【復(fù)習(xí)參考】高三數(shù)學(xué)(理)考點(diǎn)鞏固訓(xùn)練40-空間向量及其運(yùn)算

考點(diǎn)鞏固訓(xùn)練40空間向量及其運(yùn)算一、選擇題1．在下列命題中：①若向量a，b共線，則向量a，b所在的直線平行；②若向量a，b所在的直線為異面直線，則向量a，b肯定不共面；③若三個(gè)向量a，b，c兩兩共面，則向量a，b，c共面；④已知空間的三個(gè)向量a，b，c，則對(duì)于空間的任意一個(gè)向量p總存在實(shí)數(shù)x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc.其中正確命題的個(gè)數(shù)是()．A．0B．1C．2D．2．對(duì)空間任意一點(diǎn)O，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OC,\s\up6(→))，則A，B，C，P四點(diǎn)()．A．肯定不共面B．肯定共面C．不肯定共面D．與O點(diǎn)的位置有關(guān)3．(2021重慶模擬)已知a＝(2,3,5)，b＝(3，x，y)，若a∥b，則()．A．x＝eq\f(9,2)，y＝eq\f(15,2)B．x＝9，y＝15C．x＝eq\f(9,2)，y＝15D．x＝－9，y＝－154．如圖所示，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點(diǎn)．若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，則下列向量中與eq\o(BM,\s\up6(→))相等的向量是()．A．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cB．eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cC．－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋cD．eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c5．若A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，當(dāng)|eq\o(AB,\s\up6(→))|取最小值時(shí)，x的值為()．A．19B．－eq\f(8,7)C．eq\f(8,7)D．eq\f(19,14)6．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)且a與b的夾角的余弦值為eq\f(8,9)，則λ等于()．A．2B．－2C．－2或eq\f(2,55)D．2或－eq\f(2,55)7．正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，點(diǎn)M在eq\o(AC1,\s\up6(→))上且eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(MC1,\s\up6(→))，N為B1B的中點(diǎn)，則|eq\o(MN,\s\up6(→))|為()．A．eq\f(\r(21),6)aB．eq\f(\r(6),6)aC．eq\f(\r(15),6)aD．eq\f(\r(15),3)a二、填空題8．已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，則|b－a|的最小值為_(kāi)_________．9．如圖所示，已知空間四邊形ABCD，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，若eq\o(EF,\s\up6(→))＝λ(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))，則λ＝__________.10．如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝1，AA1＝2，∠B1A1C1＝90°，D為BB1的中點(diǎn)，則異面直線C1D與三、解答題11．已知空間中三點(diǎn)A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，設(shè)a＝eq\o(AB,\s\up6(→))，b＝eq\o(AC,\s\up6(→)).若m(a＋b)＋n(a－b)與2a－b垂直，求m，n應(yīng)滿(mǎn)足的關(guān)系式．12．直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分別為AB，BB′的中點(diǎn)．(1)求證：CE⊥A′D；(2)求異面直線CE與AC′所成角的余弦值．

參考答案一、選擇題1．A解析：①中a與b所在的直線有可能重合；②中a與b中可能有一個(gè)為零向量；③中舉反例“空間直角坐標(biāo)系”；④中前提必需是a，b，c不共面．2．B解析：eq\f(3,4)＋eq\f(1,8)＋eq\f(1,8)＝1，∴P點(diǎn)在平面ABC內(nèi)．3．A4．A解析：如題圖，eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(BB1,\s\up6(→))＋eq\o(B1M,\s\up6(→))＝eq\o(BB1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(B1D1,\s\up6(→))＝eq\o(BB1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(A1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1B1,\s\up6(→)))＝c＋eq\f(1,2)(b－a)＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c．5．C解析：eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1－x，2x－3，－3x＋3)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(（1－x）2＋（2x－3）2＋（－3x＋3）2)＝eq\r(14x2－32x＋19)＝eq\r(14\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(8,7)))\s\up12(2)＋\f(5,7))．當(dāng)x＝eq\f(8,7)時(shí)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|取最小值．6．C解析：由已知得eq\f(8,9)＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(2－λ＋4,\r(5＋λ2)·\r(9))，∴8eq\r(5＋λ2)＝3(6－λ)，解得λ＝－2或λ＝eq\f(2,55)．7．A解析：以D為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D－xyz，則A(a，0，0)，C1(0，a，a)，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，a，\f(a,2)))．設(shè)M(x，y，z)．∵點(diǎn)M在eq\o(AC1,\s\up6(→))上且eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(MC1,\s\up6(→))．∴(x－a，y，z)＝eq\f(1,2)(－x，a－y，a－z)，∴x＝eq\f(2,3)a，y＝eq\f(a,3)，z＝eq\f(a,3)．于是Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a,3)，\f(a,3)，\f(a,3)))．∴|MN|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(2,3)a))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(a,3)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)－\f(a,3)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(21),6)a．二、填空題8．eq\f(3,5)eq\r(5)解析：∵b－a＝(1＋t，2t－1，0)，∴|b－a|2＝(1＋t)2＋(2t－1)2＋0＝5t2－2t＋2＝5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t2－\f(2,5)t＋\f(1,25)))＋eq\f(9,5)＝5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,5)))eq\s\up12(2)＋eq\f(9,5)．∴當(dāng)t＝eq\f(1,5)時(shí)，|b－a|eq\o\al(2,最小)＝eq\f(9,5)，∴|b－a|最?。絜q\f(3\r(5),5)．9．eq\f(1,2)解析：如圖所示，取AC的中點(diǎn)G，連接EG，GF，則eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(EG,\s\up6(→))＋eq\o(GF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))．∴λ＝eq\f(1,2)．10．eq\f(\r(15),15)解析：以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，A1(0，0，2)，C(0，1，0)，D(1，0，1)，C1(0，1，2)，則eq\o(C1D,\s\up6(→))＝(1，－1，－1)，eq\o(A1C,\s\up6(→))＝(0，1，－2)，|eq\o(C1D,\s\up6(→))|＝eq\r(3)，|eq\o(A1C,\s\up6(→))|＝eq\r(5)，eq\o(C1D,\s\up6(→))·eq\o(A1C,\s\up6(→))＝1，cos〈eq\o(C1D,\s\up6(→))，eq\o(A1C,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(C1D,\s\up6(→))·\o(A1C,\s\up6(→)),|\o(C1D,\s\up6(→))||\o(A1C,\s\up6(→))|)＝eq\f(\r(15),15)，故異面直線C1D與A1C所成角的余弦值為eq\f(\r(15),15)．三、解答題11．解：∵a＝eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，1，0)，b＝eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1，0，2)，a＋b＝(0，1，2)，a－b＝(2，1，－2)，2a－b＝(3，2，－2∴m(a＋b)＋n(a－b)＝(2n，m＋n，2m－2n∵m(a＋b)＋n(a－b)與2a－b垂直∴[m(a＋b)＋n(a－b)]·(2a－b＝3×2n＋2(m＋n)－2(2m－2n)＝12n－2m＝0，∴m＝6n，即當(dāng)m＝6n時(shí)，可使m(a＋b)＋n(a－b)與2a－b垂直12．(1)證明：設(shè)eq\o(CA,\s\up6(→))＝a，eq\o(CB,\s\up6(→))＝b，eq\o(CC′,\s\up6(→))＝c，依據(jù)題意，|a|＝|b|＝|c|，且a·b＝b·c＝c·a＝0，∴eq\o(CE,\s\up6(→))＝b＋eq\f(1,2)c，eq\o(A′D,\s\up6(→))＝－c＋eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)a．∴eq\o(CE,\s\up6(→))·eq\o(A′D,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)c2＋eq\f(1,2)b2＝0．∴eq\o(CE,\s\up6(→))⊥eq\o(A′D,\s\up6(→))，即CE⊥A′D．(2)解：∵eq\o(AC′,\s\up6(→))＝－a＋c，|eq\o(AC′,\s\up6(→))|＝eq\r(2)|a|，|eq\o(CE,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(5),2)|a|，eq\o(AC′,\s\up6(→))·eq\