《金版學(xué)案》2022屆高考數(shù)學(xué)理科一輪復(fù)習(xí)課時作業(yè)-2-15用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題-

第十五節(jié)用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題題號1234答案1.把長100cm的鐵絲分成兩段，各圍成一個正方形，當(dāng)兩正方形面積之和最小時，兩段長分別為()A．20cm，80cmB．40cm，60cmC．50cm，50cmD．30cm，70cm解析：設(shè)一段長為x，則另一段長為100－x，∴S＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,4)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(100－x,4)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,16)[x2＋(100－x)2]＝eq\f(1,16)(2x2－200x＋10000)．令S′＝0，得eq\f(1,16)(4x－200)＝0，∴x＝50.故選C.答案：C2．已知一球的半徑為r，作內(nèi)接于球的圓柱，則圓柱的側(cè)面積最大值為()A．2πr2B．3πr2C．4πr2D.eq\f(1,2)πr2解析：設(shè)圓柱高h,圓柱底半徑x，則(2x)2＋h2＝(2r)2；S側(cè)＝2πxh＝2πxeq\r(4r2－4x2)，令y＝S側(cè)2＝16π2(－x4＋r2x2)，y′＝0得唯一極值點x＝eq\f(\r(2),2)r，所以h＝eq\r(2)r.所以S側(cè)最大值2πr2，故選A.答案：A3．進貨原價為80元的商品400個，按90元一個售出時，可全部賣出．已知這種商品每個漲價一元，其銷售數(shù)就削減20個，所獲得利潤最大時售價應(yīng)為()A．90元B．95元C．100元D．105元解析：設(shè)售價為90＋x元時利潤為y，此時售量為400－20x.y＝f(x)＝(90＋x)(400－20x)－(400－20x)×80＝20(20－x)(10＋x)，求導(dǎo)得：y′＝20(－2x＋10)，令y′＝0，得x＝5，所以當(dāng)x＝5時，ymax＝4500(元)，即售價為95元時獲利最大，其最大值為4500元，故選B.答案：B4．用長為90cm、寬為48cm的長方形鐵皮做一個無蓋的容器，先在四角分別截去一個大小相同的小正方形，然后把四邊翻轉(zhuǎn)90°角，再焊接而成(如圖)，當(dāng)容器的容積最大時，該容器的高為()A．8cmB．9cmC．10cmD．12cm解析：設(shè)容器的高為xcm，容器的容積為V(x)cm3，則V(x)＝(90－2x)(48－2x)x＝4x3－276x2＋4320x(0<x<24)，∵V′(x)＝12x2－552x＋4320，由V′(x)＝12x2－552x＋4320＝0?x2－46x＋360＝0，解得x1＝10，x2＝36(舍去)．∵當(dāng)0<x<10時，V′(x)>0；當(dāng)10<x<24時，V′(x)<0，∴當(dāng)x＝10時，V(x)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，24))內(nèi)有唯一極值，且取極大值．∴容器高x＝10cm時，容器容積V(x)最大．故選C.答案：C5．有一個長度為5m的梯子貼靠在筆直的墻上，假設(shè)其下端沿地板以3m/s的速度離開墻腳滑動，當(dāng)其下端離開墻腳1.4m時，梯子上端下滑的速度為____________．解析：設(shè)經(jīng)時間t秒梯子上端下滑s米，則s＝5－eq\r(25－9t2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0≤t≤\f(5,3)))，當(dāng)下端移開1.4m時，t0＝eq\f(1.4,3)＝eq\f(7,15)，又s′＝－eq\f(1,2)(25－9t2)－eq\f(1,2)·(－9·2t)＝eq\f(9t,\r(25－9t2))，所以s′(t0)＝9×eq\f(7,15)×eq\f(1,\r(25－9×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,15)))\s\up12(2)))＝0.875(m/s)．答案：0.875m/s6．在直徑為d的圓木中，截取一個具有最大抗彎強度的長方體梁，則矩形面的長為________(強度與bh2成正比，其中h為矩形的長，b為矩形的寬)．解析：如圖為圓木的橫截面，∵b2＋h2＝d2，∴bh2＝b(d2－b2)．設(shè)f(b)＝b(d2－b2)，∴f′(b)＝－3b2＋d2.令f′(b)＝0，由于b＞0，∴b＝eq\f(\r(3),3)d，且在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),3)d))上f′(b)＞0，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)d，d))上，f′(b)＜0.∴函數(shù)f(b)在b＝eq\f(\r(3),3)d處取得極大值，也是最大值，即抗彎強度最大，此時長h＝eq\f(\r(6),3)d.答案：eq\f(\r(6),3)d7．高新開發(fā)區(qū)某公司生產(chǎn)一種品牌筆記本電腦的投入成本是4500元/臺．當(dāng)筆記本電腦銷售價為6000元/臺時，月銷售量為a臺．市場分析的結(jié)果表明，假如筆記本電腦的銷售價提高的百分率為x(0<x<1)，那么月銷售量削減的百分率為x2.記銷售價提高的百分率為x時，電腦企業(yè)的月利潤是y元．(1)寫出月利潤y與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)如何確定這種筆記本電腦的銷售價，可使得該公司的月利潤最大？解析：(1)依題意，銷售價提高后變?yōu)?000(1＋x)元/臺，月銷售量為a(1－x2)臺，則y＝a(1－x2)[6000(1＋x)－4500]，即y＝1500a(－4x3－x2＋4x＋1)，0<x<1.(2)由(1)知y′＝1500a(－12x2－2x＋4)，令y′＝0，得6x2＋x－2＝0，解得x＝eq\f(1,2)或x＝－eq\f(2,3)(舍去)．當(dāng)0<x<eq\f(1,2)時，y′>0；當(dāng)eq\f(1,2)<x<1時，y′<0.故當(dāng)x＝eq\f(1,2)時，y取得最大值．此時銷售價為6000×eq\f(3,2)＝9000(元)．故筆記本電腦的銷售價為9000元/臺時，該公司的月利潤最大．8．如圖所示，將一矩形花壇ABCD擴建成一個更大的矩形花壇AMPN，要求M在AB的延長線上，N在AD的延長線上，且對角線MN過C點．已知AB＝3米，AD＝2米．(1)設(shè)AN＝x(單位：米)，要使花壇AMPN的面積大于32平方米，求x的取值范圍；(2)若x∈[3，4)(單位：米)，則當(dāng)AM，AN的長度分別是多少時，花壇AMPN的面積最大？并求出最大面積．解析：由于eq\f(DN,AN)＝eq\f(DC,AM)，則AM＝eq\f(3x,x－2)，故SAMPN＝AN·AM＝eq\f(3x2,x－2).(1)由SAMPN＞32得eq\f(3x2,x－2)＞32，由于x＞2，所以3x2－32x＋64＞0，即(3x－8)(x－8)＞0，從而2＜x＜eq\f(8,3)或x＞8，即x的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(8,3)))∪(8，＋∞)．(2)令y＝eq\f(3x2,x－2)，則y′＝eq\f(6x（x－2）－3x2,（x－2）2)＝eq\f(3x（x－4）,（x－2）2)，由于當(dāng)x∈[3，4)時，y′＜0，所以函數(shù)y＝eq\f(3x2,x－2)在[3，4)上為單調(diào)遞減函數(shù)，從而當(dāng)x＝3時，y＝eq\f(3x2,x－2)取得最大值，即花壇AMPN的面積最大為27平方米，此時AN＝3米，AM＝9米．9．某商場估量2022年從1月起前x個月顧客對某種商品的需求總量P(x)(單位：件)與月份x的近似關(guān)系是：P(x)＝eq\f(1,2)x(x＋1)(41－2x)(x≤12且x∈N*)．(1)寫出第x月的需求量f(x)的表達式；(2)若第x月的銷售量g(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（x）－21x，1≤x<7，,\f(x2,ex)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x2－10x＋96))，7≤x≤12，))(x∈N*)．(單位：件)，每件利潤q(x)元與月份x的近似關(guān)系為：q(x)＝eq\f(1000ex－6,x)，該商場銷售該商品，估量第幾月的月利潤達到最大值？月利潤最大值是多少？(參考數(shù)據(jù)：e6≈403)解析：(1)當(dāng)x＝1時，f(1)＝P(1)＝39；當(dāng)x≥2時，f(x)＝P(x)－P(x－1)＝eq\f(1,2)x(x＋1)(41－2x)－eq\f(1,2)(x－1)x(43－2x)＝－3x2＋42x.又f(1)＝－3×12＋42×1＝39，∴f(x)＝－3x2＋42x(x≤12，x∈N*)．(2)h(x)＝q(x)·g(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3000ex－6（7－x），1≤x<7，,\f(1000,e6)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x3－10x2＋96x))，7≤x≤12，))h′(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3000ex－6（6－x），1≤x＜7，,\f(1000,e6)（x－8）（x－12），7≤x≤12，))(x∈N*)．∵當(dāng)1≤x≤6時，h′(x