2021高考數(shù)學(xué)(文)一輪知能檢測：第3章-第7節(jié)-解3角形應(yīng)用舉例

eq\a\vs4\al(第七節(jié)解三角形應(yīng)用舉例)[全盤鞏固]1.兩座燈塔A和B與海岸觀看站C的距離相等，燈塔A在觀看站南偏西40°，燈塔B在觀看站南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的()A．北偏東10°B．北偏西10°C．南偏東80°D．南偏西80°解析：選D由條件及圖可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此燈塔A在燈塔B南偏西80°.2．某人向正東方向走xkm后，向右轉(zhuǎn)150°，然后朝新方向走3km，結(jié)果他離動(dòng)身點(diǎn)恰好是eq\r(3)km，那么x的值為()A.eq\r(3)B．2eq\r(3)C.eq\r(3)或2eq\r(3)D．3解析：選C如圖所示，設(shè)此人從A動(dòng)身，則AB＝x，BC＝3，AC＝eq\r(3)，∠ABC＝30°，由余弦定理得(eq\r(3))2＝x2＋32－2x·3·cos30°，整理得x2－3eq\r(3)x＋6＝0，解得x＝eq\r(3)或2eq\r(3).3．如圖所示，在坡度確定的山坡A處測得山頂上一建筑物CD的頂端C對于山坡的斜度為15°，向山頂前進(jìn)100米到達(dá)B處，又測得C對于山坡的斜度為45°，若CD＝50米，山坡對于地平面的坡角為θ，則cosθ＝()A.eq\f(\r(3),2)B．2－eq\r(3)C.eq\r(3)－1D.eq\f(\r(2),2)解析：選C在△ABC中，由正弦定理可知，BC＝eq\f(AB·sin∠BAC,sin∠ACB)＝eq\f(100sin15°,sin45°－15°)＝50(eq\r(6)－eq\r(2))，在△BCD中，sin∠BDC＝eq\f(BC·sin∠CBD,CD)＝eq\f(50\r(6)－\r(2)·sin45°,50)＝eq\r(3)－1.由題圖，知cosθ＝sin∠ADE＝sin∠BDC＝eq\r(3)－1.4．張曉華同學(xué)騎電動(dòng)自行車以24km/h的速度沿著正北方向的大路行駛，在點(diǎn)A處望見電視塔S在電動(dòng)車的北偏東30°方向上，15min后到點(diǎn)B處望見電視塔在電動(dòng)車的北偏東75°方向上，則電動(dòng)車在點(diǎn)B時(shí)與電視塔S的距離是()A．2eq\r(2)kmB．3eq\r(2)kmC．3eq\r(3)kmD．2eq\r(3)km解析：選B如圖，由條件知AB＝24×eq\f(15,60)＝6.在△ABS中，∠BAS＝30°，AB＝6，∠ABS＝180°－75°＝105°，所以∠ASB＝45°.由正弦定理知eq\f(BS,sin30°)＝eq\f(AB,sin45°)，所以BS＝eq\f(AB,sin45°)sin30°＝3eq\r(2)km.5．一個(gè)大型噴水池的中心有一個(gè)強(qiáng)力噴水柱，為了測量噴水柱噴出的水柱的高度，某人在噴水柱正西方向的點(diǎn)A測得水柱頂端的仰角為45°，沿點(diǎn)A向北偏東30°前進(jìn)100m到達(dá)點(diǎn)B，在B點(diǎn)測得水柱頂端的仰角為30°，則水柱的高度是()A．50mB．100mC．120mD．150m解析：選A設(shè)水柱高度是hm，水柱底端為C，則在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝eq\r(3)h，依據(jù)余弦定理，得(eq\r(3)h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos60°，整理得h2＋50h－5000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，故h＝50m，故水柱的高度是50米．6.如圖，在湖面上高為10m處測得天空中一朵云的仰角為30°，測得湖中之影的俯角為45°，則云距湖面的高度為(精確到0.1m)()

A．2.7mB．17.3mC．37.3mD．373m解析：選C∵在△ACE中，tan30°＝eq\f(CE,AE)＝eq\f(CM－10,AE).∴AE＝eq\f(CM－10,tan30°)m.∵在△AED中，tan45°＝eq\f(DE,AE)＝eq\f(CM＋10,AE)，∴AE＝eq\f(CM＋10,tan45°)m，∴eq\f(CM－10,tan30°)＝eq\f(CM＋10,tan45°)，∴CM＝eq\f(10\r(3)＋1,\r(3)－1)＝10(2＋eq\r(3))≈37.3m.7．甲、乙兩樓相距20米，從乙樓底望甲樓頂?shù)难鼋菫?0°，從甲樓頂望乙樓頂?shù)母┙菫?0°，則乙樓的高是________米．解析：如圖，依題意甲樓高度AB＝20tan60°＝20eq\r(3)，又CM＝DB＝20米，∠CAM＝60°，所以AM＝CM·eq\f(1,tan60°)＝eq\f(20\r(3),3)米，所以乙樓的高CD＝20eq\r(3)－eq\f(20\r(3),3)＝eq\f(40\r(3),3)米．答案：eq\f(40\r(3),3)8．(2022·舟山模擬)已知A船在燈塔C北偏東80°處，且A船到燈塔C的距離為2km，B船在燈塔C北偏西40°處，A，B兩船間的距離為3km，則B船到燈塔C的距離為________km.解析：如圖，由已知得∠ACB＝120°，AC＝2，AB＝3.設(shè)BC＝x，則由余弦定理得AB2＝BC2＋AC2－2BC·ACcos120°，即32＝22＋x2－2×2xcos120°即x2＋2x－5＝0，解得x＝eq\r(6)－1.答案：eq\r(6)－19．如圖，測量河對岸的塔高AB時(shí)，可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測點(diǎn)C與D，測得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在點(diǎn)C測得塔頂A的仰角為60°，則塔高AB＝________.解析：設(shè)AB＝h，在△ABC中，tan60°＝eq\f(h,BC)，則BC＝eq\f(\r(3),3)h，在△BCD中，∠DBC＝180°－15°－30°＝135°，由正弦定理得eq\f(CD,sin∠DBC)＝eq\f(BC,sin∠BDC)，即eq\f(30,sin135°)＝eq\f(\f(\r(3),3)h,sin30°)，解得h＝15eq\r(6).答案：15eq\r(6)10．隔河看兩目標(biāo)A與B，但不能到達(dá)，在岸邊選取相距eq\r(3)km的C、D兩點(diǎn)，同時(shí)，測得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A、B、C、D在同一平面內(nèi))，求兩目標(biāo)A、B之間的距離．解：如圖，在△ACD中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，所以AC＝CD＝eq\r(3).在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°，由正弦定理知BC＝eq\f(\r(3)sin75°,sin60°)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2).在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝(eq\r(3))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6)＋\r(2),2)))2－2×eq\r(3)×eq\f(\r(6)＋\r(2),2)×cos75°＝3＋2＋eq\r(3)－eq\r(3)＝5，所以AB＝eq\r(5)km，所以兩目標(biāo)A，B之間的距離為eq\r(5)千米．11．為撲滅某著火點(diǎn)，現(xiàn)場支配了兩支水槍，如圖，D是著火點(diǎn)，A、B分別是水槍位置，已知AB＝15eq\r(2)m，在A處看到著火點(diǎn)的仰角為60°，∠ABC＝30°，∠BAC＝105°，求兩支水槍的噴射距離至少是多少？解：在△ABC中，可知∠ACB＝45°，由正弦定理得eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(AC,sin∠ABC)，解得AC＝15m.又∵∠CAD＝60°，∴AD＝30，CD＝15eq\r(3)，sin105°＝sin(45°＋60°)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4).由正弦定理得eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(BC,sin∠BAC)，解得BC＝eq\f(15\r(6)＋\r(2),2)m.由勾股定理可得BD＝eq\r(BC2＋CD2)＝15eq\r(5＋\r(3))m，綜上可知，兩支水槍的噴射距離至少分別為30m，15eq\12．如圖，在海岸A處發(fā)覺北偏東45°方向，距A處(eq\r(3)－1)海里的B處有一艘走私船．在A處北偏西75°方向，距A處2海里的C處的我方緝私船奉命以10eq\r(3)海里/小時(shí)的速度追截走私船，此時(shí)走私船正以10海里/小時(shí)的速度，從B處向北偏東30°方向逃跑．問：緝私船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船？并求出所需時(shí)間．解：設(shè)緝私船應(yīng)沿CD方向行駛t小時(shí)，才能最快截獲(在D點(diǎn))走私船，則CD＝10eq\r(3)t海里，BD＝10t海里，在△ABC中，由余弦定理，有BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosA＝(eq\r(3)－1)2＋22－2(eq\r(3)－1)·2·cos120°＝6，解得BC＝eq\r(6).又∵eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AC,sin∠ABC)，∴sin∠ABC＝eq\f(AC·sinA,BC)＝eq\f(2·sin120°,\r(6))＝eq\f(\r(2),2)，∴∠ABC＝45°，∴B點(diǎn)在C點(diǎn)的正東方向上，∴∠CBD＝90°＋30°＝120°，在△BCD中，由正弦定理，得eq\f(BD,sin∠BCD)＝eq\f(CD,sin∠CBD)，∴sin∠BCD＝eq\f(BD·sin∠CBD,CD)＝eq\f(10t·sin120°,10\r(3)t)＝eq\f(1,2).∴∠BCD＝30°，∴緝私船沿北偏東60°的方向行駛．又在△BCD中，∠CBD＝120°，∠BCD＝30°，∴∠D＝30°，∴BD＝BC，即10t＝eq\r(6).∴t＝eq\f(\r(6),10)小時(shí)≈15分鐘．∴緝私船應(yīng)沿北偏東60°的方向行駛，才能最快截獲走私船，大約需要15分鐘．[沖擊名校]如圖，攝影愛好者在某公園A處，發(fā)覺正前方B處有一立柱，測得立柱頂端O的仰角和立柱底部B的俯角均為30°，已知攝影愛好者的身高約為eq\r(3)米(將眼睛S距地面的距離SA按eq\r(3)米處理)．(1)求攝影愛好者到立柱的水平距離AB和立柱的高度OB.(2)立柱的頂端有一長為2米的彩桿MN，且MN繞其中點(diǎn)O在攝影愛好者與立柱所在的平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)．在彩桿轉(zhuǎn)動(dòng)的任意時(shí)刻，攝影愛好者觀看彩桿MN的視角∠MSN(設(shè)為θ)是否存在最大值？若存在，懇求出∠MSN取最大值時(shí)cosθ的值；若不存在，請說明理由．解：(1)如圖，作SC⊥OB于C，依題意∠CSB＝30°，∠ASB＝60°.又SA＝eq\r(3)，故在Rt△SAB中，可求得AB＝eq\f(SA,tan30°)＝3m，即攝影愛好者到立柱的水平距離AB為3米．在Rt△SCO中，SC＝3，∠CSO＝30°，OC＝SC·tan30°＝eq\r(3)，又BC＝SA＝eq\r(3)，故OB＝2eq\r(3)m，即立柱的高度OB為2eq\(2)存在．∵cos∠MOS＝－cos∠NOS，∴eq\f(MO2＋SO2－SM2,2MO·SO)＝－eq\f(NO2＋SO2－SN2,2NO·SO)于是得SM2＋SN2＝26從而cosθ＝eq\f(SM2＋SN2－MN2,2SM·SN)≥eq\f(SM2＋SN2－MN2,SM2＋SN2)＝eq\f(11,13).又∠MSN為銳角，故當(dāng)視角∠MSN取最大值時(shí)，cosθ＝eq\f(11,13).[高頻滾動(dòng)]1．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，則cosCA.eq\f(7,25)B．－eq\f(7,25)C．±eq\f(7,25)D.eq\f(24,25)解析：選A由正弦定理eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，將8b＝5c及C＝2B代入得eq\f(b,sinB)＝eq\f(\f(8,5)b,sin2B)，化簡得eq\f(1,sinB)＝eq\f(\f(8,5),2sinBcosB)，則cosB＝eq\f(4,5)，所以cosC＝cos2B＝2cos2B－1＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))2－1＝eq\f(7,25).2．在△ABC中，a＝3，b＝2eq\r(6)，∠B＝2∠A.(1)求cosA的值；(2)求c的值．解：(1)由于a＝3，b＝2eq\r(6)，∠B＝2∠A，所以在△ABC中，由正弦定理得eq\f(3,sinA)＝eq\f(2\r(6),sin2A).所以eq\f(2sinAcosA,si