【2021屆備考】2020全國(guó)名校數(shù)學(xué)試題分類解析匯編(12月第一期)：C6三角函數(shù)-綜合應(yīng)用

二倍角公式【數(shù)學(xué)理卷·2021屆安徽省“江淮十?！备呷?1月聯(lián)考（202211）WORD版】5.若且，則的值為（）A.B.C.D.【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】同角三角函數(shù)基本關(guān)系，二倍角公式C2C6【答案】【解析】A解析：或.又得所以選A.【思路點(diǎn)撥】找到與的結(jié)合點(diǎn)，也可利用代入求解.【數(shù)學(xué)文卷·2021屆湖南省岳陽(yáng)一中高三上學(xué)期第三次月考（202211）】12在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若a＝eq\r(2)，b＝2，sinB＋cosB＝eq\r(2)，則角A的大小為_(kāi)___【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用；二倍角的正弦；正弦定理．C2C6C【答案】【解析】解析：由sinB＋cosB＝eq\r(2)得1＋2sinBcosB＝2，即sin2B＝1，由于0<B<π，所以B＝eq\f(π,4).又由于a＝eq\r(2)，b＝2，所以在△ABC中，由正弦定理得eq\f(\r(2),sinA)＝eq\f(2,sin\f(π,4))，解得sinA＝eq\f(1,2).又a<b，所以A<B＝eq\f(π,4)，所以A＝.【思路點(diǎn)撥】由條件由sinB+cosB=得1+2sinBcosB=2，即sin2B=1，依據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到0＜B＜π得到B的度數(shù)．利用正弦定理求出A即可．C7三角函數(shù)的求值、化簡(jiǎn)與證明【數(shù)學(xué)理卷·2021屆湖南省岳陽(yáng)一中高三上學(xué)期第三次月考（202211）】17．（本小題滿分12分）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別是.已知，，.（1）求的值；（2）求的面積.【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】解三角形；三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用．C7C8【答案】【解析】（1）；（2）解析：（1）因，故.…………2分因，故.………4分由正弦定理，得.……6分（2）.…8分.………………10分則的面積為.……12分【思路點(diǎn)撥】（1）△ABC中，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出sinA，再由正弦定理求出b．（2）利用公式求得cosB,sinC的值，再利用三角形面積公式即可?！緮?shù)學(xué)理卷·2021屆江西省贛州市十二縣（市）高三上學(xué)期期中聯(lián)考（202211）】16．（本小題滿分12分）已知向量，向量，函數(shù).(1)求的最小正周期；(2)已知，，分別為內(nèi)角，，的對(duì)邊，為銳角，，，且恰是在上的最大值，求，和的面積.【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用．C7【答案】【解析】(1)；(2)，，解析：(1)………………3分由于，所以……5分(2)由(1)知：當(dāng)時(shí),由正弦函數(shù)圖象可知,當(dāng)時(shí)取得最大值?！?分所以,…9分由余弦定理，∴∴………10分從而……12分【思路點(diǎn)撥】(1)首項(xiàng)利用向量的數(shù)量積求出三角函數(shù)的關(guān)系式，進(jìn)一步利用恒等變換把函數(shù)轉(zhuǎn)化成正弦型函數(shù)，最終求出最小正周期．(2)利用(1)求出A的大小，再利用余弦定理求出b的長(zhǎng)，最終求出三角形的面積．【數(shù)學(xué)理卷·2021屆江西省贛州市十二縣（市）高三上學(xué)期期中聯(lián)考（202211）】6.若則（）A.B．C.D．【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值．C7【答案】【解析】C解析：∵∴，,∴sin（），sin（）=∴cos[（）﹣（）]=cos（）cos（）+sin（）sin（）=,故選C【思路點(diǎn)撥】先利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系分別求得sin（）和sin（）的值，進(jìn)而利用cos[（）﹣（）]通過(guò)余弦的兩角和公式求得答案．C8解三角形【數(shù)學(xué)理卷·2021屆遼寧省沈陽(yáng)二中高三上學(xué)期期中考試（202211）】18.(本題滿分12分)在銳角三角形ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，且.(Ⅰ)求角的大?。?Ⅱ)若的最大值．【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】解三角形C8【答案解析】(Ⅰ)eq\f(π,3)(Ⅱ)4(Ⅰ)由eq\r(3)a－2csinA＝0及正弦定理，得eq\r(3)sinA－2sinCsinA＝0(sinA≠0)，∴sinC＝eq\f(\r(3),2)，∵△ABC是銳角三角形，∴C＝eq\f(π,3)(Ⅱ)∵c＝2，C＝eq\f(π,3)，由余弦定理，a2＋b2－2abcoseq\f(π,3)＝4，即a2＋b2－ab＝4∴(a＋b)2＝4＋3ab≤4＋3·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2，即(a＋b)2≤16，∴a＋b≤4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2取“＝”故a＋b的最大值是4.【思路點(diǎn)撥】依據(jù)正限定求出角，依據(jù)余弦定理和均值不等式求出最大值?！緮?shù)學(xué)理卷·2021屆湖南省瀏陽(yáng)一中、攸縣一中、醴陵一中三校高三聯(lián)考（202211）】13.在中，若，則角B=?！緦W(xué)問(wèn)點(diǎn)】同角三角函數(shù)關(guān)系；余弦定理的應(yīng)用.C2C8【答案】【解析】或解析：把，代入已知等式得：，又，所以角B=或.【思路點(diǎn)撥】把余弦定理、同角三角函數(shù)關(guān)系，代入已知等式得，又，所以角B=或.【數(shù)學(xué)理卷·2021屆湖南省岳陽(yáng)一中高三上學(xué)期第三次月考（202211）】17．（本小題滿分12分）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別是.已知，，.（1）求的值；（2）求的面積.【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】解三角形；三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用．C7C8【答案】【解析】（1）；（2）解析：（1）因，故.…………2分因，故.………4分由正弦定理，得.……6分（2）.…8分.………………10分則的面積為.……12分【思路點(diǎn)撥】（1）△ABC中，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出sinA，再由正弦定理求出b．（2）利用公式求得cosB,sinC的值，再利用三角形面積公式即可?！緮?shù)學(xué)理卷·2021屆湖南省岳陽(yáng)一中高三上學(xué)期第三次月考（202211）】3.在中,,則等于()A. B. C. D.【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】正弦定理．C8【答案】【解析】D解析：由正弦定理有,為銳角,所以=.故選D.【思路點(diǎn)撥】由正弦定理可求得，再由，可得為銳角，運(yùn)算求得結(jié)果．【數(shù)學(xué)理卷·2021屆河南省試驗(yàn)中學(xué)高三上學(xué)期期中考試（202211）】18.(本小題滿分12分）已知，其中，，且，若相鄰兩對(duì)稱軸間的距離不小于。（1）求的取值范圍.（2）在中，、、分別是角、、的對(duì)邊，，，當(dāng)最大時(shí)，,求的面積.【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)解三角形C3C8【答案解析】（1）（2）對(duì)稱軸為，∴（1）由得得（2）由（1）知∴ ∵∴∵∴ 由得 ∴【思路點(diǎn)撥】依據(jù)三角函數(shù)的周期性求出參數(shù)范圍，依據(jù)余弦定理求出邊再求面積?！緮?shù)學(xué)理卷·2021屆河南省試驗(yàn)中學(xué)高三上學(xué)期期中考試（202211）】6.在△ABC中，，若此三角形有兩解，則b的范圍為（）A．B．b>2C．b<2D．【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】解三角形C8【答案解析】A∵在△ABC中，a=2，A=45°，且此三角形有兩解，

∴由正弦定理=2，∴b=2sinA，B+C=180°-45°=135°，

由B有兩個(gè)值，得到這兩個(gè)值互補(bǔ)，

若B≤45°，則和B互補(bǔ)的角大于等于135°，這樣A+B≥180°，不成立；

∴45°＜B＜135°，又若B=90，這樣補(bǔ)角也是90°，一解，

∴＜sinB＜1，b=2sinB，則2＜b＜2，故選：A．【思路點(diǎn)撥】利用正弦定理列出關(guān)系式，把a(bǔ)，sinA的值代入，表示出b，B+C，依據(jù)B為兩值，得到兩個(gè)值互補(bǔ)，確定出B的范圍，進(jìn)而求出sinB的范圍，即可確定出b的范圍．【數(shù)學(xué)理卷·2021屆河北省衡水中學(xué)高三上學(xué)期期中考試（202211）】6、假如把直角三角形的三邊都增加同樣的長(zhǎng)度，則得到的這個(gè)新三角形的外形為（）A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．由增加的長(zhǎng)度打算【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】余弦定理.C8【答案】【解析】A解析：解：設(shè)增加同樣的長(zhǎng)度為x，原三邊長(zhǎng)為a、b、c，且c2=a2+b2，c為最大邊；

新的三角形的三邊長(zhǎng)為a+x、b+x、c+x，知c+x為最大邊，其對(duì)應(yīng)角最大．

而（a+x）2+（b+x）2-（c+x）2=x2+2（a+b-c）x＞0，

由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦=則為銳角，那么它為銳角三角形．故選A【思路點(diǎn)撥】先設(shè)出原來(lái)的三邊為a、b、c且c2=a2+b2，以及增加同樣的長(zhǎng)度為x，得到新的三角形的三邊為a+x、b+x、c+x，知c+x為最大邊，所以所對(duì)的角最大，然后依據(jù)余弦定理推斷出余弦值為正數(shù)，所以最大角為銳角，得到三角形為銳角三角形．【數(shù)學(xué)理卷·2021屆安徽省“江淮十校”高三11月聯(lián)考（202211）WORD版】10.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，且，且?duì)任意若是直角三角形的三邊長(zhǎng)，且也能成為三角形的三邊長(zhǎng)，則的最小值為()A.B.C.D.【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】三角形的外形推斷，函數(shù)的值C8B3【答案】【解析】A解析：不妨設(shè)為斜邊，則，由題意可得即即所以選A.【思路點(diǎn)撥】不妨設(shè)為斜邊，則，可得結(jié)合題意可得，結(jié)合可求的范圍，進(jìn)而可求的范圍，即可求解.【數(shù)學(xué)理卷·2021屆四川省成都外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高三11月月考（202211）(1)】17.（12分）如圖，海上有兩個(gè)小島相距10，船O將保持觀望A島和B島所成的視角為，現(xiàn)從船O上派下一只小艇沿方向駛至處進(jìn)行作業(yè)，且．設(shè)。（1）用分別表示和，并求出的取值范圍；（2）晚上小艇在處發(fā)出一道猛烈的光線照射A島，B島至光線的距離為，求BD的最大值．【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】解三角形.C8【答案】【解析】(1)(2)BD的最大值為10解析：（1）在中，，，由余弦定理得，，又，所以①，……1分在中，，由余弦定理得，②，………3分①+②得，①-②得，即，…………4分又，所以，即，又，即，所以………6分（2）易知，故，………8分又，設(shè)，所以，……………9分又……………10分則在上是增函數(shù)，所以的最大值為，即BD的最大值為10．……12分（利用單調(diào)性定義證明在上是增函數(shù)，同樣給滿分；假如直接說(shuō)出上是增函數(shù)，【思路點(diǎn)撥】依據(jù)三角形邊與角的關(guān)系，利用余弦定理和等面積法可求出結(jié)果【數(shù)學(xué)文卷·2021屆遼寧省沈陽(yáng)二中高三上學(xué)期期中考試（202211）】18.(本題滿分12分)在銳角三角形ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，且.(Ⅰ)求角的大?。?Ⅱ)若的最大值．【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】解三角形C8【答案解析】(Ⅰ)eq\f(π,3)(Ⅱ)4(Ⅰ)由eq\r(3)a－2csinA＝0及正弦定理，得eq\r(3)sinA－2sinCsinA＝0(sinA≠0)，∴sinC＝eq\f(\r(3),2)，∵△ABC是銳角三角形，∴C＝eq\f(π,3)(Ⅱ)∵c＝2，C＝eq\f(π,3)，由余弦定理，a2＋b2－2abcoseq\f(π,3)＝4，即a2＋b2－ab＝4∴(a＋b)2＝4＋3ab≤4＋3·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2，即(a＋b)2≤16，∴a＋b≤4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2取“＝”故a＋b的最大值是4.【思路點(diǎn)撥】依據(jù)正限定求出角，依據(jù)余弦定理和均值不等式求出最大值。【數(shù)學(xué)文卷·2021屆湖南省瀏陽(yáng)一中、攸縣一中、醴陵一中三校高三聯(lián)考（202211）】17.（本小題滿分12分）已知函數(shù),的最大值為2．（Ⅰ）求函數(shù)在上的值域；(Ⅱ)已知外接圓半徑，，角所對(duì)的邊分別是，求的值．【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】三角函數(shù)；不等式；正弦定理.C4,C8,E1【答案】【解析】(1)(2)解析：（1）由題意，的最大值為，所以．………2分而，于是，．…………………4分在上遞增．在遞減，所以函數(shù)在上的值域?yàn)?；………………?分（2）化簡(jiǎn)得．……7分由正弦定理，得，……………9分由于△ABC的外接圓半徑為．．…………11分所以…………………12分【思路點(diǎn)撥】依據(jù)題意求出解析式，再求出定義域下的值域，化簡(jiǎn)已知條件求出邊的關(guān)系，再求出【數(shù)學(xué)文卷·2021屆湖南省岳陽(yáng)一中高三上學(xué)期第三次月考（202211）】18.（本小題滿分12分）如圖，在△ABC中，B＝eq\f(π,3)，BC＝2，點(diǎn)D在邊AB上，AD＝DC，DE⊥AC，E為垂足．(1)若△BCD的面積為eq\f(\r(3),3)，求CD的長(zhǎng)；(2)若DE＝eq\f(\r(6),2)，求角A的大?。緦W(xué)問(wèn)點(diǎn)】解三角形．C8【答案】【解析】(1)eq\f(2\r(7),3)；(2)A＝eq\f(π,4)。解析：(1)由已知得S△BCD＝eq\f(1,2)BC·BD·sinB＝eq\f(\r(3),3)，又BC＝2，sinB＝eq\f(\r(3),2)，得BD＝eq\f(2,3).在△BCD中，由余弦定理得CD＝eq\r(BC2＋BD2－2BC·BD·cosB)＝eq\r(22＋\f(2,3)2－2×2×\f(2,3)×\f(1,2))＝eq\f(2\r(7),3).所以CD的長(zhǎng)為eq\f(2\r(7),3).(2)(方法一)由于CD＝AD＝eq\f(DE,sinA)＝eq\f(\r(6),2sinA)，在△BCD中，由正弦定理得eq\f(BC,sin∠BDC)＝eq\f(CD,sinB)，又∠BDC＝2A，得eq\f(2,sin2A)＝eq\f(\r(6),2sinAsin60°)，解得cosA＝eq\f(\r(2),2)，所以A＝eq\f(π,4)即為所求．(方法二)在△ABC中，由正弦定理得eq\f(2,sinA)＝eq\f(AC,sinB)，又由已知得，E為AC的中點(diǎn)，所以AC＝2AE，所以AE·sinA＝sinB＝eq\f(\r(3),2)，又eq\f(DE,AE)＝tanA＝eq\f(sinA,cosA)，所以AE·sinA＝DE·cosA＝eq\f(\r(6),2)cosA，得cosA＝eq\f(\r(2),2)，所以A＝eq\f(π,4)即為所求【思路點(diǎn)撥】（1）利用三角形的面積公式，求出BD，再用余弦定理求CD；（2）先求CD，在△BCD中，由正弦定理可得eq\f(BC,sin∠BDC)＝eq\f(CD,sinB)，結(jié)合∠BDC=2∠A，即可得結(jié)論．【數(shù)學(xué)文卷·2021屆湖南省岳陽(yáng)一中高三上學(xué)期第三次月考（202211）】12在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若a＝eq\r(2)，b＝2，sinB＋cosB＝eq\r(2)，則角A的大小為_(kāi)___【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用；二倍角的正弦；正弦定理．C2C6C【答案】【解析】解析：由sinB＋cosB＝eq\r(2)得1＋2sinBcosB＝2，即sin2B＝1，由于0<B<π，所以B＝eq\f(π,4).又由于a＝eq\r(2)，b＝2，所以在△ABC中，由正弦定理得eq\f(\r(2),sinA)＝eq\f(2,sin\f(π,4))，解得sinA＝eq\f(1,2).又a<b，所以A<B＝eq\f(π,4)，所以A＝.【思路點(diǎn)撥】由條件由sinB+cosB=得1+2sinBcosB=2，即sin2B=1，依據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到0＜B＜π得到B的度數(shù)．利用正弦定理求出A即可．【數(shù)學(xué)文卷·2021屆江西省贛州市十二縣（市）高三上學(xué)期期中聯(lián)考（202211）】18.（本小題滿分12分）在中，（1）求角B（2）若，求的值【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】余弦定理；同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用；兩角和與差的正弦函數(shù)。C2C5C【答案】【解析】（1）；（2）解析：（1）……………2分……………4分……………6分(2)……………8分……………10分……………12分【思路點(diǎn)撥】（1）原式由正弦定理可化簡(jiǎn)為從而由余弦定理可求得，從而可求角B；（2）若，可先求，的值，從而可求sinC的值．【數(shù)學(xué)文卷·2021屆江西省師大附中高三上學(xué)期期中考試（202211）】18.（本小題12分）已知向量=（），=（,）,,函數(shù)，其最小正周期為.（1）求函數(shù)的表達(dá)式及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對(duì)邊，S為其面積，若=1，b=l，S△ABC=，求a的值．【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】向量的數(shù)量積三角函數(shù)的性質(zhì)解三角形F3C3C【答案】【解析】(1)，單調(diào)遞增區(qū)間為；(2).解析：(1)由于，由于最小正周期為，所以，得，所以，由,得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；(2)由于，所以，則，得c=4，所以.【思路點(diǎn)撥】一般爭(zhēng)辯與三角相關(guān)的函數(shù)的性質(zhì)通常先把函數(shù)化成一個(gè)角的三角函數(shù)再進(jìn)行解答，再解三角形中可運(yùn)用三角形面積公式及余弦定理進(jìn)行解答.【數(shù)學(xué)文卷·2021屆江西省師大附中高三上學(xué)期期中考試（202211）】8.若的三個(gè)內(nèi)角A,B,C滿足,則()A.確定是銳角三角形B.確定是直角三角形C.確定是鈍角三角形D.可能是銳角三角形,也可能是鈍角三角形【學(xué)問(wèn)點(diǎn)】解三角形C8【答案】【解析】C解析：由于，由正弦定理得6a=4b=3c，則三角形