2025年人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)寒假預(yù)習(xí) 第13講 正方形的性質(zhì)與判定（2個(gè)知識(shí)點(diǎn)+5大考點(diǎn)舉一反三+過(guò)關(guān)測(cè)試）

第13講正方形的性質(zhì)與判定模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過(guò)關(guān)測(cè)1.理解正方形的概念；

2.探索并證明正方形的性質(zhì)定理和判定定理，并能運(yùn)用它們進(jìn)行證明和計(jì)算；

3.通過(guò)正方形的性質(zhì)定理和判定定理以及相關(guān)問(wèn)題的證明和計(jì)算，進(jìn)一步培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的演繹推理能力。知識(shí)點(diǎn)1：正方形的概念與性質(zhì)1.概念：有一組鄰邊相等，并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形.2.性質(zhì)：（1）具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)（2）正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊都相等（3）正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角（4）正方形是軸對(duì)稱圖形，有4條對(duì)稱軸（5）正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形，兩條對(duì)角線把正方形分成四個(gè)全等的小等腰直角三角形（6）正方形的一條對(duì)角線上的一點(diǎn)到另一條對(duì)角線的兩端點(diǎn)的距離相等。知識(shí)點(diǎn)2：正方形的判定（1）有一個(gè)角是直角的菱形是正方形；（2）對(duì)角線相等的菱形是正方形；（3）對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形。注意：判定一個(gè)四邊形為正方形的一般順序如下：先證明它是平行四邊形，再證明它是菱形（或矩形），最后證明它是矩形（或菱形）?？键c(diǎn)一：利用正方形的性質(zhì)求解例1.（23-24八年級(jí)下·云南昆明·期末）如圖，社區(qū)有一塊面積為500m2的正方形空地ACDE，空地的B處有一個(gè)涼亭，BC，AB為兩條小路，現(xiàn)在△ABC內(nèi)種植月季花，其余地方種植郁金香，測(cè)得AB=10m，(1)求正方形空地的邊CD的長(zhǎng)；(2)求郁金香的種植面積．【變式1-1】（23-24八年級(jí)下·廣東中山·期中）如圖，正方形ABCD和正方形CEFG中，點(diǎn)D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中點(diǎn)，那么CH的長(zhǎng)是（

）A．52 B．5 C．32【變式1-2】（23-24八年級(jí)下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）如圖，E是正方形ABCD邊BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且CE=AC，連接AE交CD于F．(1)求∠CAE的度數(shù)：(2)若DF=1，求正方形ABCD的周長(zhǎng)．【變式1-3】（23-24八年級(jí)下·福建福州·期中）如圖，正方形ABCD中，AB=32，點(diǎn)E是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，連接DE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥ED，交AB于點(diǎn)F，以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG，連接AG(1)求證：矩形DEFG是正方形．(2)求AG+AE的值．考點(diǎn)二：添一個(gè)條件使四邊形是正方形例2.（23-24八年級(jí)下·安徽黃山·期末）如圖，在反映特殊四邊形之間關(guān)系的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖中，①②③④表示需要添加的條件，則下列描述錯(cuò)誤的是（

）A．①表示有一組鄰角相等 B．②表示有一組鄰邊相等C．③表示對(duì)角線平分一組對(duì)角 D．④表示對(duì)角線互相垂直【變式2-1】（23-24八年級(jí)下·吉林·期末）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)O，添加下列一個(gè)條件，能使菱形ABCD成為正方形的是（A．BD=AB B．OA=OB C．AC⊥BD D．OD=AC【變式2-2】（23-24八年級(jí)下·廣東惠州·期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，添加的下列條件中，能判定平行四邊形ABCD是正方形的是（

）A．AC=BD，AC⊥BD C．BD平分∠ABC，AB=BC 【變式2-3】（23-24八年級(jí)下·遼寧大連·期中）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，那么下列條件中，能判斷菱形ABCD是正方形的為（

）A．AB=AD B．AC=BD C．AC⊥BD D．AO=CO考點(diǎn)三：證明四邊形是正方形

例3.（23-24九年級(jí)下·云南·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠BAC的角平分線AD交BC于點(diǎn)D，DE∥AB，DF∥AC(1)試判斷四邊形AFDE的形狀，并說(shuō)明理由；(2)若∠BAC=90°，且AD=3，求四邊形AFDE【變式3-1】（2024·湖南長(zhǎng)沙·一模）如圖，四邊形AECF是菱形，對(duì)角線AC、EF交于點(diǎn)O，點(diǎn)D、B是對(duì)角線EF所在直線上兩點(diǎn)，且DE=BF，連接AD、AB、CD、CB，∠ADO=45°．(1)求證：四邊形ABCD是正方形；(2)若正方形ABCD的面積為72，BF=4，求菱形AECF的面積．【變式3-2】（22-23九年級(jí)上·山西運(yùn)城·期中）如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的角平分線交于點(diǎn)G，GE⊥BC于點(diǎn)E，GF⊥AC于點(diǎn)(1)求證：四邊形GECF是正方形；(2)若AC=4，BC=3，求四邊形GECF的周長(zhǎng)．【變式3-3】（23-24九年級(jí)上·湖北宜昌·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于點(diǎn)D．小明同學(xué)靈活運(yùn)用軸對(duì)稱知識(shí)將圖形進(jìn)行翻折變換：分別以直線AB，AC為對(duì)稱軸，畫出△ABD，△ACD的軸對(duì)稱圖形，點(diǎn)D的對(duì)稱點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，延長(zhǎng)EB，F(xiàn)C相交于點(diǎn)G．請(qǐng)按照小明的思路，探究并解答下列問(wèn)題：

(1)求證：四邊形AEGF是正方形．(2)若AD=6，BC=5，試求出BD的長(zhǎng)．考點(diǎn)四：中點(diǎn)四邊形例4.（2024八年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）已知：如圖，四邊形ABCD四條邊上的中點(diǎn)分別為E、F、G、H，順次連接EF(1)求證：四邊形EFGH的形狀是平行四邊形；(2)當(dāng)四邊形ABCD的對(duì)角線滿足______條件時(shí)，四邊形EFGH是矩形；(3)當(dāng)四邊形ABCD的對(duì)角線滿足______條件時(shí)，四邊形EFGH是菱形．【變式4-1】（23-24九年級(jí)上·江蘇無(wú)錫·期中）順次連結(jié)一個(gè)四邊形各邊的中點(diǎn)所得的四邊形是矩形，那么這個(gè)四邊形一定是（

）A．矩形 B．菱形C．對(duì)角線相等的四邊形 D．對(duì)角線垂直的四邊形【變式4-2】（23-24八年級(jí)下·浙江杭州·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)E、F、G、H分別是四邊形ABCD邊AB、則下列說(shuō)法：①若AC=BD，則四邊形EFGH為矩形；②若AC⊥BD，則四邊形EFGH為菱形；③若四邊形EFGH是菱形，則AC與BD互相平分；④若四邊形EFGH是正方形，則AC與BD互相垂直且相等．其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式4-3】（23-24九年級(jí)上·山東青島·期中）如圖，依次連接第一個(gè)矩形各邊上的中點(diǎn)，得到一個(gè)菱形，在依次連接菱形各邊上的中點(diǎn)得到第二個(gè)矩形，按照此方法繼續(xù)下去，已知第一個(gè)矩形的面積是1，則第n個(gè)矩形的面積是．考點(diǎn)五：正方形的判定與性質(zhì)綜合例5.（23-24八年級(jí)下·河南鄭州·期中）如圖，正方形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F分別在AB、BC上(AE<BE)，且∠EOF=90°，OE與DA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，OF與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)N，連接MN．

(1)求證：OM=ON．(2)若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，E為OM的中點(diǎn)，求MN的長(zhǎng)．【變式5-1】（23-24八年級(jí)下·全國(guó)·單元測(cè)試）如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D分別作DE∥AC交AB于點(diǎn)E，DF∥AB交AC于點(diǎn)(1)求證：四邊形AEDF為菱形；(2)當(dāng)∠ABC等于多少度時(shí)，四邊形AEDF為正方形，并說(shuō)明理由？【變式5-2】（23-24八年級(jí)下·湖南岳陽(yáng)·期末）【問(wèn)題呈現(xiàn)】如圖1，∠MPN的頂點(diǎn)在正方形ABCD兩條對(duì)角線的交點(diǎn)處，∠MPN=90°，將∠MPN繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，∠MPN的兩邊分別與正方形ABCD的邊AD和CD交于點(diǎn)E、F（點(diǎn)F與點(diǎn)C，D不重合）.探索線段DE、DF、AD之間的數(shù)量關(guān)系．

【問(wèn)題初探】（1）如圖1，愛(ài)動(dòng)腦筋的小悅發(fā)現(xiàn)，通過(guò)證明兩個(gè)三角形全等，可以得到結(jié)論，請(qǐng)你寫出線段DE、DF、AD之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；【問(wèn)題引申】（2）如圖2，將圖1中的正方形ABCD改為∠ADC=120°的菱形，∠EPF=60°，其他條件不變，請(qǐng)你幫小悅得出此時(shí)線段DE、DF、AD之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【變式5-3】問(wèn)題解決：如圖1，在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD上，DE=AF，DE⊥AF于點(diǎn)G．

（1）求證：四邊形ABCD是正方形；（2）延長(zhǎng)BC到點(diǎn)H，使得CH=DF，連接DH，判斷△DEH的形狀，并說(shuō)明理由．類比遷移：（3）如圖2，在菱形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD邊上，DE與AF相交于點(diǎn)G，DE=AF，∠AFD=60°，DF=5，CE=1，求CD的長(zhǎng)．一、單選題1．（23-24八年級(jí)下·全國(guó)·期末）四邊形具有不穩(wěn)定性，對(duì)于四條邊長(zhǎng)確定的四邊形，當(dāng)內(nèi)角度數(shù)發(fā)生變化時(shí)，其形狀也會(huì)隨之改變．如圖，改變正方形ABCD的內(nèi)角，正方形ABCD變?yōu)榱庑蜛BC'D'．若∠D'AB=30°A．1 B．12 C．2 D．2．（23-24八年級(jí)上·浙江杭州·期中）如圖，四邊形ABCD是正方形，直線a,b,c分別通過(guò)A、D、C三點(diǎn)，且a∥b∥c．若a與b之間的距離是5，b與c之間的距離是7，則正方形A．148 B．144 C．74 D．703．（23-24八年級(jí)下·江西南昌·階段練習(xí)）小明用四根長(zhǎng)度相等的木條制作了能夠活動(dòng)的菱形學(xué)具，他先活動(dòng)學(xué)具成為圖（1）所示的菱形，并測(cè)得∠B=60°，接著活動(dòng)學(xué)具成為圖（2）所示的正方形，并測(cè)得對(duì)角線AC=20cm，則圖（1）中對(duì)角線ACA．30cm B．202cm C．20cm 4．（23-24八年級(jí)下·全國(guó)·單元測(cè)試）正方形具有而菱形和矩形都不具有的性質(zhì)是（

）A．對(duì)角線相等 B．對(duì)角線垂直C．對(duì)角線互相平分 D．對(duì)角線垂直且相等5．（23-24八年級(jí)下·全國(guó)·期末）如圖，邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，E是對(duì)角線BD上的一點(diǎn)，且BE=BC，點(diǎn)P在EC上．PM⊥BD于點(diǎn)M，PN⊥BC于點(diǎn)N，則PM+PN的值為（

）A．2 B．22 C．4 D．二、填空題6．（23-24八年級(jí)下·全國(guó)·單元測(cè)試）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為9，將正方形折疊，使頂點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)E處，折痕為GH．若BE:EC=2:1，則線段GH的長(zhǎng)是．

7．（23-24八年級(jí)下·山東煙臺(tái)·期末）如圖，已知四邊形ABCD是正方形，對(duì)角線AC、BD相交于O，設(shè)E、F分別是AD、AB上的點(diǎn)，若∠EOF=90°，DO=4，則四邊形AEOF的面積是．8．（23-24八年級(jí)下·廣西欽州·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的邊AB在x軸上，AB=2，且AB的中點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)O．固定點(diǎn)A，B，把正方形沿箭頭方向推，使點(diǎn)D落在y軸正半軸上點(diǎn)D'處，則點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C9．（23-24八年級(jí)下·全國(guó)·單元測(cè)試）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)E是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，且AE=2CE，則ED的長(zhǎng)度為．10．（23-24八年級(jí)下·全國(guó)·單元測(cè)試）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊CD，AD上，DE=AF，BE⊥CF于點(diǎn)G，若BC=8，AF=2，則GF的長(zhǎng)為．

第13講正方形的性質(zhì)與判定模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過(guò)關(guān)測(cè)1.理解正方形的概念；

2.探索并證明正方形的性質(zhì)定理和判定定理，并能運(yùn)用它們進(jìn)行證明和計(jì)算；

3.通過(guò)正方形的性質(zhì)定理和判定定理以及相關(guān)問(wèn)題的證明和計(jì)算，進(jìn)一步培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的演繹推理能力。知識(shí)點(diǎn)1：正方形的概念與性質(zhì)1.概念：有一組鄰邊相等，并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形.2.性質(zhì)：（1）具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)（2）正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊都相等（3）正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角（4）正方形是軸對(duì)稱圖形，有4條對(duì)稱軸（5）正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形，兩條對(duì)角線把正方形分成四個(gè)全等的小等腰直角三角形（6）正方形的一條對(duì)角線上的一點(diǎn)到另一條對(duì)角線的兩端點(diǎn)的距離相等。知識(shí)點(diǎn)2：正方形的判定（1）有一個(gè)角是直角的菱形是正方形；（2）對(duì)角線相等的菱形是正方形；（3）對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形。注意：判定一個(gè)四邊形為正方形的一般順序如下：先證明它是平行四邊形，再證明它是菱形（或矩形），最后證明它是矩形（或菱形）。考點(diǎn)一：利用正方形的性質(zhì)求解例1.（23-24八年級(jí)下·云南昆明·期末）如圖，社區(qū)有一塊面積為500m2的正方形空地ACDE，空地的B處有一個(gè)涼亭，BC，AB為兩條小路，現(xiàn)在△ABC內(nèi)種植月季花，其余地方種植郁金香，測(cè)得AB=10m，(1)求正方形空地的邊CD的長(zhǎng)；(2)求郁金香的種植面積．【答案】(1)CD=10(2)400【分析】（1）根據(jù)算術(shù)平方根的意義結(jié)合二次根式的性質(zhì)計(jì)算即可．（2）利用勾股定理的逆定理證明△ABC為直角三角形，且∠ABC=90°．利用三角形面積公式求出△ABC的面積即可得到答案．本題考查了算術(shù)平方根的應(yīng)用，勾股定理的逆定理，正方形的性質(zhì)等等．【詳解】（1）解：∵正方形ACDE的面積為500m∴CD∴CD=105（2）解：由（1）可得，CD∵AB=10m，BC=20m，∴AB∴AB∴△ABC為直角三角形，且∠ABC=90°．∴S△ABC∴郁金香的種植面積為500?100=400m【變式1-1】（23-24八年級(jí)下·廣東中山·期中）如圖，正方形ABCD和正方形CEFG中，點(diǎn)D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中點(diǎn)，那么CH的長(zhǎng)是（

）A．52 B．5 C．32【答案】B【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，勾股定理等知識(shí)．如圖，連接AC、CF，由正方形的性質(zhì)可得，∠ACD=∠FCG=45°，則∠ACF=90°，由H是AF的中點(diǎn)，可得CH=12AF，根據(jù)勾故定理求AC2【詳解】解：如圖，連接AC、由正方形的性質(zhì)可得，∠ACD=∠FCG=45°，∴∠ACF=90°，∵H是AF的中點(diǎn)，∴CH=1由正方形的性質(zhì)可得∠B=90°，AC同理可得CF∴AF=A∴CH=20故選：B．【變式1-2】（23-24八年級(jí)下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）如圖，E是正方形ABCD邊BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且CE=AC，連接AE交CD于F．(1)求∠CAE的度數(shù)：(2)若DF=1，求正方形ABCD的周長(zhǎng)．【答案】(1)22.5°(2)4+4【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)求得∠ACE=135°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠CAE=∠CEA，再利用三角形的內(nèi)角和定理求解即可；（2）過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AC于點(diǎn)G，由（1）可得，AF平分∠CAD，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得DF=FG=1，再根據(jù)等腰三角形的判定可得FG=CG=1，利用勾股定理求得FC=2，進(jìn)而求得DC=1+【詳解】（1）解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BCD=∠DCE=90°，∠ACD=1∴∠ACE=∠ACD+∠DCE=45°+90°=135°，∵CE=AC，∴∠CAE=∠CEA=180°?135°（2）解：過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AC于點(diǎn)G，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠CAD=∠ACD=45°，由（1）可得，∠CAE=22.5°，∴∠FAD=∠CAD?∠CAE=22.5°，∴AF平分∠CAD，又∵FG⊥AC，DF⊥AD，∴DF=FG=1，∠GFC=∠GCF=45°，∴FG=CG=1，∴FC=1∴DC=DF+FC=1+2∴正方形ABCD的周長(zhǎng)為41+【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】（23-24八年級(jí)下·福建福州·期中）如圖，正方形ABCD中，AB=32，點(diǎn)E是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，連接DE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥ED，交AB于點(diǎn)F，以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG，連接AG(1)求證：矩形DEFG是正方形．(2)求AG+AE的值．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)6．【分析】（1）如圖，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．只要證明△EMD≌△ENF即可解決問(wèn)題；（2）只要證明△ADG≌△CDE，可得AG=EC即可解決問(wèn)題．【詳解】（1）如圖，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．∵四邊形ABCD是正方形，∴∠EAD=∠EAB，∵EM⊥AD于M，EN⊥AB于N，∴EM=EN，∵EF⊥DE，∴∠MEN=∠DEF=90°，∴∠DEM=∠FEN，∵∠EMD=∠ENF=90°，∴△EMD≌△ENFASA∴ED=EF，∵四邊形DEFG是矩形，∴四邊形DEFG是正方形．（2）∵四邊形DEFG是正方形，四邊形ABCD是正方形，∴DG=DE，DC=DA=AB=32，∠GDE=∠ADC=90°∴∠ADG=∠CDE，∴△ADG≌△CDESAS∴AG=CE，∴AE+AG=AE+EC=AC=2【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、矩形的性質(zhì)和判定、解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題．考點(diǎn)二：添一個(gè)條件使四邊形是正方形例2.（23-24八年級(jí)下·安徽黃山·期末）如圖，在反映特殊四邊形之間關(guān)系的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖中，①②③④表示需要添加的條件，則下列描述錯(cuò)誤的是（

）A．①表示有一組鄰角相等 B．②表示有一組鄰邊相等C．③表示對(duì)角線平分一組對(duì)角 D．④表示對(duì)角線互相垂直【答案】D【分析】本題考查特殊的平行四邊形的判定，熟練掌握特殊四邊形的各種判定方法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)特殊的平行四邊形的判定方法判斷即可．【詳解】解：A、有一組鄰角相等，則平行四邊形為矩形是正確的，理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠A+∠D=180°，由選項(xiàng)A得：∠A=∠D，∴2∠A=180°，∴∠A=90°，∴四邊形ABCD為矩形，故本選項(xiàng)不符合題意；B、根據(jù)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形這一判定定理得該選項(xiàng)正確，不符合題意；C、該選項(xiàng)正確，理由如下：如圖，∵矩形ABCD，∴∠BAD=∠BCD=90°，由題意得AC平分∠BAD,∠BCD，∴∠BAC=∠BCA=45°，∴BA=BC，∴四邊形ABCD是正方形，故本選項(xiàng)不符合題意；D、菱形本身對(duì)角線就互相垂直，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意，故選：D．【變式2-1】（23-24八年級(jí)下·吉林·期末）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)O，添加下列一個(gè)條件，能使菱形ABCD成為正方形的是（A．BD=AB B．OA=OB C．AC⊥BD D．OD=AC【答案】B【分析】本題考查了正方形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握對(duì)角線相等的菱形是正方形；有一個(gè)角是直角的菱形是正方形．據(jù)此逐個(gè)判斷即可．【詳解】解：要使菱形成為正方形，只要菱形滿足以下條件之一即可，（1）有一個(gè)內(nèi)角是直角，（2）對(duì)角線相等．即∠ABC=90°或AC=BD．∵在菱形ABCD中，OA=OB，∴AC=BD，故菱形ABCD是正方形故選：B．【變式2-2】（23-24八年級(jí)下·廣東惠州·期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，添加的下列條件中，能判定平行四邊形ABCD是正方形的是（

）A．AC=BD，AC⊥BD C．BD平分∠ABC，AB=BC 【答案】A【分析】本題考查了正方形的判定，根據(jù)正方形的判定方法逐一判斷即可求解，掌握正方形的判定方法是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，添加AC=BD，可得平行四邊形ABCD是矩形，再由AC⊥BD可得平行四邊形ABCD是正方形，故A選項(xiàng)符合題意；添加AC=BD，∠ABC=90°，可得平行四邊形ABCD是矩形，得不到是正方形，故添加BD平分∠ABC，AB=BC，可得平行四邊形ABCD是菱形，得不到是正方形，故添加AB=BC，AC⊥BD，可得平行四邊形ABCD是菱形，得不到是正方形，故故選：A．【變式2-3】（23-24八年級(jí)下·遼寧大連·期中）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，那么下列條件中，能判斷菱形ABCD是正方形的為（

）A．AB=AD B．AC=BD C．AC⊥BD D．AO=CO【答案】B【分析】本題考查正方形的判定．根據(jù)菱形的性質(zhì)和正方形的判定定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：A、由AB=AD，不能判斷菱形ABCD是正方形；故A不符合題意；B、∵四邊形ABCD是菱形，AC=BD，∴菱形ABCD是正方形，故B符合題意；C、由AC⊥BD不能判斷菱形ABCD是正方形；故C不符合題意；D、由AC⊥BD不能判斷菱形ABCD是正方形；故D不符合題意．故選：B．考點(diǎn)三：證明四邊形是正方形

例3.（23-24九年級(jí)下·云南·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠BAC的角平分線AD交BC于點(diǎn)D，DE∥AB，DF∥AC(1)試判斷四邊形AFDE的形狀，并說(shuō)明理由；(2)若∠BAC=90°，且AD=3，求四邊形AFDE【答案】(1)菱形，理由見(jiàn)解析(2)3【分析】本題考查了菱形的判定，正方形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是掌握特殊四邊形的判定方法．（1）首先可根據(jù)DE∥AB，DF∥AC判定四邊形AFDE是平行四邊形，然后根據(jù)AD平分∠BAC，可得∠EDA=∠EAD，進(jìn)而得到AE=DE，由此可判定四邊形（2）根據(jù)題意可得四邊形AFDE是正方形，求出AF=22AD=【詳解】（1）解：四邊形AFDE是菱形，理由如下：∵DE∥AB，DF∥∴四邊形AFDE是平行四邊形，∵AD平分∠BAC，∴∠FAD=∠EAD，∵DE∥AB，∴∠EDA=∠FAD，∴∠EDA=∠EAD，∴AE=DE，∴平行四邊形AFDE是菱形；（2）解：∵BAC=90°，∴菱形AFDE是正方形，∵AD=3在Rt△AFD中，A∴AF=DF=∴四邊形AFDE的面積為∶62【變式3-1】（2024·湖南長(zhǎng)沙·一模）如圖，四邊形AECF是菱形，對(duì)角線AC、EF交于點(diǎn)O，點(diǎn)D、B是對(duì)角線EF所在直線上兩點(diǎn)，且DE=BF，連接AD、AB、CD、CB，∠ADO=45°．(1)求證：四邊形ABCD是正方形；(2)若正方形ABCD的面積為72，BF=4，求菱形AECF的面積．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)24【分析】（1）根據(jù)對(duì)角線互相垂直且平分的四邊形是菱形可得四邊形ABCD是菱形，根據(jù)對(duì)角線相等的菱形是正方形即可解決問(wèn)題；（2）由正方形的面積公式求得BO=DO=CO=AO=6，進(jìn)而得到OF=2，由四邊形ABCD是菱形得到EF=4，AC⊥EF，菱形AFCE的面積=24．【詳解】（1）證明：∵菱形AECF的對(duì)角線AC和EF交于點(diǎn)O，∴AC⊥EF，OA=OC，OE=OF，∵DE=BF，∴OE+DE=OF+BF，即BO=DO，又∵AC⊥BD，∴四邊形ABCD是菱形，∵∠ADO=45°，∴∠DAO=∠ADO=45°，∴AO=DO，∴AC=BD，∴菱形ABCD是正方形；（2）解：∵正方形ABCD的面積為72，∴12∴12∴BO=DO=CO=AO=6，∴AC=12，∵BF=4，∴OF=2，∵四邊形ABCD是菱形，∴EF=2EO=2OF=4，AC⊥EF，∴菱形AFCE的面積=1【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握正方形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】（22-23九年級(jí)上·山西運(yùn)城·期中）如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的角平分線交于點(diǎn)G，GE⊥BC于點(diǎn)E，GF⊥AC于點(diǎn)(1)求證：四邊形GECF是正方形；(2)若AC=4，BC=3，求四邊形GECF的周長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)4【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，正方形的判定，勾股定理，掌握角平分線上的點(diǎn)到兩邊距離相等，正方形的判定定理是解題的關(guān)鍵．（1）過(guò)G作GD⊥AB于D，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可證EG=FG，再根據(jù)△ABC是直角三角形，∠C=90°，GF⊥AC，推出四邊形GECF是矩形，即可求證四邊形GECF（2）連接CG，由勾股定理得AB=5，設(shè)EG=x，則DG=FG=x，再根據(jù)S△ABC【詳解】（1）證明：過(guò)G作GD⊥AB于D，∵∠CAB、∠CBA的角平分線交于G點(diǎn)，GF⊥AC于點(diǎn)∴DG=EG，DG=FG，∴EG=FG，∵△ABC是直角三角形，∠C=90°，GF⊥AC∴∠C=∴四邊形GECF是矩形，∵EG=FG，∴四邊形GECF為正方形；（2）解：如圖2，連接CG，由勾股定理得：AB=3設(shè)EG=x，則DG=FG=x，∵S△ABC∴12∴x=1，∴四邊形GECF的周長(zhǎng)=4EG=4．【變式3-3】（23-24九年級(jí)上·湖北宜昌·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于點(diǎn)D．小明同學(xué)靈活運(yùn)用軸對(duì)稱知識(shí)將圖形進(jìn)行翻折變換：分別以直線AB，AC為對(duì)稱軸，畫出△ABD，△ACD的軸對(duì)稱圖形，點(diǎn)D的對(duì)稱點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，延長(zhǎng)EB，F(xiàn)C相交于點(diǎn)G．請(qǐng)按照小明的思路，探究并解答下列問(wèn)題：

(1)求證：四邊形AEGF是正方形．(2)若AD=6，BC=5，試求出BD的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)2或3【分析】（1）根據(jù)題意得，△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF得AD=AE，∠DAB=∠EAB，AD=AF，∠DAC=∠FAC，根據(jù)∠BAC=45°得∠EAF=90°，根據(jù)AD⊥BC得∠ADB=∠ADC=90°，則∠E=∠ADB=90°，∠F=∠ADC=90°，可得四邊形AEGF是矩形，根據(jù)（2）設(shè)BD=x，根據(jù)AD=6，BC=5，矩形AEGF是正方形得EG=FG=AD=6，DC=5?x，∠BGC=90°，根據(jù)△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF得BD=BE=x，CD=CF=5?x，則在Rt△BGC中，根據(jù)勾股定理得【詳解】（1）解：根據(jù)題意得，△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，∴AD=AE，∠DAB=∠EAB，∵∠BAC=45°，∴∠EAF=∠DAB+∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，∴∠E=∠ADB=90°，∠F=∠ADC=90°，∴四邊形AEGF是矩形，∵AD=AE∴AE=AF，∴矩形AEGF是正方形；（2）解：設(shè)BD=∵AD=6，BC=5，矩形AEGF是正方形，∴EG=FG=AD=6，DC=5?x，∠BGC=90°，∵△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，∴BD=BE=x，CD=CF=5?x，∴BG=6?x,CG=6?(5?x)=x+1，在Rt△BGC中，根據(jù)勾股定理得，(6?x)236?12x+x2xx2(x?x1即BD=2或BD=3．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的判定與性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識(shí)點(diǎn)．考點(diǎn)四：中點(diǎn)四邊形例4.（2024八年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）已知：如圖，四邊形ABCD四條邊上的中點(diǎn)分別為E、F、G、H，順次連接EF(1)求證：四邊形EFGH的形狀是平行四邊形；(2)當(dāng)四邊形ABCD的對(duì)角線滿足______條件時(shí)，四邊形EFGH是矩形；(3)當(dāng)四邊形ABCD的對(duì)角線滿足______條件時(shí)，四邊形EFGH是菱形．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)互相垂直(3)AC【分析】本題考查的是中點(diǎn)四邊形．（1）連接AC、BD，根據(jù)三角形中位線定理、平行四邊形的判定定理證明；（2）根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形解答；（3）根據(jù)鄰邊相等的平行是四邊形是菱形解答．【詳解】（1）證明：如圖，連接AC、BD，∵點(diǎn)E、F、G、H分別為AB、BC、CD、AD的中點(diǎn)，∴EF、GH分別為△ABC、△ADC的中位線，∴EF=12AC，EF∥AC∴EF=GH，EF∥∴四邊形EFGH的形狀是平行四邊形；（2）解：當(dāng)AC⊥BD時(shí)，四邊形EFGH是矩形，∵EF∥AC，F(xiàn)G∥∴EF⊥FG，∴平行四邊形EFGH是矩形，故答案為：互相垂直；（3）解：當(dāng)AC=BD時(shí)，四邊形EFGH是菱形，∵EF=12AC，F(xiàn)G=∴EF=FG，∴平行四邊形EFGH是菱形，故答案為：相等．【變式4-1】（23-24九年級(jí)上·江蘇無(wú)錫·期中）順次連結(jié)一個(gè)四邊形各邊的中點(diǎn)所得的四邊形是矩形，那么這個(gè)四邊形一定是（

）A．矩形 B．菱形C．對(duì)角線相等的四邊形 D．對(duì)角線垂直的四邊形【答案】D【分析】本題考查矩形的判定定理和三角形的中位線的定理，有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，據(jù)此可知順次連接對(duì)角線垂直的四邊形的各邊中點(diǎn)得到矩形．【詳解】解：如圖，

根據(jù)題意得，AC⊥BD，E，∴EH∥∴EH∥同理：EF∥∴四邊形EFGH是平行四邊形．∵AC⊥BD，∴EH⊥EF，∴四邊形EFGH是矩形．所以順次連接對(duì)角線垂直的四邊形的各邊中點(diǎn)是矩形．故選：D．【變式4-2】（23-24八年級(jí)下·浙江杭州·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)E、F、G、H分別是四邊形ABCD邊AB、則下列說(shuō)法：①若AC=BD，則四邊形EFGH為矩形；②若AC⊥BD，則四邊形EFGH為菱形；③若四邊形EFGH是菱形，則AC與BD互相平分；④若四邊形EFGH是正方形，則AC與BD互相垂直且相等．其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】本題考查中點(diǎn)四邊形，涉及菱形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定、三角形的中位線性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用是解答的關(guān)鍵．先根據(jù)三角形的中位線性質(zhì)證明四邊形EFGH為平行四邊形，然后根據(jù)矩形、菱形的判定與性質(zhì)逐個(gè)判斷即可求解．【詳解】解：∵點(diǎn)E、F、G、H分別是四邊形ABCD邊AB、∴EH=FG=12BD，EF=HG=12∴四邊形EFGH是平行四邊形，①若AC=BD，則EH=FG=EF=HG，∴四邊形EFGH為菱形，①錯(cuò)誤；②若AC⊥BD，則EH⊥EF，即∠HEF=90°，∴四邊形EFGH為矩形，故②錯(cuò)誤；③若四邊形EFGH是菱形，則EH=FG=EF=HG，∴AC=BD，但AC與BD不一定互相平分，故③錯(cuò)誤；④若四邊形EFGH是正方形，則EH=FG=EF=HG，∠HEF=90°，∴AC⊥BD，AC=BD，即AC與BD互相垂直且相等，故④正確，故正確的個(gè)數(shù)是1個(gè)，故選：A．【變式4-3】（23-24九年級(jí)上·山東青島·期中）如圖，依次連接第一個(gè)矩形各邊上的中點(diǎn)，得到一個(gè)菱形，在依次連接菱形各邊上的中點(diǎn)得到第二個(gè)矩形，按照此方法繼續(xù)下去，已知第一個(gè)矩形的面積是1，則第n個(gè)矩形的面積是．【答案】1【分析】由中點(diǎn)四邊形的含義可得矩形的中點(diǎn)四邊形是菱形，菱形的中點(diǎn)四邊形是矩形，而中點(diǎn)四邊形的面積是原四邊形的面積的一半，可得原矩形的面積為1，矩形的中點(diǎn)四邊形（菱形）的面積為1×12再得到菱形的中點(diǎn)四邊形（矩形）的面積為：【詳解】已知第一個(gè)矩形的面積是1，第二個(gè)矩形的面積為1×1第三個(gè)矩形的面積是1×(則第n個(gè)矩形的面積是1×故答案為：14考點(diǎn)五：正方形的判定與性質(zhì)綜合例5.（23-24八年級(jí)下·河南鄭州·期中）如圖，正方形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F分別在AB、BC上(AE<BE)，且∠EOF=90°，OE與DA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，OF與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)N，連接MN．

(1)求證：OM=ON．(2)若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，E為OM的中點(diǎn)，求MN的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)4【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)求出∠OAM=∠OBN=135°，∠AOM=∠BON，然后證明△OAM≌（2）過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AD于點(diǎn)H，連接HE，由正方形的邊長(zhǎng)為8且E為OM的中點(diǎn)可得OH=HA=4，HM=8，根據(jù)勾股定理求出OM，再利用勾股定理求出MN即可．【詳解】（1）解：∵四邊形ABCD是正方形，∴OA=OB，∠OAB=∠OBA=45°，∴∠OAM=∠OBN=135°，∵∠EOF=90°，∠AOB=90°，∴∠AOM=∠BON，∴△OAM≌∴OM=ON；（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AD于點(diǎn)H，連接HE，

∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，∴OH=HA=4，∵E為OM的中點(diǎn)，∴HE=1∵HM⊥AE，∴HA=AM=4，∴HM=4，∴OM=O∴MN=4【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握正方形的性質(zhì)．【變式5-1】（23-24八年級(jí)下·全國(guó)·單元測(cè)試）如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D分別作DE∥AC交AB于點(diǎn)E，DF∥AB交AC于點(diǎn)(1)求證：四邊形AEDF為菱形；(2)當(dāng)∠ABC等于多少度時(shí)，四邊形AEDF為正方形，并說(shuō)明理由？【答案】(1)見(jiàn)解析(2)∠ABC=45°時(shí)，四邊形AEDF是正方形．理由見(jiàn)解析【分析】本題主要考查了菱形的判定和性質(zhì)和正方形的判定，關(guān)鍵是掌握鄰邊相等的平行四邊形是菱形，有一個(gè)角是直角的菱形是正方形．（1）先證四邊形AEDF是平行四邊形，再證EA=ED，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)有一個(gè)角是直角的菱形是正方形可得∠BAC=90°時(shí)，四邊形AEDF是正方形．【詳解】（1）證明：連接AD，∵DE∥AC，DF∥AB∴四邊形AEDF是平行四邊形，∠EDA=∠FAD，∵AB=AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴AD是△ABC的角平分線，∴∠EAD=∠FAD，∴∠EAD=∠EDA，∴EA=ED，∴平行四邊形AEDF為菱形；（2）解：在△ABC中，當(dāng)∠BAC=90°時(shí)，四邊形AEDF是正方形，∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=45°時(shí)，四邊形AEDF是正方形．【變式5-2】（23-24八年級(jí)下·湖南岳陽(yáng)·期末）【問(wèn)題呈現(xiàn)】如圖1，∠MPN的頂點(diǎn)在正方形ABCD兩條對(duì)角線的交點(diǎn)處，∠MPN=90°，將∠MPN繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，∠MPN的兩邊分別與正方形ABCD的邊AD和CD交于點(diǎn)E、F（點(diǎn)F與點(diǎn)C，D不重合）.探索線段DE、DF、AD之間的數(shù)量關(guān)系．

【問(wèn)題初探】（1）如圖1，愛(ài)動(dòng)腦筋的小悅發(fā)現(xiàn)，通過(guò)證明兩個(gè)三角形全等，可以得到結(jié)論，請(qǐng)你寫出線段DE、DF、AD之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；【問(wèn)題引申】（2）如圖2，將圖1中的正方形ABCD改為∠ADC=120°的菱形，∠EPF=60°，其他條件不變，請(qǐng)你幫小悅得出此時(shí)線段DE、DF、AD之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】（1）DE+DF=AD；理由見(jiàn)解析；（2）DE+DF=1【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些知識(shí)．（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得PA=PD，∠PAE=∠PDF=45°，證明△APE≌△DPF，得到（2）取AD的中點(diǎn)T，連接PT，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得△TDP是等邊三角形，可證明△TPE≌△DPF，得到【詳解】解：（1）結(jié)論：DE+DF=AD．理由如下：∵正方形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)P，∴PA=PD，∠PAE=∠PDF=45°，∵∠APE+∠EPD=∠DPF+∠EPD=90°，∴∠APE=∠DPF，在△APE和△DPF中∠APE=∠DPFPA=PD∴△APE≌△DPFASA∴AE=DF，∴DE+DF=AD；（2）DE+DF=1如圖，取AD的中點(diǎn)T，連接PT，

∵四邊形ABCD為菱形，∴AB=AD=CD，∠ADB=∠CDB，AC⊥BD，∵∠ADC=120°，∴∠ADB=∠CDB=60°，∴△ABD為等邊三角形，∴BD=AD，∠BAD=60°，∴∠DAC=1∵∠APD=90°，PT為AD邊上的中線，∴PT=TD，∴△TDP是等邊三角形，∴PT=PD，∠PTE=∠TPD=60°，∴∠PTE=∠PDF，∵∠TPD=∠MPN=60°，∴∠TPE+∠EPD=∠EPD+∠DPF，∴∠TPE=∠FPD，在△TPE和△DPF中，∠PTE=∠PDFPT=PD∴△TPE≌△DPFASA∴TE=DF，∴DE+DF=DE+TE=TD=1【變式5-3】問(wèn)題解決：如圖1，在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD上，DE=AF，DE⊥AF于點(diǎn)G．

（1）求證：四邊形ABCD是正方形；（2）延長(zhǎng)BC到點(diǎn)H，使得CH=DF，連接DH，判斷△DEH的形狀，并說(shuō)明理由．類比遷移：（3）如圖2，在菱形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD邊上，DE與AF相交于點(diǎn)G，DE=AF，∠AFD=60°，DF=5，CE=1，求CD的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）△DEH為等腰三角形，理由見(jiàn)解析；（3）CD的長(zhǎng)為31【分析】（1）根據(jù)矩形性質(zhì)，得到∠ADE=∠BAF，證明△ADE≌△BAF，得到AD=AB從而得出結(jié)論；（2）先證明△ADE≌△BAFAAS，得到DF=EC，再證明△DCE≌△ECHSAS得到（3）延長(zhǎng)BC至H，使CH=DF=5，連DH，通過(guò)菱形性質(zhì)證明△ADF≌△DCH，得到△DEH是等邊三角形，過(guò)D作DM⊥EH于M，通過(guò)勾股定理即可得出結(jié)果．【詳解】證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADC=∠BCD=90°，∵DE⊥AF，∴∠AGD=∠ADC=90°，∴∠EDC=∠DAG=90°?∠ADG，在△ADF和△DCE中，∠ADF=∠DCE=90°∠EDC=∠DAG∴△ADF≌△DCEAAS∴AD=CD，∵四邊形ABCD是矩形，∴四邊形ABCD是正方形；（2）結(jié)論：△DEH是等腰三角形，理由：由（1）知：△ADF≌△DCE∴DF=EC，∵CH=DF，∴EC=CH，∵DC⊥BH，∴DE=DH，∴△DEH是等腰三角形；（3）如圖，延長(zhǎng)BC至H，使CH=DF=5，連DH，

∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠ADC=∠DCH，在△ADF和△DCH中，∵AD=DC，∠ADC=∠DCH，DF=CH，∴△ADF≌△DCHSAS∴DH=AF，∠AFD=∠H，又∵AF=DE，∴DH=DE，∴∠AFD=∠H=60°，∴△DEH是等邊三角形，∴DH=EH=EC+CH=1+5=6，過(guò)D作DM⊥EH于M，則EM=HM=1∴在Rt△DMH中DM=∴在Rt△DMC中,CM=EM?CE=3?1=2∴DC=2即CD的長(zhǎng)為31．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定，等邊三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵．一、單選題1．（23-24八年級(jí)下·全國(guó)·期末）四邊形具有不穩(wěn)定性，對(duì)于四條邊長(zhǎng)確定的四邊形，當(dāng)內(nèi)角度數(shù)發(fā)生變化時(shí)，其形狀也會(huì)隨之改變．如圖，改變正方形ABCD的內(nèi)角，正方形ABCD變?yōu)榱庑蜛BC'D'．若∠D'AB=30°A．1 B．12 C．2 D．【答案】B【分析】該題主要考查了30°角直角三角形的性質(zhì)，菱形和正方形的面積，解題的關(guān)鍵是得出菱形ABC'D根據(jù)30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可知菱形ABC'D【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)D'作D∵∠D∴D'∴菱形ABC'D'的面積為AB?D∴菱形ABC'D'的面積與正方形故選：B．2．（23-24八年級(jí)上·浙江杭州·期中）如圖，四邊形ABCD是正方形，直線a,b,c分別通過(guò)A、D、C三點(diǎn)，且a∥b∥c．若a與b之間的距離是5，b與c之間的距離是7，則正方形A．148 B．144 C．74 D．70【答案】C【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，正方形的性質(zhì)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能正確作出輔助線，并進(jìn)一步求出△AMD≌△CND，過(guò)A作AM⊥b交b于M，過(guò)D作DN⊥c交c于N，求出∠AMD=∠DNC=90°，AD=DC，∠1=∠3，根據(jù)AAS推出△AMD≌△CND，根據(jù)全等得出AM=CN，求出AM=CN=5，DN=7，在Rt△DNC【詳解】如圖：過(guò)A作AM⊥b交b于M，過(guò)D作DN⊥c交c于N，則∠AMD=∠DNC=90°，∵b∥c，DN⊥c，∴∠2+∠3=90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=DC，∠1+∠2=90°，∴∠1=∠3，在△AMD和△CND中∠1=∠3∠AMD=∠CND∴△AMD≌△CNDAAS∴AM=CN，∵a與b之間的距離是5，b與c之間的距離是7，∴AM=CN=5,DN=7，在Rt△DNC由勾股定理得：DC即正方形ABCD的面積為74，故選：C．3．（23-24八年級(jí)下·江西南昌·階段練習(xí)）小明用四根長(zhǎng)度相等的木條制作了能夠活動(dòng)的菱形學(xué)具，他先活動(dòng)學(xué)具成為圖（1）所示的菱形，并測(cè)得∠B=60°，接著活動(dòng)學(xué)具成為圖（2）所示的正方形，并測(cè)得對(duì)角線AC=20cm，則圖（1）中對(duì)角線ACA．30cm B．202cm C．20cm 【答案】D【分析】本題考查正方形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定及勾股定理．根據(jù)正方形的性質(zhì)，利用勾股定理可求出AB=102cm，根據(jù)菱形的性質(zhì)，結(jié)合∠B=60【詳解】解：在正方形ABCD中，∠B=90°，∴AB∵AB=CB，AC=20cm∴2AB∴AB=102在菱形ABCD中，AB=CB=102∵∠B=60∴△ABC是等邊三角形，∴AC=AB=102故選：D．4．（23-24八年級(jí)下·全國(guó)·單元測(cè)試）正方形具有而菱形和矩形都不具有的性質(zhì)是（

）A．對(duì)角線相等 B．對(duì)角線垂直C．對(duì)角線互相平分 D．對(duì)角線垂直且相等【答案】D【分析】本題考查了正方形，菱形及矩形的性質(zhì)，根據(jù)正方形，菱形，矩形的性質(zhì)逐一判斷即可．【詳解】解：正方形的性質(zhì)有：四條邊都相等，四個(gè)角都是直角，對(duì)角線互相平分垂直且相等，而且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；菱形的性質(zhì)有：四條邊都相等，對(duì)角線互相垂直平分，而且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；矩形的性質(zhì)有：矩形的四個(gè)角度數(shù)直角，矩形的對(duì)邊相等且互相平行，矩形對(duì)角線相等且互相平分；故A、B、C選項(xiàng)都不符合題意，只有D選項(xiàng)符合題意；故選：D．5．（23-24八年級(jí)下·全國(guó)·期末）如圖，邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，E是對(duì)角線BD上的一點(diǎn)，且BE=BC，點(diǎn)P在EC上．PM⊥BD于點(diǎn)M，PN⊥BC于點(diǎn)N，則PM+PN的值為（

）A．2 B．22 C．4 D．【答案】B【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，三角形的面積，勾股定理，連接BP，設(shè)點(diǎn)C到BE的距離為h，然后根據(jù)S△BCE=S△BCP+【詳解】解：如圖，連接BP，設(shè)點(diǎn)C到BE的距離為h，則S△BCE即12∵BE=BC，∴?=PN+PM，∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，∴BC=CD=4，∠BCD=90°，∴S△BCD在Rt△BCD中，BD=∴?=2∴PN+PM=22故選：B．二、填空題6．（23-24八年級(jí)下·全國(guó)·單元測(cè)試）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為9，將正方形折疊，使頂點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)E處，折痕為GH．若BE:EC=2:1，則線段GH的長(zhǎng)是．

【答案】3【分析】本題主要考查正方形的性質(zhì)，勾股定理，翻折變換，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)折疊可得DH=EH，GE=GD，∠