波函數(shù) 薛定諤方程

波函數(shù)薛定諤方程波函數(shù)一、用來(lái)描述實(shí)物粒子德布羅意波的數(shù)學(xué)表達(dá)式稱為波函數(shù).對(duì)于一個(gè)自由粒子的波函數(shù)，可根據(jù)德布羅意物質(zhì)波求得.與自由粒子對(duì)應(yīng)的是單色平面波.在經(jīng)典波動(dòng)理論中，平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)為用光波與物質(zhì)波對(duì)比的方法可闡明波函數(shù)的物理意義.從波動(dòng)的觀點(diǎn)來(lái)看，光的衍射圖樣越明亮的區(qū)域，光的強(qiáng)度越大，說明接收的能量越多.若把光束看作一束光子流，按照愛因斯坦關(guān)系，則每個(gè)光子所攜帶的能量都相同，那么越明亮的地方就意味著到達(dá)的光子數(shù)目越多.換句話說，光通過雙縫后之所以形成明暗變化的干涉條紋，是因?yàn)榈竭_(dá)光屏上各點(diǎn)的光子數(shù)目不同，即每個(gè)光子到達(dá)光屏各點(diǎn)的概率不同.因?yàn)楣鈴?qiáng)與光振動(dòng)的振幅的平方成正比，所以光子在某處附近出現(xiàn)的概率與該處的光強(qiáng)成正比，即與該處光振動(dòng)振幅的平方成正比.對(duì)于電子雙縫干涉實(shí)驗(yàn)，通過與光的雙縫實(shí)驗(yàn)類比，可以得出結(jié)論：電子分布越多的地方就是到達(dá)的電子數(shù)目越多的地方，電子分布越少的地方就是到達(dá)的電子數(shù)目越少的地方.也就是說，電子到達(dá)各點(diǎn)的概率是不同的.其他微觀粒子也有類似的結(jié)論.綜上所述，微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)用波函數(shù)Ψ(r,t)描述，t時(shí)刻粒子在空間r處附近的體積元dV中出現(xiàn)的概率dW與該處波函數(shù)模的平方成正比，即薛定諤方程二、既然微觀粒子的運(yùn)動(dòng)可以用波函數(shù)描述，那么波函數(shù)應(yīng)該滿足什么樣的方程才能反映微觀粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律呢？對(duì)此，從一個(gè)簡(jiǎn)單的一維運(yùn)動(dòng)出發(fā)，引出薛定諤方程.薛定諤方程是描述微觀粒子運(yùn)動(dòng)規(guī)律的基本方程.對(duì)于質(zhì)量為m，動(dòng)量為p，在勢(shì)場(chǎng)V(x)中做一維運(yùn)動(dòng)的粒子，其非相對(duì)論總能量為薛定諤方程是描述微觀粒子運(yùn)動(dòng)的一般方程，自然也可以描述自由粒子的運(yùn)動(dòng)，即式（15-36）應(yīng)為薛定諤方程的一個(gè)解，由式（15-36）可得（15-37）由式（15-35）可得（1）這并不是薛定諤方程的證明，薛定諤方程是量子力學(xué)的基本假定，是對(duì)大量實(shí)驗(yàn)觀測(cè)結(jié)果的概括，它和經(jīng)典力學(xué)中的牛頓三定律一樣，是不能被證明的.（2）式（15-40）實(shí)際上是單粒子薛定諤方程，其中Ψ(r,t)是單粒子波函數(shù)，V(r)也是單粒子感受到的勢(shì)場(chǎng)。而對(duì)于大量微觀粒子組成的系統(tǒng)，波函數(shù)應(yīng)是總的波函數(shù)，勢(shì)場(chǎng)也是總的勢(shì)場(chǎng)，既包括整個(gè)系統(tǒng)所感受到的外部勢(shì)場(chǎng)，也包括系統(tǒng)內(nèi)部各粒子之間的相互作用勢(shì).定態(tài)薛定諤方程三、玻爾在解釋氫原子光譜時(shí)就提出了定態(tài)的概念雛形.定態(tài)也是量子力學(xué)中最重要的概念之一，本節(jié)就從薛定諤方程出發(fā)，對(duì)定態(tài)的性質(zhì)做一些概括性的討論.若勢(shì)能V(r)與時(shí)間無(wú)關(guān)，則可以設(shè)Ψ(r,t)=Ψ(r)f(t)（15-41）

把式（15-41）代入式（15-40）,得到兩邊同除以Ψ(r)f(t)，就可以分離變量，即在這種情況下，一方面，式（15-45）與時(shí)間無(wú)關(guān)，因此該方程稱為定態(tài)薛定諤方程.相應(yīng)的解就稱為定態(tài).另一方面，式（15-45）左邊的方括號(hào)是體系的哈密頓算符，因此式（15-45）就是哈密頓算符的本征方程，即能量本征方程.這樣，所謂定態(tài)，實(shí)際上就是能量本征態(tài).在能量本征態(tài)下測(cè)量能量，則一定得到相應(yīng)的本征值，即定態(tài)是具有確定能量的狀態(tài).而式（15-44）就是能量為E的定態(tài)的時(shí)間演化因子.可以看出，定態(tài)波函數(shù)也是要隨著時(shí)間變化的，即上式是與時(shí)間無(wú)關(guān)的.也就是說，雖然定態(tài)波函數(shù)本身可以隨著時(shí)間變化，但是粒子出現(xiàn)在空間各處的概率卻與時(shí)間無(wú)關(guān)，所以定態(tài)的物理性質(zhì)不隨時(shí)間變化.這就是稱之為定態(tài)的原因.若定態(tài)波函數(shù)能夠滿足歸一化條件，即則在無(wú)限遠(yuǎn)處，定態(tài)波函數(shù)必然迅速趨于0，即粒子不可能出現(xiàn)在無(wú)窮遠(yuǎn)處，也就是粒子被限制在有限的范圍內(nèi)運(yùn)動(dòng)，這種狀態(tài)就稱為束縛態(tài)，否則就稱為游離態(tài).在經(jīng)典情況下，粒子當(dāng)然也不能出現(xiàn)在阱外，這一點(diǎn)與量子力學(xué)的解并無(wú)區(qū)別.若是經(jīng)典粒子，在阱內(nèi)各處的勢(shì)場(chǎng)都為零，因此粒子在阱內(nèi)均勻分布.在量子力學(xué)情況下，容易解得粒子出現(xiàn)在各處的概率并不相同，隨著位置的變化而變化，即粒子分布是不均勻的.此外，在經(jīng)典情況下，粒子的能量可以取任意的有限值，即粒子的能量是可以連續(xù)變化的，但在量子力學(xué)情況下，粒子的能量只能取一系列分立值，即能級(jí)是量子化的.圖15-13所示為無(wú)限深方勢(shì)阱中的波函數(shù)Ψ(x).圖15-13無(wú)限深方勢(shì)阱中的波函數(shù)圖15-14無(wú)限深方勢(shì)阱中的粒子分