備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)大一輪數(shù)學(xué)(人教A版理)-第四章-§4-1-任意角和弧度制、三角函數(shù)的概念_第1頁(yè)
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文檔簡(jiǎn)介

§4.1任意角和弧

度制、三角

函數(shù)的概念第四章

三角函數(shù)與解三角形1.了解任意角的概念和弧度制.2.能進(jìn)行弧度與角度的互化,體會(huì)引入弧度制的必要性.3.借助單位圓理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義.考試要求

內(nèi)容索引第一部分第二部分第三部分落實(shí)主干知識(shí)探究核心題型課時(shí)精練落實(shí)主干知識(shí)第一部分1.角的概念(1)定義:角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著

從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形.(2)分類端點(diǎn)按旋轉(zhuǎn)方向不同分為

、

、_____按終邊位置不同分為

和軸線角.正角負(fù)角零角象限角(3)相反角:我們把射線繞端點(diǎn)按不同方向旋轉(zhuǎn)相同的量所成的兩個(gè)角叫做互為相反角.角α的相反角記為-α.(4)終邊相同的角:所有與角α終邊相同的角,連同角α在內(nèi),可構(gòu)成一個(gè)集合S=

,即任一與角α終邊相同的角,都可以表示成角α與整數(shù)個(gè)周角的和.2.弧度制的定義和公式(1)定義:把長(zhǎng)度等于

的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角,用符號(hào)rad表示.{β|β=α+k·360°,k∈Z}半徑長(zhǎng)(2)公式角α的弧度數(shù)公式|α|=

(弧長(zhǎng)用l表示)角度與弧度的換算1°=

rad;1rad=______弧長(zhǎng)公式l=____扇形面積公式S=

=______|α|r3.任意角的三角函數(shù)(1)設(shè)α是一個(gè)任意角,它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y),那么sinα=

,cosα=

,tanα=

(x≠0).(2)任意角的三角函數(shù)的定義(推廣):設(shè)P(x,y)是角α終邊上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn),其到原點(diǎn)O的距離為r,則yx(3)三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào):一全正、二正弦、三正切、四余弦,如圖.1.象限角2.軸線角判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)

是第三象限角.(

)(2)若角α的終邊過(guò)點(diǎn)P(-3,4),則cosα=

.(

)(3)若sinα>0,則α是第一或第二象限角.(

)(4)若圓心角為

的扇形的弧長(zhǎng)為π,則該扇形面積為

.(

)×√×√1.-660°等于√2.某次考試時(shí)間為120分鐘,則從開始到結(jié)束,墻上時(shí)鐘的分針旋轉(zhuǎn)了______弧度.某次考試時(shí)間為120分鐘,則從開始到結(jié)束,墻上時(shí)鐘的分針順時(shí)針旋轉(zhuǎn)了-720°,即-4π.-4π3.已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2,-3),則sinα=________,tanα=_____.探究核心題型第二部分例1

(1)(2023·寧波模擬)若α是第二象限角,則A.-α是第一象限角B.是第三象限角C.+α是第二象限角D.2α是第三或第四象限角或在y軸負(fù)半軸上√題型一角及其表示對(duì)于D,可得π+4kπ<2α<2π+4kπ,k∈Z,所以2α是第三或第四象限角或在y軸負(fù)半軸上,所以D正確.延伸探究

若α是第一象限角,則

是第幾象限角?因?yàn)棣潦堑谝幌笙藿?,所以k·360°<α<k·360°+90°,k∈Z,(2)在-720°~0°范圍內(nèi)所有與45°終邊相同的角為_______________.所有與45°終邊相同的角可表示為β=45°+k×360°(k∈Z),當(dāng)k=-1時(shí),β=45°-360°=-315°,當(dāng)k=-2時(shí),β=45°-2×360°=-675°.-675°和-315°思維升華位置.跟蹤訓(xùn)練1

(1)“α是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件√(2)(2021·北京)若點(diǎn)P(cosθ,sinθ)與點(diǎn)Q關(guān)于y軸對(duì)稱,寫出一個(gè)符合題意的θ=_____________________________.題型二弧度制及其應(yīng)用例2

已知一扇形的圓心角為α(α>0),弧長(zhǎng)為l,周長(zhǎng)為C,面積為S,半徑為r.(1)若α=35°,r=8cm,求扇形的弧長(zhǎng);(2)若C=16cm,求S的最大值及此時(shí)扇形的半徑和圓心角.方法一由題意知2r+l=16,∴l(xiāng)=16-2r(0<r<8),∴S的最大值是16cm2,此時(shí)扇形的半徑是4cm,圓心角α=2rad.當(dāng)且僅當(dāng)l=2r,即r=4(cm)時(shí),S的最大值是16cm2.此時(shí)扇形的圓心角α=2rad.應(yīng)用弧度制解決問(wèn)題的方法(1)利用扇形的弧長(zhǎng)和面積公式解題時(shí),要注意角的單位必須是弧度.(2)求扇形面積最大值的問(wèn)題時(shí),常轉(zhuǎn)化為基本不等式或二次函數(shù)的最值問(wèn)題.思維升華跟蹤訓(xùn)練2

某企業(yè)欲做一個(gè)介紹企業(yè)發(fā)展史的銘牌,銘牌的截面形狀是如圖所示的扇形環(huán)面(由扇形OAD挖去扇形OBC后構(gòu)成的).已知OA=10,OB=x(0<x<10),線段BA,CD與

的長(zhǎng)度之和為30,圓心角為θ弧度.(1)求θ關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式;根據(jù)題意,可算得

=θx,

=10θ.因?yàn)锳B+CD+

=30,所以2(10-x)+θx+10θ=30,(2)記銘牌的截面面積為y,試問(wèn)x取何值時(shí),y的值最大?并求出最大值.三角函數(shù)的概念例3

(1)設(shè)點(diǎn)P是以原點(diǎn)O為圓心的單位圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),它從初始位置P0(0,1)出發(fā),沿單位圓順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角θ后到達(dá)點(diǎn)P1,然后繼續(xù)沿單位圓順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角

到達(dá)點(diǎn)P2,若點(diǎn)P2的縱坐標(biāo)是

,則點(diǎn)P1的坐標(biāo)是________.題型三√由題意知,cosα≠0,設(shè)角α終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為(a,-3a)(a≠0),(3)若sinαtanα<0,且

>0,則角α是A.第一象限角

B.第二象限角C.第三象限角

D.第四象限角由sinαtanα<0,知α是第二象限或第三象限角,√所以角α是第二象限角.(1)利用三角函數(shù)的定義,已知角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo),可以求出α的三角函數(shù)值;已知角α的三角函數(shù)值,也可以求出點(diǎn)P的坐標(biāo).(2)利用角所在的象限判定角的三角函數(shù)值的符號(hào)時(shí),特別要注意不要忽略角的終邊在坐標(biāo)軸上的情況.思維升華跟蹤訓(xùn)練3

(1)若角α的終邊上有一點(diǎn)P(a,2a)(a≠0),則2sinα-cosα的值是√(2)sin2cos3tan4的值A(chǔ).小于0 B.大于0C.等于0 D.不存在∴sin2>0,cos3<0,tan4>0.∴sin2cos3tan4<0.√(3)若A(1,a)是角θ終邊上的一點(diǎn),且sinθ=

,則實(shí)數(shù)a的值為_____.課時(shí)精練第三部分基礎(chǔ)保分練1.與-2023°終邊相同的最小正角是A.137°B.133°C.57°D.43°因?yàn)椋?023°=-360°×6+137°,所以與-2023°終邊相同的最小正角是137°.√12345678910111213141516√123456789101112131415163.如圖所示的時(shí)鐘顯示的時(shí)刻為4:30,此時(shí)時(shí)針與分針的夾角為α(0<α≤π).若一個(gè)半徑為1的扇形的圓心角為α,則該扇形的面積為12345678910111213141516√12345678910111213141516A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限√因?yàn)棣潦堑谝幌笙藿牵?23456789101112131415165.(2023·南昌模擬)我國(guó)在文昌航天發(fā)射場(chǎng)用長(zhǎng)征五號(hào)運(yùn)載火箭成功發(fā)射探月工程嫦娥五號(hào)探測(cè)器,順利將探測(cè)器送入預(yù)定軌道,經(jīng)過(guò)兩次軌道修正,嫦娥五號(hào)順利進(jìn)入環(huán)月軌道飛行,嫦娥五號(hào)從橢圓形環(huán)月軌道變?yōu)榻鼒A形環(huán)月軌道,若這時(shí)把近圓形環(huán)月軌道看作圓形軌道,嫦娥五號(hào)距離月球表面400千米,已知月球半徑約為1738千米,則嫦娥五號(hào)繞月每旋轉(zhuǎn)

弧度,飛過(guò)的路程約為(取π≈3.14)A.1069千米

B.1119千米C.2138千米

D.2238千米√12345678910111213141516嫦娥五號(hào)繞月飛行半徑為400+1738=2138(千米),12345678910111213141516123456789101112131415166.(2023·麗江模擬)屏風(fēng)文化在我國(guó)源遠(yuǎn)流長(zhǎng),可追溯到漢代.某屏風(fēng)工藝廠設(shè)計(jì)了一款造型優(yōu)美的扇環(huán)形屏風(fēng),如圖,扇環(huán)外環(huán)弧長(zhǎng)為3.6m,內(nèi)環(huán)弧長(zhǎng)為1.2m,徑長(zhǎng)(外環(huán)半徑與內(nèi)環(huán)半徑之差)為1.2m,若不計(jì)外框,則扇環(huán)內(nèi)需要進(jìn)行工藝制作的面積的估計(jì)值為A.2.58m2

B.2.68m2

C.2.78m2

D.2.88m2√設(shè)扇形的圓心角為α,內(nèi)環(huán)半徑為rm,外環(huán)半徑為Rm,則R-r=1.2(m),由題意可知,α·r=1.2,α·R=3.6,所以α(R+r)=4.8,所以扇環(huán)內(nèi)需要進(jìn)行工藝制作的面積的估計(jì)值為12345678910111213141516123456789101112131415167.(2023·寧夏模擬)已知角α的終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為

,則角α的最小正值為_____.所以角α的終邊在第四象限,12345678910111213141516123456789101112131415168.數(shù)學(xué)中處處存在著美,機(jī)械學(xué)家萊洛發(fā)現(xiàn)的萊洛三角形就給人以對(duì)稱的美感.萊洛三角形的畫法:先畫等邊△ABC,再分別以點(diǎn)A,B,C為圓心,線段AB長(zhǎng)為半徑畫圓弧,便得到萊洛三角形(如圖所示).若萊洛三角形的周長(zhǎng)為2π,則其面積是__________.12345678910111213141516(1)試判斷角α所在的象限;由lg(cosα)有意義,可知cosα>0,所以α是第四象限角.12345678910111213141516(2)若角α的終邊上一點(diǎn)M,且|OM|=1(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求m的值及sinα的值.123456789101112131415161234567891011121314151610.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,角α的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合且與單位圓相交于點(diǎn)A(1,0),它的終邊與單位圓相交于x軸上方一點(diǎn)B,始邊不動(dòng),終邊在運(yùn)動(dòng).(1)若點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為

,求sinα的值和與角α終邊相同的角β的集合;12345678910111213141516(2)若α∈,請(qǐng)寫出弓形AB的面積S與α的函數(shù)關(guān)系式.(注:弓形是指在圓中由弦及其所對(duì)的弧組成的圖形)123456789101112131415161234567891011121314151611.在平面直角坐標(biāo)系中,若α與β的終邊互相垂直,那么α與β的關(guān)系式為A.β=α+90°B.β=α±90°C.β=α+90°+k·360°(k∈Z)D.β=α±90°+k·360°(k∈Z)∵α與β的終邊互相垂直,∴β=α±90°+k·360°(k∈Z).√綜合提升練1234567891011121314151612.如圖為某校數(shù)學(xué)興趣小組用數(shù)學(xué)軟件制作的“螺旋蚊香”圖案,畫法如下:在水平直線l上取長(zhǎng)度為1的線段AB,以AB為邊作一個(gè)等邊△ABC,然后以點(diǎn)B為圓心,AB為半徑逆時(shí)針畫圓弧,交線段CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,再以點(diǎn)C為圓心,CD為半徑逆時(shí)針畫圓弧,交線段AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,以此類推,則如圖所示的“螺旋蚊香”圖案的總長(zhǎng)度為A. B.14πC.24π D.10π√123456789101112131415161234567891011121314151613.已知△ABC為銳角三角形,若角θ的終邊過(guò)點(diǎn)P(sinA-cosB,cosA-sinC),則

的值為A.1B.-1C.3D.-3√因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形,12345678910111213141516所以sinA>cosB,sinC>cosA,所以θ是第四象限角,12345678910111213141516因?yàn)榻铅恋慕K邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(-x,-6),且cosα=

,所以角α的終邊在第三象限,x>0,1234567891

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