，四邊形的對角線交于點．求證：；（3）解決問題：如圖2，分別以的直角邊和斜邊