2022年上海高考數(shù)學(xué)考前30天沖刺復(fù)習(xí)訓(xùn)練專題24分類與整合思想中的五種題型（三角函數(shù)與解三角形、數(shù)列、不等式、解析幾何、計(jì)數(shù)原理） （含詳解）

2022年高考數(shù)學(xué)考前30天迅速提分復(fù)習(xí)方案（上海專用）

專題2.4分類與整合思想中的五種題型

題型一；三角函數(shù)與解三角形

乃江］(2n3眉

tanx,xe-

一2,—3juI—3,—2J

1.（2022?上海?高三專題練習(xí)）己知函數(shù)二痣若/。）在

區(qū)間〃h的最大值存在，記該最大值為K｛。｝,則滿足等式K｛Oa）｝=3K｛[〃,2?]｝的實(shí)數(shù)a

的取值集合是.

2.（2022?上海市松江二中高三開學(xué)考試）某市環(huán)保部門通過研究多年來該地區(qū)的大氣

污染狀況后，建立了一個(gè)預(yù)測(cè)該市一天中的大氣污染指標(biāo)/⑴與時(shí)間，（單位：小時(shí)）之

間的關(guān)系的函數(shù)模型：/（f）=g（f）+/〃+2a,問0,24）,其中=代

表大氣中某類隨時(shí)間f變化的典型污染物質(zhì)的含量，參數(shù)。代表某個(gè)已測(cè)定的環(huán)境氣象指

"3'

標(biāo)，且0%.現(xiàn)環(huán)保部門欲將的最大值M（u）作為每天的大氣環(huán)境綜合指數(shù)予以發(fā)

布.

⑴求g?）的值域；

（2）若該市政府要求每天的大氣環(huán)境綜合指數(shù)不得超過2.0,請(qǐng)求出M（a）的表達(dá)式，并預(yù)

測(cè)該市目前的大氣環(huán)境綜合指數(shù)是否會(huì)超標(biāo)？請(qǐng)說明理由.

題型二：數(shù)列

1.（2022?上海-高三專題練習(xí)）若數(shù)列｛%｝,也｝的通項(xiàng)公式分別為。產(chǎn)㈠廣20%,

n+2019

F_H-----且見對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為

n

（）

A.[-2,1）B.-引C.-項(xiàng)D.[-1J）

2.（2020?上海閔行?一模）已知各項(xiàng)為正數(shù)的非常數(shù)數(shù)列｛q｝滿足=4%,有以下

兩個(gè)結(jié)論:①若%>%,則數(shù)列｛〃,｝是遞增數(shù)列；②數(shù)列｛%｝奇數(shù)項(xiàng)是遞增數(shù)列則

()

A.①對(duì)②錯(cuò)B.①錯(cuò)②對(duì)C.①②均錯(cuò)誤D.①②均正確

3.(2022?上海?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(?=/.§inx各項(xiàng)均不相等的數(shù)列優(yōu)｝滿足

|%區(qū)，i=1,2,3,….令F(〃)=(5+%+L+4)，［/(x,)+/(X2)+L+f(xn)］(〃eN,).給出下列

三個(gè)命題：(1)存在不少于3項(xiàng)的數(shù)列U,｝,使得F5)=0：(2)若數(shù)列W的通項(xiàng)公式為

則F(2k)>0對(duì)出eN?恒成立；(3)若數(shù)列恍｝是等差數(shù)列，則

尸(〃)20對(duì)恒成立，其中真命題的序號(hào)是()

A.(1)(2)B.(1)(3)C.(2)(3)D.(1)(2)(3)

4.(2022?上海-高三專題練習(xí))對(duì)于數(shù)列｛4｝,如果存在最小的一個(gè)常數(shù)7(7wN,),

使得對(duì)任意的正整數(shù)恒有=2成立，則稱數(shù)列｛4｝是周期為T的周期數(shù)列.設(shè)

m=qT+r,(m,q,T,rwN*),數(shù)列前見項(xiàng)的和分別記為鼠,S.,S,,則鼠,5八5,三者的關(guān)系

式;已知數(shù)列?｝的通項(xiàng)公式為%=1〃-⑶，那么滿足為+%盧...+%19=102

的正整數(shù)上二.

5.(2022?上海師大附中高三階段練習(xí))已知｛%｝是公差為或">0)的等差數(shù)列，若存在

sin』+sin&+…+sin/=0叫,

實(shí)數(shù)X1,與，…/滿足方程組：，

qsin%1+a2sinx,+4sinxj+…+%sin%=25

的最小值為—

6.(2022?上海楊浦?二模)已知a為實(shí)數(shù)，數(shù)列｛凡｝滿足：①。尸。;②

%.產(chǎn)［：“—3若存在一個(gè)非零常數(shù)reN,對(duì)任意〃eN,都成

立，則稱數(shù)列｛凡｝為周期數(shù)列.

(1)當(dāng)4=3時(shí)，求〃1+&+〃3+〃4的值；

(2)求證;存在正整數(shù)〃，使得0?%?3；

⑶設(shè)S.是數(shù)列｛〃“｝的前〃項(xiàng)和，是否存在實(shí)數(shù)〃滿足：①數(shù)列｛《J為周期數(shù)列；②存在正

奇數(shù)%使得&=2h若存在，求出所有a的可能值；若不存在，說明理由.

7.（2022?上海寶山?一模）已知函數(shù)二2一|月，無窮數(shù)列伍」?jié)M足凡+產(chǎn)〃凡），

（1）若q=2,寫出數(shù)列｛〃“｝的通項(xiàng)公式（不必證明）；

⑵若4>0,且4,七，的成等比數(shù)列，求々的值；問bU是否為等比數(shù)列，并說明理

由；

（3）證明：生,曲，L,?！?，L成等差數(shù)列的充要條件是修=1.

8.（2022?上海?高三專題練習(xí)）對(duì)于數(shù)列｛匕｝,若存在〃?wN‘，使得對(duì)任意

1a$2加一1（丘V）都成立，則稱數(shù)列卜.｝為“川-折疊數(shù)列”.

（1）若見=悟5〃-200|（"1<）,判斷數(shù)列｛4｝是否是“，〃-折疊數(shù)列”，如果是，指出"

的值，如果不是，請(qǐng)說明理由；

（2）若/=/（〃6"）,求所有的實(shí)數(shù)4,使得數(shù)列｛4｝是3-折疊數(shù)列；

（3）給定常數(shù)pwN*,是否存在數(shù)列｛萄｝,使得對(duì)所有"MN’,都是即?一折疊數(shù)列,

且｛4｝的各項(xiàng)中恰有P+1個(gè)不同的值，請(qǐng)說明理由.

9.(2022?上海奉賢區(qū)致遠(yuǎn)高級(jí)中學(xué)高三開學(xué)考試)己知無窮數(shù)列｛%｝與無方數(shù)列｛〃｝滿

足下列條件：①凡GN"；②"二(T)"lH%+J〃eN?.記數(shù)列也｝的

n

前〃項(xiàng)積為了”.

(1)若q=4=1嗎=0，%=2M=1，求4;

(2)是否存在4曲曲嗎,使得4也也也成等差數(shù)列?若存在，請(qǐng)寫出一組4曲嗎，為；

若不存在，請(qǐng)說明理由：

(3)若4=1,求《021的最大值.

10.(2022?上海?高三專題練習(xí))已知陽為正整數(shù)，各項(xiàng)均為正整數(shù)的數(shù)列｛4｝滿足:

“日"”物偶數(shù)，記數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為

4+〃叫媯奇數(shù)

(1)若q=&m=2,求邑的值；

(2)若加=5,'=25,求q的值：

(3)若4口，，〃為奇數(shù)，求證：“4“＞小”的充要條件是“凡為奇數(shù)”.

11.(2020?上海楊浦?一模)已知無窮數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為S”，若對(duì)于任意的正整數(shù)

〃,均有之則稱數(shù)列｛%｝具有性質(zhì)P.

52M_,O,SF0,

<0判斷首項(xiàng)為1,公比為-2的無窮等比數(shù)列｛4｝是否具有性質(zhì)P,并說明理由；

（2）已知無窮數(shù)列｛凡｝具有性質(zhì)P,且任意相鄰四項(xiàng)之和都相等,求證：54=0:

[%（〃為奇數(shù)）

（3）已知々=2〃-數(shù)列匕｝是等差數(shù)列，勺=J1為偶數(shù)，，若無窮數(shù)列｛%｝

、2

具有性質(zhì)P,求旬四的取值范圍.

12.（2020?上海市大同中學(xué)高三階段練習(xí)）如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它得前

一項(xiàng)得差都大于2,則稱這個(gè)數(shù)列為數(shù)列.

（1）若數(shù)列｛叫為“。數(shù)列"，且4='-3,%='，4=4,求實(shí)數(shù)用的取值范圍；

mtn

（2）是否存在首項(xiàng)為1的等差數(shù)列｛勺｝為“，數(shù)列”，且其前〃項(xiàng)和S。滿足S”</+〃？

若存在，請(qǐng)求出｛〃”｝的通項(xiàng)公式：若不存在，請(qǐng)說明理由：

（3）已知等比數(shù)列｛叫的每一項(xiàng)均為正整數(shù)，且?guī)祝秊椤?。?shù)列""二：〃“，

-（〃+：：2…當(dāng)數(shù)列也｝不是“。數(shù)列”時(shí)，試判斷數(shù)列也｝是否為“。數(shù)列”，并

說明理由.

13.（2021?上海虹口?二模）若數(shù)列｛q｝滿足“對(duì)任意正整數(shù)i,九*八都存在正

整數(shù)底使得4F嗎”，則稱數(shù)列｛q｝具有“性質(zhì)"”.

（1）判斷各項(xiàng)均等于〃的常數(shù)列是否具有“性質(zhì)尸”，并說明理由；

（2）若公比為2的無窮等比數(shù)列｛q｝具有“性質(zhì)P”,求首項(xiàng)多的值；

（3）若首項(xiàng)4=2的無窮等差數(shù)列｛〃”｝具有“性質(zhì)尸”，求公差d的值.

14.（2022?上海?高三專題練習(xí)）已知正整數(shù)數(shù)列｛q｝滿足：4=。，a2=bt

〃“+2026,

〃〃+2二/一/r（〃Ni）.

%+1

（1）已知4=2,/=1013,求。和〃的值；

⑵若4二1,求證|為+2-小第,：

（3）求〃+力的取值范圍.

15.（2021?上海?華師大二附中高三階段練習(xí)）已知無窮數(shù)列他”｝滿

足：4=°,4“=。；+。

(〃wM,ceR).對(duì)任意正整數(shù)〃22,記M.二{c|Tiw{123,…，叫4k2},

M={cRiwNjaJW2}.

(1)寫出“2，挺3；

(2)當(dāng)c＞。時(shí)，求證；數(shù)列{%}是遞增數(shù)列，且存在正整數(shù)3使得方M；

4

(3)求集合M.

16.(2019?上海市建平中學(xué)高三階段練習(xí))設(shè){q}是無窮正項(xiàng)等比數(shù)列，公比為內(nèi)對(duì)于

正整數(shù)集M的子集T,若T=0,定義%=0;若7={廿2,…定義

S.=4+q?+,??+q,.

(1)若4=1,4=3,7={2,4,5},求當(dāng)；

(2)設(shè),若A、8是M的非空有限子集且AD3=0,求證；SAF

(3)若對(duì)N”的任意非空有限子集C、O,只要Sc2S。，就有SC+SCM22S0,求公比q的

取值范圍.

17.(2020?上海普陀?三模)己知數(shù)列4,生,…必。滿足：對(duì)任意的

力01,2,3,4,5,6,7,8,9,10｝,若i*j,則廿內(nèi),且4e｛1,2,3,4,5,6,7,8910｝,設(shè)集合

人=也+%+4』=123,4,5,6,7,8｝,集合/中元素最小值記為風(fēng)A）,集合力中元素最大值

記為〃（A）,如數(shù)列：7,628,3,4,9,1,5,10時(shí)，4=｛13J4J5J6｝,m（A）=13,n（A）=16.

（1）已知數(shù)列：10,6,1,2,7,8,3,9,5,4,寫出集合加⑷及“4）；

（2）求證；不存在訊㈤》18,

（3）求〃?（A）的最大值以及〃（A）的最小值，并說明理由.

18.（2020?上海青浦?一模）若無窮數(shù)列｛冉｝和無窮數(shù)列也｝滿足：存在正常數(shù)人使得

對(duì)任意的〃wN,均有時(shí)-4區(qū)A,則稱數(shù)列｛4｝與也｝具有關(guān)系P（A）.

（1）設(shè)無窮數(shù)列｛%｝和四｝均是等差數(shù)列，且勺=2%々=〃+2（〃eN）問；數(shù)列何｝

與也｝是否具有關(guān)系P0）?說明理由；

（2）設(shè)無窮數(shù)列｛q｝是首項(xiàng)為1，公比為;的等比數(shù)列，4=%+1,證明：數(shù)列

｛叫與也｝具有關(guān)系夕（力，并求力的最小值；

（3）設(shè)無窮數(shù)列｛叫是首項(xiàng)為1,公差為d（duR）的等差數(shù)列，無窮數(shù)列也｝是首項(xiàng)為2,

公比為q（"N'）的等比數(shù)列，試求數(shù)列｛%｝與低｝具有關(guān)系P（A）的充要條件.

19.（2020?上海?模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于數(shù)列｛%｝,若存在muN',使得%.,=看對(duì)任意

1必d（k￡N'）都成立，則稱數(shù)列?｝為“吁折疊數(shù)列”.

⑴若4,=喝（〃W202L〃EN）〃=〃2-2019〃T（〃UM）,判斷數(shù)列｛《,｝,也｝是否是

“〃?折疊數(shù)列”，如果是，指出加的值；如果不是，請(qǐng)說明理由；

（2）若毛=q”（〃cM）,求所有的實(shí)數(shù)心使得數(shù)列｛七｝是3-折疊數(shù)列；

（3）給定常數(shù)〃cM,是否存在數(shù)列代｝，使得對(duì)所有MWN',｛%｝都是W時(shí)折疊數(shù)

列，且｛怎｝的各項(xiàng)中恰有P+1個(gè)不同的值，證明你的結(jié)論.

20.（2020?上海閔行?一模）己知數(shù)列｛%｝滿足

4=l,%=〃（4>l）,|%2一〃MT%「4|+d,〃GAr

（!）當(dāng)4=4=2時(shí)，寫出為所有可能的值；

（2）當(dāng)d=l時(shí)，若且%對(duì)任意〃wN?恒成立，求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式:

（3）記數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為■若｛陶｝，他分別構(gòu)成等差數(shù)列,求之.

題型三；不等式

一、解答題

1.（2021?上海市嘉定區(qū)第二中學(xué)高三期中）已知關(guān)于x的不等式上一＜0的解集為

x+2

不等式的解集為M

⑴若M=（-co,-2）u[-1,+^,求實(shí)數(shù)〃的值和解集N.

⑵若“xeN”是“xeM”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

2.（2020?上海?高三專題練習(xí)）解下列不等式;

2

(1)一<x+l；

x

(2)(x-1)-2..0；

(3)1恤0,2<1%1().2；

2

(4)log(r-n(x-l)>l；

3x-5

⑸?2；

x2+2x-3

（6）（XT）2（X+1）（X-2）

x十4

3.（2020?上海?高三專題練習(xí)）解不等式：2r2禺22&.

4.（2020?上海?高三專題練習(xí)）己知〃>0,/?>O,nwN.求證:

⑴a'

■十2+\[b;

⑵二二二

anbnab

5.（2016?上海市奉賢中學(xué)高三階段練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式（丘?六?4）（.1?4）>0的解

集為A,其中攵wR：

（1）若5c4,求實(shí)數(shù)4的取值范圍：

（2）求不等式的解集A；

（3）是否存在實(shí)數(shù)腔使得上述不等式的解集A中只有有限個(gè)整數(shù)？若存在，求出使得

A中整數(shù)個(gè)數(shù)最少的攵的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；

6.（2016?上海市晉元高級(jí)中學(xué)高三期中）關(guān)于x的不等式犬-（2。+1*+伍2+4-2）>0,

x2-（a2<0的解集分別為M和N

（1）試求M和N：

（2）若McN=0,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

7.（2021?上海市建平中學(xué)高三開學(xué)考試）提高隧道的車輛通行能力可改善附近路段高

峰期間的交通狀況.在一般情況下，隧道內(nèi)的車流速度箕（單位：千米/小時(shí)）和車流密度

60,0<x<20

%（單位：輛/千米）滿足關(guān)系式：X“k“八”（丘R）.研究表明：當(dāng)隧道

70-------,20<xM120

140T

內(nèi)的車流密度達(dá)到120輛/千米時(shí)造成堵塞，此時(shí)車道速度是0千米/小時(shí).

（1）若車流速度「不小于50千米/小時(shí)，求車流密度x的取值范圍；

（2）隧道內(nèi)的車流量y（單位時(shí)間內(nèi)通過隧道的車輛數(shù)，單位；輛/小時(shí)）滿足

求隧道內(nèi)車流量的最大值（精確到1輛/小時(shí)），并指出當(dāng)車流量最大時(shí)的車流密度（精確

到1輛/千米）.

8.（2022?上海?高三專題練習(xí)）對(duì)于數(shù)列｛?“｝,若從第二項(xiàng)起的每一項(xiàng)均大于該項(xiàng)之

前的所有項(xiàng)的和，則稱｛〃,為尸數(shù)列.

（1）若數(shù)列1,2,X,8是2數(shù)",，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；

(2)設(shè)數(shù)列4,生，明，…，金是首項(xiàng)為-1、公差為d的等差數(shù)列，若該數(shù)列是?數(shù)

列，求d的取值范圍；

(3)設(shè)無窮數(shù)列〔凡｝是首項(xiàng)為〃、公比為0的等比數(shù)列，有窮數(shù)列也J、匕｝是從中

取出部分項(xiàng)按原來的順序所組成的不同數(shù)列，其所有項(xiàng)和分別記為工、4,求證：當(dāng)。＞0

且工=4時(shí)，數(shù)列｛q｝不是P數(shù)列.

9.(2019?上海市建平中學(xué)高三階段練習(xí))設(shè)A是由〃個(gè)有序?qū)崝?shù)構(gòu)成的一個(gè)數(shù)組，記

作：A=(知你…,知…此),其中q(i=L2tLM稱為數(shù)組A的“元”，i稱為q的下標(biāo)，如

果數(shù)組S中的每個(gè)“元”都是來自數(shù)組A中不同下標(biāo)的“元”，則稱S為A的子數(shù)組.定義

兩個(gè)數(shù)組A=(q,&,…,2)，8=(4也,…也)的關(guān)系數(shù)為C(A,B)=q4+她+L也.

(1)若人=+；1),8=(7,123),設(shè)S是B的含有兩個(gè)“元”的子數(shù)組，求C(AS)的最

大值；

⑵若4二(日,弓,曰],B=(0MAC),且〃2+/+產(chǎn)=],3為8的含有三個(gè)“元”的子

數(shù)組，求GAS)的最大值；

(3)若數(shù)組A=(a，6,6)中的“元”滿足設(shè)數(shù)組B的〃=123,LM含有四

個(gè)“元”%，%，%，如,且編+%+%+*=*求A與或的所有含有三個(gè)“元”的子

數(shù)組的關(guān)系數(shù)C(A%)(m=1,2部,〃)的最大值.

題型四：解析幾何

1.(2022?上海?高三專題練習(xí))設(shè)集合4=｛/I直線與y=2X直線而交且以交點(diǎn)的橫坐

標(biāo)為斜率｝.

(1)點(diǎn)(-2,0)到A中哪條直線距離最??；

（2）設(shè)尸（-2M）,點(diǎn)P到A中直線距離的最小值設(shè)為d（。），求〉3）.

2.（2021?上海?高三專題練習(xí)）雙曲線1-4二1的實(shí)軸為A4，點(diǎn)尸是雙曲線上的一

ah"

個(gè)動(dòng)點(diǎn)，引A2QLA2PfA。與40的交點(diǎn)為Q,求點(diǎn)。的軌跡方程.

3.（2022?上海?高三專題練習(xí)）定義；己知橢圓5+4=1（〃＞?！?）,把圓

a2b~

f+）?=卓7稱為該橢圓的協(xié)同圓，設(shè)橢圓C:g+!=1的協(xié)同圓為圓。（。為坐標(biāo)系原

a~+b~42

點(diǎn)），試解決下列問題：

（1）寫出協(xié)同圓圓。的方程；

（2）設(shè)直線/是圓。的任意一條切線，且交橢圓C于A8兩點(diǎn)，求麗?麗的值：

（3）設(shè)M,N是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且OM_LON,過點(diǎn)。作第_LJW,交直線MN于

〃點(diǎn)，求證：點(diǎn)“總在某個(gè)定圓上，并寫出該定圓的方程.

題型五：計(jì)數(shù)原理

1.（2020?上海?復(fù)旦附中青浦分校高三階段練習(xí)）甲組有5名男同學(xué)，3名女同學(xué)；乙

組有6名男同學(xué)、2名女同學(xué).若從甲、乙兩組中各選出2名同學(xué)，則選出的4人中恰有2名女

同學(xué)的概率為.

2.（2022?上海市青浦高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)）如圖，由6x6=36個(gè)邊長(zhǎng)為1個(gè)單位的小

正方形組成一個(gè)大正方形.某機(jī)器人從浦出發(fā)，沿若小正方形的邊走到〃點(diǎn)，每次可以向

右走一個(gè)單位或者向上走一個(gè)單位.如果要求機(jī)器人不能接觸到線段A6,那么不同的走

法共有種.

3.（2020?上海?高三專題練習(xí)）分別從集合A=（1?3,5J）和集合8二（0,2,4,6,8）中各取兩

個(gè)數(shù)字，問：

（1）可組成多少個(gè)四位數(shù)？

（2）可組成多少個(gè)四位偶數(shù)？

2022年高考數(shù)學(xué)考前30天迅速提分復(fù)習(xí)方案（上海專用）

專題2.4分類與整合思想中的五種題型

題型一；三角函數(shù)與解三角形

1.（2022?上海?高三專題練習(xí)）己知函數(shù)/（1）二若/⑴在

區(qū)間比的最大值存在，記該最大值為K｛。｝,則滿足等式K｛［O,a）｝=3K｛&2〃］）的實(shí)數(shù)a

的取值集合是.

【答案】｛摩｝

【分析】先確定/㈤在區(qū)間［0M）上有最大值5且《不引，因此〃力在區(qū)間上國

上的最大值為比.然后按在＞=〃處或工二勿處取最大值由分類討論，數(shù)形結(jié)合，進(jìn)

33

而可得結(jié)果.

【詳解】依題意可知，8）在區(qū)間［0,力上有最大值必然為6且。若年｝所以/⑴

在區(qū)間口為］上的最大值為日.

⑴若/⑴在內(nèi)〃處取最大值且，即一空.〃+3指=@,解得a=f,此時(shí)

3%39

2a44,所以0=￥適合題意；

9o9

（2）若/⑴在x=〃處取最大值也，即32a=也，解得〃=2，此時(shí)萼，所以

33129

〃=合適合題意.

4乃7乃1

綜上可知，。的取值集合是丁司,

故答案為:

【點(diǎn)睛】美犍點(diǎn)點(diǎn)睛；本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于確定,但在區(qū)間［0,可上有最大值6,且

岑)，進(jìn)而可得/㈤在區(qū)間［。網(wǎng)上的最大值為手.

2.(2022?上海市松江二中高三開學(xué)考試)某市環(huán)保部門通過研究多年來該地區(qū)的大氣

污染狀況后，建立了一個(gè)預(yù)測(cè)該市一天中的大氣污染指標(biāo)/(，)與時(shí)間，(單位：小時(shí))之

間的關(guān)系的函數(shù)模型：/(f)=g(f)+卜+2”，問0,24),其中g(shù)(?；sin(舒-網(wǎng)｝代

表大氣中某類隨時(shí)間f變化的典型污染物質(zhì)的含量，參數(shù)。代表某個(gè)己測(cè)定的環(huán)境氣象指

標(biāo)，且。e0,1.現(xiàn)環(huán)保部門欲將的最大值M(a)作為每天的大氣環(huán)境綜合指數(shù)予以發(fā)

布.

⑴求g(E)的值域;

(2)若該市政府要求每天的大氣環(huán)境綜合指數(shù)不得超過2.0,請(qǐng)求出“(。)的表達(dá)式，并預(yù)

測(cè)該市目前的大氣環(huán)境綜合指數(shù)是否會(huì)超標(biāo)？請(qǐng)說明理由.

6'+—―

【答案】(1)出』：(2)M(o)=612,不會(huì)超標(biāo)，理由見解析.

23?--,—<?<-

3124

【分析】(1)由題設(shè)可得盤”網(wǎng)理由正弦函數(shù)的性質(zhì)求g(f)的值域即可.

(2)令〃=g⑺討論的大小關(guān)系求出力(〃)二|"-。|十2?的分段函數(shù)形式，

在討論〃的范圍求對(duì)應(yīng)”(〃)表達(dá)式，并判斷M(〃)的值域，由其最大值與2的大小關(guān)系判

斷是否會(huì)超標(biāo).

（1）由題設(shè)，l，T8?0,18],則和一18舊0,爭(zhēng),

日0，權(quán)即g?）的值域?yàn)橐?L

⑵由⑴知：〃二8⑺+白耳,電,則力（〃）=/。）=|〃一4十2?,

所以力（〃）二

3〃一〃

當(dāng)時(shí)，/"）="+〃在?口上遞增，故M（〃）=力（3=〃+3：

33666

I?此時(shí)在京）上M（小心=3*，在吟上

當(dāng)一產(chǎn)%(")=<

5

4+〃W〃4一

6

M(〃)=，(6=;

51,7

夕+一，一<a<—

7

故"(〃)=,6312

12.17/'

3a—,一<a<—

3124

綜上，M（a）=612,易知：M（a）<2?0恒成立，故該市目前的大氣環(huán)境綜合

3a--—<a<-

3i124

指數(shù)不會(huì)超標(biāo).

題型二：數(shù)列

1.（2022?上海-高三專題練習(xí)）若數(shù)列H},也}的通項(xiàng)公式分別為勺=（-1廣.％,

〃,=2+口一，且見〈僅對(duì)任意?恒成立，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍為

n

（）

A.[-2,1）B.一2,g）C.T；[D.[-1J）

【答案】B

【分析】由％〈々可得（-1廠次[。+￡|<2,分別討論〃為奇數(shù)和〃為偶數(shù)的情況，即可求解.

?-x/i+2019/iX

【詳解】因?yàn)榉?lt;"，則(—it202%4+兇即㈠廣則"一<2,

因?yàn)閷?duì)任意〃eN’恒成立，

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí),。>-2-1,則，2-1<-2,所以《2?2；

fl\n/max

1，1、133

當(dāng)〃為偶數(shù)吐a<2—?jiǎng)t2--?=2—；=彳，所以

nIwJmin222

故〃￡

故選:B

【點(diǎn)睛】本題考查由數(shù)列的不等式恒成立問題求參數(shù)范圍，考查分類討論思想.

2.(2020?上海閔行?一模)己知各項(xiàng)為正數(shù)的非常數(shù)數(shù)列｛能｝滿足。仲=町"，有以下

兩個(gè)結(jié)論:①若%>4，則數(shù)列｛〃.｝是遞增數(shù)列；②數(shù)列｛%｝奇數(shù)項(xiàng)是遞增數(shù)列則

()

A.①對(duì)②錯(cuò)B.①錯(cuò)②對(duì)C.①②均錯(cuò)誤D.①②均正確

【答案】D

【解析】按照4>1和0<%<1分類討論，分別判斷①②即可得解，

【詳解】?.?｛叫為各項(xiàng)為正數(shù)的非常數(shù)數(shù)列，，4>0且。產(chǎn)1,

⑴當(dāng)4>1時(shí)，顯然｛對(duì)｝為遞增數(shù)列，①②均正確；

⑵當(dāng)0<4<1時(shí)，生=妙w(4』),％=q"不滿足①的前提4>〃2；

%二七)=3嗎)，%二。J七，4“')二(%嗎)，

依此類推，%?%一|，%一2)，%ui?4z，叼J即偶數(shù)項(xiàng)遞減，奇數(shù)項(xiàng)遞增.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列遞推公式的應(yīng)用，考查了分類討論思想，屬于中檔題.

3.(2022?上海?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=d，sinR各項(xiàng)均不相等的數(shù)列滿足

1%%](i=l,2,3,….令尸(“Xx+z+L+X?).[/(J1)+/(X2)+L+/(%)](〃￡N*).給出下列

三個(gè)命題：(1)存在不少于3項(xiàng)的數(shù)列使得尸(〃)=0；(2)若數(shù)列的通項(xiàng)公式為

%=(-；)〃(”k"),則尸(2幻>0對(duì)AcN,恒成立；(3)若數(shù)列以｝是等差數(shù)列，則

”（〃）20對(duì)〃WN?恒成立，其中真命題的序號(hào)是（）

A.（1）（2）B.（1）（3）C.（2）（3）D.（1）（2）（3）

【答案】D

【解析】由題意，函數(shù)/。）二9.gm%是奇函數(shù)，只需考查函數(shù)在xw0,y的性質(zhì)，此時(shí)

），=/,y=sin*都是增函數(shù)，所以/（xX—sinx在xe0,y上也是增函數(shù)，即

時(shí)，（』+々）?［/（芭）+〃々）］＞0,對(duì)于（D，《百=一/〈（，々=0,即可判斷；對(duì)于

（2）,運(yùn)用等比數(shù)列求和公式和和三角函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷；對(duì)于（3）,運(yùn)用等差數(shù)

列求和公式，及不等式的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)/“）的單調(diào)性，即可判斷；

【詳解】由題意得f（-x）=（-X）2-sin（-x）=-x2-sinx=-f（x）,所以f（x）=』.而％是奇函

數(shù)，只需考查函數(shù)在彳e0,j的性質(zhì)，此時(shí)y=d,y=sinx都是增函數(shù)，所以

f（x）=Fsinx在xw0,y上也是增函數(shù)，即函數(shù)"r）=f.sinx在xw-y,y上也是增函

數(shù)，設(shè)不用《一宗5

若不+占＜0,則$＜-々，=即〃百）十〃再）＜0

若％+&＞0,則，"（片）＞，（-巧）=-/&），即f（』）+f（動(dòng)＞0

所以為+%2Ho時(shí)，（』+七）［/&）+『（巧）］＞0,

對(duì)于（1）,取-5￡百=-迎4宗＜2=0，"3）=。|+彳2+/＞"（玉）+/（G）+/（/）］=0，故

=-4sin2a+sina

=-8sinacosQ+sina=sina(l-8cosa)

又AEN*,知0<aK-,則sina>0,cos—Kcosa<1,則一7<1—8(：000K1—880，,

444

八孔(KHn.K.nx/2+\/6I

Qcos-=cos----=cos—cos—+sin—sin—=-------->-,

12U4；343448

又y=cosx在伉，］上單減，,cosUcos工，gpcos->-,/.l-8cos-<0

I2J412484

/產(chǎn)i/甲

/.sina(l-Seosa)<0t即-4sin-j+sin^-J<0,則/D+/（0）＜°，

由k的任意性可知，/a,)+/(x2)+L+/(x2t)<0,

又耳+&+L+&＜0，所以尸（2幻=（%+z+L+9&）?[/（%）+/（蒞）+L+/（0）]＞0,故

（2）正確;

對(duì)于（3）,數(shù)列｛/｝是等差數(shù)列，

若哥十七十…十4=°，則廣（"）=0;

若士十月＞0,即%＞』,又廣⑴是奇函數(shù)也是增函數(shù)有7a）＞f（r,）=-/aj可得

〃%）+/區(qū)）＞0：同理：

若W+Q0,可得〃%）+/（%）＞0；

若占+4-2＞0，可得/（/）+-＞0；

LL

相加可得:若％+Z+L+Z+0,可得/（%）十〃9）+L+/區(qū)）＞0,即/（〃））0：

同理若X.+W+L+&＜0,可得fCD+AzHL+/（兒）＜0,即理〃）＞0,故⑶正確;

故選：D.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)睛；本題考杳真假命題的判斷，關(guān)鍵是要理解新定義的函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用，考杳了

函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的問題，考杳了等差等比數(shù)列的性質(zhì)與應(yīng)用，考查了學(xué)生的邏輯推

理能力與運(yùn)算求解能力，屬于難題.

4.(2022?上海?高三專題練習(xí))對(duì)于數(shù)列｛〃“｝,如果存在最小的一個(gè)常數(shù)7(TwN,)，

使得對(duì)任意的正整數(shù)恒有能”=%成立，則稱數(shù)列｛凡｝是周期為r的周期數(shù)列.設(shè)

m=qT+Mm,q,T,rsN)數(shù)列前皿7>項(xiàng)的和分別記為，則三者的關(guān)系

式;已知數(shù)列｛叫的通項(xiàng)公式為凡二1"13|,那么滿足…+句句9=102

的正整數(shù)氏=.

【答案】S,“=qS7+S,無=2或A=5

【分析】利用前利用前〃項(xiàng)和的定義展開，然后每T項(xiàng)分一組，最后剩下一項(xiàng)，結(jié)合周期

數(shù)列的性質(zhì)即可求得￡=於7+S,：

先求出｛〃”｝的前”項(xiàng)和，然后將問題轉(zhuǎn)化為1句9Tl=1。2,通過討論攵413與2>13兩種

情況下求得方程的根，即可得到A的值.

【詳解】(1)因?yàn)閿?shù)列｛可｝是周期為T的周期數(shù)列，加=qT+「，則

之二(4+%+…+%)+(4+r+e+r+…+生丁)+…+(4+(g-i)r+a2^-i)r+,?'+%/

+SW+%"+…+ar+qT)=在+S「,

所以之=gS'+S,.

故答案為:s*qs1+s，.

⑵因?yàn)閝=|〃T3|,所以為=｛*",

所以當(dāng)〃W13時(shí)，｛?”｝的前〃項(xiàng)和為S.工亙要，

當(dāng)〃>13時(shí)，｛為｝的前〃項(xiàng)和為S.=品+竺皆”也=；(〃、25〃+312)；

滿足/十+…+%i9=102,

即4+%】+-+*=Si9?%二102,/N”.

而％=；319)2-25伙+19)+312]=*+雙+198),

127

2

(1)當(dāng)m一1413時(shí)，5i_,=--il+TA:-13,

1177

所以579-九廣5(/+13k+198)-(-”2十萬k-13)=102,

解得七二2或女二5；

⑵當(dāng)k-1>13時(shí)，5,_,=；[(%-1):-25(%-1)+312]=；街—27k+338).

所以S“i9-&T='(d+13A+198)-1伏2-27及+338)=102,

22

解得及不是整數(shù)，舍去，

故答案為；*=2或4=5.

【點(diǎn)睛】此題兩個(gè)小問，第一小問解題的關(guān)鍵是弄清楚數(shù)列求和的定義，利用定義將各前

〃項(xiàng)和求出化簡(jiǎn)即可；第二小問通項(xiàng)公式中含有絕對(duì)值符號(hào)，所以需要用到分類討論的思

想，分別求出鼠

5.(2022?上海師大附中高三階段練習(xí))己知但“｝是公差為或4>。)的等差數(shù)列，若存在

,sinx,+sinx,+sinx,+---4-sinx)=0

實(shí)數(shù)4，為，/，…，/滿足方程組：....伏，則d

qsin$+%sin々+%sin七+…+佝s,n對(duì)=25

的最小值為___________

【答案】7

4

【分析】把方程組中的狐都用色和d表示，求得d的表達(dá)式，根據(jù)三角函數(shù)有界性可得出

答案.

【詳解】解：把方程組中的&都用生和d表示得：

(a；-4J)sinXj+(%-3J)sinXj+(%-2J,in玉+...+(%+4J)sinXj=25,

把sin而+疝占+,,,+$in而=0代入得；

,25

d=---------------------------------------------------------,

-4sin%-3sinx2-2sin￡-sin&十sin七+2§畝七十3sin七十4sin為

要使d最小，則-43訪％-3向/+..+4sin%要最大,

因?yàn)閟in芯+sinjv2+...+sin^,=0,

所以sin.q=0,

sin%[=sinx)=sinx3=sinxA=-l,sinx6=sinx,=sin=sin/=1時(shí)分母取最大值20

所以公"

所以d的最小值為:，

4

故答案為：

4

6.(2022?上海楊浦?二模)已知a為實(shí)數(shù)，數(shù)列｛%｝滿足：①4二。：②

"“+尸:=若存在一個(gè)非零常數(shù)AN'，對(duì)任意〃eN'，心『f都成

立，則稱數(shù)列｛%｝為周期數(shù)列.

(1)當(dāng)〃=3時(shí)，求4+4+〃3+〃4的值；

(2)求證:存在正整數(shù)〃，使得044V3；

⑶設(shè)S”是數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，是否存在實(shí)數(shù)d滿足；①數(shù)列｛4｝為周期數(shù)列；②存在正

奇數(shù)h使得以二2女.若存在，求出所有a的可能值：若不存在，說明理由.

【答案】(1)8(2)證明見解析⑶存在，2

【分析】(1)根據(jù)題意分別求出4，〃2，%，4,即可得解：

(2)當(dāng)?！?時(shí)，勺乜=4-3.可知在數(shù)列｛4｝中直到第一個(gè)小于等于3的項(xiàng)出現(xiàn)之前，數(shù)

列是以。為首項(xiàng)，-3為公差的遞減的等差數(shù)列,寫出通項(xiàng)公式，可得當(dāng)〃足夠大時(shí)，

總可以找到〃，使04?！?3,當(dāng)d3,易證得04凡S3：

(3)分〃(3和。>3兩種情況討論，結(jié)合(2)可得當(dāng)〃>3時(shí)，不合題意，再根據(jù)當(dāng)〃(3

時(shí)，數(shù)列的周期性，即可得出結(jié)論.

⑴解：當(dāng)a=3時(shí)，q=3,q=4-3=1必=4-1=34=4-3=1,

所以4+4+6+/=8；

⑵證明：當(dāng)。>3時(shí)，。7=〃“一3,

所以，在數(shù)列｛凡｝中直到第一個(gè)小于等于3的項(xiàng)出現(xiàn)之前，數(shù)列｛凡｝是以。為首項(xiàng)，-3為公

差的遞減的等差數(shù)列，

即a?=?+(?-1)(-3)=a+3-3n,

所以，當(dāng)〃足夠大時(shí)，總可以找到"，使0?為M3,

當(dāng)。=3時(shí)，則存在〃=1,使得0"”M3,

當(dāng)〃<3時(shí)，則存在〃=1,使得0Sa.W3,

綜上所述存在正整數(shù)〃，使得?！斗?3；

(3)解；當(dāng)時(shí)，ava1=4-ai,a^=a],ai=4-a]1

故此時(shí)數(shù)列｛q｝是以2為周期的周期數(shù)列，

當(dāng)。>3時(shí)，則4>3,

由（2）得，存在正整數(shù)〃，使得00%&3,

因此此時(shí)不存在不存在％二q,

所以此時(shí)數(shù)列數(shù)列｛4｝不是周期數(shù)列，

所以〃S3時(shí)，數(shù)列｛〃“｝是以2為周期的周期數(shù)列,

a｝=a,a2=4-at

所以S?向二〃（4十里）十4二4〃十a(chǎn),

又因&=2&,

所以4〃+a=2（2〃+l）,

所以Q=2,

所以存在〃=2,使得&二2火.

7.（2022?上海寶山?一模）己知函數(shù)f（x）=2-|x|,無窮數(shù)列kJ滿足4M=〃％）,

（1）若q=2,寫出數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式（不必證明）;

（2）若4>0,且《，生，4成等比數(shù)列，求為的值；問m,是否為等比數(shù)列，并說明理

由;

（3）證明：4,生，L,L成等差數(shù)列的充要條件是4=1.

2,〃為奇數(shù)

【答案】

：0,〃為偶數(shù)：

⑵4=1，為等比數(shù)列；S不為等比數(shù)列，理由見解析;

（3）證明見解析.

【分析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系寫出前幾項(xiàng)，直接得到通項(xiàng)公式；

（2）0<4$2時(shí)，由《，的，&成等比數(shù)列可求出4=1判斷數(shù)列即可，&>2時(shí)同理可

求出％=2+&,由等比數(shù)列定義判斷即可；

（3）結(jié)合（2）先證明充分性，再分別討論0<a.<2,4>2證明必要性即可.

（1）

因?yàn)榉?尸/（凡），所以《=0,4=2,“4=0,

2.為奇數(shù)

所以4=,

0,”為偶數(shù);

⑵

a](0<A)<2)

因?yàn)椤?=2-聞=2-悶=2-|2-q|二?4-4(4之2：

當(dāng)0<qS2時(shí)，由《=4x%=>(2-4)'=。；=>4=1，

所以4=。2二%目，

所以。=1,即4=1為等比數(shù)列；

2

當(dāng)4>2時(shí)，由=4xa3=>(2-a1)=a1(4-aI)=>a)=2+72(?1二2-也舍),

所以叼=-72,0,=2->/2,a4=>/2,

...a4E42-72

因?yàn)椤埂龆猺^-=-r-

〃32—5/2〃2—J2

所以數(shù)列｛4｝不是等比數(shù)列;

綜上，當(dāng)0<%42時(shí),SJ是等比數(shù)列,當(dāng)1>2時(shí),｛%)不是等比數(shù)列;

(3)

充分性:當(dāng)4=1時(shí),由⑵知〃“=1,此時(shí)｛%)為等差數(shù)列;

必要性:當(dāng)440時(shí)，4=2+4，所以d=4_q=2,

所以，數(shù)列｛qj為遞增數(shù)列，

易知，存在4>0,此時(shí)d=4「4=2-2(<2,與[=2矛盾，舍去;

當(dāng)0<qM2時(shí),由物〃q+%n2(2-4)=2qna]=l,所以

所以，d=l,即4=1為等差數(shù)列；

當(dāng)%>2時(shí)，由2a2=a]+%n2(2-q)=a[+(4-q)=>q=0與q=1不符，舍去；

綜上，處,生，L,七，L成等差數(shù)列的充要條件是4=1.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：注意在涉及數(shù)列的證明求解過程中，分類討論方法的應(yīng)用，本題求解

過程一定要分別考慮。的范圍對(duì)解題的影響，分為0〈〃降2,q>2,q￡0去考慮問題即

可.

8.(2022?上海?高三專題練習(xí))對(duì)于數(shù)列｛七｝,若存在meM,使得七>1二七對(duì)任意

1?小2朋-1伍wAT)都成立,則稱數(shù)列｛5｝為“川-折疊數(shù)列”.

(1)若可二|25〃-200|(〃eN)判斷數(shù)列｛叫是否是“，〃-折疊數(shù)列”，如果是，指出川

的值，如果不是，請(qǐng)說明理由;

(2)若乙=求所有的實(shí)數(shù)4,使得數(shù)列｛七｝是3-折疊數(shù)列；

(3)給定常數(shù)pcN",是否存在數(shù)列上｝,使得對(duì)所有meN"｛川都是P〃”折疊數(shù)列，

且｛4｝的各項(xiàng)中恰有P+1個(gè)不同的值，請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)｛《｝是“切-折疊數(shù)列"，加=8：(2)夕=0或或9二-1：(3)存在，

證明見解析.

【分析】(1)結(jié)合給的定義列出關(guān)于陽的方程，判斷方程是否有解，可判斷數(shù)列｛勺｝是

否是“機(jī)-折疊數(shù)列”，

(2)根據(jù)題中的定義，列方程得到=《、再討論q是否為o可得出結(jié)果，

(3)只需列舉出例子即可證明，結(jié)合定義，數(shù)列｛4｝的圖像有無數(shù)條對(duì)稱軸，可聯(lián)想三

角函數(shù)求解，設(shè)%二8§生兒結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性與周期性即可證明

P

【詳解】解；⑴若存在使得%此=玉對(duì)任意1dd(AeN')都成立，可知

數(shù)列｛七｝在14〃42/?-1內(nèi)關(guān)于〃二方對(duì)稱即可,

200-25〃,1W〃<8,〃WN*

因?yàn)橐?|25〃-2(X)K〃￡N")=.

25〃-200.〃28,〃wN*

有｛q｝在I?〃w2x8-l=15內(nèi)關(guān)于〃=8對(duì)稱，

所以m=8,即是8-折疊數(shù)列,

(2)要使通項(xiàng)公為x“二q"(〃wM)的數(shù)列是3-折疊數(shù)列，只要(5)"="，

當(dāng)夕=0時(shí)，/=0,顯然成立，

當(dāng)940時(shí)，q6『,得二i.產(chǎn)“=1(ge｛l,2,3,4,5｝),

所以4=1或4=-1,

綜上。=0,4=1或4=-1,

(3)對(duì)給定的常數(shù)pwM,｛七｝都是戶用-折疊數(shù)列，則々有多條對(duì)稱軸，其中丫=/)帆都

是數(shù)列代｝的對(duì)稱軸，

設(shè)￡=8S2x,由金=加,用wN'得對(duì)稱軸為且匕的周期為2p,

PP

滿足給定常數(shù)pcM,使得對(duì)所有防cM,上｝都是