【核按鈕】2021高考新課標(biāo)數(shù)學(xué)(理)配套文檔：8.3-空間點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系

§8.3空間點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系1．理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義．2．了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理．3．能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡(jiǎn)潔命題．本節(jié)內(nèi)容在高考中常以幾何體為載體，考查平面的基本性質(zhì)、空間兩直線的位置關(guān)系的判定及運(yùn)用，特殊是異面直線的概念、所成角的計(jì)算等．題型多以選擇、填空的形式消滅，有時(shí)也消滅在解答題中，以此考查同學(xué)的空間想象力量、規(guī)律推理力量．1．平面的基本性質(zhì)(1)公理1：假如一條直線上的______在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)．它的作用是可用來(lái)證明點(diǎn)在平面內(nèi)或__________________．(2)公理2：過(guò)____________上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．公理2的推論如下：①經(jīng)過(guò)一條直線和直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面；②經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面；③經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面．公理2及其推論的作用是可用來(lái)確定一個(gè)平面，或用來(lái)證明點(diǎn)、線共面．(3)公理3：假如兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們____________過(guò)該點(diǎn)的公共直線．它的作用是可用來(lái)確定兩個(gè)平面的交線，或證明三點(diǎn)共線、三線共點(diǎn)等問(wèn)題．2．空間兩條直線的位置關(guān)系(1)位置關(guān)系的分類(2)異面直線①定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線．注：異面直線定義中“不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線”是指“不行能找到一個(gè)平面能同時(shí)經(jīng)過(guò)這兩條直線”，也可以理解為“既不平行也不相交的兩條直線”，但是不能理解為“分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線”．②異面直線的畫(huà)法：畫(huà)異面直線時(shí)，為了充分顯示出它們既不平行又不相交，也不共面的特點(diǎn)，經(jīng)常需要以幫助平面作為襯托，以加強(qiáng)直觀性．③異面直線所成的角：已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O作直線a′∥a，b′∥b，把a(bǔ)′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．異面直線所成角的范圍是____________．若兩條異面直線所成的角是直角，則稱兩條異面直線__________，所以空間兩條直線垂直分為相交垂直和__________．3．平行公理公理4：平行于____________的兩條直線相互平行(空間平行線的傳遞性)．它給出了推斷空間兩條直線平行的依據(jù)．4．等角定理等角定理：空間中假如兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角____________．【自查自糾】1．(1)兩點(diǎn)直線在平面內(nèi)(2)不在一條直線(3)有且只有一條2．(1)一個(gè)公共點(diǎn)沒(méi)有公共點(diǎn)沒(méi)有公共點(diǎn)(2)③eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))相互垂直異面垂直3．同一條直線4．相等或互補(bǔ)(eq\a\vs4\al(2021·安徽))在下列命題中，不是公理的是()A．平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面相互平行B．過(guò)不在同始終線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面C．假如一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上全部的點(diǎn)都在此平面內(nèi)D．假如兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線解：公理是不需要證明的原始命題，而選項(xiàng)A是面面平行的性質(zhì)定理，故選A.若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA與O1A1A．OB∥O1B1且方向相同B．OB∥O1B1C．OB與O1B1不平行D．OB與O1B1不肯定平行解：兩角相等，角的一邊平行且方向相同，另一邊不肯定平行，如圓錐的母線與軸的夾角．故選D.若點(diǎn)P∈α，Q∈α，R∈β，α∩β＝m，且Rm，PQ∩m＝M，過(guò)P，Q，R三點(diǎn)確定一個(gè)平面γ，則β∩γ是()A．直線QR B．直線PRC．直線RM D．以上均不正確解：∵PQ∩m＝M，m?β，∴M∈β.又M∈平面PQR，即M∈γ，故M是β與γ的公共點(diǎn)．又R∈β，R∈平面PQR，即R∈γ，∴R是β與γ的公共點(diǎn)．∴β∩γ＝MR.故選C.給出下列命題：①空間四點(diǎn)共面，則其中必有三點(diǎn)共線；②空間四點(diǎn)不共面，則其中任何三點(diǎn)不共線；③空間四點(diǎn)中有三點(diǎn)共線，則此四點(diǎn)必共面；④空間四點(diǎn)中任何三點(diǎn)不共線，則此四點(diǎn)不共面．其中正確命題的序號(hào)是____________．解：易知②③正確．故填②③.在空間四邊形ABCD中，已知E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，且EF＝5，又AD＝6，BC＝8，則AD與BC所成角的大小是____________．解：如圖所示，取BD的中點(diǎn)G，連接EG，GF，依據(jù)題意有EG∥AD，GF∥BC，∴直線AD與BC所成的角與直線EG與GF的夾角相等，即∠EGF.又∵AD＝6，BC＝8，∴EG＝eq\f(1,2)AD＝3，GF＝eq\f(1,2)BC＝4，在△EGF中，EF＝5，∴EF2＝EG2＋GF2.∴∠EGF＝90°，則異面直線AD與BC所成的角為90°.故填90°.類型一基本概念與性質(zhì)問(wèn)題如圖，四棱錐S-ABCD的底面為正方形，SD⊥底面ABCD，則下列結(jié)論中不正確的是()A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA與平面SBD所成的角等于SC與平面SBD所成的角D．AB與SC所成的角等于DC與SA所成的角解：由線面垂直關(guān)系知AC⊥SB.由線面平行判定知AB∥平面SCD.由圖形對(duì)稱性知C也正確．對(duì)于選項(xiàng)D，AB與SC所成的角為∠SCD，DC與SA所成的角為∠SAB＝90°，∴D錯(cuò)．故選D.【評(píng)析】此題雖是小題，但對(duì)空間中的線與線和線與面的關(guān)系的考查卻很深刻，除用常規(guī)的方法證明垂直與平行外，對(duì)運(yùn)用線面角、異面直線所成角和二面角的定義證題的方法也要嫻熟把握，否則此題若建系求解，就會(huì)造成“小題大作”，鋪張時(shí)間．如圖，已知正方體ABCD-A′B′C′D′.(1)哪些棱所在直線與直線BA′是異面直線？(2)直線BA′和CC′的夾角是多少？(3)哪些棱所在的直線與直線AA′垂直？解：(1)由異面直線的定義可知，棱AD，DC，CC′，DD′，D′C′，B′C′所在直線分別與直線BA′是異面直線．(2)由BB′∥CC′可知，∠B′BA′為異面直線BA′與CC′的夾角，∠B′BA′＝45°，所以直線BA′與CC′的夾角為45°.(3)直線AB，BC，CD，DA，A′B′，B′C′，C′D′，D′A′分別與直線AA′垂直．類型二點(diǎn)共線、線共點(diǎn)問(wèn)題如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形內(nèi)AB，BC，CD，DA上的點(diǎn)，且EH與FG交于點(diǎn)O.求證：B，D，O三點(diǎn)共線．證明：∵點(diǎn)E∈平面ABD，點(diǎn)H∈平面ABD，∴EH?平面ABD.∵EH∩FG＝O，∴點(diǎn)O∈平面ABD.同理可證點(diǎn)O∈平面BCD.∴點(diǎn)O∈平面ABD∩平面BCD＝BD.即B，D，O三點(diǎn)共線．【評(píng)析】(1)本題是一道經(jīng)典的點(diǎn)共線問(wèn)題，它體現(xiàn)了證明點(diǎn)共線的基本思路：首先由其中的兩個(gè)點(diǎn)B和D確定一條直線，然后證明點(diǎn)O也是直線BD上的點(diǎn)，也就是證明點(diǎn)O是兩個(gè)平面的交線上的點(diǎn)．在證明點(diǎn)O也是直線BD上的點(diǎn)時(shí)，運(yùn)用了公理1以及公理3，這種方法是證明點(diǎn)共線的通用方法．(2)證明空間三線共點(diǎn)問(wèn)題，先證兩條直線交于一點(diǎn)，再證明第三條直線經(jīng)過(guò)這點(diǎn)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明點(diǎn)在直線上，如變式2.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為AB，AA1的中點(diǎn)．求證：(1)EF∥D1C(2)CE，D1F，DA三線共點(diǎn)證明：(1)連接A1B，則EF∥A1B，A1B∥D1C.∴EF∥D1(2)∵面D1A∩面CA＝DA且EF∥D1C，EF＝eq\f(1,2)D1C，∴D1F與CE又D1F?面D1A，CE?面∴D1F與CE的交點(diǎn)必在DA∴CE，D1F，DA類型三共面問(wèn)題如圖，四邊形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綊eq\f(1,2)AD，BE綊eq\f(1,2)FA，G、H分別為FA、FD的中點(diǎn)．(1)證明：四邊形BCHG是平行四邊形；(2)C、D、F、E四點(diǎn)是否共面？為什么？解：(1)證明：∵GH是△AFD的中位線，∴GH綊eq\f(1,2)AD.又BC綊eq\f(1,2)AD，∴GH綊BC，∴四邊形BCHG為平行四邊形．(2)C、D、F、E四點(diǎn)共面．理由：BE綊eq\f(1,2)AF，又由G為FA中點(diǎn)知，BE綊FG，∴四邊形BEFG為平行四邊形，∴EF∥BG.由(1)知BG∥CH，∴EF∥CH，∴EF與CH共面．又D∈FH，∴C、D、F、E四點(diǎn)共面．【評(píng)析】點(diǎn)共面的證明方法和點(diǎn)共線的證明方法類似，即先由部分點(diǎn)或者線確定一個(gè)平面，再證明其余的點(diǎn)或者在該平面內(nèi)，或者由另外一部分點(diǎn)確定另一個(gè)平面，再證明這兩個(gè)平面是同一個(gè)平面．無(wú)論是點(diǎn)共線、線共點(diǎn)問(wèn)題，還是共面問(wèn)題，我們基本上是運(yùn)用公理及其推論來(lái)進(jìn)行演繹推理，其演繹推理的基本步驟是：首先由部分點(diǎn)或者線確定一條直線或者一個(gè)平面，再運(yùn)用公理或者推論，證明剩余的點(diǎn)、線也在這條直線或者這個(gè)平面內(nèi)．下列如圖所示的正方體和正四周體，P、Q、R、S分別是所在棱的中點(diǎn)，則四個(gè)點(diǎn)共面的圖形是____________．(填全部滿足條件圖形的序號(hào))解：易知①③中PS∥QR，∴四點(diǎn)共面．在②中構(gòu)造如圖所示的含點(diǎn)P，S，R，Q的正六邊形，易知四點(diǎn)共面．在④中，由點(diǎn)P，R，Q確定平面α，由圖象觀看知點(diǎn)S在平面α外，因此四點(diǎn)不共面．綜上知，故填①②③.類型四異面直線問(wèn)題如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠DAB＝60°，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，PO⊥平面ABCD，PB與平面ABCD所成的角為60°.(1)求四棱錐的體積；(2)若E是PB的中點(diǎn)，求異面直線DE與PA所成的角的余弦值．解：(1)在四棱錐P-ABCD中，∵PO⊥平面ABCD，∴∠PBO是PB與平面ABCD所成的角，即∠PBO＝60°，且PO⊥OB.在Rt△AOB中，∵AB＝2，∴BO＝AB·sin30°＝1.在Rt△POB中，PO＝BO·tan60°＝eq\r(3)，∵底面菱形面積S＝2eq\r(3)，∴四棱錐P-ABCD的體積VP-ABCD＝eq\f(1,3)×2eq\r(3)×eq\r(3)＝2.(2)取AB的中點(diǎn)F，連結(jié)EF，DF.∵E為PB中點(diǎn)，∴EF∥PA.∴∠DEF為異面直線DE與PA所成角(或其補(bǔ)角)．在Rt△POA中，PA＝eq\r(6)，∴EF＝eq\f(\r(6),2).在正△ABD和正△PDB中，DF＝DE＝eq\r(3)，由余弦定理得cos∠DEF＝eq\f(DE2＋EF2－DF2,2DE·EF)＝eq\f(（\r(3)）2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))\s\up12(2)－（\r(3)）2,2×\r(3)×\f(\r(6),2))＝eq\f(\f(6,4),3\r(2))＝eq\f(\r(2),4).∴異面直線DE與PA所成角的余弦值為eq\f(\r(2),4).【評(píng)析】探求常規(guī)的異面直線所成角的問(wèn)題，首先要理清求角的基本步驟為“一作，二證，三求”，通過(guò)平行線或補(bǔ)形平移法把異面直線轉(zhuǎn)化為相交直線進(jìn)而求其夾角，其中空間選點(diǎn)任意但要機(jī)敏，如常選擇“端點(diǎn)，中點(diǎn)，等分點(diǎn)”，通過(guò)三角形的中位線平行于底邊，長(zhǎng)方體對(duì)面上的平行線進(jìn)行平移等．這是爭(zhēng)辯空間圖形的一種基本思路，即把空間圖形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面圖形問(wèn)題．已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等，A1在底面ABC上的射影為BC的中點(diǎn)，則異面直線AB與CC1所成角的余弦值為()A.eq\f(\r(3),4) B.eq\f(\r(5),4) C.eq\f(\r(7),4) D.eq\f(3,4)解：設(shè)BC的中點(diǎn)為D，連接A1D，AD，易知θ＝∠A1AB即為異面直線AB與CC1所成的角或其補(bǔ)角．在△A1AB內(nèi)，由A1在底面ABC上的射影為BC的中點(diǎn)，得Rt△A1ADRt△BAD，從而A1D＝BD＝eq\f(1,2)AB，所以A1B＝eq\f(\r(2),2)AB，在△A1AB中，設(shè)AB長(zhǎng)為a，則A1B＝eq\f(\r(2),2)a.由余弦定理得：cos∠A1AB＝eq\f(a2＋a2－\f(1,2)a2,2a2)＝eq\f(3,4).故選D.1．公理1，2，3是進(jìn)一步學(xué)習(xí)和爭(zhēng)辯立體幾何的基石，也是解題中進(jìn)行規(guī)律推理和演繹推理的基礎(chǔ)，在這些公理基礎(chǔ)之上，我們產(chǎn)生了直線和平面平行、垂直以及平面和平面平行、垂直的一些判定定理和性質(zhì)定理，這些判定定理和性質(zhì)定理是我們將立體幾何轉(zhuǎn)化為平面幾何的橋梁，特殊是公理2的三個(gè)推論，是實(shí)現(xiàn)立體問(wèn)題平面化的重要工具．2．推斷兩條直線為異面直線的方法有：(1)定義法；(2)反證法：要證明兩條直線是異面直線，只需證明它們既不相交，也不平行即可；(3)判定定理：與一平面相交于一點(diǎn)的直線與這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)交點(diǎn)的直線是異面直線．3．求兩條異面直線所成角的步驟是：先作圖，再證明，后計(jì)算．作圖，往往過(guò)其中一條直線上一點(diǎn)作另外一條直線的平行線，或過(guò)空間一特殊點(diǎn)分別作兩條直線的平行線；證明，即證明作圖中所產(chǎn)生的某個(gè)角是異面直線所成的角；計(jì)算，一般在一個(gè)三角形中求解，這往往需要運(yùn)用正弦定理或余弦定理來(lái)解決，假如計(jì)算出來(lái)的角度是鈍角，則需要轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的銳角，由于異面直線所成角的范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).4．證明“線共面”或者“點(diǎn)共面”問(wèn)題時(shí)，運(yùn)用同一法，可以先由部分直線或者點(diǎn)確定一個(gè)平面，再證明其余的直線或者其余