【優(yōu)教通-同步備課】高中數(shù)學(xué)(北師大版)選修2-1教案：第2章-知識(shí)拓展：淺談空間距離的幾種計(jì)算方法

淺談空間距離的幾種計(jì)算方法【摘要】空間的距離是從數(shù)量角度進(jìn)一步刻劃空間中點(diǎn)、線(xiàn)、面、體之間相對(duì)位置關(guān)系的重要的量，是平面幾何與立體幾何中爭(zhēng)辯的重要數(shù)量．空間距離的求解是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是歷年高考考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，其中以點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)到線(xiàn)、點(diǎn)到面的距離為基礎(chǔ)，一般是將問(wèn)題最終轉(zhuǎn)化為求線(xiàn)段的長(zhǎng)度。在解題過(guò)程中，要充分利用圖形的特點(diǎn)和概念的內(nèi)在聯(lián)系，做好各種距離間的相互轉(zhuǎn)化，從而使問(wèn)題得到解決。【關(guān)鍵詞】空間距離點(diǎn)線(xiàn)距離點(diǎn)面距離異面直線(xiàn)距離公垂線(xiàn)段等體積法【正文】空間距離是衡量空間中點(diǎn)、線(xiàn)、面、體之間相對(duì)位置關(guān)系的重要的量?？臻g距離的求解是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是歷年高考考查的重點(diǎn)。空間距離主要包括：（1）兩點(diǎn)之間的距離；（2）點(diǎn)到直線(xiàn)的距離；（3）點(diǎn)到平面的距離；（4）兩條異面直線(xiàn)的距離；（5）與平面平行的直線(xiàn)到平面的距離；（6）兩平行平面間的距離。這六種距離的計(jì)算一般常接受“一作、二證、三計(jì)算”的方法求解。對(duì)同學(xué)來(lái)說(shuō)是較難把握的一種方法，難就難在“一作”上。所謂的“一作”就是作出點(diǎn)線(xiàn)或點(diǎn)面距中的垂線(xiàn)段，異面直線(xiàn)的公垂線(xiàn)段。除非有相當(dāng)?shù)幕竟Γ駝t這種方法很難運(yùn)用自如，因此就需要進(jìn)行轉(zhuǎn)化來(lái)求解這些空間距離。下面就介紹幾種常見(jiàn)的空間距離的計(jì)算方法，使得有些距離的計(jì)算可以避開(kāi)作(或找)公垂線(xiàn)段、垂線(xiàn)段的麻煩，使空間距離的計(jì)算變得比較簡(jiǎn)潔。一、兩點(diǎn)之間的距離兩點(diǎn)間的距離的計(jì)算通常有兩種方法：1、可以計(jì)算線(xiàn)段的長(zhǎng)度。把要求的線(xiàn)段放入某個(gè)三角形中，用勾股定理或余弦定理求解。2、可以用空間兩點(diǎn)間距離公式。假如圖形比較特殊，便于建立空間直角坐標(biāo)系，可寫(xiě)出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后代入兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算即可。二、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離在求解點(diǎn)到直線(xiàn)的距離時(shí)，通常是查找或構(gòu)造一個(gè)三角形。其中點(diǎn)是三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，直線(xiàn)是此頂點(diǎn)所對(duì)的一條邊，利用等面積法計(jì)算點(diǎn)線(xiàn)距離。所查找或構(gòu)造的三角形有等腰三角形（或等邊三角形）、直角三角形、一般三角形三類(lèi)，最關(guān)鍵的步驟是算出三角形的面積，然后用等面積法計(jì)算即可。其中最難計(jì)算的是一般三角形的面積，這類(lèi)面積的計(jì)算通常是已知三邊，先求出一個(gè)角的余弦值，再求出次角的正弦值，然后用正弦面積公式算出面積。例1、在△ABC中，AB=2，BC=3，AC=4，求點(diǎn)A到BC的距離。ABCDD解：作，垂足為D，又AB=2，BC=3，AC=4ABCDD點(diǎn)A到BC的距離為三、點(diǎn)到平面的距離求解點(diǎn)到平面的距離常用的方法有以下幾種：1、由已知的或可以證明垂直的關(guān)系，則垂線(xiàn)段的長(zhǎng)度就是點(diǎn)到平面的距離。2、過(guò)點(diǎn)作已知平面的垂線(xiàn)，可以找到垂足的位置，從而得到點(diǎn)到平面的距離。例如在正三棱錐中，求頂點(diǎn)到底面的距離，可以過(guò)正三棱錐的頂點(diǎn)作底面的垂線(xiàn)，垂足為底面正三角形的中心，然后通過(guò)計(jì)算求得距離。又例如若已知所在的平面與已知平面垂直，可以過(guò)點(diǎn)作兩平面交線(xiàn)的垂線(xiàn)，此點(diǎn)與垂足間的距離即為點(diǎn)到平面的距離。3、用等體積法求解點(diǎn)面距離。4、向量法：求點(diǎn)A到平面的距離：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)B，求向量在平面上的法向量上的射影長(zhǎng)，即例2、如圖，在長(zhǎng)方體中，E在AD上，且AE=1，F(xiàn)在AB上，且AF=3，（1）求點(diǎn)到直線(xiàn)EF的距離；（2）求點(diǎn)C到平面的距離。解：（1）連接FC,EC,由已知FC=，,,設(shè)到EF的距離為，則（2）設(shè)C到平面的距離為又四、兩條異面直線(xiàn)的距離1、對(duì)于特殊的圖形，可以作出異面直線(xiàn)的公垂線(xiàn)段并證明，然后算出公垂線(xiàn)段的長(zhǎng)度。2、轉(zhuǎn)化為兩個(gè)平行平面的距離，再轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面的距離進(jìn)行計(jì)算。例3、三角形ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，平面ABC，P點(diǎn)在平面ABC內(nèi)的射影為O，并且PA=PB=PC=。求異面直線(xiàn)PO與BC間的距離。分析：過(guò)點(diǎn)P作平面ABC的垂線(xiàn)段PO，但是必需了解垂足O的性質(zhì)，否則計(jì)算無(wú)法進(jìn)行。為此連結(jié)OA，OB，OC（如圖）．則由PA＝PB＝PC可得OA＝OB＝OC，即O是正三角形ABC的中心．于是可以在直角三角形PAO中由PA=EQ\F(2EQ\r(6),3),OA=EQ\F(2EQ\r(3),3)，得PO=EQ\F(2EQ\r(3),3)。有了以上基礎(chǔ)，只要延長(zhǎng)AO，交BC于D，則可證明OD即為異面直線(xiàn)PO與BC間的距離，為EQ\F(EQ\r(3),3)。五、直線(xiàn)到平面的距離直線(xiàn)到平面的距離是過(guò)直線(xiàn)上任意一點(diǎn)向平面作垂線(xiàn)所得垂線(xiàn)段的長(zhǎng)度，一般求解都是轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到平面的距離。例4、已知：正方體，，E為棱的中點(diǎn)。求到平面ADE的距離。解：