函數(shù)展開成冪級數(shù)

函數(shù)展開成冪級數(shù)函數(shù)展開成冪級數(shù)我們已經(jīng)討論了冪級數(shù)的收斂域及其和函數(shù)的性質(zhì).但是在許多應(yīng)用中，我們經(jīng)常會遇到一類相反的問題，即已知函數(shù)f(x)，要考慮它是否能在某個區(qū)間內(nèi)展開成冪級數(shù)，也就是說，是否能找到這樣的一個冪級數(shù)，它在某區(qū)間內(nèi)收斂，且其和恰好就是所給定的函數(shù)f(x).如果能找到這樣的冪級數(shù)，我們說，函數(shù)f(x)在該區(qū)間內(nèi)能展開成冪級數(shù)，或者簡單地說，函數(shù)f(x)能展開成冪級數(shù)，而該級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)表示函數(shù)f(x).我們先看n階泰勒公式.若函數(shù)f(x)在x0的某一鄰域內(nèi)具有直到n+1階導(dǎo)數(shù)，則在該鄰域內(nèi)函數(shù)f(x)的n階泰勒公式為函數(shù)展開成冪級數(shù)來近似表示，并且其誤差等于余項的絕對值Rn(x).顯然，如果Rn(x)隨著n的增大而減小，那么，我們就可以用增加多項式項數(shù)的辦法來提高精度.如果f(x)在點x0的某鄰域內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù)f′(x0),f″(x0),…,f(n)(x0),…，這時我們可以設(shè)想多項式Pn(x)的項數(shù)趨向無窮而成為冪級數(shù)這個冪級數(shù)稱為函數(shù)f(x)在x0處的泰勒級數(shù).函數(shù)展開成冪級數(shù)(1)函數(shù)f(x)在x0的某鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù)；(2)當(dāng)n→∞時，余項Rn(x)→0(在x0的鄰域內(nèi)).第一個條件保證我們能作出以f(n)(x0)n!為系數(shù)的冪級數(shù)，第二個條件是保證這個級數(shù)在x0的鄰域內(nèi)收斂于f(x)，所以這兩個條件是缺一不可的.現(xiàn)在存在這樣一個問題.若函數(shù)f(x)能夠表示為x的冪級數(shù)

f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn+…它與f(x)的麥克勞林級數(shù)是否一致？下面我們將證明，若函數(shù)f(x)能展開為x的冪級數(shù)，則它的展開式是唯一的，且這個唯一的展開式就是f(x)的麥克勞林級數(shù).函數(shù)展開成冪級數(shù)事實上，若函數(shù)f(x)可以展開成x的冪級數(shù)函數(shù)展開成冪級數(shù)第三章中我們已給出了幾個常用的初等函數(shù)的麥克勞林公式，在此不再贅述.根據(jù)上面的討論，把函數(shù)f(x)展開成x的冪級數(shù)，可按下列步驟進(jìn)行：(1)求出函數(shù)f(x)的各階導(dǎo)數(shù)f′(x),f″(x),…,f(n)(x),…，且以x=0代入，得到f′(0),f″(0),…,f(n)(0),….如果發(fā)現(xiàn)某階導(dǎo)數(shù)不存在，則該函數(shù)不能展開為x的冪級數(shù)；(2)寫出冪級數(shù)函數(shù)展開成冪級數(shù)函數(shù)展開成冪級數(shù)【例33】函數(shù)展開成冪級數(shù)【例34】函數(shù)展開成冪級數(shù)以上兩例是直接利用公式，將給定的函數(shù)展開為冪級數(shù).這種方法稱為直接展開法.用直接展開法把函數(shù)展開成冪級數(shù)，一方面需要計算高階導(dǎo)數(shù)，另一方面要討論余項Rn(x)是否趨于零.一般來說，這兩方面做起來是不容易的.因此，我們常以一些函數(shù)的已知展開式為基礎(chǔ)，利用冪級數(shù)的一些性質(zhì)，將函數(shù)展開為冪級數(shù)，從而避免了高階導(dǎo)數(shù)的計算和余項的討論.這種方法稱為間接展開法.由于函數(shù)的冪級數(shù)展開式具有唯一性，同一函數(shù)用直接展開法或用間接法求出的冪級數(shù)是一樣的.函數(shù)展開成冪級數(shù)【例35】函數(shù)展開成冪級數(shù)【例36】函數(shù)展開成冪級數(shù)【例37】函數(shù)展開成冪級數(shù)【例38】函數(shù)展開成冪級數(shù)【例39】函數(shù)展開成冪級數(shù)【例