【優(yōu)化設(shè)計(jì)】2020-2021學(xué)年人教版高中數(shù)學(xué)選修2-2第一章章末綜合檢測(cè)

(時(shí)間：100分鐘；滿分：120分)一、選擇題(本大題共10小題，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．函數(shù)f(x)在x＝1處的導(dǎo)數(shù)為1，則eq\f(f1－x－f1＋x,3x)的值為()A．3 B．－eq\f(3,2)C.eq\f(1,3) D．－eq\f(2,3)解析：選D.由題意知f′(1)＝eq\f(f1＋x－f1,x)＝1，∴eq\f(f1－x－f1＋x,3x)＝eq\f(1,3)eq\f(f1－x－f1－[f1＋x－f1],x)＝eq\f(1,3)[－f′(1)－f′(1)]＝－eq\f(2,3).2．對(duì)任意的x，有f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，則此函數(shù)解析式可以為()A．f(x)＝x4 B．f(x)＝x4＋1C．f(x)＝x4－2 D．f(x)＝－x4解析：選C.由f′(x)＝4x3，可設(shè)f(x)＝x4＋c(c為常數(shù))，由f(1)＝－1得－1＝1＋c，∴c＝－2.3．設(shè)函數(shù)f(x)＝g(x)＋x2，曲線y＝g(x)在點(diǎn)(1，g(1))處的切線方程為y＝2x＋1，則曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處切線的斜率為()A．4 B．－eq\f(1,4)C．2 D．－eq\f(1,2)解析：選A.由已知g′(1)＝2，而f′(x)＝g′(x)＋2x，所以f′(1)＝g′(1)＋2×1＝4，故選A.4．曲線y＝e－2x＋1在點(diǎn)(0,2)處的切線與直線y＝0和y＝x圍成的三角形面積為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D．1解析：選A.y′＝－2e－2x，y′|x＝0＝－2，點(diǎn)(0,2)處的切線方程為y－2＝－2x.令y＝0得x＝1.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－2＝－2x,y＝x))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2,3)，,y＝\f(2,3)，))∴S＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×1＝eq\f(1,3).5．下列函數(shù)中，在區(qū)間(－1,1)上是減函數(shù)的是()A．y＝2－3x2 B．y＝lnxC．y＝eq\f(1,x－2) D．y＝sinx解析：選C.對(duì)于函數(shù)y＝eq\f(1,x－2)，其導(dǎo)數(shù)y′＝eq\f(－1,x－22)＜0，且函數(shù)在區(qū)間(－1,1)上有意義，所以函數(shù)y＝eq\f(1,x－2)在區(qū)間(－1,1)上是減函數(shù)，其余選項(xiàng)都不符合要求．6．如圖，拋物線的方程是y＝x2－1，則陰影部分的面積是()A.eq\i\in(0,2,)(x2－1)dxB．|eq\i\in(0,2,)(x2－1)dx|C.eq\i\in(0,2,)|x2－1|dxD.eq\i\in(0,1,)(x2－1)dx－eq\i\in(1,2,)(x2－1)dx解析：選C.由圖形可知陰影部分的面積為：eq\i\in(0,1,)(1－x2)dx＋eq\i\in(1,2,)(x2－1)dx.而eq\i\in(0,2,)|x2－1|dx＝eq\i\in(0,1,)(1－x2)dx＋eq\i\in(1,2,)(x2－1)dx.故選C.7．已知函數(shù)f(x)＝x3－px2－qx的圖象與x軸相切于點(diǎn)(1,0)，則f(x)的極值狀況為()A．極大值eq\f(4,27)，微小值0B．極大值0，微小值eq\f(4,27)C．極大值0，微小值－eq\f(4,27)D．極大值－eq\f(4,27)，微小值0解析：選A.f′(x)＝3x2－2px－q.依據(jù)題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1＝0，,f′1＝0.))則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－p－q＝0，,3－2p－q＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＝2，,q＝－1.))∴f(x)＝x3－2x2＋x，f′(x)＝3x2－4x＋1，令f′(x)＝0，得x＝eq\f(1,3)或x＝1.通過(guò)分析得，當(dāng)x＝eq\f(1,3)時(shí)，y取極大值eq\f(4,27)；當(dāng)x＝1時(shí)，y取微小值0.8．已知曲線方程f(x)＝sin2x＋2ax(a∈R)，若對(duì)任意實(shí)數(shù)m，直線l：x＋y＋m＝0都不是曲線y＝f(x)的切線，則a的取值范圍是()A．(－∞，－1)∪(－1,0)B．(－∞，－1)∪(0，＋∞)C．(－1,0)∪(0，＋∞)D．a(chǎn)∈R且a≠0，a≠－1解析：選B.若存在實(shí)數(shù)m，使直線l是曲線y＝f(x)的切線，∵f′(x)＝2sinxcosx＋2a＝sin2x＋2a，∴方程sin2x＋2a＝－1有解，∴－1≤a≤0，故所求a的取值范圍是(－∞，－1)∪(0，＋∞)，選B.9．設(shè)f(x)、g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，g(x)恒不為0，當(dāng)x＜0時(shí)，f′(x)g(x)－f(x)g′(x)＞0，且f(3)＝0，則不等式f(x)g(x)＜0的解集是()A．(－3,0)∪(3，＋∞)B．(－3,0)∪(0,3)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(0,3)解析：選D.令F(x)＝eq\f(fx,gx)，則F(x)為奇函數(shù)，F(xiàn)′(x)＝eq\f(f′xgx－fxg′x,g2x).∵當(dāng)x＜0時(shí)，F(xiàn)′(x)＞0.∴F(x)在區(qū)間(－∞，0)上為增函數(shù)．又F(3)＝eq\f(f3,g3)＝0，∴F(－3)＝0.∴當(dāng)x＜－3時(shí)，F(xiàn)(x)＜0；當(dāng)－3＜x＜0時(shí)，F(xiàn)(x)＞0.又F(x)為奇函數(shù)，∴當(dāng)0＜x＜3時(shí)，F(xiàn)(x)＜0；當(dāng)x＞3時(shí)，F(xiàn)(x)＞0.而不等式f(x)g(x)＜0和eq\f(fx,gx)＜0為同解不等式(g(x)恒不為0)，∴不等式f(x)g(x)＜0的解集為(－∞，－3)∪(0,3)．10.函數(shù)f(x)＝axm(1－x)n在區(qū)間[0,1]上的圖象如圖所示，則m，n的值可能是()A．m＝1，n＝1B．m＝1，n＝2C．m＝2，n＝1D．m＝3，n＝1解析：選B.觀看圖象易知，a>0，f(x)在[0,1]上先增后減，但在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上有增有減且不對(duì)稱(chēng)．對(duì)于選項(xiàng)A，m＝1，n＝1時(shí)，f(x)＝ax(1－x)是二次函數(shù)，圖象應(yīng)關(guān)于直線x＝eq\f(1,2)對(duì)稱(chēng)，不符合題意．對(duì)于選項(xiàng)B，m＝1，n＝2時(shí)，f(x)＝ax(1－x)2＝a(x3－2x2＋x)，f′(x)＝a(3x2－4x＋1)＝a(x－1)(3x－1)，令f′(x)≥0，得x≥1或x≤eq\f(1,3)，∴f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))上單調(diào)遞增，符合題意，選B.對(duì)于選項(xiàng)C，m＝2，n＝1時(shí)，f(x)＝ax2(1－x)＝a(x2－x3)，f′(x)＝a(2x－3x2)＝ax(2－3x)，令f′(x)≥0，得0≤x≤eq\f(2,3)，∴f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)))上單調(diào)遞增，不符合題意．對(duì)于選項(xiàng)D，m＝3，n＝1時(shí)，f(x)＝ax3(1－x)＝a(x3－x4)，f′(x)＝a(3x2－4x3)＝ax2(3－4x)，令f′(x)≥0，得0≤x≤eq\f(3,4)，∴f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)))上單調(diào)遞增，不符合題意．二、填空題(本大題共5小題，把答案填在題中橫線上)11．設(shè)函數(shù)f(x)是R上以5為周期的可導(dǎo)偶函數(shù)，則曲線y＝f(x)在x＝5處的切線的斜率為_(kāi)_______．解析：f(x)＝f(－x)?f′(x)＝－f′(－x)?y＝f′(x)為奇函數(shù)，故f′(0)＝0.又f(x)＝f(x＋5)?f′(x)＝f′(x＋5)?y＝f′(x)為周期函數(shù)，周期為5.由于f′(0)＝0，從而f′(5)＝0.答案：012.eq\i\in(1,2,)eq\f(1,xx＋1)dx＝________.解析：f(x)＝eq\f(1,xx＋1)＝eq\f(1,x)－eq\f(1,x＋1)，取F(x)＝lnx－ln(x＋1)＝lneq\f(x,x＋1)，則F′(x)＝eq\f(1,x)－eq\f(1,x＋1)，所以eq\i\in(1,2,)eq\f(1,xx＋1)dx＝eq\i\in(1,2,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－\f(1,x＋1)))dx＝＝lneq\f(4,3).答案：lneq\f(4,3)13．已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的導(dǎo)數(shù)為f′(x)，f′(0)＞0，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x都有f(x)≥0，則eq\f(f1,f′0)的最小值為_(kāi)_______．解析：f′(x)＝2ax＋b，有f′(0)＞0?b＞0.由于對(duì)于任意實(shí)數(shù)x都有f(x)≥0，從而eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0，,Δ＝b2－4ac≤0，))得c＞0，從而eq\f(f1,f′0)＝eq\f(a＋b＋c,b)＝1＋eq\f(a＋c,b)≥1＋eq\f(a＋c,2\r(ac))≥1＋eq\f(2\r(ac),2\r(ac))＝2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c時(shí)取等號(hào)．答案：214.如圖所示，A1，A2，…，Am－1(m≥2)將區(qū)間[0,1]m等分，直線x＝0，x＝1，y＝0和曲線y＝ex所圍成的區(qū)域?yàn)棣?，圖中m個(gè)矩形構(gòu)成的陰影區(qū)域?yàn)棣?.在Ω1中任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自Ω2的概率等于________．解析：依題意，陰影區(qū)域Ω2的面積為SΩ2＝eq\f(1,m)(1＋eeq\f(1,m)＋eeq\f(2,m)＋…＋eeq\f(m－1,m))＝eq\f(1,m)·；區(qū)域Ω1的面積為：SΩ1＝eq\i\in(0,1,)exdx＝e－1，由幾何概型的概率計(jì)算公式，得所求的概率答案：15．若以曲線y＝f(x)任意一點(diǎn)M(x，y)為切點(diǎn)作切線l，曲線上總存在異于M的點(diǎn)N(x1，y1)，以點(diǎn)N為切點(diǎn)作切線l1，且l∥l1，則稱(chēng)曲線y＝f(x)具有“可平行性”．下列曲線具有可平行性的編號(hào)為_(kāi)_______．(寫(xiě)出全部滿足條件的函數(shù)的編號(hào))①y＝x3－x②y＝x＋eq\f(1,x)③y＝sinx④y＝(x－2)2＋lnx解析：由題意可知，對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x值，總存在x1(x1≠x)使得f′(x1)＝f′(x)．對(duì)于①，由f′(x1)＝f′(x)可得xeq\o\al(2,1)＝x2，但當(dāng)x＝0時(shí)不符合題意，故不具有可平行性；對(duì)于②，由f′(x1)＝f′(x)可得eq\f(1,x\o\al(2,1))＝eq\f(1,x2)，此時(shí)對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x值，總存在x1＝－x，使得f′(x1)＝f′(x)；對(duì)于③，由f′(x1)＝f′(x)可得cosx1＝cosx，?x1＝x＋2kπ(k∈Z)，使得f′(x1)＝f′(x)；對(duì)于④，由f′(x1)＝f′(x)可得2(x1－2)＋eq\f(1,x1)＝2(x－2)＋eq\f(1,x)，整理得x1x＝eq\f(1,2)，但當(dāng)x＝eq\f(\r(2),2)時(shí)不符合題意，綜上，答案為②③.答案：②③三、解答題(本題共5小題，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)16．求由曲線xy＝1及直線x＝y(tǒng)，y＝3所圍成平面圖形的面積．解：作出曲線xy＝1，直線x＝y(tǒng)，y＝3的草圖，所求面積為圖中陰影部分的面積．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xy＝1,y＝3))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,3),y＝3))，故A(eq\f(1,3)，3)；由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xy＝1,y＝x))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1,y＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1,y＝－1))(舍去)，故B(1,1)；由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x,y＝3))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3,y＝3))，故C(3,3)．17．已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1時(shí)有極值0，求常數(shù)a，b的值．解：∵f(x)在x＝－1時(shí)有極值0，且f′(x)＝3x2＋6ax＋b，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f′－1＝0，,f－1＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－6a＋b＝0，,－1＋3a－b＋a2＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝3，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝9.))當(dāng)a＝1，b＝3時(shí)，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，∴f(x)在R上為增函數(shù)，無(wú)極值，故舍去．當(dāng)a＝2，b＝9時(shí)，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)，當(dāng)x∈(－∞，－3)時(shí)，f(x)為增函數(shù)；當(dāng)x∈(－3，－1)時(shí)，f(x)為減函數(shù)；當(dāng)x∈(－1，＋∞)時(shí)，f(x)為增函數(shù)；∴f(x)在x＝－1時(shí)取得微小值．∴a＝2，b＝9.18．設(shè)曲線f(x)＝x2＋1和g(x)＝x3＋x在其交點(diǎn)處兩切線的夾角為θ，求cosθ.解：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x2＋1，,y＝x3＋x，))得x3－x2＋x－1＝0，即(x－1)(x2＋1)＝0，∴x＝1，∴交點(diǎn)為(1,2)．又f′(x)＝2x，∴f′(1)＝2，∴曲線y＝f(x)在交點(diǎn)處的切線l1的方程為y－2＝2(x－1)，即y＝2x，又g′(x)＝3x2＋1.∴g′(1)＝4.∴曲線y＝g(x)在交點(diǎn)處的切線l2的方程為y－2＝4(x－1)，即y＝4x－2.取切線l1的方向向量為a＝(1,2)，切線l2的方向向量為b＝(1,4)，則cosθ＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(9,\r(5)×\r(17))＝eq\f(9\r(85),85).19．設(shè)函數(shù)f(x)＝a2lnx－x2＋ax(a>0)．(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)求全部的實(shí)數(shù)a，使e－1≤f(x)≤e2對(duì)x∈[1，e]恒成立．解：(1)由于f(x)＝a2lnx－x2＋ax，其中x>0，所以f′(x)＝eq\f(a2,x)－2x＋a＝－eq\f(x－a2x＋a,x).由于