【優(yōu)化方案】2022高考數(shù)學(xué)(文)(新課標(biāo))一輪復(fù)習(xí)知能訓(xùn)練：第八章-平面解析幾何-第6講-雙曲線

1．已知0＜θ＜eq\f(π,4)，則雙曲線C1：eq\f(x2,sin2θ)－eq\f(y2,cos2θ)＝1與C2：eq\f(y2,cos2θ)－eq\f(x2,sin2θ)＝1的()A．實(shí)軸長相等 B．虛軸長相等C．離心率相等 D．焦距相等解析：選D．由雙曲線C1知：a2＝sin2θ，b2＝cos2θ?c2＝1，由雙曲線C2知：a2＝cos2θ，b2＝sin2θ?c2＝1．2．(2021·福建寧德模擬)已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,9)＝1(a>0)與雙曲線eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝1有相同的焦點(diǎn)，則a的值為()A．eq\r(2) B．eq\r(10)C．4 D．eq\r(34)解析：選C．由于橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,9)＝1(a>0)與雙曲線eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝1有相同的焦點(diǎn)(±eq\r(7)，0)，則有a2－9＝7，∴a＝4．3．(2022·高考課標(biāo)全國卷Ⅰ)已知F為雙曲線C：x2－my2＝3m(m>0)的一個(gè)焦點(diǎn)，則點(diǎn)F到C的一條漸近線的距離為()A．eq\r(3) B．3C．eq\r(3)m D．3m解析：選A．雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,3m)－eq\f(y2,3)＝1(m>0)，其漸近線方程為y＝±eq\r(\f(3,3m))x＝±eq\f(\r(m),m)x，即eq\r(m)y＝±x，不妨選取右焦點(diǎn)F(eq\r(3m＋3)，0)到其中一條漸近線x－eq\r(m)y＝0的距離求解，得d＝eq\f(\r(3m＋3),\r(1＋m))＝eq\r(3)．4．(2021·河南開封模擬)設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦點(diǎn)．若在雙曲線右支上存在點(diǎn)P，滿足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直線PF1的距離等于雙曲線的實(shí)軸長，則該雙曲線的離心率為()A．eq\f(4,3) B．eq\f(5,3)C．eq\f(5,4) D．eq\f(\r(41),4)解析：選B．易知|PF2|＝|F1F2|＝2c，所以由雙曲線的定義知|PF1|＝2a＋2c，由于F2到直線PF1的距離等于雙曲線的實(shí)軸長，所以(a＋c)2＋(2a)2＝(2c)2，即3c2－2ac－5a2＝0，兩邊同除以a2，得3e2－2e－5＝0，解得e＝eq\f(5,3)或e＝－1(舍去)．5．(2021·蘭州市、張掖市高三聯(lián)考)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，以|F1F2|為直徑的圓與雙曲線漸近線的一個(gè)交點(diǎn)為(3，4)，則此雙曲線的方程為()A．eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1 B．eq\f(x2,3)－eq\f(y2,4)＝1C．eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1 D．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝1解析：選C．由題意知，圓的半徑為5，又點(diǎn)(3，4)在經(jīng)過第一、三象限的漸近線y＝eq\f(b,a)x上，因此有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝25,4＝3×\f(b,a)))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝3,b＝4))，所以此雙曲線的方程為eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1．6．已知雙曲線eq\f(x2,9)－eq\f(y2,a)＝1的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為(eq\r(13)，0)，則該雙曲線的漸近線方程為________．解析：依題意知(eq\r(13))2＝9＋a，所以a＝4，故雙曲線方程為eq\f(x2,9)－eq\f(y2,4)＝1，則漸近線方程為eq\f(x,3)±eq\f(y,2)＝0．即2x±3y＝0．答案：2x＋3y＝0或2x－3y＝07．(2021·浙江六市六校聯(lián)盟模擬)如圖所示，已知雙曲線以長方形ABCD的頂點(diǎn)A，B為左、右焦點(diǎn)，且雙曲線過C，D兩頂點(diǎn)．若AB＝4，BC＝3，則此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．解析：設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)．由題意得B(2，0)，C(2，3)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4＝a2＋b2，,\f(4,a2)－\f(9,b2)＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝1，,b2＝3，))∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2－eq\f(y2,3)＝1．答案：x2－eq\f(y2,3)＝18．(2021·武漢模擬)已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線右支上的任意一點(diǎn)．若eq\f(|PF1|2,|PF2|)＝8a，則雙曲線的離心率e的取值范圍是________．解析：設(shè)|PF2|＝y(tǒng)，則(y＋2a)2＝8ay?(y－2a)2＝0?y＝2a≥c－a?e＝eq\f(c,a)≤3．答案：(1，3]9．已知雙曲線關(guān)于兩坐標(biāo)軸對(duì)稱，且與圓x2＋y2＝10相交于點(diǎn)P(3，－1)，若此圓過點(diǎn)P的切線與雙曲線的一條漸近線平行，求此雙曲線的方程．解：切點(diǎn)為P(3，－1)的圓x2＋y2＝10的切線方程是3x－y＝10．∵雙曲線的一條漸近線與此切線平行，且雙曲線關(guān)于兩坐標(biāo)軸對(duì)稱，∴兩漸近線方程為3x±y＝0．設(shè)所求雙曲線方程為9x2－y2＝λ(λ≠0)．∵點(diǎn)P(3，－1)在雙曲線上，代入上式可得λ＝80，∴所求的雙曲線方程為eq\f(x2,\f(80,9))－eq\f(y2,80)＝1．10．已知離心率為eq\f(4,5)的橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，雙曲線以橢圓的長軸為實(shí)軸，短軸為虛軸，且焦距為2eq\r(34)．(1)求橢圓及雙曲線的方程；(2)設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A、B，在其次象限內(nèi)取雙曲線上一點(diǎn)P，連結(jié)BP交橢圓于點(diǎn)M，連結(jié)PA并延長交橢圓于點(diǎn)N，若eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(MP,\s\up6(→))，求四邊形ANBM的面積．解：(1)設(shè)橢圓方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，則依據(jù)題意知雙曲線的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1且滿足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(\r(a2－b2),a)＝\f(4,5)，,2\r(a2＋b2)＝2\r(34)，))解方程組得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝25，,b2＝9.))∴橢圓的方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1，雙曲線的方程為eq\f(x2,25)－eq\f(y2,9)＝1．(2)由(1)得A(－5，0)，B(5，0)，|AB|＝10，設(shè)M(x0，y0)，則由eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(MP,\s\up6(→))，得M為BP的中點(diǎn)，所以P點(diǎn)坐標(biāo)為(2x0－5，2y0)．將M、P坐標(biāo)代入橢圓和雙曲線方程，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(xeq\o\al(2,0),25)＋\f(yeq\o\al(2,0),9)＝1，,\f(（2x0－5）2,25)－\f(4yeq\o\al(2,0),9)＝1，))消去y0，得2xeq\o\al(2,0)－5x0－25＝0．解得x0＝－eq\f(5,2)或x0＝5(舍去)．∴y0＝eq\f(3\r(3),2)．由此可得M(－eq\f(5,2)，eq\f(3\r(3),2))，∴P(－10，3eq\r(3))．則直線PA的方程是y＝－eq\f(3\r(3),5)(x＋5)，代入eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1，得2x2＋15x＋25＝0．解得x＝－eq\f(5,2)或x＝－5(舍去)，∴xN＝－eq\f(5,2)，則xN＝xM，所以MN⊥x軸．∴S四邊形ANBM＝2S△AMB＝2×eq\f(1,2)×10×eq\f(3\r(3),2)＝15eq\r(3)．1．(2021·唐山市高三班級(jí)統(tǒng)考)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，且C上點(diǎn)P滿足eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，|eq\o(PF1,\s\up6(→))|＝3，|eq\o(PF2,\s\up6(→))|＝4，則雙曲線C的離心率為()A．eq\f(\r(10),2) B．eq\r(5)C．eq\f(5,2) D．5解析：選D．依題意得，2a＝|PF2|－|PF1|＝1，|F1F2|＝eq\r(|PF2|2＋|PF1|2)＝5，因此該雙曲線的離心率e＝eq\f(|F1F2|,|PF2|－|PF1|)＝5．2．(2021·山西陽泉高三第一次診斷)已知F1、F2分別為雙曲線C：x2－y2＝1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線C上，且∠F1PF2＝60°，則|PF1|·|PF2|等于()A．2 B．4C．6 D．8解析：選B．由題意知a＝1，b＝1，c＝eq\r(2)，∴|F1F2|＝2eq\r(2)，在△PF1F2中，由余弦定理得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60°＝|F1F2|2＝8，即|PF1|2＋|PF2|2－|PF1||PF2|＝8，①由雙曲線定義得||PF1|－|PF2||＝2a＝2，兩邊平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝4，②①－②得|PF1||PF2|＝4．3．(2021·浙江杭州調(diào)研)雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1和F2，左、右頂點(diǎn)分別為A1和A2，過焦點(diǎn)F2與x軸垂直的直線和雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)為P，若|eq\o(PA1,\s\up6(→))|是|eq\o(F1F2,\s\up6(→))|和|eq\o(A1F2,\s\up6(→))|的等比中項(xiàng)，則該雙曲線的離心率為________．解析：由題意可知|eq\o(PA1,\s\up6(→))|2＝|eq\o(F1F2,\s\up6(→))|×|eq\o(A1F2,\s\up6(→))|，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b2,a)))eq\s\up12(2)＋(a＋c)2＝2c(a＋c)，化簡可得a2＝b2，則e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(c2,a2))＝eq\r(\f(a2＋b2,a2))＝eq\r(2)．答案：eq\r(2)4．已知c是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的半焦距，則eq\f(b－c,a)的取值范圍是________．解析：eq\f(b－c,a)＝eq\f(\r(c2－a2)－c,a)＝eq\r(e2－1)－e＝－eq\f(1,\r(e2－1)＋e)，由于e＞1，且函數(shù)f(e)＝－eq\f(1,\r(e2－1)＋e)在(1，＋∞)上是增函數(shù)，那么eq\f(b－c,a)的取值范圍是(－1，0)．答案：(－1，0)5．(2021·湛江模擬)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦點(diǎn)為F(c，0)．(1)若雙曲線的一條漸近線方程為y＝x且c＝2，求雙曲線的方程；(2)以原點(diǎn)O為圓心，c為半徑作圓，該圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為A，過A作圓的切線，斜率為－eq\r(3)，求雙曲線的離心率．解：(1)∵雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，∴a＝b，∴c2＝a2＋b2＝2a2＝4，∴a2＝b2＝2，∴雙曲線方程為eq\f(x2,2)－eq\f(y2,2)＝1．(2)設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x0，y0)，∴直線AO的斜率滿足eq\f(y0,x0)·(－eq\r(3))＝－1，∴x0＝eq\r(3)y0，①依題意，圓的方程為x2＋y2＝c2，將①代入圓的方程得3yeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝c2，即y0＝eq\f(1,2)c，∴x0＝eq\f(\r(3),2)c，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(eq\f(\r(3),2)c，eq\f(1,2)c)，代入雙曲線方程得eq\f(\f(3,4)c2,a2)－eq\f(\f(1,4)c2,b2)＝1，即eq\f(3,4)b2c2－eq\f(1,4)a2c2＝a2b2，②又∵a2＋b2＝c2，∴將b2＝c2－a2代入②式，整理得eq\f(3,4)c4－2a2c2＋a4＝0，∴3(eq\f(c,a))4－8(eq\f(c,a))2＋4＝0，∴(3e2－2)(e2－2)＝0，∵e＞1，∴e＝eq\r(2)，∴雙曲線的離心率為eq\r(2)．6．(選做題)直線l：y＝eq\r(3)(x－2)和雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝eq\r(3)，又l關(guān)于直線l1：y＝eq\f(b,a)x對(duì)稱的直線l2與x軸平行．(1)求雙曲線C的離心率e；(2