隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)函數(shù)y=fx表示變量y與x之間的對應(yīng)關(guān)系，這種對應(yīng)關(guān)系有不同的表達(dá)方式.例如，y=sinx,y=1+x等，其特點(diǎn)是因變量y和含有自變量x的式子分別位于等號的兩邊，稱此類函數(shù)為顯函數(shù).而有些函數(shù)，因變量y與自變量x之間的關(guān)系以方程F(x,y)=0的形式出現(xiàn)，這樣的函數(shù)稱為隱函數(shù)，如ex+y－xy=0，2x－y+1=0等.

有些隱函數(shù)容易化為顯函數(shù),如3x2+2y－5=0可化為y=－12(3x2－5);有些隱函數(shù)則很難化為顯函數(shù),如由方程ex+y=xy所確定的函數(shù).因此有必要找出直接由方程F(x,y)=0求出它所確定的隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)的方法.

一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)y=fx是由方程F(x,y)=0所確定的隱函數(shù)，則F［x,f(x)］≡0.由于此式左端是將y=fx代入F(x,y)所得到的復(fù)合函數(shù)，因此，根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則將等式兩邊同時(shí)對自變量x求導(dǎo)(函數(shù)y看成是x的函數(shù),y的函數(shù)看成以y為中間變量的復(fù)合函數(shù)),得到一個(gè)關(guān)于

的方程,然后從中解出

即可.

一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【例36】求由方程x2+xy+y2=4所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)y′.解這里要注意的是：y是x的函數(shù)，則xy或y2就是x的復(fù)合函數(shù)，只不過中間變量為y.將方程兩邊分別對x求導(dǎo)，得

2x+y+xy′+2yy′=0，解方程求出y′，得一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【例37】求由方程2x2y2+xcosy=12所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解方程兩邊同時(shí)對x求導(dǎo)，有一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【例38】求拋物線y2=4x(見圖3-4)在點(diǎn)(1,2)處的切線方程.圖3-4一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解先求切線的斜率.在方程兩邊對x求導(dǎo)得

2y·y′=4，從而

在點(diǎn)(1,2)處的切線的斜率

于是所求的切線方程為y－2=x－1，即y=x+1.

一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【例40】求函數(shù)y=2xx的導(dǎo)數(shù).一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【例41】一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)本例如果直接用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求這個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是很復(fù)雜的，而使用對數(shù)求導(dǎo)法可使運(yùn)算級別降低，從而比較方便.對數(shù)求導(dǎo)法適宜于多個(gè)函數(shù)的乘積、乘方、開方及冪指函數(shù)的求導(dǎo).注二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一般地，如果參數(shù)方程

(3-1)

確定了y與x之間的函數(shù)關(guān)系，則稱此函數(shù)為由參數(shù)方程(3-1)確定的函數(shù).

在實(shí)際問題中，有時(shí)我們需要計(jì)算由參數(shù)方程(3-1)所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然而從參數(shù)方程(3-1)中消去參數(shù)t有時(shí)會有一定的困難.因此，我們希望有一種方法能直接由參數(shù)方程算出它所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來.下面就來討論由參數(shù)方程(3-1)所確定的函數(shù)的求導(dǎo)方法.二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在參數(shù)方程(3-1)中，若函數(shù)x=φ(t)具有單調(diào)連續(xù)反函數(shù)t=φ－1(x)，且此反函數(shù)能與函數(shù)y=ψ(t)構(gòu)成復(fù)合函數(shù)，那么由參數(shù)方程(3-1)所確定的函數(shù)可以看成是由函數(shù)y=ψ(t)，t=φ－1(x)復(fù)合而成的函數(shù)y=ψ［φ－1(x)］.現(xiàn)在，要計(jì)算這個(gè)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù).為此再假定函數(shù)x=φ(t)，y=ψ(t)都可導(dǎo)，而且φ′(t)≠0.于是根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，則

二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(3-2)二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【例42】二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【例43】二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【例44】三、相關(guān)變化率設(shè)x=x(t)及y=y(t)都是可導(dǎo)函數(shù),如果變量x與y之間存在某種關(guān)系,則它們的變化率

與

之間也存在一定關(guān)系,這樣兩個(gè)相互依賴的變化率稱為相關(guān)變化率.

相關(guān)變化率問題就是研究兩個(gè)變化率之間的關(guān)系，以便從其中一個(gè)變化率求出另一個(gè)變化率.注三、相關(guān)變化率【