曲線方程課件

曲線方程曲線方程空間曲線是由兩個曲面相交而產(chǎn)生的，由于空間曲面方程的建立和圖形繪制較難，為此，空間曲線圖形的繪制和方程的建立更難.本節(jié)將簡單介紹空間曲線的參數(shù)式方程和空間曲線在坐標(biāo)面上的投影曲線方程，供我們在今后的學(xué)習(xí)中參考.一、空間曲線及其方程空間曲線的一般式方程1.空間直線可以看作是兩個平面的交線，而它的方程可以用這兩相交平面方程的聯(lián)立方程組來表示.同樣，空間曲線可以看作兩個曲面的交線.設(shè)有兩個相交的曲面，它們的方程分別是F1(x,y,z)=0，F(xiàn)2(x,y,z)=0.那么聯(lián)立方程組

(7-29)

就是它們交線的方程，稱式(7-29)為空間曲線的一般式方程.一、空間曲線及其方程【例31】一、空間曲線及其方程空間曲線的參數(shù)式方程2.空間曲線的參數(shù)式方程是我們在學(xué)習(xí)多元函數(shù)積分學(xué)時要用到的，但其方程的建立比較麻煩，我們這里只簡單介紹只有一個參變量的參數(shù)方程.如果曲線C上的點(diǎn)M(x,y,z)的坐標(biāo)可以表示為某個變量t的函數(shù)，即

(7-30)當(dāng)t在［α,β］上每取一個值時，就得到曲線C上的一個點(diǎn)M(x,y,z)，而t由α變到β時就得到曲線C上的所有點(diǎn).則式(7-30)稱為曲線C的參數(shù)式方程，其中t稱為參數(shù).一、空間曲線及其方程【例32】圖7-37一、空間曲線及其方程二、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影設(shè)在空間直角坐標(biāo)系中有一條曲線C′，過C′作母線平行于z軸的柱面，與xOy平面的交線為C，則稱C為曲線C′在xOy面上的投影曲線(見圖7-38).圖7-38二、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影下面來建立空間曲線在坐標(biāo)面上的投影曲線方程.設(shè)空間曲線C′的方程為

(7-31)為求C′在坐標(biāo)面xOy面上的投影曲線方程，現(xiàn)從式(7-31)中消去z后，得方程

H(x,y)=0，(7-32)

二、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影這正是母線平行于z軸的柱面方程.由于它是從式(7-31)中得出，為此，在曲線C′上的點(diǎn)，其坐標(biāo)必滿足式(7-31)，從而也一定滿足H(x,y)=0，所以，這個柱面是以曲線C′為準(zhǔn)線的柱面，我們稱其為投影柱面.它與xOy坐標(biāo)面的交線C的方程為

(7-33)

即為空間曲線C′在xOy坐標(biāo)面上的投影曲線方程.同理，從式(7-31)中消去x或y，分別得投影柱面方程G(y,z)=0或R(x,z)=0，再分別與x=0或y=0聯(lián)立，即可得曲線C′在坐標(biāo)面yOz面或zOx面上的投影曲線方程分別為

二、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影【例33】二、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影中未知量z消去.方程組中兩方程相減得x+z=1，即z=1－x，將其代入x2+y2+z2=1得投影柱面方程為

2x2+y2－2x=0.于是，兩球面的交線在xOy面上的投影曲線方程為最后，我們通過例題來說明，空間解析幾何中由方程來描繪空間區(qū)域的方法.它在今后多元函數(shù)積分學(xué)中經(jīng)常用到，要仔細(xì)體會.二、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影【例34】二、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影方程y2+z2=1表示以坐標(biāo)面yOz面上的圓y2+z2=1為準(zhǔn)線，母線平行于x軸的圓柱面.于是y2+z2≤1表示這個圓柱面所圍成的內(nèi)部及其表面.直圓柱面y2+z2=1在平面x=0,y=0，x+y