新高考數(shù)學(xué)題型全歸納之排列組合專題16分解法模型和最短路徑問題含答案及解析

專題16分解法模型和最短路徑問題類型1：分解模型例1．對33000分解質(zhì)因數(shù)得，則的正偶數(shù)因數(shù)的個數(shù)是（）A．48 B．72 C．64 D．96例2．5400的正約數(shù)有（）個A．48 B．46 C．36 D．38例3.30030能被多少個不同的偶數(shù)整除類型2：最短路徑問題例1．有一種走“方格迷宮”游戲，游戲規(guī)則是每次水平或豎直走動一個方格，走過的方格不能重復(fù)，只要有一個方格不同即為不同走法．現(xiàn)有如圖的方格迷宮，圖中的實線不能穿過，則從入口走到出口共有多少種不同走法？（）A．6B．8C．10D．12例2．如圖，某城市中，、兩地有整齊的道路網(wǎng)，若規(guī)定只能向東或向北兩個方向沿途中路線前進，則從到不同的走法共有（）A．10 B．13 C．15 D．25例3．如圖，螞蟻從A沿著長方體的棱以的方向行走至B，不同的行走路線有()A．6條 B．7條 C．8條 D．9條例4．如圖所示為某市各旅游景點的分布圖，圖中一支箭頭表示一段有方向的路，試計算順著箭頭方向，從A到H可走的不同的旅游路線的條數(shù)為（）A．14 B．15 C．16 D．17例5．小張從家出發(fā)去看望生病的同學(xué)，他需要先去水果店買水果，然后去花店買花，最后到達(dá)醫(yī)院.相關(guān)的地點都標(biāo)在如圖所示的網(wǎng)格紙上，網(wǎng)格線是道路，則小張所走路程最短的走法的種數(shù)為（）A．72 B．56 C．48 D．40例6．某人設(shè)計一項單人游戲，規(guī)則如下：先將一棋子放在如圖所示正方形（邊長為3個單位）的頂點處，然后通過擲骰子來確定棋子沿正方形的邊按逆時針方向行走的單位，如果擲出的點數(shù)為，則棋子就按逆時針方向行走個單位，一直循環(huán)下去.則某人拋擲三次次骰子后棋子恰好又回到點處的所有不同走法共有（）A．21種 B．24種 C．25種 D．27種例7．如下圖，從A點出發(fā)每次只能向上或者向右走一步，則到達(dá)B點的路徑的條數(shù)為________.例8．如圖，甲從A到B，乙從C到D，兩人每次都只能向上或者向右走一格，如果兩個人的線路不相交，則稱這兩個人的路徑為一對孤立路，那么不同的孤立路一共有________對.（用數(shù)字作答）例9．如圖所示線路圖，機器人從A地經(jīng)B地走到C地，最近的走法共有________種.（用數(shù)字作答）例10．如圖所示，機器人明明從A地移到B地，每次只移動一個單位長度，則明明從A移到B最近的走法共有____種.例11．如圖所示，機器人明明從A地移到B地，每次只移動一個單位長度，則明明從A移到B最近的走法共有_____種．例12．如圖，機器人亮亮沿著單位網(wǎng)格，從地移動到地，每次只移動一個單位長度，則亮亮從移動到最近的走法共有____種．例13．某城市街區(qū)如下圖所示,其中實線表示馬路,如果只能在馬路上行走,則從點到點的最短路徑的走法有___種．例14．某游戲中，一個珠子從如圖所示的通道由上至下滑下，從最下面的六個出口出來，規(guī)定猜中出口者為勝．如果你在該游戲中，猜得珠子從出口3出來，那么你取勝的概率為A． B． C． D．以上都不對例15．如圖所示，某城鎮(zhèn)由7條東西方向的街道和6條南北方向的街道組成，其中有一個池塘，街道在此變成一個菱形的環(huán)池大道．現(xiàn)要從城鎮(zhèn)的處走到處，使所走的路程最短，最多可以有45種不同的走法．例16．如圖所示，某城鎮(zhèn)由6條東西方向的街道和6條南北方向的街道組成，其中有一個池塘，街道在此變成一個菱形的環(huán)池大道，現(xiàn)要從城鎮(zhèn)的處走到處，使所走的路程最短，最多可以有35種不同的走法．例17．某個游戲中，一個珠子按如圖所示的通道，由上至下的滑下，從最下面的六個出口出來，規(guī)定猜中者為勝，如果某人在該游戲中，猜得珠子從3號口出來，那么他取勝的概率為．例18．在的方格中進行跳棋游戲．規(guī)定每跳一步只能向左，或向右，或向上，不能向下，且一次連續(xù)行走的路徑中不能重復(fù)經(jīng)過同一小方格．設(shè)表示從左下角“〇”位置開始，連續(xù)跳到右上角“☆”位置結(jié)束的所有不同路徑的條數(shù)．如圖，給出了時的一條路徑．則（3）9；．例19．某城市由條東西方向的街道和條南北方向的街道組成一個矩形街道網(wǎng)，要從處走到處，使所走的路程最短，有多少種不同的走法？

專題16分解法模型和最短路徑問題類型1：分解模型例1．對33000分解質(zhì)因數(shù)得，則的正偶數(shù)因數(shù)的個數(shù)是（）A．48 B．72 C．64 D．96【解析】的因數(shù)由若干個（共有四種情況），若干個（共有兩種情況），若干個（共有四種情況），若干個（共有兩種情況），由分步計數(shù)乘法原理可得的因數(shù)共有，不含的共有，正偶數(shù)因數(shù)的個數(shù)有個，即的正偶數(shù)因數(shù)的個數(shù)是，故選A.例2．5400的正約數(shù)有（）個A．48 B．46 C．36 D．38【解析】，5400的正約數(shù)一定是由2的冪與3的冪和5的冪相乘的結(jié)果，所以正約數(shù)個數(shù)為．故選：A．例3.30030能被多少個不同的偶數(shù)整除【解析】先把30030分解成質(zhì)因數(shù)的乘積形式30030=2×3×5×7×11×13，依題意可知偶因數(shù)必先取2,再從其余5個因數(shù)中任取若干個組成乘積，所有的偶因數(shù)為：.類型2：最短路徑問題例1．有一種走“方格迷宮”游戲，游戲規(guī)則是每次水平或豎直走動一個方格，走過的方格不能重復(fù)，只要有一個方格不同即為不同走法．現(xiàn)有如圖的方格迷宮，圖中的實線不能穿過，則從入口走到出口共有多少種不同走法？（）A．6B．8C．10D．12【解析】如圖，①從入口﹣1﹣3﹣5﹣6﹣0﹣出口，②從入口﹣1﹣3﹣4﹣6﹣0﹣出口，③從入口﹣1﹣3﹣4﹣7﹣8﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口，④從入口﹣1﹣3﹣4﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口，⑤從入口﹣2﹣3﹣4﹣6﹣0﹣出口，⑥從入口﹣2﹣3﹣5﹣6﹣0﹣出口，⑦從入口﹣2﹣3﹣4﹣7﹣8﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口，⑧從入口﹣2﹣3﹣4﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口，共有8種，故選：B．例2．如圖，某城市中，、兩地有整齊的道路網(wǎng)，若規(guī)定只能向東或向北兩個方向沿途中路線前進，則從到不同的走法共有（）A．10 B．13 C．15 D．25【解析】因為只能向東或向北兩個方向向北走的路有5條，向東走的路有3條走路時向北走的路有5種結(jié)果，向東走的路有3種結(jié)果根據(jù)分步計數(shù)原理知共有種結(jié)果，選C例3．如圖，螞蟻從A沿著長方體的棱以的方向行走至B，不同的行走路線有()A．6條 B．7條 C．8條 D．9條【解析】共有3個頂點與點相鄰，經(jīng)過每個相鄰頂點，按規(guī)定方向都有2條路徑到達(dá)點，所以，螞蟻從沿著長方體的棱以規(guī)定的方向行走至，不同的行走路線有：（條），故選A.例4．如圖所示為某市各旅游景點的分布圖，圖中一支箭頭表示一段有方向的路，試計算順著箭頭方向，從A到H可走的不同的旅游路線的條數(shù)為（）A．14 B．15 C．16 D．17【解析】要到H點，需從F、E、G走過來，F(xiàn)、E、G各點又可由哪些點走過來，這樣一步步倒推，最后歸結(jié)到A，然后再反推過去得到如下的計算方法：A至B、C、D的路數(shù)記在B、C、D的圓圈內(nèi)，B、C、D分別到F、E、G的路數(shù)亦記在圈內(nèi)，最后F、E、G各路數(shù)之和，即得到至H的總路數(shù)，如下圖所示，易得到17條路線，故選D．例5．小張從家出發(fā)去看望生病的同學(xué)，他需要先去水果店買水果，然后去花店買花，最后到達(dá)醫(yī)院.相關(guān)的地點都標(biāo)在如圖所示的網(wǎng)格紙上，網(wǎng)格線是道路，則小張所走路程最短的走法的種數(shù)為（）A．72 B．56 C．48 D．40【解析】由題意可得從家到水果店有6種走法，水果店到花店有3種走法，花店到醫(yī)院有4種走法，因此一共有（種）例6．某人設(shè)計一項單人游戲，規(guī)則如下：先將一棋子放在如圖所示正方形（邊長為3個單位）的頂點處，然后通過擲骰子來確定棋子沿正方形的邊按逆時針方向行走的單位，如果擲出的點數(shù)為，則棋子就按逆時針方向行走個單位，一直循環(huán)下去.則某人拋擲三次次骰子后棋子恰好又回到點處的所有不同走法共有（）A．21種 B．24種 C．25種 D．27種【解析】由題意知正方形（邊長為3個單位）的周長是12，拋擲三次骰子后棋子恰好又回到點處表示三次骰子的點數(shù)之和是12，列舉出在點數(shù)中三個數(shù)字能夠使得和為12的有1，5，6；2，4，6；3，4，5；3，3，6；5，5，2；4，4，4；共有6種組合，前三種組合1，5，6；2，4，6；3，4，5；又可以排列出種結(jié)果，3，3，6；5，5，2；有6種結(jié)果，4，4，4；有1種結(jié)果．根據(jù)分類計數(shù)原理知共有種結(jié)果，故選：C．例7．如下圖，從A點出發(fā)每次只能向上或者向右走一步，則到達(dá)B點的路徑的條數(shù)為________.【解析】如下圖所示從點A到C,D,E,F,G的路徑都只有1條從點A到點H的路徑有2條，分別為,從點A到點O的路徑有3條，分別為從A經(jīng)過H到點O有2條和從點A到點M的路徑有3條，分別是從點A經(jīng)過點H到點M有2條和從點A到點P的路徑有6條，分別是從點A經(jīng)過點O到點P的3條和從點A經(jīng)過點M到點P的3條從點A到點N的路徑有4條，分別是從點A經(jīng)過點M到點N的3條和從點A經(jīng)過點E到點N的1條從點A到點Q的路徑有10條，分別是從點A經(jīng)過點P到點Q的6條和從點A經(jīng)過點N到點Q的4條從點A到點R的路徑有6條，就是從點A經(jīng)過點P到點R的6條所以從點A到點B的路徑有16條，分別是從點A經(jīng)過點R到點B的6條和從點A經(jīng)過點Q到點B的10條所以到達(dá)B點的路徑的條數(shù)為16條故答案為：16例8．如圖，甲從A到B，乙從C到D，兩人每次都只能向上或者向右走一格，如果兩個人的線路不相交，則稱這兩個人的路徑為一對孤立路，那么不同的孤立路一共有________對.（用數(shù)字作答）【解析】甲從A到B，需要向右走4步，向上走4步，共需8步，所以從A到B共有種走法，乙從C到D，需要向右走4步，向上走4步，共需8步，所以從A到B共有種走法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，共有不同路徑對，甲從A到D，需要向右走6步，向上走4步，共需10步，所以從A到D共有種走法,乙從C到B，需要向右走2步，向上走4步，共需6步，所以從C到B共有種走法,所以相交路徑共有對，因此不同的孤立路一共有對.故答案為：1750例9．如圖所示線路圖，機器人從A地經(jīng)B地走到C地，最近的走法共有________種.（用數(shù)字作答）【解析】A到B共2種走法，從B到C共種不同走法，由分步乘法原理，知從A地經(jīng)B地走到C地，最近的走法共有種.故答案為：20例10．如圖所示，機器人明明從A地移到B地，每次只移動一個單位長度，則明明從A移到B最近的走法共有____種.【解析】有種方法；有種方法；有種方法；共有例11．如圖所示，機器人明明從A地移到B地，每次只移動一個單位長度，則明明從A移到B最近的走法共有_____種．【解析】分步計算，第一步最近走法有2種；第二步最近走法有種；第三步最近走法有2種，故由最近走法有種．故答案為：80．例12．如圖，機器人亮亮沿著單位網(wǎng)格，從地移動到地，每次只移動一個單位長度，則亮亮從移動到最近的走法共有____種．【解析】分三步來考查：①從到，則亮亮要移動兩步，一步是向右移動一個單位，一步是向上移動一個單位，此時有種走法；②從到，則亮亮要移動六步，其中三步是向右移動一個單位，三步是向上移動一個單位，此時有種走法；③從到，由①可知有種走法.由分步乘法計數(shù)原理可知，共有種不同的走法.故答案為：.例13．某城市街區(qū)如下圖所示,其中實線表示馬路,如果只能在馬路上行走,則從點到點的最短路徑的走法有___種．【解析】根據(jù)題意，從A到B的最短路程，只能向左、向下運動；

從A到B，最短的路程需要向下走2次，向右走3次，即從5次中任取2次向下，剩下3次向右，有種情況，但圖中有空格，故是方法數(shù)為中

故答案為：7.例14．某游戲中，一個珠子從如圖所示的通道由上至下滑下，從最下面的六個出口出來，規(guī)定猜中出口者為勝．如果你在該游戲中，猜得珠子從出口3出來，那么你取勝的概率為A． B． C． D．以上都不對【解析】我們把從到3的路線圖單獨畫出來：分析可得，從到3總共有種走法，每一種走法的概率都是，珠子從出口3出來是．故選：．例15．如圖所示，某城鎮(zhèn)由7條東西方向的街道和6條南北方向的街道組成，其中有一個池塘，街道在此變成一個菱形的環(huán)池大道．現(xiàn)要從城鎮(zhèn)的處走到處，使所走的路程最短，最多可以有45種不同的走法．【解析】由題意知本題有兩種途徑是最短的路程，①其中有5法．有1法，共有法．②，從到，最短的路程需要向下走2次，向右走3次，即從5次中任取2次向下，剩下3次向右，故有種，從到，最短的路程需要向下走3次，向右走1次，即從4次中任取3次向下，剩下1次向右，故有種，從共有法，從到的短程線總共種走法．故答案為：45．例16．如圖所示，某城鎮(zhèn)由6條東西方向的街道和6條南北方向的街道組成，其中有一個池塘，街道在此變成一個菱形的環(huán)池大道，現(xiàn)要從城鎮(zhèn)的處走到處，使所走的路程最短，最多可以有35種不同的走法．【解析】由題意知本題有兩種大途徑是最短的路程，①其中有5法．有1法，共有法．②其中有10種方法，有3法，共有法，從到的短程線總共種走法．故答案為：35．例17．某個游戲中，一個珠