【全程復(fù)習(xí)方略】2020年人教A版數(shù)學(xué)理(廣東用)課時作業(yè)：第八章-第六節(jié)橢-圓

16溫馨提示：此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標滾軸，調(diào)整合適的觀看比例，答案解析附后。關(guān)閉Word文檔返回原板塊。課時提升作業(yè)(五十五)一、選擇題1.(2021·珠海模擬)已知焦點在x軸上的橢圓的離心率為QUOTE,且它的長軸長等于圓C:x2+y2-2x-15=0的半徑,則橢圓的標準方程是()(A)QUOTE+QUOTE=1 (B)QUOTE+QUOTE=1(C)QUOTE+y2=1 (D)QUOTE+QUOTE=12.(2021·韶關(guān)模擬)已知曲線C上的動點M(x,y),向量a=(x+2,y)和b=(x-2,y)滿足|a|+|b|=6,則曲線C的離心率是()(A)QUOTE (B)QUOTE (C)QUOTE (D)QUOTE3.已知圓(x+2)2+y2=36的圓心為M,設(shè)A為圓上任一點,N(2,0),線段AN的垂直平分線交MA于點P,則動點P的軌跡是()(A)圓 (B)橢圓(C)雙曲線 (D)拋物線4.過橢圓QUOTE+QUOTE=1(a>b>0)的左焦點F1作x軸的垂線交橢圓于點P,F2為右焦點,若∠F1PF2=60°,則橢圓的離心率為()(A)QUOTE (B)QUOTE (C)QUOTE (D)QUOTE5.(2021·重慶模擬)已知F1,F2分別是橢圓QUOTE+QUOTE=1(a>b>0)的左、右焦點,A是橢圓上位于第一象限內(nèi)的一點,點B也在橢圓上,且滿足QUOTE+QUOTE=0(O為坐標原點),QUOTE·QUOTE=0,若橢圓的離心率等于QUOTE,則直線AB的方程是()(A)y=QUOTEx (B)y=-QUOTEx(C)y=-QUOTEx (D)y=QUOTEx6.(2021·廣州模擬)已知橢圓QUOTE+QUOTE=1,若此橢圓上存在不同的兩點A,B關(guān)于直線y=4x+m對稱,則實數(shù)m的取值范圍是()(A)(-QUOTE,QUOTE) (B)(-QUOTE,QUOTE)(C)(-QUOTE,QUOTE) (D)(-QUOTE,QUOTE)二、填空題7.在平面直角坐標系xOy中,橢圓C的中心為原點,焦點F1,F2在x軸上,離心率為QUOTE.過F1的直線l交C于A,B兩點,且△ABF2的周長為16,那么C的方程為.8.(2021·湛江模擬)設(shè)F1,F2分別為橢圓QUOTE+y2=1的左、右焦點,點A,B在橢圓上,若QUOTE=5QUOTE,則點A的坐標是.9.已知F1,F2分別是橢圓QUOTE+QUOTE=1(a>b>0)的左、右焦點,以原點O為圓心,OF1為半徑的圓與橢圓在y軸左側(cè)交于A,B兩點,若△F2AB是等邊三角形,則橢圓的離心率等于.三、解答題10.(2022·廣東高考)在平面直角坐標系xOy中,已知橢圓C1:QUOTE+QUOTE=1(a>b>0)的左焦點為F1(-1,0),且點P(0,1)在C1上,(1)求橢圓C1的方程.(2)設(shè)直線l同時與橢圓C1和拋物線C2:y2=4x相切,求直線l的方程.11.已知橢圓C:QUOTE+QUOTE=1(a>b>0)的左焦點F及點A(0,b),原點O到直線FA的距離為QUOTEb.(1)求橢圓C的離心率e.(2)若點F關(guān)于直線l:2x+y=0的對稱點P在圓O:x2+y2=4上,求橢圓C的方程及點P的坐標.12.(力氣挑戰(zhàn)題)已知橢圓C:QUOTE+QUOTE=1(a>b>0)的離心率為QUOTE,橢圓短軸的一個端點與兩個焦點構(gòu)成的三角形的面積為QUOTE.(1)求橢圓C的方程.(2)已知動直線y=k(x+1)與橢圓C相交于A,B兩點.①若線段AB中點的橫坐標為-QUOTE,求斜率k的值;②已知點M(-QUOTE,0),求證:QUOTE·QUOTE為定值.答案解析1.【解析】選A.圓C的方程可化為(x-1)2+y2=16.知其半徑r=4,∴長軸長2a=4,∴a=2.又e=QUOTE=QUOTE,∴c=1,b2=a2-c2=4-1=3,∴橢圓的標準方程為QUOTE+QUOTE=1.2.【解析】選A.由于|a|+|b|=6表示動點M(x,y)到兩點(-2,0)和(2,0)距離的和為6,所以曲線C是橢圓,且長軸長2a=6,即a=3,又c=2,∴e=QUOTE.3.【解析】選B.點P在線段AN的垂直平分線上,故|PA|=|PN|,又AM是圓的半徑,∴|PM|+|PN|=|PM|+|PA|=|AM|=6>|MN|,由橢圓的定義知,P的軌跡是橢圓.4.【解析】選B.由題意知點P的坐標為(-c,QUOTE)或(-c,-QUOTE),由于∠F1PF2=60°,那么QUOTE=QUOTE,∴2ac=QUOTEb2,這樣依據(jù)a,b,c的關(guān)系式化簡得到結(jié)論為QUOTE.5.【思路點撥】由QUOTE+QUOTE=0知,A,B兩點關(guān)于原點對稱,設(shè)出A點坐標,利用向量列方程求解.【解析】選A.設(shè)A(x1,y1),由于QUOTE+QUOTE=0,所以B(-x1,-y1),QUOTE=(c-x1,-y1),QUOTE=(2c,0),又由于QUOTE·QUOTE=0,所以(c-x1,-y1)·(2c,0)=0,即x1=c,代入橢圓方程得y1=QUOTE,由于離心率e=QUOTE,所以,a=QUOTEc,b=c,A(c,QUOTE),所以直線AB的方程是y=QUOTEx.6.【解析】選B.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中點M(x,y),kAB=QUOTE=-QUOTE,x1+x2=2x,y1+y2=2y,3QUOTE+4QUOTE=12①,3QUOTE+4QUOTE=12②,①②兩式相減得3(QUOTE-QUOTE)+4(QUOTE-QUOTE)=0,即y1+y2=3(x1+x2),即y=3x,與y=4x+m聯(lián)立得x=-m,y=-3m,而M(x,y)在橢圓的內(nèi)部,則QUOTE+QUOTE<1,即-QUOTE<m<QUOTE.【方法技巧】點差法解直線與橢圓相交問題的適用條件及技巧對于直線與橢圓相交問題,若題設(shè)和待求涉及弦的中點和所在直線的斜率,求解時一般先設(shè)交點坐標,代入曲線方程,再用平方差公式求解,這種解法,大大削減了將直線方程與橢圓方程聯(lián)立求解帶來的繁雜運算.7.【解析】依據(jù)橢圓焦點在x軸上,可設(shè)橢圓方程為QUOTE+QUOTE=1(a>b>0).∵e=QUOTE,∴QUOTE=QUOTE.依據(jù)△ABF2的周長為16得4a=16,因此a=4,b=2QUOTE,所以橢圓方程為QUOTE+QUOTE=1.答案:QUOTE+QUOTE=18.【解析】依據(jù)題意設(shè)A點坐標為(m,n),B點坐標為(c,d),F1,F2分別為橢圓的左、右焦點,其坐標分別為(-QUOTE,0),(QUOTE,0),可得QUOTE=(m+QUOTE,n),QUOTE=(c-QUOTE,d).∵QUOTE=5QUOTE,∴c=QUOTE,d=QUOTE.∵點A,B都在橢圓上,∴QUOTE+n2=1,QUOTE+(QUOTE)2=1.解得m=0,n=±1,故點A坐標為(0,±1).答案:(0,±1)9.【解析】由于△F2AB是等邊三角形,所以A(-QUOTE,QUOTEc)在橢圓QUOTE+QUOTE=1上,所以QUOTE+QUOTE=1,由于c2=a2-b2,所以,4a4-8a2c2+c4=0,即e4-8e2+4=0,所以,e2=4±2QUOTE,e=QUOTE-1或e=QUOTE+1(舍).答案:QUOTE-1【誤區(qū)警示】本題易毀滅答案為QUOTE-1或QUOTE+1的錯誤,其錯誤緣由是沒有留意到或不知道橢圓離心率的范圍.10.【解析】(1)由題意得c=1,b=1,a=QUOTE=QUOTE,∴橢圓C1的方程為QUOTE+y2=1.(2)由題意得直線的斜率確定存在且不為0,設(shè)直線l方程為y=kx+m.由于橢圓C1的方程為QUOTE+y2=1,∴QUOTE消去y得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0.直線l與橢圓C1相切,∴Δ=16k2m2-4(2k2+1)(2m2-2)=0.即2k2-m2+1=0.①直線l與拋物線C2:y2=4x相切,則QUOTE消去y得k2x2+(2km-4)x+m2=0.∴Δ=(2km-4)2-4k2m2=0,即km=1.②由①②解得k=QUOTE,m=QUOTE;k=-QUOTE,m=-QUOTE.所以直線l的方程y=QUOTEx+QUOTE,y=-QUOTEx-QUOTE.11.【解析】(1)由點F(-ae,0),點A(0,b)及b=QUOTEa得直線FA的方程為QUOTE+QUOTE=1,即QUOTEx-ey+aeQUOTE=0.∵原點O到直線FA的距離QUOTEb=aeQUOTE,∴QUOTE·a=eaQUOTE.解得e=QUOTE.(2)方法一:設(shè)橢圓C的左焦點F(-QUOTEa,0)關(guān)于直線l:2x+y=0的對稱點為P(x0,y0),則有QUOTE解得x0=QUOTEa,y0=QUOTEa.∵P在圓x2+y2=4上,∴(QUOTEa)2+(QUOTEa)2=4.∴a2=8,b2=(1-e2)a2=4.故橢圓C的方程為QUOTE+QUOTE=1,點P的坐標為(QUOTE,QUOTE).方法二:∵F(-QUOTEa,0)關(guān)于直線l的對稱點P在圓O上,又直線l:2x+y=0經(jīng)過圓O:x2+y2=4的圓心O(0,0),∴F(-QUOTEa,0)也在圓O上.從而(-QUOTEa)2+02=4,a2=8,b2=(1-e2)a2=4.故橢圓C的方程為QUOTE+QUOTE=1.∵F(-2,0)與P(x0,y0)關(guān)于直線l對稱,∴QUOTE解得x0=QUOTE,y0=QUOTE.故點P的坐標為(QUOTE,QUOTE).12.【解析】(1)由于QUOTE+QUOTE=1(a>b>0)滿足a2=b2+c2,QUOTE=QUOTE,QUOTE×b×2c=QUOTE.解得a2=5,b2=QUOTE,則橢圓C方程為QUOTE+QUOTE=1.(2)①設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則將y=k(x+1)代入QUOTE+QUOTE=1中得(1+3k2)x2+6k2x+3k2-5=0,Δ=36k4-4(3k2+1)(3k2-5)=48k2+20>0,x1+x2=-QUOTE,由于AB中點的橫坐標為-QUOTE,所以-QUOTE=-QUOTE,解得k=±QUOTE.②由①知x1+x2=-QUOTE,x1x2=QUOTE,所以QUOTE·