專題6.9 線段與角中的八大經(jīng)典模型-2024-2025學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)舉一反三系列（人教版2024）（解析版）

第第頁(yè)專題6.9線段與角中的八大經(jīng)典模型【人教版2024】TOC\o"1-3"\h\u【模型1單中點(diǎn)模型】 1【模型2相鄰雙中點(diǎn)模型】 3【模型3相間雙中點(diǎn)模型】 8【模型4半角模型】 14【模型5角疊角模型】 21【模型6角夾角模型】 26【模型7單角平分線模型】 32【模型8雙角平分線模型】 35模型1：?jiǎn)沃悬c(diǎn)模型條件:C為AB的中點(diǎn)．結(jié)論:AC=BC=12AB，AB=2AC=2BC條件:C為AB上一點(diǎn)，D為BC的中點(diǎn)．結(jié)論:AD=12(AC+AB)，【模型1單中點(diǎn)模型】【例1】（23-24七年級(jí)·安徽合肥·階段練習(xí)）如圖，已知B，C兩點(diǎn)把線段AD分成2:5:3三部分，M為AD的中點(diǎn)，BM=6cm，求CM【答案】4【分析】本題主要考查了線段的和差，中點(diǎn)的定義，先根據(jù)題意設(shè)可設(shè)AB=2x?cm，BC=5x?cm，CD=3x?cm，即可表示AD，再根據(jù)中點(diǎn)的定義表示出AM，進(jìn)而表示出BM=AM?AB，再結(jié)合BM【詳解】解：由B，C兩點(diǎn)把線段AD分成2:5:3三部分，可設(shè)AB=2x?cm，BC=5x?cm，所以AD=AB+BC+CD=10x?cm因?yàn)镸是AD的中點(diǎn)，所以AM=MD=1所以BM=AM?AB=3x?cm因?yàn)锽M=6?cm所以3x=6，解得x=2，所以CM=MD?CD=5x?3x=2x=2×2=4cm【變式1-1】（23-24七年級(jí)·吉林長(zhǎng)春·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)C在線段AB上，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，如果CD=4cm，AB=13cm，求線段

【答案】5【分析】本題考查了中點(diǎn)的性質(zhì)及線段的和差，根據(jù)圖形得出線段之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)，可求出AC，再根據(jù)線段的和差即可得出答案．【詳解】解：∵點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，CD=4cm∴AC=2CD=2×4=8cm∵AB=13cm∴BC=AB?AC=13?8=5cm【變式1-2】（2024七年級(jí)·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)B，D都在線段AC上，AB=18，點(diǎn)D是線段AB的中點(diǎn)，BD=3BC，求AC的長(zhǎng)．【答案】21【分析】本題考查了與線段中點(diǎn)有關(guān)的計(jì)算、線段的和差，先求出BD=9，再結(jié)合BD=3BC得出BC=3，即可得解．【詳解】解：因?yàn)锳B=18，點(diǎn)D是線段AB的中點(diǎn)，所以BD=18÷2=9．因?yàn)锽D=3BC，所以BC=9÷3=3，所以AC=AB+BC=18+3=21．【變式1-3】（2024七年級(jí)·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，AB=10，點(diǎn)C是線段AB延長(zhǎng)線上的動(dòng)點(diǎn)，在線段BC上取一點(diǎn)N使得BN=2CN，點(diǎn)M為線段AC的中點(diǎn)，則MN?1

【答案】是定值，5【分析】此題考查了線段的和差運(yùn)算，線段的中點(diǎn)有關(guān)的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握線段的和差關(guān)系．根據(jù)題意設(shè)CN=x，則BN=2CN=2x，由點(diǎn)M為線段AC的中點(diǎn)，表示出MC的長(zhǎng)度，進(jìn)而表示出MN的長(zhǎng)度，然后代入MN?1【詳解】解：是定值．理由：設(shè)CN=x，則BN=2CN=2x，所以BC=3x，所以AC=AB+BC=10+3x．因?yàn)辄c(diǎn)M為線段AC的中點(diǎn)．所以MC=1所以MN=MC?CN=5+3所以MN?1模型2：相鄰雙中點(diǎn)模型條件：C為AB上一點(diǎn)，E，F(xiàn)分別為AC，BC的中點(diǎn)．結(jié)論：EF=12條件：C為AB上一點(diǎn)，E，F(xiàn)分別為AB,BC的中點(diǎn)．結(jié)論：EF=12【模型2相鄰雙中點(diǎn)模型】【例2】（23-24七年級(jí)·廣東廣州·期末）如圖，點(diǎn)C是線段AB上的一點(diǎn)，點(diǎn)M是線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N是線段BC的中點(diǎn)．(1)如果AB=12cm，AM=5cm，求(2)如果MN=8cm，求AB【答案】(1)2(2)16【分析】本題考查了線段中點(diǎn)有關(guān)的計(jì)算．（1）先求出AC，再求出BC，根據(jù)線段的中點(diǎn)求出BC的長(zhǎng)即可；（2）求出BC=2CN，AC=2CM，把MN=CN+MC=8cm【詳解】（1）解：∵點(diǎn)M是線段AC的中點(diǎn)，∴AC=2AM，∵AM=5cm∴AC=10cm∵AB=12cm∴BC=AB?AC=2cm（2）解：∵點(diǎn)M是線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N是線段BC的中點(diǎn)，∴BC=2NC，AC=2MC，∵M(jìn)N=NC+MC=8cm∴AB=BC+AC=2MN=2×8=16cm【變式2-1】（24-25七年級(jí)·河北衡水·期中）如圖，已知數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)所表示的數(shù)分別為?2和8．(1)若點(diǎn)A，B分別以每秒1和3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左移動(dòng)，直接寫出移動(dòng)多少秒時(shí)，A，B兩點(diǎn)的距離恰好為8？(2)若P為射線BA上的一點(diǎn)（點(diǎn)P不與A，B兩點(diǎn)重合），M為PA的中點(diǎn)，N為PB的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在射線BA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段MN的長(zhǎng)度是否發(fā)生改變？若不變，請(qǐng)你畫出圖形，并求出線段MN的長(zhǎng)；若改變，請(qǐng)說明理由．(3)在第（2）問的條件下，點(diǎn)P所表示的數(shù)是多少時(shí)，PN=3PM？【答案】(1)當(dāng)移動(dòng)1秒或9秒時(shí)，A，B兩點(diǎn)的距離恰好為8(2)線段MN的長(zhǎng)度不發(fā)生變化，其值為5，理由見詳解(3)點(diǎn)P所表示的數(shù)為12或?7，【分析】（1）設(shè)A、B兩點(diǎn)移動(dòng)的時(shí)間為ts，然后根據(jù)題意可分當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A（2）此題可分兩種情況討論，即分MN=MP+NP和MN=MP?NP兩種情況求得MN的長(zhǎng)即可得到答案；（3）分當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)和點(diǎn)P在點(diǎn)A的左側(cè)運(yùn)動(dòng)兩種情況求得AP的長(zhǎng)，從而求得點(diǎn)P所表示的數(shù)．【詳解】（1）解：設(shè)A、B兩點(diǎn)移動(dòng)的時(shí)間為ts，由題意可知ts后點(diǎn)A、B在數(shù)軸上所表示的數(shù)分別為當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)，則有8?3t??2?t=8，解得：當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)，則有?2?t?8?3t=8，解得：綜上所述：當(dāng)移動(dòng)1秒或9秒時(shí)，A，B兩點(diǎn)的距離恰好為8；（2）解：線段MN的長(zhǎng)度不發(fā)生變化，其值為5．∵M(jìn)為PA的中點(diǎn)，N為PB的中點(diǎn)，∴MP=1分下面兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)（如圖）．MN=MP+NP===5；②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A的左側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（如圖）．MN=NP?MP===5．綜上所述，線段MN的長(zhǎng)度不發(fā)生變化，其值為5．（3）解：當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)PN=3PM，∵M(jìn)P=1∴AP=1又∵AP+BP=10，解得：AP=14AB=52當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A的左側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)PN=3PM，同理得：AP=1∵BP?AP=10，解得：AP=1此時(shí)點(diǎn)P所表示的數(shù)為?7．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用及數(shù)軸的知識(shí)，由于引進(jìn)了數(shù)軸，我們把數(shù)和點(diǎn)對(duì)應(yīng)起來(lái)，也就是把“數(shù)”和“形”結(jié)合起來(lái)，二者互相補(bǔ)充，相輔相成，把很多復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問題，在學(xué)習(xí)中要注意培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．【變式2-2】（2024七年級(jí)·全國(guó)·專題練習(xí)）（1）如圖，已知AB=12cm，點(diǎn)C為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，D、E分別是AC、BC①若點(diǎn)C恰為AB的中點(diǎn)，則DE=②若AC=4cm，則DE=（2）如圖，點(diǎn)C為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，D、E分別是AC、BC的中點(diǎn)；若AB=a，則DE=；【答案】（1）①6；②6；（2）a【分析】本題考查了兩點(diǎn)間的距離、線段的和差、線段的中點(diǎn)等知識(shí)點(diǎn)，掌握同一條直線上的兩條線段的中點(diǎn)間的距離等于這兩條線段和的一半成為解題的關(guān)鍵．（1）①根據(jù)線段的中點(diǎn)性質(zhì)可得AC=CB=12AB=6、CD=12AC=3、CE=1（2）根據(jù)線段的中點(diǎn)性質(zhì)可得AD=DC，【詳解】解：（1）①∵AB=12cm，點(diǎn)C恰為AB∴AC=CB=1∵D、E分別是AC、BC的中點(diǎn),∴CD=12AC=3∴DE=3+3=6(cm②∵AB=12cm，AC=4∴CB=12?4=8cm∵D、E分別是AC、BC的中點(diǎn),∴CD=12AC=2∴DE=2+4=6(cm故答案為：6，6；（2）∵點(diǎn)D、E分別是AC、BC的中點(diǎn)，∴AD=DC，∴DE=DC+CE=1故答案為：12【變式2-3】（23-24七年級(jí)·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知點(diǎn)B在直線AP上，點(diǎn)M，N分別是線段AB,BP的中點(diǎn)．(1)如圖①，點(diǎn)B在線段AP上，AP=15，求MN的長(zhǎng)；(2)如圖②，點(diǎn)B在線段AP的延長(zhǎng)線上，AM?PN=3.5，點(diǎn)C為直線AB上一點(diǎn)，CA+CP=13，求CP的長(zhǎng)．【答案】(1)MN=(2)3或10【分析】本題考查與線段中點(diǎn)有關(guān)的計(jì)算：（1）根據(jù)中點(diǎn)的定義，推出MN=1（2）根據(jù)中點(diǎn)的定義和線段的和差關(guān)系求出AP的長(zhǎng)，分點(diǎn)C在點(diǎn)P的右側(cè)，點(diǎn)C在點(diǎn)A，P之間，點(diǎn)C在點(diǎn)A的左側(cè)，三種情況進(jìn)行討論求解即可．【詳解】（1）解：由題意，得BM=12AB所以MN=BM+BN=1因?yàn)锳P=15，所以MN=15（2）由題意，得AM=12AB所以AM?PN=1所以AP=7．當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)P的右側(cè)時(shí)，CA+CP=(CP+AP)+CP=13，即(CP+7)+CP=13，解得CP=3；當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A，P之間時(shí)，CA+CP=AP=7≠13，不符合題意；當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)，CA+CP=CA+(CA+AP)=13，即CA+(CA+7)=13，解得CA=3，所以CP=CA+AP=3+7=10．綜上所述，CP的長(zhǎng)為3或10．模型3：相間雙中點(diǎn)模型條件:E，F(xiàn)分別為AC，DB的中點(diǎn)．結(jié)論:EF=12(AB+CD)=12(a+b【模型3相間雙中點(diǎn)模型】【例3】（23-24七年級(jí)·四川自貢·期末）如圖，A，B，C，D是直線l上的四個(gè)點(diǎn)，M，N分別是AB，CD的中點(diǎn)．(1)如果MB=2cm，NC=1.8cm，BC=5cm，則AD(2)如果MN=10cm，BC=6cm，則AD的長(zhǎng)為___________(3)如果MN=a，BC=b，求AD的長(zhǎng)，并說明理由．【答案】(1)12.6；(2)14；(3)2a?b，見解析．【分析】（1）根據(jù)線段的和，可得MB+CN的長(zhǎng)，根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)，可得AB與MB的關(guān)系，CD與CN的關(guān)系，根據(jù)線段的和，可得答案；（2）先根據(jù)線段的和與差，計(jì)算出BM+CN的長(zhǎng)，再根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)，可得AB與MB的關(guān)系，CD與CN的關(guān)系，根據(jù)線段的和，可得答案；（3）根據(jù)（2）的解題過程，即可解答；此題主要考查了線段中點(diǎn)的定義，線段的計(jì)算，理解線段中點(diǎn)的定義，熟練掌握線段的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：∵M(jìn)B=2cm，NC=1.8∴MB+NC=3.8cm∵M(jìn)，N分別是AB，CD的中點(diǎn)，∴AB=2BM，CD=2CN，∴AB+CD=2BM+2CN=2BM+CN∴AD=AB+CD+BC=7.6+5=12.6cm故答案為：12.6；（2）解：∵M(jìn)N=10cm，BC=6∴BM+CN=MN?BC=10?6=4cm∵M(jìn)，N分別是AB，CD的中點(diǎn)，∴AB=2BM，CD=2CN，∴AB+CD=2BM+2CN=2BM+CN∴AD=AB+CD+BC=8+6=14cm故答案為：14；（3）解：∵M(jìn)N=a，BC=b，∴BM+CN=a?b，∵M(jìn)，N分別是AB，CD的中點(diǎn)，∴AB=2BM，CD=2CN，∴AB+CD=2BM+2CN=2BM+CN∴AB+CD=2a?b∵AD=AB+CD+BC，∴AD=2a?b【變式3-1】（24-25七年級(jí)·廣東江門·期中）已知線段AB=6，延長(zhǎng)AB至點(diǎn)C，使BC=AB，反向延長(zhǎng)線段AB至D，使AD=AB(1)按題意畫出圖形，并求出CD的長(zhǎng)；(2)若M、N分別是AD、BC的中點(diǎn)，求MN的長(zhǎng)．【答案】(1)18(2)12【分析】本題考查了線段的和與差以及線段中點(diǎn)的意義，結(jié)合圖形解題會(huì)變得形象直觀．（1）根據(jù)題意畫出圖形．可知AD=AB=BC，且CD=AD+AB+BC=18；（2）根據(jù)線段中點(diǎn)的意義，根據(jù)線段的和與差進(jìn)一步解決問題．【詳解】（1）解：畫圖如下：∵BC=AB=6，∴CD=AD+AB+BD=AB+AB+AB=3×6=18；（2）如圖：∵M(jìn)、N分別是AD、BC的中點(diǎn)，∴AM=12AD=∴MN=AM+AB+BN=3+6+3=12．【變式3-2】（23-24七年級(jí)·湖北武漢·階段練習(xí)）已知，點(diǎn)D為線段AB的中點(diǎn)．

(1)如圖1，若AB=4cm，點(diǎn)C為線段AD的中點(diǎn)，則BC=________cm(2)如圖2，若點(diǎn)E在線段AB上，且EB=5DE，求AEEB(3)若AB=a，點(diǎn)E在直線AB上，且BE=b(a>b)，點(diǎn)F為BE的中點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)骄縁D與a、b之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)3(2)35或(3)FD=12【分析】本題主要考查了線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算，線段之間的數(shù)量關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握中點(diǎn)的定義，數(shù)形結(jié)合．（1）根據(jù)線段中點(diǎn)定義，數(shù)形結(jié)合，進(jìn)行計(jì)算即可；（2）分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)D的左側(cè)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)D的右側(cè)時(shí)，分別畫出圖形，求出結(jié)果即可；（3）分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)點(diǎn)E在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上時(shí)，分別畫出圖形，求出結(jié)果即可．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)D為線段AB的中點(diǎn)，AB=4cm∴AD=BD=1∵點(diǎn)C為線段AD的中點(diǎn)，∴AC=CD=1∴BC=BD+CD=1+2=3cm故答案為：3．（2）解：∵點(diǎn)D為線段AB的中點(diǎn)，∴AD=BD，設(shè)DE=x，則EB=5x當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)D的左側(cè)時(shí)，如圖所示：

∴AD=BD=EB?DE=5x?x=4x，∴AE=AD?ED=4x?x=3x，∴AEEB當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)D的右側(cè)時(shí)，如圖所示：

∴AD=BD=EB+DE=5x+x=6x，∴AE=AD+ED=6x+x=7x，∴AEEB綜上分析可知，AEEB=3（3）解：∵點(diǎn)D為線段AB的中點(diǎn)，AB=a，∴AD=BD=1∵F為BE的中點(diǎn)，BE=b，∴BF=EF=1當(dāng)點(diǎn)E在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖所示：

此時(shí)FD=DB+BF=1當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上時(shí)，如圖所示：

此時(shí)FD=BD?BF=1綜上分析可知，F(xiàn)D=12a?b【變式3-3】（2024七年級(jí)·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖①，已知線段AB=m，CD=n，線段CD在射線AB上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)），且m?14(1)若BC=4，求AD的長(zhǎng)．(2)當(dāng)CD在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖②所示，若點(diǎn)M,N分別是線段AD,BC的中點(diǎn)，求MN的長(zhǎng)．(3)當(dāng)CD運(yùn)動(dòng)到某一時(shí)刻，使得點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)，若點(diǎn)P是線段AB延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)，請(qǐng)判斷PA+PBPC【答案】(1)17或25(2)7(3)是，見解析【分析】此題主要考查了線段中點(diǎn)的定義，線段的計(jì)算，理解線段中點(diǎn)的定義，熟練掌握線段的計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵．先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出m=14，n=7，則AB=14，CD=7．（1）若BC=4，則有以下兩種情況，①當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，則BD=CD?BC=3，根據(jù)AD=AB+BD可得AD的長(zhǎng)；②當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，根據(jù)AD=AB+BC+CD可得AD的長(zhǎng)；（2）設(shè)BC=a，則AD=AB+BC+CD=21+a，根據(jù)線段中點(diǎn)定義得，AM=12AD=1221+a，（3）設(shè)PB=t，根據(jù)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)得點(diǎn)C在線段AB上，再根據(jù)點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上畫出圖形，結(jié)合圖形得PA=14+t,PC=7+t，則PA+PB=27+t【詳解】（1）解：∵m?14≥0，7?n2≥0∴m?14=0，7?n=0，解得：m=14，n=7，∴AB=m=14，CD=n=7，若BC=4，則有以下兩種情況，①當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，如圖1①所示：∵AB=14，CD=7，BC=4，∴BD=CD?BC=7?4=3，∴AD=AB+BD=14+3=17；②當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，如圖1②所示：∵AB=14，CD=7，BC=4，∴AD=AB+BC+CD=14+4+7=25；綜上所述：線段AD的長(zhǎng)為17或25．（2）解：設(shè)BC=a，如圖2所示：∴AD=AB+BC+CD=14+a+7=21+a，∵點(diǎn)M,N分別是線段AD,BC的中點(diǎn)，∴AM=12AD=∴BM=AM?AB=1∴MN=BN?BM=1（3）解：PA+PBPC設(shè)PB=t，∵點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)，∴點(diǎn)C在線段AB上，又∵點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上，如圖3所示：∴PA=AB+PD=14+t，∴PA+PB=14+t+t=27+t∴PA+PBPC∴PA+PBPC模型4：半角模型條件:∠AOC=α,∠BOC=β(α>β),∠EOF=α+結(jié)論:∠AOE+∠BOF=α+β2,【模型4半角模型】【例4】（23-24七年級(jí)·貴州六盤水·期末）如圖①所示，∠AOB=120°，將直角三角板的直角頂點(diǎn)放置在O點(diǎn)，OC平分∠AON．(1)若∠COM=35°，則∠AOM=______，∠BON=______．(2)如果∠COM=α，∠BON=β，試判斷α，β的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)如圖②當(dāng)直角三角板繞著O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，使得OM在∠AOC的內(nèi)部，ON在∠BOC的外部，若∠COM=α，∠BON=β，α，β是否還存在（2）中的數(shù)量關(guān)系，若存在，請(qǐng)說明理由，若不存在，請(qǐng)求出α，β的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)20°；10°(2)2α?β=60°；理由見解析(3)不存在，此時(shí)α，β滿足2α+β=60°；理由見解析【分析】本題主要考查了結(jié)合圖形中角的計(jì)算，角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，熟練掌握角平分線定義．（1）先根據(jù)∠COM=35°，求出∠CON=90°?35°=55°，根據(jù)角平分線定義得出∠AOC=∠CON=55°，然后求出結(jié)果即可；（2）根據(jù)∠MON=90°，∠COM=α，得出∠CON=90°?α，根據(jù)角平分線定義得出∠AON=2∠CON=290°?α=180°?2α，根據(jù)（3）根據(jù)∠MON=90°，∠COM=α，得出∠CON=90°?α，根據(jù)角平分線定義得出∠AON=2∠CON=290°?α=180°?2α，根據(jù)∠AON?∠AOB=∠BON，得出【詳解】（1）解：∵∠COM=35°，∴∠CON=90°?35°=55°，∵OC平分∠AON，∴∠AOC=∠CON=55°，∴∠AOM=55°?35°=20°，∠AON=2∠CON=110°，∴∠BON=∠AOB?∠AON=120°?110°=10°；（2）解：2α?β=60°，理由如下：∵∠MON=90°，∠COM=α，∴∠CON=90°?α，又∵OC平分∠AON，∴∠AON=2∠CON=290°?α∵∠AOB=∠AON+∠BON且∠AOB=120°，∴120°=180°?2α+β，即2α?β=60°．（3）解：不存在，此時(shí)α，β滿足2α+β=60°；理由如下：∵∠MON=90°，∠COM=α，∴∠CON=90°?α，又∵OC平分∠AON，∴∠AON=2∠CON=290°?α∵∠BON=β，∠AOB=120°，∠AON?∠AOB=∠BON，即180°?2α?120°=β，故2α+β=60°．【變式4-1】（23-24七年級(jí)·福建龍巖·期末）如圖，在平面內(nèi)的五條射線OA、OB、OC、OD、OE中，射線OB、OC、OD是逆時(shí)針方向排列，∠AOB=2∠COD=2θ0°<θ<90°，射線OE平分(1)當(dāng)射線OC、OD都在∠AOB內(nèi)部，且θ=72°時(shí)，如圖1．①若∠DOE=20°，則∠BOC=______°；②若射線OD平分∠AOE，則∠DOE=______°；(2)當(dāng)射線OC、OD分別在∠AOB內(nèi)、外部時(shí)，如圖2，求證：∠BOC=2∠DOE；(3)當(dāng)射線OC、OD都在∠AOB外部時(shí)，如圖3，若∠AOD=∠AOB，則∠BOC=______（用含θ的式子表示）．【答案】(1)①40°；②24°(2)見解析(3)3θ【分析】本題考查了角平分線的定義，角的和差計(jì)算：（1）根據(jù)角平分線的定義可得∠AOC=2∠2=2∠3+∠4，①根據(jù)題意可得∠2=∠COD?∠DOE=52°，從而得到∠AOC=2∠2=104°，即可求解；②根據(jù)射線OD平分∠AOE，可得∠AOE=2∠3=2∠4，進(jìn)而得到∠COD=3∠3=72°（2）根據(jù)角平分線的定義可得∠AOC=2∠2=2∠3，從而得到∠DOE=∠COD?∠COE=θ?∠2，∠BOC=∠AOB?∠AOC=2θ?2∠2=2θ?∠2（3）根據(jù)∠AOB=2∠COD=2θ0°<θ<90°∠AOD=∠AOB=2θ，從而得到∠AOC=∠AOD?∠COD=θ，即可求解．【詳解】（1）解：∵射線OE平分∠AOC,∴∠AOC=2∠2=2∠3+∠4①∵θ=72°，∠DOE=20°，∴∠AOB=2∠COD=2θ=144°,∠DOE=∠3=20°，∴∠2=∠COD?∠DOE=72°?20°=52°，∴∠AOC=2∠2=104°，∴∠BOC=∠AOB?∠AOC=40°，故答案為：40°②∵射線OD平分∠AOE，∴∠AOE=2∠3=2∠4，∴∠COD=∠2+∠3=3∠3=72°，∴∠DOE=24°；故答案為：24°（2）解：∵射線OE平分∠AOC，∴∠AOC=2∠2=2∠3，∴∠DOE=∠COD?∠COE=θ?∠2，∴∠BOC=∠AOB?∠AOC=2θ?2∠2=2θ?∠2∴∠BOC=2∠DOE=2θ?∠2（3）解：∵∠AOB=2∠COD=2θ0°<θ<90°∴∠AOD=∠AOB=2θ，∴∠AOC=∠AOD?∠COD=θ，∴∠BOC=∠AOB+∠AOC=3θ．【變式4-2】（23-24七年級(jí)·安徽池州·期末）（1）如圖1，已知∠AOB內(nèi)部有三條射線，ON平分∠BOC，OM平分∠AOC，若∠AOB=60°，求∠AOM+∠BON的度數(shù)；（2）若將（1）中的條件“ON平分∠BOC，OM平分∠AOC”改為“∠NOB=14∠COB，∠COM=34（3）如圖2，若ON、OC在∠AOB的外部時(shí)，ON平分∠BOC，OM平分∠AOC，當(dāng)∠AOB=α，∠BOC=β時(shí)，猜想：∠MON與β的大小有關(guān)系嗎？如果沒有，指出結(jié)論并說明理由．【答案】（1）30°；（2）14α；（3）沒有關(guān)系，【分析】（1）根據(jù)角平分線性質(zhì)可求∠MON，根據(jù)∠AOM+∠BON=∠AOB?∠MON即可解答；（2）由題意可得∠MON=∠MOC+∠NOC=34(∠AOC+∠BOC)=（3）根據(jù)角平分線性質(zhì)可得∠MOC=12∠AOC=12【詳解】（1）∵ON平分∠BOC，OM平分∠AOC，∴∠COM=12∠AOC∴∠MON=∠COM+∠CON=1∴∠AOM+∠BON=∠AOB?∠MON=60°?30°=30°；（2）∵∠AOB=α，∠NOB=14∠COB∴∠MON=∠MOC+∠NOC=3∴∠AOM+∠BON=α?3（3）與β的大小無(wú)關(guān)．理由：∵∠AOB=α，∠BOC=β，∴∠AOC=α+β，∵OM是∠AOC的平分線，ON是∠BOC的平分線，∴∴∠MOC=12∠AOC=∴∠MON=∠MOC?∠NOC=1即∠MON=1∠MON與β的大小無(wú)關(guān)?！军c(diǎn)睛】此題考查了角的計(jì)算，以及角平分線，解決本題的關(guān)鍵是利用角的和與差．【變式4-3】（23-24七年級(jí)·北京西城·期末）已知：∠AOB=120°，射線OC是平面內(nèi)一條動(dòng)射線，射線OC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到射線OD，OE平分∠AOD．

圖1圖2(1)如圖1，當(dāng)射線OC在∠AOB外部時(shí)，若∠COE=70°，求∠BOD的度數(shù)；(2)如圖2，當(dāng)射線OC、OD都在∠AOB內(nèi)部時(shí)，若∠COE=α，則∠BOD=（用含α的式子表示）；(3)若OF平分∠BOC，直接寫出∠EOF度數(shù)0°<∠BOC<180°，【答案】(1)80°(2)2α?60°(3)15°或165°【分析】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)和角度和差的關(guān)系，（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，角平分線的定義以即可計(jì)算出結(jié)果．（2）根據(jù)角平分線的定義和角的和差關(guān)系計(jì)算即可．（3）分類討論：當(dāng)OC、OD位于∠AOB內(nèi)部；當(dāng)OC或OD位于∠AOB內(nèi)部；當(dāng)OC和OD位于∠AOB外部，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)和角度之間和差的關(guān)系即可求得．【詳解】（1）解：∵射線OC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到射線OD∴∠COD=90°∴∠EOD=∠COD?∠COE=90°?70°=20°，∵OE平分∠AOD，∴∠AOE=∠EOD=20°，∴∠BOD=∠AOB?∠AOE?∠EOD=120°?20°?20°=80°．（2）∵∠COE=α∴∠DOE=∠COD?COE=90°?α，∵OE平分∠AOD，∴∠AOE=∠DOE=90°?α，∴∠BOD=120°?∠DOE?∠AOE=120°?2（3）①當(dāng)OC、OD位于∠AOB內(nèi)部時(shí)，如圖，

設(shè)∠AOC=α，∵射線OC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到射線OD，∴∠AOD=∠AOC+∠COD=α+90°，∠BOC=∠AOB?∠AOC=120°?α，∵OE平分∠AOD，OF平分∠BOC，∴∠EOD=12∠AOD=則∠EOF=∠EOD+∠FOC?∠COD=α+90°②當(dāng)OC或OD位于∠AOB內(nèi)部時(shí)，如圖，

設(shè)∠AOC=β，則∠AOD=β+90°，∠BOC=120°?β，∵OE平分∠AOD，OF平分∠BOC，∴∠EOD=12∠AOD=則∠EOF=∠EOD+∠FOC?∠COD=β+90°

設(shè)∠AOC=γ，則∠AOD=90°?γ，∠BOC=γ+120°，∵OE平分∠AOD，OF平分∠BOC，∴∠EOD=12∠AOD=則∠EOF=∠EOD+∠FOC?∠COD=90°?γ③當(dāng)OC和OD位于∠AOB外部時(shí)，如圖，

設(shè)∠AOC=α，則∠AOD=∠AOC?∠COD=90°?α，∠BOC=360°?∠AOB?∠AOC=240°?α，∵OE平分∠AOD，OF平分∠BOC，∴∠EOD=12∠AOD=則∠EOF=∠EOD+∠FOC+故∠EOF度數(shù)15°或165°．模型5：角疊角模型條件:∠AOC=α，∠BOD=β.結(jié)論:∠AOB+∠COD=α+β.【模型5角疊角模型】【例5】（23-24七年級(jí)·浙江·課后作業(yè)）已知∠ABC=∠DBE，射線BD在∠ABC的內(nèi)部，按要求完成下列各小題．

嘗試探究：如圖1，已知∠ABC=90°，當(dāng)BD是∠ABC的平分線時(shí)，∠ABE+∠DBC的度數(shù)為______；初步應(yīng)用：如圖2，已知∠ABC=90°，若BD不是∠ABC的平分線，求∠ABE+∠DBC的度數(shù)；拓展提升：如圖3，若∠ABC=45°時(shí)，試判斷∠ABE與∠DBC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】180°;180°;90°.【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義和垂直定義得∠CBE=45°，ABE+∠DBC=∠ABC+∠CBE+∠DBC；（2）由∠ABE+∠DBC=∠ABC+∠CBE+∠DBC=∠ABC+∠DBE可得；（3）由∠DBE=∠ABC=45°，得∠ABE+∠DBC=∠ABC+∠CBE+∠DBC=∠ABC+∠DBE.【詳解】嘗試探究：∵∠ABC=90°，BD平分∠ABC，所以∠DBC=45°，因?yàn)椤螪BE=∠ABC=90°，∠DBC+∠CBE=∠DBE所以∠CBE=45°．所以∠ABE+∠DBC=∠ABC+∠CBE+∠DBC=90°+45°+45°=180°．初步應(yīng)用：因?yàn)椤螪BE=∠ABC=90°，

所以∠ABE+∠DBC=∠ABC+∠CBE+∠DBC=∠ABC+∠DBE=180°．答：∠ABE+∠DBC的度數(shù)為180°．拓展提升：∠ABE+∠DBC=90°．理由：

因?yàn)椤螪BE=∠ABC=45°，所以∠ABE+∠DBC=∠ABC+∠CBE+∠DBC=∠ABC+∠DBE=90°．【點(diǎn)睛】考核知識(shí)點(diǎn)：角平分線定義.理解角的關(guān)系是關(guān)鍵.【變式5-1】（23-24七年級(jí)·福建廈門·期末）如圖，已知∠AOB與∠BOC互補(bǔ)．(1)若∠AOB=120°，求∠BOC的度數(shù)；(2)若OE為∠AOB的角平分線，射線OC在∠BOE的內(nèi)部，射線OD在∠AOE的內(nèi)部，且滿足∠COD=2∠AOD，探究∠BOD與【答案】(1)∠BOC=60°；(2)2∠DOE+∠BOD=180°．理由見解析【分析】（1）根據(jù)∠AOB與∠BOC互補(bǔ)，即可求解；（2）設(shè)∠AOD=α，∠BOC=β，求得3α+2β=180°，利用角平分線的定義以及角的和差求得2∠DOE=α+β，∠BOD=2α+β，據(jù)此即可求解．【詳解】（1）解：∵∠AOB與∠BOC互補(bǔ)，∠AOB=120°，∴∠BOC=180°?∠AOB=60°；（2）解：2∠DOE+∠BOD=180°．理由如下，設(shè)∠AOD=α，∠BOC=β，∴∠COD=2∠AOD=2α，∠AOB+∠BOC=α+2α+β+β=3α+2β=180°，∵OE為∠AOB的角平分線，∴∠AOE=1∴∠DOE=∠AOE?∠AOD=123α+β∠BOD=∠COD+∠BOC=2α+β，∴2∠DOE+∠BOD=3α+2β=180°．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的定義，補(bǔ)角的意義，掌握角平分線的定義以及補(bǔ)角的定義是正確解答的前提．【變式5-2】（23-24七年級(jí)·廣西崇左·期末）如圖，一副三角尺AOB與COD的直角頂點(diǎn)O重合在一起．(1)∠AOD+∠BOC=_____________；(2)試判斷∠AOC與∠BOD的大小關(guān)系，并說明理由；(3)若∠AOD=4∠BOC，OE為∠BOC的平分線，求∠AOD，∠DOE，∠AOE的度數(shù)．【答案】(1)180°(2)∠AOC=∠BOD，理由見解析(3)∠AOD=144°；∠DOE=72°；∠AOE=72°【分析】（1）根據(jù)題意可得∠AOB=∠COD=90°，從而得到∠AOD+∠BOC=∠AOB+∠COD=180°，即可；（2）根據(jù)∠AOB=∠COD=90°，可得∠AOB?∠BOC=∠COD?∠BOC，即可；（3）由（1）得：∠AOD+∠BOC=180°，再由∠AOD=4∠BOC，可得∠BOC=36°，可求出∠AOD的度數(shù)，再由OE為∠BOC的平分線，可得∠COE=∠BOE=12∠BOC=18°，然后根據(jù)∠DOE=∠COD?∠COE【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOD+∠BOC=∠AOB+∠BOD+∠BOC=∠AOB+∠COD=180°；故答案為：180°（2）解：∠AOC=∠BOD，理由如下：∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOB?∠BOC=∠COD?∠BOC，即∠AOC=∠BOD；（3）解：由（1）得：∠AOD+∠BOC=180°，∵∠AOD=4∠BOC，∴4∠BOC+∠BOC=180°，解得：∠BOC=36°，∴∠AOD=4∠BOC=4×36°=144°；∵OE為∠BOC的平分線，∴∠COE=∠BOE=1∴∠DOE=∠COD?∠COE=72°；∠AOE=∠AOB?∠BOE=72°．【點(diǎn)睛】本題考查余角與補(bǔ)角以及角平分線，根據(jù)題意得到∠AOD+∠BOC=180°是正確解答的前提．【變式5-3】（23-24七年級(jí)·湖北武漢·期末）已知∠ABC＝∠DBE，射線BD在∠ABC的內(nèi)部．（1）如圖1，已知∠ABC═90°，當(dāng)BD是∠ABC的平分線時(shí)，求∠ABE的度數(shù)．（2）如圖2，已知∠ABE與∠CBE互補(bǔ)，∠DBC：∠CBE＝1：3，求∠ABE的度數(shù)；（3）如圖3，若∠ABC＝45°時(shí)，直接寫出∠ABE與∠DBC之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）∠ABE＝135°；（2）∠ABE＝126°；（3）∠ABE+∠DBC＝90°．理由見解析.【分析】（1）利用角平分線的性質(zhì)，先求出∠DBC、∠CBE的度數(shù)，再計(jì)算∠ABE的度數(shù)；（2）由已知條件得到∠ABD=∠CBE，設(shè)∠DBC=α，∠CBE=3α，得到∠ABD=3α，∠ABE=3α+α+3α=7α，根據(jù)題意列方程即可得到結(jié)論；（3）把∠ABE+∠DBC轉(zhuǎn)化為∠ABC+∠DBE，代入計(jì)算得出結(jié)論．【詳解】解：（1）∵∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，∴∠DBC＝45°，∵∠DBE＝∠ABC＝90°，∠DBC+∠CBE＝∠DBE，∴∠CBE＝45°．∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°+45°＝135°．故答案為135°．（2）∵∠ABC＝∠DBE，∴∠ABD＝∠CBE，∵∠DBC：∠CBE＝1：3，∴設(shè)∠DBC＝α，∠CBE＝3α，∴∠ABD＝3α，∠ABE＝3α+α+3α＝7α，∵∠ABE與∠CBE互補(bǔ)，∴7α+3α＝180°，∴α＝18°，∴∠ABE＝126°；（3）∠ABE+∠DBC＝90°．理由：∵∠DBE＝∠ABC＝45°，∴∠ABE+∠DBC＝∠ABC+∠CBE+∠DBC＝∠ABC+∠DBE＝90°．【點(diǎn)睛】本題考查角的和差關(guān)系及角的相關(guān)計(jì)算．通過觀察圖形，把∠ABE+∠DBC轉(zhuǎn)化為∠ABC+∠DBE是解決本題的關(guān)鍵．模型6：角夾角模型條件:∠AOC=n∠EOC，∠BOD=n∠DOF.結(jié)論:∠EOF=1n[∠AOB+(n-1)∠【模型6角夾角模型】【例6】（23-24七年級(jí)·陜西咸陽(yáng)·階段練習(xí)）【問題背景】新定義：如果∠MON的內(nèi)部有一條射線OP將∠MON分成的兩個(gè)角，其中一個(gè)角是另一個(gè)角的n倍，那么我們稱射線OP為∠MON的n倍分線，例如，如圖1，∠MOP=4∠NOP，則OP為∠MON的四倍分線．∠NOQ=4∠MOQ，則OQ也是∠MON的四倍分線．【問題再現(xiàn)】（1）若∠AOB=60°，OP為∠AOB的二倍分線，且∠BOP>∠POA，求∠BOP的度數(shù)；【問題推廣】（2）如圖2，點(diǎn)A，O，B在同一條直線上，OC為直線AB上方的一條射線．若OP，OQ分別為∠AOC和∠BOC的三倍分線（∠COP>∠POA，∠COQ>∠QOB）．①若∠AOC=120°，求∠POQ的度數(shù)；②若∠AOC=α，∠POQ的度數(shù)是否發(fā)生變化？若不發(fā)生變化，請(qǐng)寫出計(jì)算過程；若發(fā)生變化，請(qǐng)說明理由．【拓展提升】（3）如圖3，點(diǎn)A，O，B在同一條直線上，OC為直線AB上方的一條射線．已知∠MON=90°，且OM，ON所在射線恰好分別為∠AOC和∠BOC的三倍分線（∠MOC>∠AOM，∠BON>∠CON），求【答案】（1）40°；（2）①135°；②不變，見解析；（3）90°【分析】本題考查了新定義，幾何圖形中角度的計(jì)算．（1）根據(jù)題意可得：∠BOP=2∠AOP，∠BOP+∠AOP=60°，進(jìn)而得出答案；（2）①由題意可得：∠COP=3∠AOP，∠COQ=3∠BOQ，根據(jù)∠AOC=120°，得出∠AOP=90°，∠BOQ=45°，再求解即可；②不變，根據(jù)題意得出∠COP=34∠AOC（3）設(shè)∠MOC=α，則∠NOC=90°?α，根據(jù)題意得出∠COM=3∠AOM，∠BON=3∠CON，列出方程13α+α+90°?α+390°?α=180°，求得【詳解】解：（1）因?yàn)椤螦OB=60°，OP為∠AOB的二倍分線，且∠BOP>∠POA，所以∠BOP=2∠AOP，∠BOP+∠AOP=60°，所以∠AOP=20°．所以∠BOP=40°．（2）①因?yàn)镺P，OQ分別為∠AOC和∠BOC的三倍分線（∠COP>∠POA，∠COQ>∠QOB），所以∠COP=3∠AOP，∠COQ=3∠BOQ，因?yàn)椤螦OC=120°，所以∠BOC=60°，所以∠AOP=30°，∠BOQ=15，所以∠COP=90°，∠COQ=45°，所以∠POQ=∠POC+∠COQ=135°．②不變．理由如下：因?yàn)镺P，OQ分別為∠AOC和∠BOC的三倍分線，∠COP>∠POA，∠COQ>∠QOB，所以∠COP=34∠AOC所以∠POQ=∠COP+∠COQ==3（3）設(shè)∠MOC=α，因?yàn)椤螹ON=90°，所以∠NOC=90°?α，因?yàn)镺M，ON所在射線恰好分別為∠AOC和∠BOC的三倍分線，∠MOC>∠AOM，所以∠COM=3∠AOM，∠BON=3∠CON，因?yàn)椤螦OM+∠COM+∠CON+∠BON=180°，所以13所以α=67.5°，所以∠MOC=67.5°，∠MOA=22.5°，所以∠AOC=90【變式6-1】（23-24七年級(jí)·浙江杭州·期末）如圖，OC平分∠AOB，OD、OE三等分∠AOB，已知∠COE=15°，求∠AOB的度數(shù)．【答案】90°【分析】本題考查了角平分線及三等分線的定義，角的和差，由角平分線及三等分線的定義可得∠BOC=12∠AOB，∠BOE=【詳解】解：OC平分∠AOB，∴∠BOC=1又∵OD、OE三等分∠AOB，∴∠BOE=1∴∠COE=∠BOC?∠BOE=1∴∠AOB=6∠COE=6×15°=90°．【變式6-2】（23-24七年級(jí)·河北廊坊·期末）如圖，點(diǎn)A，O，B在一條直線上，∠AOC=3∠COD，OE平分∠BOD．(1)若∠COD=10°，求∠AOC的余角的度數(shù)．(2)若∠AOC=α，求∠COE的度數(shù)（用含α的式子表示）．【答案】(1)60°(2)90°?【分析】（1）先利用∠AOC與∠COD的倍數(shù)關(guān)系求出∠AOC的度數(shù)，然后利用余角的定義求解即可；（2）先計(jì)算出∠COD，∠BOD的度數(shù)，然后利用角平分線的定義求出∠DOE的度數(shù)，最后利用角的和差關(guān)系求解即可．【詳解】（1）解：∵∠AOC=3∠COD，∠COD=10°，∴∠AOC=30°，∴∠AOC的余角的度數(shù)為90°?30°=60°（2）解：∵∠AOC=α，∠AOC=3∠COD，∴∠COD=13α又OE平分∠BOD，∴∠DOE=1∴∠COE=∠COD+∠DOE=1【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的有關(guān)計(jì)算，余角的定義等知識(shí)，正確識(shí)圖，找準(zhǔn)角的有關(guān)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式6-3】（23-24七年級(jí)·山東濱州·期末）已知∠AOB=120°，在∠AOB內(nèi)部作射線OC，使得(1)如圖，在∠BOC內(nèi)部作射線ON，使得∠BON=3∠CON；作射線OM平分∠AOC，求∠MON的度數(shù)；(2)如果過點(diǎn)O作射線OD，使得2∠AOD=3∠BOD，則∠COD的度數(shù)為______．（不需寫演推過程）【答案】(1)∠MON=40°(2)32°或176°【分析】（1）根據(jù)題意可求出∠AOC=13∠AOB=40°，∠BOC=23∠AOB=80°．再根據(jù)∠BON=3∠CON和OM平分（2）分類討論：當(dāng)OD在∠AOB內(nèi)部時(shí)，設(shè)∠BOD=x°，則∠AOD=32x°，由∠BOD+∠AOD=∠AOB=120°，可列出關(guān)于x的方程，解出x的值，即得出∠BOD的大小，最后由∠COD=∠BOC?∠BOD計(jì)算即可；②當(dāng)OD在∠AOB外部時(shí)，設(shè)∠BOD=y°，則∠AOD=32y°，由∠BOD+∠AOD+∠AOB=360°，可列出關(guān)于y的方程，解出【詳解】（1）解：∵∠AOB=∠AOC+∠BOC=120°，∴∠AOC=1∵∠BOC=∠BON+∠CON=80°，∠BON=3∠CON，∴∠CON=1∵OM平分∠AOC，∴∠COM=1∴∠MON=∠COM+∠CON=40°．（2）分類討論：①如圖，當(dāng)OD在∠AOB內(nèi)部時(shí)，設(shè)∠BOD=x°，∵2∠AOD=3∠BOD，∴∠AOD=3∵∠BOD+∠AOD=∠AOB=120°，∴x°+3解得：x=48，∴∠BOD=48°．∵∠BOC=80°，∴∠COD=80°?48°=32°；②如圖，當(dāng)OD在∠AOB外部時(shí)，設(shè)∠BOD=y°，則∠AOD=3∵∠BOD+∠AOD+∠AOB=360°，∴y°+3解得：y=96，∴∠BOD=96°．∴∠COD=80°+96°=176°．故答案為：32°或176°．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的有關(guān)計(jì)算，角的n等分點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算，一元一次方程的應(yīng)用．利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想是解題關(guān)鍵．模型7：?jiǎn)谓瞧椒志€模型條件:OM平分∠AOB.結(jié)論:∠AOM=∠BOM=12條件:射線OC在∠AOB內(nèi)，OM平分∠BOC.結(jié)論:∠AOB+∠AOC=2∠AOM.【模型7單角平分線模型】【例7】（2024七年級(jí)·黑龍江·專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)O是直線AB上的一點(diǎn)，∠AOE=∠FOD=90°，OB平分∠COD．(1)試說明∠AOF=∠EOD；(2)求∠EOC+∠AOF的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)180°【分析】本題主要考查余角、補(bǔ)角，角平分線的性質(zhì)，幾何中角度的計(jì)算，理解圖示中角度的關(guān)系，掌握余角、補(bǔ)角的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)同角的余角相等即可求解；（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)，同角的余角相等可得，∠EOF=∠BOC，則∠EOC=∠EOB+∠BOC=∠EOB+∠EOF=∠BOF，由此即可求解．【詳解】（1）解：∵∠AOE=∠FOD=90°，∴∠AOF+∠EOF=∠EOD+∠EOF，∴∠AOF=∠EOD．（2）解：∵OB平分∠COD，∴∠BOC=∠DOB，∵∠AOE=90°，∴∠BOE=90°，∴∠BOD+∠DOE=∠EOF+∠DOE=90°，∴∠BOD=∠EOF，∴∠BOC=∠EOF，∵∠EOC=∠EOB+∠BOC，∴∠EOC=∠EOB+∠EOF，∴∠EOC+∠AOF＝【變式7-1】（23-24七年級(jí)·陜西西安·期末）如圖，OB，OE是∠AOC內(nèi)的兩條射線，OD平分∠AOB，且∠COE=2∠BOE．若∠AOD=15°，∠AOC=120°，求∠DOE的度數(shù)．【答案】∠DOE=45°【分析】本題主要考查了角平分線的定義，幾何圖形中的角度計(jì)算．先根據(jù)角平分線的定義得出∠AOB=2∠AOD=30°，∠BOD=∠AOD=15°，再根據(jù)∠AOC=120°，算出∠BOC=∠AOC?∠AOB=90°，根據(jù)∠COE=2∠BOE，得出∠BOE=30°，根據(jù)∠DOE=∠DOB+∠BOE=15°+30°=45°求出結(jié)果即可．【詳解】解：∵OD平分∠AOB，∠AOD=15°，∴∠AOB=2∠AOD=30°，∠BOD=∠AOD=15°，∵∠AOC=120°，∴∠BOC=∠AOC?∠AOB=90°，∵∠COE=2∠BOE，又∵∠BOE+∠EOC=∠BOC=90°，∴3∠BOE=90°，∴∠BOE=30°，∴∠DOE=∠DOB+∠BOE=15°+30°=45°．【變式7-2】（23-24七年級(jí)·甘肅武威·開學(xué)考試）如圖，∠ABC=60°，∠ABD=145°，BE平分∠ABC．求∠DBE的度數(shù)．【答案】115°【分析】本題主要考查了角平分線的定義，幾何圖形中角的計(jì)算，先根據(jù)角平分線定義得出∠ABE=1【詳解】解：∵BE平分∠ABC，∠ABC=60°，∴∠ABE=1∴∠DBE=∠ABD?∠ABE=145°?30°=115°．【變式7-3】（23-24七年級(jí)·吉林·期末）已知∠AOB=∠COD=90°，OE平分∠BOC．(1)如圖，若∠AOC=30°，則∠DOE的度數(shù)是______°；（直接寫出答案）(2)將（1）中的條件“∠AOC=30°”改為“∠AOC是銳角”，猜想∠DOE與∠AOC的關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)60(2)∠DOE=45°+1【分析】本題主要考查了幾何圖形中角度的計(jì)算，角平分線的定義：（1）先根據(jù)角之間的關(guān)系得到∠BOC=60°，再由角平分線的定義得到∠COE=30°，則∠DOE=∠COD?∠COE=60°；（2）仿照（1）求解即可．【詳解】（1）解：∵∠AOC=30°，∠AOB=90°，∴∠BOC=∠AOB?∠AOC=60°，∵OE平分∠BOC，∴∠COE=1∵∠COD=90°，∴∠DOE=∠COD?∠COE=60°，故答案為：60；（2）解：∠DOE=45°+1∵∠AOB=90°，∴∠BOC=∠AOB?∠AOC=90°?∠AOC，∵OE平分∠BOC，∴∠COE=1∵∠COD=90°，∴∠DOE=∠COD?∠COE=90°?45°+1模型8：雙角平分線模型條件:射線OC在∠AOB內(nèi)，OM，ON分別平分∠BOC和∠AOC.結(jié)論:∠MON=12條件:射線OC在∠AOB外，OM，ON分別平分∠BOC和∠AOC結(jié)論:∠MON=12【模型8雙角平分線模型】【例8】（2024七年級(jí)·全國(guó)·專題練習(xí)）已知：∠BOC在∠AOB的外部，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，OD平分∠AOC，∠AOE=30°，∠BOD=10°，試求∠COF的度數(shù)．【答案】40°或20°【分析】本題主要考查角度的和差計(jì)算，角平分線的性質(zhì)，理解題意作圖分析，掌握角平分線的性質(zhì)計(jì)算角度的方法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意作圖，分類討論：當(dāng)∠BOD在∠AOB外部時(shí)，可得∠AOB=2∠AOE=60°，則∠AOD=∠COD=∠AOB+∠BOD=70°，∠BOC=∠COD+∠BOD=80°，由OF平分∠BOC，即可求