【八年級下冊數學北師大版】第一章 三角形的證明（14類題型突破）

第一章三角形的證明（14類題型突破）題型一等腰三角形的定義【例1】若等腰三角形的頂角為100°，則這個等腰三角形的一個底角的度數為（）A． B． C． D．鞏固訓練：1．一個等腰三角形的一條邊長為5，一條邊長為6，請你計算這個三角形的周長是__________．2．等腰三角形的頂角是，則此等腰三角形的底角度數為（

）A． B． C．或 D．3．等腰三角形的一個角比另一個角的2倍少，等腰三角形頂角的度數是（

）A．或或 B．或C．或 D．4．已知等腰三角形一腰上的高線與另一腰的夾角為，那么這個等腰三角形的頂角等于（

）A．或 B． C． D．或題型二等腰三角形三線合一【例2】如圖，已知，，若，則的長為（

）A．2 B． C．3 D．鞏固訓練：1．下列說法：①等腰三角形的高、中線、角平分線互相重合；②等腰三角形的兩腰上的中線長相等；③等腰三角形的腰一定大于其腰上的高；④等腰三角形的一邊長為，一邊長為，那么它的周長是或．其中不正確的（）A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④2．如圖，中，，，是邊上的中線，且，則的大小為（）A． B． C． D．3．如圖，在中，，點在邊上，，平分交于點E，若，，則的長為（

）A． B． C． D．題型三等腰三角形的性質與判定綜合【例3】如圖，，D點在邊上，若，則的度數為（

）A． B． C． D．鞏固訓練：1．如圖，在中，和的平分線分別交于點F、G，若，則的值為（

）A．2 B．3 C．4 D．52．如圖所示，在中，平分，平分，且，交于點，若，則等于（

）A． B． C． D．題型四等邊三角形的性質【例4】．如圖，是等邊三角形的中線，點E在上，，則等于（

）A． B． C． D．鞏固訓練：1．如圖，是等邊三角形的中線，，則的度數為______．2．如圖，在中，D，E是的三等分點，且是等邊三角形，則_________．題型五等邊三角形的性質與判定【例5】．如圖，等邊的兩條高和相交于點O，則度數為（

）A． B． C． D．鞏固訓練：1．在中，若，則是（

）A．直角三角形 B．等邊三角形C．等腰直角三角形 D．等腰鈍角三角形2．如圖，在中，，過點作，在直線上取點，使得，連接，且，則的度數為（

）A． B． C． D．題型六30°直角三角形的性質【例6】．如圖，在中，為直角，，于，若，則的長為（

）A．8 B．6 C．4 D．2鞏固訓練：1．如圖在中，，于點D，若，，則的長為（

）．A．4 B．4 C．8 D．162．如圖，在中，，，與相交于點P，于Q．則與的關系為（）A． B． C． D．題型七HL【例7】．如圖，若要用“HL”證明，則還需補充條件（

）

A．B． C． D．鞏固訓練：1．如圖，在四邊形中，連接，且，，若用“”判定和全等，則需要添加的條件是（

）A． B．C． D．2．如圖，在中，于R，于S，則三個結論①；②；③中（）A．全部正確 B．僅①和②正確 C．僅①正確 D．僅①和③正確題型八勾股定理的逆定理【例8】．一個三角形的三邊長分別為，，，則這個三角形最長邊上的高為（

）A． B． C． D．鞏固訓練：1．如圖，在四邊形中，，，，，且，則四邊形的面積是（）A．4 B． C． D．2．如圖所示，，，，，，則（

）A． B． C． D．題型九垂直平分線的性質【例9】．如圖，在中，，，的垂直平分線交于點M，交于點N，，則（

）A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm鞏固訓練：1．如圖所示，在中，是的垂直平分線，的周長為，則的周長為（

）A． B． C． D．2．如圖，在中，的垂直平分線交于點，邊的垂直平分線交于點．已知的周長為，則的長為（

）A． B． C． D．題型十垂直平分線的性質與判定【例10】．如圖，，，則正確的結論是（

）A．垂直平分 B．垂直平分C．與互相垂直平分 D．以上說法都正確鞏固訓練：1．如圖，直線與線段交于點，點在直線上，且．小明說：“直線是的垂直平分線．”小亮說：“需再添加一個條件，小明的結論才正確．”下列判斷正確的是（

）

A．小明說的對B．小亮說的對，可添條件為“”C．小亮說的對，可添條件為“”D．兩人說的都不對2．如圖，在四邊形中，，．我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”，下列結論：①；②；③；④四邊形的面積等于．其中正確的有（

）個

A．1 B．2 C．3 D．4題型十一角平分線的性質【例11】．在中，，的平分線交于點，，，則到的距離是（

）

A．3 B．4 C．5 D．6鞏固訓練：1．如圖，中，是的角平分線，，F是中點，連接，若，，，則的面積為（

）A． B．8 C．9 D．122．如圖，在銳角三角形中，，的面積為8，平分．若、分別是、上的動點，則的最小值是（

）A．3 B．4 C．5 D．6題型十二角平分線的性質與判定【例12】．如圖，，，，，則________°．鞏固訓練：1．如圖，已知在中，，點，分別在邊，上，于，，．（1）若，則______；（2）已知，，則的長是______．2．如圖，已知，邊分別交交于M，N，若，，則的度數是_____．題型十三尺規(guī)作圖【例13】．如圖，請仔細觀察用直尺和圓規(guī)作的三個步驟，要說明，只需要連接、，并證明即可，則這兩個三角形全等的依據是（

）

A．邊角邊 B．角邊角 C．角角邊 D．邊邊邊鞏固訓練：1．如圖，在中，，以A為圓心，任意長為半徑兩弧分別交于點M和N，再分別以M、N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，連接并延長交于點D，則下列說法中正確的個數是（

）

①是的平分線；②；③點D在的垂直平分線上；④．A．4 B．3 C．2 D．12．如圖，依據尺規(guī)作圖的痕跡，計算（

）A． B． C． D．3．已知，用尺規(guī)作圖的方法在上取一點P，使，下列選項正確的是（

）A． B． C． D．4．如圖，小明在學了尺規(guī)作圖后，作了一個圖形，其作圖步驟是：①作線段，分別以點A、B為圓心，以的長為半徑畫弧，兩弧相交于點C，D；②連接，作直線，且與相交于點，則下列說法不正確的是（

）

A．是等邊三角形 B．C． D．題型十四三角形的證明解答證明題綜合【例14】．已知：如圖，于，于，若，；求證：平分．鞏固訓練：1．如圖，在中，，求邊上的高．

2．如圖，在中，，點D是的中點，，交的延長線于點，且，．(1)求證：；(2)求的周長．3．如圖，是等邊三角形，是中線，延長至點E，使．(1)求證：；(2)過點D作垂直于，垂足為F，若，求的周長．4．如圖，在中，，，，動點P、Q同時從A、B兩點出發(fā)，分別在邊上勻速移動，它們的速度分別為，，當點P到達點B時，P、Q兩點同時停止運動，設點P的運動時間為．(1)當t為何值時，為等邊三角形？(2)當t為何值時，為直角三角形？5．已知，在中，，，為邊上一點，為射線上一點，連接、．(1)如圖1，若，平分，求的度數；(2)如圖2，若，求的度數；(3)如圖3，若，，在，之間，且，求的長．6．已知，如圖1所示，為等邊三角形，D是邊上一點，，且，連接、．(1)求證：；(2)如圖2，延長交于點F，連接，求證：平分；(3)如圖3，在（2）的條件下，過點E作于H，若，，求的長．

第一章三角形的證明（14類題型突破）答案全解全析題型一等腰三角形的定義【例1】若等腰三角形的頂角為100°，則這個等腰三角形的一個底角的度數為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了等腰三角形的性質以及三角形內角和定理．根據等腰三角形的特征以及三角形內角和為進行作答即可．【解析】解：∵等腰三角形的兩個底角相等，∴底角為，故選：C．鞏固訓練：1．一個等腰三角形的一條邊長為5，一條邊長為6，請你計算這個三角形的周長是__________．【答案】或【分析】本題考查了等腰三角形的定義，構成三角形的三邊關系．熟練掌握等腰三角形的定義，構成三角形的三邊關系是解題的關鍵．由題意知，分當第三條邊為5時，當第三條邊為6時，兩種情況，判斷是否能構成三角形，然后計算周長即可．【解析】解：由題意知，當第三條邊為5時，三邊為5，5，6，能構成三角形，此時三角形的周長為；當第三條邊為6時，三邊為5，6，6，能構成三角形，此時三角形的周長為；綜上所述，這個三角形的周長是或，故答案為：或．2．等腰三角形的頂角是，則此等腰三角形的底角度數為（

）A． B． C．或 D．【答案】C【分析】本題主要考查學生對等腰三角形的性質這一知識點的理解和掌握，由于不明確的角是等腰三角形的底角還是頂角，所以要采用分類討論的思想．分的角是頂角和底角兩種情況討論，然后利用三角形內角和定理求解即可．【解析】解：當的角為等腰三角形的頂角時，底角的度數；當的角為等腰三角形的底角時，其底角為，故它的底角的度數是或．故選：C．3．等腰三角形的一個角比另一個角的2倍少，等腰三角形頂角的度數是（

）A．或或 B．或C．或 D．【答案】A【解析】略4．已知等腰三角形一腰上的高線與另一腰的夾角為，那么這個等腰三角形的頂角等于（

）A．或 B． C． D．或【答案】D【分析】本題考查等腰三角形的性質，三角形內角和定理，三角形外角的性質．利用數形結合和分類討論的思想是解題關鍵．分類討論：①當該等腰三角形為銳角三角形時和②當該等腰三角形為鈍角三角形時，結合題意，先分別求出頂角的大小，從而即可求出其底角的大小．【解析】①如圖，當該等腰三角形為銳角三角形時，由題意可知，∴；②如圖，當該等腰三角形為鈍角三角形時，由題意可知，∴．綜上可知這個等腰三角形的頂角度數為或，故選：D．題型二等腰三角形三線合一【例2】如圖，已知，，若，則的長為（

）A．2 B． C．3 D．【答案】B【分析】本題考查的是等腰三角形的三線合一的性質，熟記等腰三角形的三線合一是解本題的關鍵．【解析】解：∵，，，∴，故選B鞏固訓練：1．下列說法：①等腰三角形的高、中線、角平分線互相重合；②等腰三角形的兩腰上的中線長相等；③等腰三角形的腰一定大于其腰上的高；④等腰三角形的一邊長為，一邊長為，那么它的周長是或．其中不正確的（）A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④【答案】C【分析】本題主要考查等腰三角形的性質，全等三角形的判定和性質，掌握等腰三角形中三線合一，腰上的高線，全等三角形的判定和性質，三邊長的關系等知識是解題的關鍵．根據等腰三線合一即可判定結論①；運用等腰三角形的性質，中線的性質，全等三角形的判定和性質，即可判定結論②；根據等腰三角形的性質，腰上的高線，即可判定結論③；根據等腰三角形的性質，三邊的關系可判定結論④．【解析】解：∵等腰三角形的頂角的平分線，底邊上的高，底邊上的中線，三線合一，∴①錯誤；如圖1，∵，，∴，在和中，，∴，∴，∴②正確；如圖2，當為等腰直角三角形時，等腰三角形的腰等于其腰上的高，∴③錯誤；∵等腰三角形的一邊長為，一邊長為，∴只能三邊是，∴它的周長是，∴④錯誤；故選：．2．如圖，中，，，是邊上的中線，且，則的大小為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了等腰三角形的性質，三角形內角和定理．根據等邊對等角的性質和三角形內角和定理，分別得出，，再根據等腰三角形三線合一的性質，得到，即可求出的大?。炀氄莆盏妊切蔚男再|是解題關鍵．【解析】解：，，，，，，是邊上的中線，，，故選：B．3．如圖，在中，，點在邊上，，平分交于點E，若，，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查勾股定理和等腰三角形“三線合一”的性質，先由勾股定理求解得到的長度，根據等腰三角形“三線合一”的性質可知為的中線，即可求解．【解析】解：如圖，在中，，，，由勾股定理知：．，平分交于點．．故選：C．題型三等腰三角形的性質與判定綜合【例3】如圖，，D點在邊上，若，則的度數為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查全等三角形性質，等腰三角形判定及性質．根據題意可知，利用等腰三角形性質可知，通過即可得到本題答案．【解析】解：∵，∴，∴為等腰三角形，∴，∴，故選：A．鞏固訓練：1．如圖，在中，和的平分線分別交于點F、G，若，則的值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】本題考查等腰三角形的判定和性質，根據平行線的性質，角平分線的定義，得到，進而得到，即可得出結果．【解析】解：∵平分，∴，∴，∴，同理可得：，∴；故選C．2．如圖所示，在中，平分，平分，且，交于點，若，則等于（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了等腰三角形的判定與性質，勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．根據角平分線的定義和平行線的性質可得和是等腰三角形，可得，從而可得，然后再利用角平分線的定義以及平角定義可得，從而在中，利用勾股定理進行計算，即可解答．【解析】解：平分平分，在中，故選：C．題型四等邊三角形的性質【例4】．如圖，是等邊三角形的中線，點E在上，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質，等腰三角形的性質，先根據等邊三角形的性質得，，再根據等腰三角形的性質得，可求答案.【解析】解：∵為等邊三角形，∴.∵是等邊三角形的中線，∴，.∵，∴，∴，∴.故選：A．鞏固訓練：1．如圖，是等邊三角形的中線，，則的度數為______．【答案】/度【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質，等腰三角形的性質，三角形內角和定理；根據等邊三角形的性質可得，再由，可得，即可求解．【解析】解：∵是等邊三角形，∴，∵是等邊三角形的中線，∴，∴，∵，∴，∴．故答案為：2．如圖，在中，D，E是的三等分點，且是等邊三角形，則_________．【答案】/120度【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質與等腰三角形的性質．利用等邊三角形的性質以及等腰三角形的性質得出，進而利用三角形內角和定理求出即可．【解析】解：是的三等分點，且是等邊三角形，，，，．故答案為：．題型五等邊三角形的性質與判定【例5】．如圖，等邊的兩條高和相交于點O，則度數為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了等邊三角形的性質，角的平分線的定義，三角形外角的性質，首先根據題意得到，，然后利用三角形外角的性質求解即可，熟練掌握各性質定理是解題的關鍵．【解析】∵等邊的兩條高和相交于點O，∴，∴．故選：C．鞏固訓練：1．在中，若，則是（

）A．直角三角形 B．等邊三角形C．等腰直角三角形 D．等腰鈍角三角形【答案】B【分析】本題主要考查等邊三角形的判定以及三角形內角和定理．【解析】解：在中，若，∴∵∠A=∠B=∠C=60°∴是等邊三角形．故選：B．2．如圖，在中，，過點作，在直線上取點，使得，連接，且，則的度數為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】此題考查了全等三角形的判定與性質，等邊三角形的判定與性質，解題的關鍵是連接，構造出全等三角形，得到為等邊三角形，進而求解．【解析】解：連接，如下圖：∵，∴，又∵，，∴，∴，，又∵，，∴，∴為等邊三角形，即，又∵，∴．故選：B．題型六30°直角三角形的性質【例6】．如圖，在中，為直角，，于，若，則的長為（

）

A．8 B．6 C．4 D．2【答案】A【分析】本題考查含角的直角三角形的性質，掌握含角所對的直角邊等于斜邊的一半是解題的關鍵．【解析】解：∵為直角，，∴，∴，∴，∴，故選A．鞏固訓練：1．如圖在中，，于點D，若，，則的長為（

）．A．4 B．4 C．8 D．16【答案】A【分析】本題主要考查直角三角形的性質及應用，解答本題的關鍵在于熟練掌握直角三角形的有關性質，本題即可求解．【解析】解：∵，于點D，，又，，在中，；又，（在直角三角形中，角所對的邊是斜邊的一半）．故選：A．2．如圖，在中，，，與相交于點P，于Q．則與的關系為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】此題考查了等邊三角形的性質，勾股定理及全等三角形的判定及性質等知識點的綜合運用能力，證明是解題的關鍵．【解析】解：∵，∴是等邊三角形．∴∵∴（SAS），∴．∵，∴．∴．∵，∴．∴，∵，∴，∴∴故選：B．題型七HL【例7】．如圖，若要用“HL”證明，則還需補充條件（

）

A． B．C． D．【答案】C【分析】好本題考查了直角三角形全等的判定的應用，熟記定理是解此題的關鍵．【解析】解：∵，在和中，∴．故選：C．鞏固訓練：1．如圖，在四邊形中，連接，且，，若用“”判定和全等，則需要添加的條件是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查全等三角形的判定，熟練掌握利用“”的方法是解題的關鍵，“”判定三角形全等是指：“兩個直角三角形中，一條直角邊和斜邊對應相等”，觀察答案逐一判斷即可．【解析】解：∵，，∴，在和中，，∴，故選：D．2．如圖，在中，于R，于S，則三個結論①；②；③中（）A．全部正確 B．僅①和②正確 C．僅①正確 D．僅①和③正確【答案】B【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，平行線的判定，等邊對等角．熟練掌握了全等三角形的判定與性質，平行線的判定，等邊對等角是解題的關鍵．證明，則，可判斷①的正誤；等邊對等角，可得，則，進而可判斷②的正誤；題干條件無法判斷，進而可判斷③的正誤．【解析】解：由題意知，∵，，∴，∴，①正確，故符合要求；∵，∴，∴，②正確，故符合要求；由題意無法判斷，③錯誤，故不符合要求；故選：B．題型八勾股定理的逆定理【例8】．一個三角形的三邊長分別為，，，則這個三角形最長邊上的高為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由勾股定理逆定理可判定該三角形為直角三角形，則可利用等面積法求斜邊上的高．【解析】解：，該三角形為直角三角形，且斜邊為．設斜邊上的高為，則該三角形的面積，解得．故選：A．【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理，熟練掌握相關定理是解題的關鍵．鞏固訓練：1．如圖，在四邊形中，，，，，且，則四邊形的面積是（）A．4 B． C． D．【答案】C【分析】連接，根據勾股定理可得，再由勾股定理的逆定理可得，再根據四邊形的面積等于，即可求解．【解析】解：如圖，連接，

在中，，，，∴，∵，，∴，∴，∴四邊形的面積是．故選：C．【點睛】本題主要考查了勾股定理及其逆定理的應用，熟練掌握勾股定理及其逆定理是解題的關鍵．2．如圖所示，，，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖，連接，求解，證明，延長至，使，連接，證明為等邊三角形，可得，從而可得答案．【解析】解：如圖，連接，

∵，，，∴，∵，，∴，∴，延長至，使，連接，而∴，而，∴為等邊三角形，∴，∵，，∴，∴；故選C【點睛】本題考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理的應用，等邊三角形的判定與性質，等腰三角形的三線合一的應用，線段的垂直平分線的性質，作出合適的輔助線是解本題的關鍵．題型九垂直平分線的性質【例9】．如圖，在中，，，的垂直平分線交于點M，交于點N，，則（

）A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm【答案】B【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質、等腰三角形的判定及性質、直角三角形中，角所對的邊等于斜邊的一半，熟練掌握直角三角形的性質是解題的關鍵．連接，先利用線段垂直平分線的性求得，再求，然后利用直角三角形中，角所對的邊等于斜邊的一半即可求解．【解析】解：如下圖，連接，∵的垂直平分線交于點M，，∴，∴，∵，∴，∴，∵∠B=90°，，∴，故選：B．鞏固訓練：1．如圖所示，在中，是的垂直平分線，的周長為，則的周長為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了線段垂直平分線性質的應用，根據線段垂直平分線性質求出長和，根據三角形周長求出的長度，求出的周長，代入求出即可．【解析】解：是的垂直平分線，，，，的周長為，，，的周長為，故選：B．2．如圖，在中，的垂直平分線交于點，邊的垂直平分線交于點．已知△ADE的周長為，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質，利用線段垂直平分線的性質可得，，然后利用等量代換可得的周長，即可解答．【解析】解：∵是的垂直平分線，∴，∵是的垂直平分線，∴，∵△ADE的周長，∴，∴，∴，∴的長為；故選D．題型十垂直平分線的性質與判定【例10】．如圖，，，則正確的結論是（

）A．垂直平分 B．垂直平分C．與互相垂直平分 D．以上說法都正確【答案】A【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的判定，熟知到線段兩端的距離相等的點在線段的垂直平分線上是解題的關鍵．【解析】解：∵，，，∴垂直平分，根據現有條件，無法證明垂直平分，故選A．鞏固訓練：1．如圖，直線與線段交于點，點在直線上，且．小明說：“直線是的垂直平分線．”小亮說：“需再添加一個條件，小明的結論才正確．”下列判斷正確的是（

）

A．小明說的對B．小亮說的對，可添條件為“”C．小亮說的對，可添條件為“”D．兩人說的都不對【答案】C【分析】根據選項結合已知得出，從而得到，即可求出最終結果；本題主要考查垂直平分線的知識，熟練掌握線段垂直平分線的判定是解題的關鍵．【解析】解：可添條件為才能說：直線是的垂直平分線證明如下：在和中，直線是的垂直平分線故選：C．2．如圖，在四邊形中，，．我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”，下列結論：①；②；③；④四邊形的面積等于．其中正確的有（

）個

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據題意可知垂直平分，可得①②正確；然后根據三角形的面積公式計算四邊形的面積可得③正確．【解析】解：∵，∴點D、B在的垂直平分線上，即垂直平分，∴，①③正確；無法得到,②錯誤;∵，∴③正確；綜上，正確的有①③④,共3個，故選：C．【點睛】本題考查了線段垂直平分線的判定，三角形的面積計算，熟知到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上是解題的關鍵．題型十一角平分線的性質【例11】．在中，，的平分線交于點，，，則到的距離是（

）

A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】此題主要考查了角平分線的性質，勾股定理；勾股定理求得，過作，根據角平分線上的點到角兩邊的距離相等可得．【解析】解：中，，，，∴，過作，

是的平分線，，，到的距離是，故選：A．鞏固訓練：1．如圖，中，是的角平分線，，F是中點，連接，若，，，則的面積為（

）A． B．8 C．9 D．12【答案】A【分析】本題主要考查了角平分線的性質，三角形中線的性質，解題的關鍵是掌握角平分線上的點到兩邊距離相等，三角形的中線將三角形的面積平均分為兩部分；先根據角平分線的性質得出，即可求出，進而得出，最后根據三角形中線的性質，即可求解．【解析】解：過點D作于點H，∵是的角平分線，，，∴，∵，，∴，∴，∵F是中點，∴，故選：A．2．如圖，在銳角三角形中，，的面積為8，平分．若、分別是、上的動點，則的最小值是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】本題考查了最短路線問題，角平分線的性質，垂線段最短定理．過點作，垂足為點，交于點，過點作，垂足為點，根據“垂線段最短”，即可得為的值最小，再利用面積公式求出的值，即可得出答案，解題關鍵是利用垂線段最短解決最值問題．【解析】解：如圖，過點作，垂足為點，交于點，過點作，垂足為點，平分，，，當點與點重合時，的值最小，等于的值，，的面積為8，，，的最小值為4，故選：B．題型十二角平分線的性質與判定【例12】．如圖，，，，，則________°．【答案】64【分析】主要考查了查角平分線的判定，掌握到角兩邊距離相等的點在角的平分線上是解題的關鍵．由角平分線的判定可求得是的平分線，則可求得答案．【解析】解：∵，，，∴點P在的平分線上，即平分，∵，∴，∵，∴．故答案是：．鞏固訓練：38．如圖，已知在中，，點，分別在邊，上，于，，．（1）若，則______；（2）已知，，則的長是______．【答案】6【分析】本題考查了角平分線的判定與性質、三角形全等的判定與性質、三角形內角和定理，熟練掌握以上知識點，證明三角形全等是解此題的關鍵．（1）先證明得到平分，由三角形內角和定理計算出，即可得到答案；（2）先計算出，證明得到，最后由即可得到答案．【解析】解：（1），，，在和中，，，，平分，，，，，，故答案為：；（2），，，在和中，，，，，故答案為：6．39．如圖，已知，邊分別交交于M，N，若，，則的度數是_____．【答案】28°/28度【分析】此題考查了全等三角形的性質、等腰三角形的性質，角平分線的判定，作BP⊥AC,BQ⊥DE，垂足分別為P，Q，根據全等三角形的性質得出BP=BQ，則MB平分∠AME，設∠ABD=x，證出∠DMN=∠ABD=x，∠AMB=∠EMB=x+48°，根據∠DMA+∠AMB+∠BME=180°列出方程計算即可．【解析】解：作BP⊥AC,BQ⊥DE，垂足分別為P，Q，∵△ABC≌△DBE，∴BP=BQ，∴MB平分∠AME，∴∠AMB=∠EMB，設∠ABD=x，∵△ABC≌△DBE，∴∠A=∠D，∵∠DNM=∠ANB，∴∠DMN=∠ABD=x，∵∠A=48°，∴∠BNM=x+48°，∵BM=BN，∴∠BMN=∠BNM=x+48°，∴∠AMB=∠EMB=x+48°，∵∠DMA+∠AMB+∠BME=180°，∴x+x+48°解得：x=28°，∴∠ABD=28°，故答案為：28°．題型十三尺規(guī)作圖【例13】．如圖，請仔細觀察用直尺和圓規(guī)作的三個步驟，要說明，只需要連接、，并證明即可，則這兩個三角形全等的依據是(

)

A．邊角邊 B．角邊角 C．角角邊 D．邊邊邊【答案】D【分析】本題考查了全等三角形的判定，作角平分線，根據作圖，連接、，則，根據，即可根據“邊邊邊”證明，即可求解．【解析】解：連接、，

根據作圖可得，，∴，∴，即故選：D．鞏固訓練：1．如圖，在中，，以A為圓心，任意長為半徑兩弧分別交于點M和N，再分別以M、N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，連接并延長交于點D，則下列說法中正確的個數是（

）

①是的平分線；②；③點D在的垂直平分線上；④．A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】利用基本作圖方法可對①進行判斷；利用角平分線的定義計算出，則由三角形內角和定理求出的度數，于是可對②進行判斷；由得到，則根據線段垂直平分線的性質定理的逆定理可對③進行判斷；利用含度的直角三角形三邊的關系得到，則，然后根據三角形面積公式可對④進行判斷．【解析】解：由作圖方法可知平分，故①正確；∵，，∴，，∴，故②正確；∵，∴∴點在的垂直平分線上，故③正確；∵∵，∴，∴，，故④錯誤．∴正確的有3個，故選B．【點睛】本題主要考查了角平分線的定義，角平分線的尺規(guī)作圖，三角形內角和定理，等角對等邊，線段垂直平分線的判定，含30度角的直角三角形的性質，熟練掌握各部分知識并綜合應用是解題的關鍵．2．如圖，依據尺規(guī)作圖的痕跡，計算（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了兩類基本的尺規(guī)作圖—尺規(guī)作角平分線和線段的垂直平分線、角平分線的定義、對頂角的性質和平行線的判定和性質等知識，熟練掌握上述基本知識是解題的關鍵．易得，于是可根據平行線的性質求出，由題意可得：平分，垂直平分，從而可根據角平分線的定義求出，再根據三角形的內角和定理即可求出，進而可得答案．【解析】解：因為，所以，所以，如圖，由題意可得：平分，垂直平分，所以，所以，所以．故選：A．3．已知，用尺規(guī)作圖的方法在上取一點P，使，下列選項正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查作圖-復雜作圖，線段的垂直平分線的性質等知識，利用線段的垂直平分線的性質證明即可．【解析】解：選項B正確．理由：連接．由作圖可知點P在的垂直平分線上，，．故選：B．4．如圖，小明在學了尺規(guī)作圖后，作了一個圖形，其作圖步驟是：①作線段，分別以點A、B為圓心，以的長為半徑畫弧，兩弧相交于點C，D；②連接，作直線，且與相交于點，則下列說法不正確的是（

）

A．是等邊三角形 B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握5種基本作圖是解決問題的關鍵．也考查了線段垂直平分線的性質和等邊三角形的判定與性質．利用基本作圖得到垂直平分，，則可對A選項、B選項和C選項進行判斷；然后根據等邊三角形的性質可對D選項進行判斷．【解析】解：由作法得垂直平分，，∴為等邊三角形，，所以A、B、C選項符合題意；∴．所以D選項不符合題意；故D．題型十四三角形的證明解答證明題綜合【例14】．已知：如圖，于，于，若，；求證：平分．【答案】見解析【分析】本題考查了角平分線的判定，證是解題關鍵．【解析】證明：∵，，∴在和中：∴，∴又∵，，∴平分鞏固訓練：1．如圖，在中，，求邊上的高．

【答案】【分析】此題主要考查了勾股定理逆定理，根據勾股定理逆定理可證明是直角三角形，再利用直角三角形的面積公式即可．關鍵是掌握“如果三角形的三邊長，，滿足，那么這個三角形就是直角三角形”．【解析】解：，，是直角三角形，，即，．2．如圖，在中，，點D是的中點，，交的延長線于點，且，．(1)求證：；(2)求的周長．【答案】(1)見解析(2)的周長為24．【分析】本題主要考查了等邊三角形的判定，平行線的性質．（1）利用即可證明；（2）證明是等邊三角形，即可求解．【解析】（1）證明：∵，點D是的中點，∴，，∵，∴；（2）解：∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∴是等邊三角形，∵，∴的周長為24．3．如圖，是等邊三角形，是中線，延長至點E，使．(1)求證：；(2)過點D作垂直于，垂足為F，若，求的周長．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）等邊三角形三線合一，得到，等邊對等角結合三角形的外角，推出，進而得到，即可；（2）易得是含30度角的直角三角形，進而得到，中線得到，求出的長，即可．【解析】（1）證明：∵是等邊三角形，是中線，∴，