【2022屆走向高考】高三數(shù)學一輪(北師大版)基礎鞏固：第2章-第6節(jié)-對數(shù)與對數(shù)函數(shù)

其次章第六節(jié)一、選擇題1．(文)函數(shù)y＝log2x的圖像大致是()ABCD[答案]C[解析]考查對數(shù)函數(shù)的圖像．(理)函數(shù)f(x)＝2|log2x|的圖像大致是()[答案]C[解析]∵f(x)＝2|log2x|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，x≥1，,\f(1,x)，0<x<1，))∴選C．2．(文)若函數(shù)y＝f(x)是函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的反函數(shù)，其圖像經(jīng)過點(eq\r(a)，a)，則f(x)＝()A．log2x B．eq\f(1,2x)C．eqlog\s\do8(\f(1,2))x D．x2[答案]C[解析]由題意知f(x)＝logax，∴a＝logaaeq\s\up7(\f(1,2))＝eq\f(1,2)，∴f(x)＝eqlog\s\do8(\f(1,2))x，故選C．(理)若點(a，b)在y＝lgx圖像上，a≠1，則下列點也在此圖像上的是()A．(eq\f(1,a)，b) B．(10a,1－b)C．(eq\f(10,a)，b＋1) D．(a2,2b)[答案]D[解析]該題考查對數(shù)的運算性質(zhì)，將橫坐標看成自變量，看函數(shù)值是不是縱坐標，假設是，則點在圖像上，若不是，則點不在圖像上．由題意知b＝lga，對于A選項，lgeq\f(1,a)＝－lga＝－b≠b，對B選項lg(10a)＝1＋lga＝1＋b≠1－對C選項lgeq\f(10,a)＝1－lga＝1－b≠b＋1，對D，lga2＝2lga＝2b，故(a2,2b)在圖像上．3．(2021·營口調(diào)研)函數(shù)f(x)＝logax(a>0，a≠1)，若f(x1)－f(x2)＝1，則f(xeq\o\al(2,1))－f(xeq\o\al(2,2))等于()A．2 B．1C．eq\f(1,2) D．loga2[答案]A[解析]x1>0，x2>0，f(xeq\o\al(2,1))－f(xeq\o\al(2,2))＝logaxeq\o\al(2,1)－logaxeq\o\al(2,2)＝2(logax1－logax2)＝2[f(x1)－f(x2)]＝2.4．設2a＝5b＝m，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2，則m＝()A．eq\r(10) B．10C．20 D．100[答案]A[解析]由2a＝5b＝m，則a＝log2m，b＝log5m，代入eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2得eq\f(1,log2m)＋eq\f(1,log5m)＝2，則eq\f(lg2,lgm)＋eq\f(lg5,lgm)＝2，即eq\f(lg2＋lg5,lgm)＝2，即lgm＝eq\f(1,2)，則m＝eq\r(10).5．已知函數(shù)f(x)滿足：當x≥4時，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x；當x<4時，f(x)＝f(x＋1)，則f(2＋log23)＝()A．eq\f(1,24) B．eq\f(1,12)C．eq\f(1,8) D．eq\f(3,8)[答案]A[解析]∵2<3<4＝22，∴1<log23<2，∴3<2＋log23<4，∴f(2＋log23)＝f(3＋log23)＝f(log224)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))log224＝2－log224＝2log2eq\s\up7(\f(1,24))＝eq\f(1,24).6．(文)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞增．若實數(shù)a滿足f(log2a)＋f(eqlog\s\do8(\f(1,2))a)≤2f(1)，則a的取值范圍是()A．[1,2] B．(0，eq\f(1,2)]C．[eq\f(1,2)，2] D．(0,2][答案]C[解析]由于eqlog\s\do8(\f(1,2))a＝－log2a且f(－x)＝f(x)，則f(log2a)＋f(eqlog\s\do8(\f(1,2))a)≤2f(1)?f(log2a)＋f(－log2a)≤2f(1)?f(log2a)≤f又f(log2a)＝f(|log2a|)且f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，∴|log2a|≤1?－1≤log2a≤1，解得eq\f(1,2)≤a≤2，選(理)若函數(shù)f(x)＝log2(x＋1)且a>b>c>0，則eq\f(fa,a)、eq\f(fb,b)、eq\f(fc,c)的大小關系是()A．eq\f(fa,a)>eq\f(fb,b)>eq\f(fc,c) B．eq\f(fc,c)>eq\f(fb,b)>eq\f(fa,a)C．eq\f(fb,b)>eq\f(fa,a)>eq\f(fc,c) D．eq\f(fa,a)>eq\f(fc,c)>eq\f(fb,b)[答案]B[解析]∵eq\f(fa,a)、eq\f(fb,b)、eq\f(fc,c)可看作函數(shù)圖像上的點與原點所確定的直線的斜率，結(jié)合函數(shù)f(x)＝log2(x＋1)的圖像及a>b>c>0可知eq\f(fc,c)>eq\f(fb,b)>eq\f(fa,a).故選B．二、填空題7．(2022·陜西高考)已知4a＝2，lgx＝a，則x＝[答案]eq\r(10)[解析]本題考查指數(shù)與對數(shù)運算．4a＝2，∴a＝eq\f(1,2)，lgx＝a＝eq\f(1,2)，∴x＝eq\r(10).8．(2021·東營質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋1，x≤0,log2x，x>0))，則使函數(shù)f(x)的圖像位于直線y＝1上方的x的取值范圍是________．[答案]{x|－1<x≤0或x>2}[解析]當x≤0時，由3x＋1>1，得x＋1>0，即x>－1.∴－1<x≤0.當x>0時，由log2x>1，得x>2.∴x的取值范圍是{x|－1<x≤0或x>2}．9．函數(shù)y＝log3(x2－2x)的單調(diào)減區(qū)間是________．[答案](－∞，0)[解析](等價轉(zhuǎn)化法)令u＝x2－2x，則y＝log3u.∵y＝log3u是增函數(shù)，u＝x2－2x>0的單調(diào)減區(qū)間是(－∞，0)，∴y＝log3(x2－2x)的單調(diào)減區(qū)間是(－∞，0)．三、解答題10．已知函數(shù)f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，a>0且a≠1.(1)求f(x)的定義域；(2)推斷f(x)的奇偶性，并予以證明；(3)當a>1時，求使f(x)>0的x的取值范圍．[解析](1)f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1>0，,1－x>0，))解得－1<x<1.故所求定義域為{x|－1<x<1}．(2)f(x)為奇函數(shù)．證明如下：由(1)知f(x)的定義域為{x|－1<x<1}，且f(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x)＝－[loga(x＋1)－loga(1－x)]＝－f(x)．故f(x)為奇函數(shù)．(3)由于當a>1時，f(x)在定義域{x|－1<x<1}上是增函數(shù)，所以f(x)>0?eq\f(x＋1,1－x)>1.解得0<x<1.所以使f(x)>0的x的取值范圍是{x|0<x<1}.一、選擇題1．(2022·四川高考)已知b>0，log5b＝a，lgb＝c,5d＝10，則下列等式確定成立的是()A．d＝ac B．a(chǎn)＝cdC．c＝ad D．d＝a＋c[答案]B[解析]B本題考查指對互化、指對運算性質(zhì)等．可逐項驗證．A中，d＝log510，而ac＝log5b·lgb＝eq\f(lgb,lg5)·lgb＝eq\f(lgb2,lg5)，∴A錯．B中，cd＝lgb·log510＝lgb·eq\f(lg10,lg5)＝eq\f(lgb,lg5)＝log5b＝a，選B．解題時要機敏應用換底公式等．2．(文)函數(shù)f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和為a，則a的值為()A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,2)C．2 D．4[答案]B[解析]∵y＝ax與y＝loga(x＋1)具有相同的單調(diào)性．∴f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上單調(diào)，∴f(0)＋f(1)＝a，即a0＋loga1＋a1＋loga2＝a，化簡得1＋loga2＝0，解得a＝eq\f(1,2).(理)已知x＝lnπ，y＝log52，z＝e－eq\f(1,2)，則()A．x<y<z B．z<x<yC．z<y<x D．y<z<x[答案]D[解析]本小題主要考查了對數(shù)、指數(shù)的性質(zhì)的運用．∵y＝log52＝eq\f(1,log25)，z＝e－eq\f(1,2)＝eq\f(1,\r(e))且eq\r(e)<2<log25∴y<z<1，又lnπ>1，∴y<z<x，故選D．二、填空題3．已知lgx＋lgy＝2lg(2x－3y)，則logeq\f(3,2)eq\f(x,y)的值為________．[答案]2[解析]依題意，可得lg(xy)＝lg(2x－3y)2，即xy＝4x2－12xy＋9y2，整理得4(eq\f(x,y))2－13(eq\f(x,y))＋9＝0，解得eq\f(x,y)＝1或eq\f(x,y)＝eq\f(9,4).∵x>0，y>0,2x－3y>0，∴eq\f(x,y)＝eq\f(9,4)，∴l(xiāng)ogeq\f(3,2)eq\f(x,y)＝2.4．(2022·蘭州、張掖聯(lián)考)函數(shù)f(n)＝logn＋1(n＋2)(n∈N*)，定義使f(1)·f(2)·f(3)·…·f(k)為整數(shù)的數(shù)k(k∈N*)叫做企盼數(shù)，則在區(qū)間[1,2021]內(nèi)這樣的企盼數(shù)共有________個．[答案]9[解析]∵logn＋1(n＋2)＝eq\f(lnn＋2,lnn＋1)，∴f(1)·f(2)·f(3)·…·f(k)＝eq\f(ln3,ln2)·eq\f(ln4,ln3)·eq\f(ln5,ln4)·…·eq\f(lnk＋2,lnk＋1)＝eq\f(lnk＋2,ln2)＝log2(k＋2)．∵1024＝210,2048＝211，且log24＝2，∴使f(1)·f(2)·f(3)·…·f(k)為整數(shù)的數(shù)有10－1＝9個．三、解答題5．已知函數(shù)f(x)＝loga(2－ax)，是否存在實數(shù)a，使函數(shù)f(x)在[0,1]上是x的削減的，若存在，求a的取值范圍．[分析]參數(shù)a既毀滅在底數(shù)上，又毀滅在真數(shù)上，應全面端詳對a的取值范圍的制約．[解析]∵a>0，且a≠1，∴u＝2－ax是x的減函數(shù)．又f(x)＝loga(2－ax)在[0,1]是削減的，∴函數(shù)y＝logau是u的增函數(shù)，且對x∈[0,1]時，u＝2－ax恒為正數(shù)．其充要條件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>1,2－a>0))即1<a<2.∴a的取值范圍是(1,2)．6．(文)已知定義域為R的函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且滿足f(x＋2)＝－f(x)，當x∈[0,1]時，f(x)＝2x－1.(1)求f(x)在[－1,0)上的解析式；(2)求f(eqlog\s\do8(\f(1,2))24)的值．[解析](1)令x∈[－1,0)，則－x∈(0,1]，∴f(－x)＝2－x－1.又∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝f(－x)＝2－x－1，∴f(x)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＋1.(2)∵eqlog\s\do8(\f(1,2))24＝－log224∈(－5，－4)，∴eqlog\s\do8(\f(1,2))24＋4∈(－1,0)，∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，∴f(eqlog\s\do8(\f(1,2))24)＝f(eqlog\s\do8(\f(1,2))24＋4)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eqlog\s\do8(\f(1,2))24＋4＋1＝－24×eq\f(1,16)＋1＝－eq\f(1,2).(理)若f(x)＝x2－x＋b，且f(log2a)＝b，log2f(a)＝2(a≠(1)求f(log2x)的最小值及對應的x值；(2)x取何值時，f(log2x)>f(1)，且log2f(x)<f(1[解析](1)∵f(x)＝x2－x＋b，∴f(log2a)＝(log2a)2－log2a由已知(log2a)2－log2a＋b＝∴l(xiāng)og2a(log2∵a≠1，∴l(xiāng)og2a＝1，∴a＝2.又log2f(a)＝2，∴f(∴a2