2021高考數(shù)學立體幾何解答題專題

專題10立體幾何與空間向量解答題

歷年考題細目表

題型年份考點試題位置

解答題2019空間向量在立體兒何中的應用2019年新課標1理科18

解答題2018空間角與空間距離2018年新課標1理科18

解答題2017空間角與空間距離2017年新課標1理科18

解答題2016空間向量在立體幾何中的應用2016年新課標1理科18

解答題2015空間向量在立體幾何中的應用2015年新課標1理科18

解答題2014空間向量在立體幾何中的應用2014年新課標1理科19

解答題2013空間向量在立體幾何中的應用2013年新課標1理科18

解答題2012空間向量在立體幾何中的應用2012年新課標1理科19

解答題2011空間向量在立體兒何中的應用2011年新課標1理科18

解答題2010空間角與空間距離2010年新課標1理科18

歷年高考真題匯編

1.【2019年新課標1理科18］如圖，直四棱柱ABC。-AIBICIOI的底面是菱形，A4=4,AB=2,ZBAD

=60°,E,M,N分別是BC,BBi,的中點.

(1)證明：MN〃平面CiDE；

(2)求二面角A-MA\-N的正弦值.

A

2.【2018年新課標1理科18］如圖，四邊形A8CO為正方形，E,尸分別為40,8c的中點，以Or為折

痕把△￡)「(？折起，使點C到達點P的位置,且PF_L8F.

(1)證明：平面PERL平面4BFD；

(2)求OP與平面48FO所成角的正弦值.

3.【2017年新課標1理科18］如圖，在四楂錐尸-A8C。中，AB//CDf且N84P=Na>P=9(T.

(1)證明：平面％8_L平面B4O：

(2)若以=PD=A8=OC,NAPO=90'，求二面角A-PB?C的余弦值.

4.【2016年新課標1理科18］如圖，在以A,B,C,D,E,F為頂點的五面體中，面A5￡尸為正方形，AF

=2FD,N4尸￡)=90°,且一面角￡)?4尸?E與一面角C-■產(chǎn)都是60°.

(I)證明平面4BE7LL平面EC；

(II)求二面角E-BC-A的余弦值.

5.【2015年新課標1理科18］如圖，四邊形ABC。為菱形，NABC=120°,E,尸是平面4BC。同一側的

兩點，8E_L平面A4c。，OF_L平面ABC。，BE=2DF,AELEC.

(I)證明：平面AEC_L平面AFC

(H)求直線4E與直線C尸所成角的余弦值.

6.【2014年新課標1理科19］如圖，三棱柱ABC-481。中，側面BBC1C為菱形，AB1B\C.

(I)證明：AC=AB\i

(II)若AC_L4Bi,NCB8i=6O°,AB=BC,求二面角4-4加-Ci的余弦值.

7.【2013年新課標1理科18］如圖，三棱柱ABC-AiBiCi中，CA=CB,AB=AA］,ZBAA\=60°.

(I)證明AB_L4G

(II)若平面ABC_L平面AB=CB=2t求直線AC與平面ABCiC所成角的正弦值.

罵

A4

8.【2012年新課標1理科191如圖，直三棱柱ABC-481C1中，AC=5C=jUi,D是棱A41的中點，DC\

±BD

(1)證明：DC1±?C；

(2)求二面角Ai-BD-Cl的大小.

9.【2011年新課標1理科18］如圖，四棱錐P-A8CO中，底面A8CO為平行四邊形，ZDAB=60°,AB

=2AD,PD_L底面A8CD.

(I)i正明：PAVBDx

(II)若尸￡>=A￡>,求二面角A-PB-C的余弦值.

P

A

10.【2010年新課標1理科18］如圖，已知四棱錐P-48CQ的底面為等腰梯形，AB//CD,ACYBD,垂

足為H.PH是四棱錐的高，E為4。中點

（I）證明：PEVBC

（II）若NAPB=NAO8=60°,求直線以與平面PE”所成角的正弦值.

考題分析與復習建議

本專題考查的知識點為：直線、平面平行、垂直的判定與性質，空間向量及其運算，立體幾何

中的向量方法（證明平行與垂直、求空間角和距離）等.歷年考題主要以解答題題型出現(xiàn)，重

點考查的知識點為：直線、平面平行、垂直的判定與性質，空間向量及其運算，立體幾何中的

向量方法（證明平行與垂直、求空間角和距離）等.預測明年本考點題目會比較穩(wěn)定，備考方

向以知識點直線、平面平行、垂直的判定與性質，空間向量及其運算，立體幾何中的向量方法

（證明平行與垂直、求空間角和距離）等為重點較佳.

最新高考模擬試題

1.如圖，在三棱柱ABC—AqG中，側面A844是菱形，N84A=60。，E是棱8月的中點，CA=CB,

產(chǎn)在線段AC上，且A/=2尸C.

(1)證明：CBJ/面A[EF；

（2）若C4_LCB,面66_1_面人644,求二面角尸一4七一A的余弦值.

2.如圖，菱形A8co與正三角形5CE的邊長均為2,它們所在平面互相垂直，F(xiàn)DJ_平面ABC。，EF\

平面A8CO.

（1）求證：平面AC尸"L平面

（2）若NC84=60。，求二面角A—8C—尸的大小.

3.如圖，在幾何體中，川邊形AORA，CORG為矩形，平面AORA_L平面CORG，

44_1平面4。。出，AO=CO=1,A4t=4g=2,E為棱AA的中點.

(I)證明：B?_L平面CQE；

(II)求百線BG與平而BCE所成角的正弦值.

4.如圖，在四凌錐尸一A5CD中，尸C_L底面ABCD,底面A3CQ是直角梯形，A」B_LAD，AB//CD,

A3=24Q=2CD=2,PC=4,E為線段依上一點

(1)求證：平面E4C_L平面P3C；

(2)若二面角尸一AC—E的余弦值為亞，求名名的值

3BP

x-2>0

5.如圖'在三棱錐fBC中，（-28,丘為線段他上一點，且仞二3附P"

平面48C,Q4與平面A8C所成的角為45.

（1）求證:平面R48_L平面PCQ；

（2）求二面角產(chǎn)一AC—。的平面角的余弦值。

6.如圖，E是以4B為直徑的半圓0上異于A8的點，矩形A3CO所在的平面垂直于半圓。所在的平面,

且"=2,40=3

（1）求證：平面平面EBC；

（2）若七8的長度為W，求二面角4一。七一。的正弦值.

7.如圖，在多面體ABC。即中，四邊形48co是邊長為迪的菱形，ZBCD=60°,AC與3。交于

3

（1）求證：平面ABCO；

（2）若ATOC為等邊二角形，點。為AE的中點，求二面角。BC人的余弦值.

8.如圖，在四楂錐P—ABCD中，PAl^ABCD,ABA.AD，AC1CD,ZABC=60°,

PA=AB=BC,E是尸。的中點.

B

（1）求心和平面E4O所成的角的大小.

（2）求二面角A—PZ）—C的正弦值.

9.如圖在直角AA3C中，8為直角，AB=2BCfE，F(xiàn)分別為AB,AC的中點，將AMF沿所折

起，使點人到達點。的位置,連接松￡>.CD.”為。)的中點.

(I)證明：M尸_1_面3c。；

(11)若DE上BE，求二面角的余弦值.

10.已知四棱錐尸—ABC。中，底面A8CZ)為菱形，ZDAB=6O°,平面外￡>_L平面ABC。,

PA=PD=AD=2,點E,F分別為PZ),AB上的一點，且PE=2ED,2BF=FA.

(D求證：AE〃平面尸產(chǎn)C；

(2)求依與平面PC。所成角的正弦值.

11.已知正方形A3CO和矩形ACM所在的平面互相垂直，A8=2,Ab=l,點〃在線段E/上.

(I)若M為所的中點，求證：AM〃平面比陀；

(II)求二面角A—斯一。的余弦值；

(III)證明：存在點M，使得AM_L平面引M，并求娶的值.

12.如圖，AABC,AB=BC=2,ZABC=90°,E,尸分別為A8,AC邊的中點，以￡尸為折痕把AE77

折起，使點A到達點P的位置，且PB=BE..

(I)證明：麻，平面P8E：

(II)設N為線段尸產(chǎn)上動點