《機械制圖》課件1第2章

第2章正投影法基本原理2.1正投影法與三視圖

2.2點的投影

2.3直線的投影

2.4平面的投影

*2.5求一般位置直線的實長及其對投影面的傾角

2.1正投影法與三視圖

2.1.1投影法概念生活中,投影現(xiàn)象隨處可見。在陽光下,各種物體都在地面上留下其落影;在燈光下,桌面上方的三角板也會在桌面上投下其影子,如圖2-1所示。人們根據(jù)生產(chǎn)活動的需要,對這種現(xiàn)象經(jīng)過科學(xué)的抽象,總結(jié)出了影子和物體之間的幾何關(guān)系,逐步形成了投影法。

圖

2-1燈光下三角板在桌面上的影子

所謂投影法,就是投射線通過物體,投向選定的投影面,并在該投影面上得到圖形的方法。根據(jù)投影法所得到的圖形稱為投影，投影法中得到投影的面稱為投影面,如圖2－2所示。

圖

2-2投影法

1.中心投影法

要獲得投影,必須具備投射線、物體和投影面這三個基本條件。如圖2-3所示,將薄板ABCD放在投影面P和投射中心S之間,自S分別向A、B、C、D引投射線并延長之,使之與投影面P交于a、b、c、d四點,這四點即為四邊形頂點A、B、C、D在投影面P上的投影。這種投射線匯交一點的投影法,稱為中心投影法。圖

2-3中心投影法

圖

2-4采用中心投影法繪制的圖樣

2.平行投影法

若將圖2-3中的投射中心S移至無限遠處,則投射線都相互平行,如圖2-5所示。這種投射線相互平行的投影法稱為平行投影法。

平行投影法按投射線是否垂直于投影面,又可分為斜投影法和正投影法。

(1)斜投影法:投射線與投影面相傾斜的平行投影法。根據(jù)斜投影法所得到的圖形稱為斜投影或斜投影圖,如圖2-5(a)所示。

(2)正投影法:投射線與投影面相垂直的平行投影法。根據(jù)正投影法所得到的圖形稱為正投影或正投影圖,如圖2-5(b)所示。由于正投影法的投射線相互平行且垂直于投影面,因此,當(dāng)空間平面圖形平行于投影面時,其投影將反映該平面圖形的真實形狀和大小,即使改變它與投影面之間的距離,其投影形狀和大小也不會改變。因此,繪制機械圖樣時主要采用正投影法,以后簡稱為投影。應(yīng)當(dāng)指出,對物體進行投射時,要將物體放在觀察者與投影面之間,即始終要保持“人→物體→投影面”這種相對位置關(guān)系。

圖2-5平行投影法(a)斜投影法；

(b)正投影法

2.1.2正投影的投影特性

(1)真實性。平面圖形(或直線)與投影面平行時,其投影反映實形(或?qū)嶉L)的性質(zhì)稱為真實性,如圖2-6所示。

圖

2-6正投影法的真實性

(2)積聚性。平面圖形(或直線)與投影面垂直時,其投影積聚為一條直線(或一個點)的性質(zhì)稱為積聚性,如圖2-7所示。

(3)類似性。平面圖形(或直線)與投影面傾斜時,其投影變小(或變短),但投影的形狀與原來形狀相類似的性質(zhì)稱為類似性,如圖2-8所示。

圖2-7正投影法的積聚性圖

2-8正投影法的類似性

2.1.3三視圖的概念

1.視圖的基本概念用正投影法獲得的物體的投影圖稱為視圖。圖2-9所示為物體在一個投影面上的視圖。

圖

2-9物體的視圖

圖2-10中，兩個不同形狀的物體在同一個投影面上的視圖相同。因此,如果不加其他說明,只根據(jù)一個視圖是不能確定物體的形狀的。要反映物體的完整形狀,必須增加不同方向的視圖,通常用三面視圖來表示。

圖

2-10不同物體的單面視圖相同

圖

2-11三投影面體系

三個投影面分別為:正立投影面,簡稱正面,用V表示;水平投影面,簡稱水平面,用H表示;側(cè)立投影面,簡稱側(cè)面,用W表示。相互垂直的投影面之間的交線稱為投影軸,它們分別是:OX軸(簡稱X軸),是V面與H面的交線,它代表長度方向;OY軸(簡稱Y軸),是H面與W面的交線,它代表寬度方向;OZ軸(簡稱Z軸),是V面與W面的交線,它代表高度方向。三根投影軸相互垂直,其交點O稱為原點。

2.物體在三投影面體系中的投影將物體放置在三投影面體系中,按正投影法向各投影面投射,即可分別得到物體的正面投影、水平投影和側(cè)面投影,如圖2-12(a)所示。

圖

2-12物體的三視圖

3.三投影面的展開

為了畫圖方便,需將相互垂直的三個投影面攤平在同一個平面上。規(guī)定:正立投影面不動,將水平投影面繞OX軸向下旋轉(zhuǎn)90°,將側(cè)立投影面繞OZ軸向右旋轉(zhuǎn)90°,分別重合到正立投影面上(這個平面就是圖紙),如圖2-12(b)所示。應(yīng)注意,水平投影面和側(cè)立投影面旋轉(zhuǎn)時,OY軸被分為兩處,分別用OYH(在H面上)和OYW(在W面上)表示。物體在V面上的投影,也就是由前向后投射所得的視圖,稱為主視圖;物體在H面上的投影,也就是由上向下投射所得的視圖,稱為俯視圖;物體在W面上的投影,也就是由左向右投射所得的視圖,稱為左視圖,如圖2-12(b)所示。以后畫圖時,不用畫出投影面的范圍,因為它的大小與視圖無關(guān)。這樣,三視圖則更為清晰,如圖2-12(c)所示。

2.1.4三視圖的投影規(guī)律

1.三視圖間的位置關(guān)系以主視圖為準(zhǔn),俯視圖在它的正下方,左視圖在它的正右方,如圖2-12(c)所示。

2.三視圖間的投影關(guān)系

從三視圖的形成過程中可以看出,物體有長、寬、高三個方向尺度,但每個視圖只能反映其中的兩個,如圖2-13所示。

主視圖反映物體的長度(X方向)和高度(Z方向);

俯視圖反映物體的長度(X方向)和寬度(Y方向);左視圖反映物體的寬度(Y方向)和高度(Z方向)。

由此歸納得出:主、俯視圖,長對正(等長);主、左視圖,高平齊(等高);俯、左視圖,寬相等(等寬)。應(yīng)當(dāng)指出,無論是整個物體還是物體的局部,其三面投影都必須符合“長對正、高平齊、寬相等”的“三等”規(guī)律。作圖時,為了實現(xiàn)俯、左視圖寬相等,可利用過原點O所做的45°輔助線,來求得其對應(yīng)關(guān)系,如圖2-13(a)所示。

圖

2-13物體的三視圖間的投影關(guān)系

3.視圖與物體的方位關(guān)系

所謂方位關(guān)系,指的是以繪圖者(或看圖者)面對正面(即主視圖的投射方向)來觀察物體為準(zhǔn),看物體的上、下、左、右、前、后六個方位在三視圖中的對應(yīng)關(guān)系,如圖2－13(b)所示,即:主視圖反映物體的上、下和左、右;俯視圖反映物體的左、右和前、后;左視圖反映物體的上、下和前、后。由圖2-13(b)可知,俯、左視圖靠近主視圖的一側(cè)(里側(cè))表示物體的后面,遠離主視圖的一側(cè)(外側(cè))表示物體的前面。

2.2點的投影

2.2.1點的投影特性設(shè)在空間有一點A,由該點分別向H、V、W

面引垂線,則垂足a、a′、a″即為點A的三面投影,如圖2-15(a)所示。移去空間點A,將H面繞OX軸向下旋轉(zhuǎn)90°,將W面繞OZ軸向右旋轉(zhuǎn)90°,使其與V面形成一個平面,即得點A的三面投影圖,如圖2-15(b)所示。圖中,ax、ay(ayH

、ayW)、az分別為點的投影連線與投影軸X、Y、Z的交點。圖2-14三棱錐上的點及其投影圖

2-15點的三面投影

由空間點A得到其三面投影a、a′、a″的過程,可總結(jié)出點的投影規(guī)律:

(1)點的兩面投影的連線必定垂直于相應(yīng)的投影軸,即:

aa′⊥OX;

a′a″⊥OZ;

aayH⊥OYH,a″ayW⊥OYW。顯然,點的投影規(guī)律與三視圖的投影規(guī)律“長對正、高平齊、寬相等”是一致的。

(2)點的投影到投影軸的距離等于空間點到對應(yīng)投影面的距離,即:

a′ax＝a″ay=A點到H面的距離Aa;

aax＝a″az=A點到V面的距離Aa′;

aay＝a′az=A點到W面的距離Aa″。2.2.2點的投影與直角坐標(biāo)的關(guān)系點的空間位置可用直角坐標(biāo)來表示,即把投影面當(dāng)作坐標(biāo)面,投影軸當(dāng)作坐標(biāo)軸,三個軸的交點O即為坐標(biāo)原點。從圖2-16可以看出,空間點A到W面的距離Aa″平行且等于OX軸上的線段Oax。我們把Oax叫作A點的X方向坐標(biāo),并以x表示其大小。對其他兩個方向作類似的推導(dǎo),即可得出下面的坐標(biāo)與距離的關(guān)系:

x＝Oax＝A點到W面的距離Aa″;

y＝Oay＝A點到V面的距離Aa′;

z＝Oaz＝A點到H面的距離Aa。圖

2-16點的直角坐標(biāo)

可見,空間點的位置可由點的坐標(biāo)(x,y,z)確定,點的空間位置、點的投影與其坐標(biāo)值是一一對應(yīng)的。因此,我們可以直接從點的三面投影圖中量得該點的坐標(biāo)值。反之,根據(jù)所給定的點的坐標(biāo)值,可按點的投影規(guī)律畫出其三面投影圖。例2-1

已知點A(30,10,20),求點A的三面投影圖。作圖步驟如圖2-17所示。

圖

2-17由點的坐標(biāo)作三面投影圖

(1)畫投影軸,在OX軸上從O點向左量取30,定出ax,過ax作OX軸的垂線,如圖2-17(a)所示。

(2)在OZ軸上從O點向上量取20,定出az,過az作OZ軸的垂線,它與(1)中所作的線相交，交點即為a′,如圖2-17(b)所示。

(3)在a′ax的延長線上,從ax向下量取10得a,過a作OX軸的平行線,與∠YWOYH的角平分線相交,過交點作OYW軸的垂線,與過a′所作OZ軸的垂線相交于a″,即得點A的三面投影圖,如圖2-17(c)所示。2.2.3兩點的相對位置空間兩點的相對位置,可從兩點的同面投影中反映出來,如圖2-18所示,或由兩點的坐標(biāo)差來確定。判斷A(20,15,10)和B(15,20,30)兩點的相對位置：兩點的左、右位置由X坐標(biāo)差確定,X坐標(biāo)值大者在左,故點A在點B的左方;兩點的前、后位置由Y坐標(biāo)差確定,Y坐標(biāo)值大者在前,故點A在點B的后方;兩點的上、下位置由Z坐標(biāo)差確定,Z坐標(biāo)值大者在上,故點A在點B的下方。

圖2-18空間兩點的相對位置由三面投影確定總的來說,即點A在點B的左、后、下方?；蛘哒f,點B在點A的右、前、上方。在圖2-19所示的E、F兩點的投影中,e′和f′重合,這說明E、F兩點的X、Z坐標(biāo)相同,即E、F兩點處于對正面的同一條投射線上?？梢?共處于同一條投射線上的兩點,必在相應(yīng)的投影面上具有重合的投影,這兩個點被稱為對該投影面的一對重影點。

圖

2-19重影點的投影

重影點的可見性需根據(jù)這兩點不重影的投影的坐標(biāo)大小來判別。例如圖2-19中,e′、f′重合,但水平投影不重合,且e在前f在后,即yE>yF。所以對V面來說,E可見,F不可見。在投影圖中,對不可見的點,需加圓括號表示。如圖2-19中,對不可見點F的V面投影,加圓括號表示為(f′)。E、F的相對位置可描述為E在F的正前方,或F在E的正后方。

例2-2

已知點A的三面投影圖如圖2-20(a)所示,作點B(20,15,0)的三面投影,并判斷兩點在空間的相對位置。

分析點B的Z坐標(biāo)等于0,說明點B在H面上,點B的正面投影b′一定在OX軸上,側(cè)面投影b″一定在OYW軸上。

作圖在OX軸上由O向左量取20,得bx(b′重合于該點),由bx向下作垂線并取bxb＝15,得b。根據(jù)作出的b、b′,即可求得第三投影b″,如圖2-20(b)所示。應(yīng)注意,b″一定在W面的OYW軸上。圖2-20點的投影及其相對位置判別A、B兩點在空間的相對位置:由V面或H面可知,A在B的右側(cè);由V面或W面可知,A在B的上方;由H面或W面可知,A在B的后方;即點A在點B的右、后、上方,或B在A的左、前、下方。2.3直

線

的

投

影

2.3.1直線的投影特性

直線的投影一般仍是直線,如圖2-21(a)所示。

圖

2-21直線的投影

因兩點可決定一直線,所以直線上兩點的同面投影的連線即是直線的投影。由此,可得出求直線三面投影圖的步驟:

(1)求出直線兩端點的三面投影,如圖2-21(b)所示。

(2)用直線連接兩端點的各同面投影,即得直線的三面投影,如圖2-21(c)所示。直線相對于三個投影面的相對位置共有三種情況:投影面的平行線、投影面的垂直線、一般位置直線。前兩種又稱為特殊位置直線。

1.特殊位置直線

(1)投影面平行線。平行于一個投影面,且傾斜于另兩個投影面的直線稱為投影面平行線。投影面平行線有三種:水平線——平行于水平投影面,而與另兩投影面傾斜的直線；正平線——平行于正立投影面,而與另兩投影面傾斜的直線；側(cè)平線——平行于側(cè)立投影面,而與另兩投影面傾斜的直線。直線與投影面傾斜,必然出現(xiàn)傾角,畫法幾何中對此作如下規(guī)定:直線對H面的傾角用α表示,對V面的傾角用β表示,對W面的傾角用γ表示。投影面平行線的投影特性,如表2-1所示。表

2-1投影面平行線的投影特性

(2)投影面垂直線。垂直于某一個投影面的直線稱為投影面垂直線。投影面垂直線有三種：鉛垂線——垂直于水平投影面的直線;正垂線——垂直于正立投影面的直線;側(cè)垂線——垂直于側(cè)立投影面的直線。投影面垂直線的投影特性如表2-2所示。

表

2-2投影面垂直線的投影特性

2.一般位置直線對三個投影面都傾斜的直線,稱為一般位置直線。圖2-22所示的直線是一般位置直線。因為直線段的兩端點到各投影面的距離都不相等,所以它的三面投影都與投影軸傾斜,并且均小于線段的實長。另外,直線的各投影與投影軸的夾角也不反映空間直線與各投影面的傾角。

圖

2-22一般位置直線

2.3.2直線上的點直線上的點的投影具有以下特性:

(1)點在直線上,則點的投影必在該直線的同面投影上。反之,如果點的各投影均在直線的同面投影上,且符合點的投影規(guī)律,且符合點的投影規(guī)律，則點必在該直線上,如圖2-23所示。

圖

2-23直線上的點

(2)直線上的點分割直線之比,在其投影上仍保持不變。如圖2-23所示,

點C在直線AB上,則AC∶CB＝ac∶cb=a′c′∶c′b′＝a″c″∶c″b″。

例2-3在已知直線AB上取一點C,使AC∶CB＝2∶3,求點C的兩面投影,如圖2-24(a)所示。

解解題過程如圖2-24(b)所示。根據(jù)直線上點的投影特性,可任選直線AB的一面投影如ab,過b作任意直線,在其上以任意單位量取5個單位長,得1、2、3、4、5點,連接5a,過點3作直線3c∥5a,使之交ab于c,c即為C的水平投影。最后再由c求出c′。圖

2-24在直線上取點

2.3.3兩直線的相對位置空間兩直線的相對位置有平行、相交和交叉等三種情況,現(xiàn)將其投影特性分述如下。

1.平行兩直線空間兩直線互相平行,則它們的各組同面投影也一定互相平行。如圖2-25所示,AB∥CD,則ab∥cd、

a′b′∥c′d′、a″b″∥c″d″。

圖

2-25平行兩直線

2.相交兩直線

空間相交的兩直線,它們的同面投影也一定相交,交點為兩直線的共有點,且應(yīng)符合點的投影規(guī)律。如圖2-26所示,直線AB和CD相交于點K,點K是直線AB和CD的共有點。根據(jù)點屬于直線的投影特性,可知k既屬于ab,又屬于cd,即k一定是ab和cd的交點。同理,k′必定是a′b′和c′d′的交點;k″也必定是a″b″和c″d″的交點。由于是同一點K的三面投影,因此k、k′的連線垂直于OX軸,k′和k″的連線垂直于OZ軸。反之,如果兩直線的各組同面投影都相交,且交點符合點的投影規(guī)律,則可判定這兩直線在空間也一定相交。

圖

2-26相交兩直線

3.交叉兩直線

在空間既不平行也不相交的兩直線,稱為交叉兩直線,又稱異面直線,如圖2-27所示。

圖

2-27交叉兩直線

因AB、CD不平行,所以它們的各組同面投影不會都平行(可能有一兩組平行);又因AB、CD不相交,所以各組同面投影交點的連線也不會垂直于相應(yīng)的投影軸,即不符合點的投影規(guī)律。反之,如果兩直線的投影不符合平行或相交兩直線的投影規(guī)律,則可判定為空間交叉兩直線。那么,ab、cd的交點又有什么意義呢？它實際上是AB上的Ⅱ點和CD上的Ⅰ點在H面上的一對重影點。從正面投影可以看出:ZⅡ>ZⅠ。對水平投影來說,Ⅱ是可見的,而Ⅰ是不可見的,故標(biāo)記為2(1)。

a′b′和c′d′的交點,則是CD上的Ⅲ點和AB上的Ⅳ點在V面上的一對重影點。由于YⅢ>YⅣ,故Ⅲ可見而Ⅳ不可見,故標(biāo)記為3′(4′)。我們已經(jīng)知道,共處于同一投射線的點,在該投射方向上是重影點。對于交叉兩直線來說,在三個投射方向上都可能有重影點。重影點常需要判別可見性。2.4平

面

的

投

影

2.4.1平面的投影特性

1.平面的表示方法

1)幾何元素表示法平面在投影圖上可由下列任何一組幾何元素的投影來表示。

(1)不在一條直線上的三個點,如圖2-28(a)所示。

(2)一直線和直線外一點,如圖2-28(b)所示。

(3)相交兩直線,如圖2-28(c)所示。

(4)平行兩直線,如圖2-28(d)所示。

(5)任意的平面圖形,如三角形、

四邊形和圓等,如圖2-28(e)、

(f)所示。

圖

2-28平面的幾何元素表示法

從圖2-28可以看出,各組幾何元素之間是可以互相轉(zhuǎn)化的。在投影圖中,常用平面圖形來表示空間的平面。圖2-29表示了△ABC的空間情況及其三面投影圖的求作過程。

圖

2-29平面投影圖的作法

2)跡線表示法平面除了有上述的表示法外,也可以用跡線表示。平面與投影面的交線,稱為平面的跡線。圖2-30中的平面P,它與H面的交線叫做水平跡線,用PH表示;與V面的交線叫做正面跡線,用PV表示;與W面的交線叫做側(cè)面跡線,用PW表示。圖

2-30平面的跡線表示法

用跡線表示特殊位置的平面在作圖中經(jīng)常用到。如圖2-31所示,正垂面P的正面跡線PV一定與OX軸傾斜(PH⊥OX,PW⊥OZ,為了簡化,PH和PW可省略不畫)。圖

2-31正垂面的跡線表示法

2.各種位置平面的投影特性

空間平面相對于三個投影面的位置有三種情況:投影面平行面;投影面垂直面;一般位置平面。投影面平行面——平行于某一投影面的平面。投影面垂直面——垂直于某一投影面,且傾斜于另兩個投影面的平面。一般位置平面——對三個投影面都傾斜的平面。前兩類又稱為特殊位置平面。

1)特殊位置平面(1)投影面平行面。投影面平行面有三種:水平面——平行于水平投影面的平面；正平面——平行于正立投影面的平面；側(cè)平面——平行于側(cè)立投影面的平面。投影面平行面的投影特性如表2-3所示。

表

2-3投影面平行面的投影特性

比較表2-3中各平面的投影,可以看出它們的共同特征是:①平面在所平行的投影面上的投影反映實形。②

平面的其他兩面投影均積聚成一條直線,且平行于相應(yīng)的投影軸。

(2)投影面垂直面投影面垂直面有三種:鉛垂面——垂直于水平投影面,且傾斜于另兩投影面的平面;正垂面——垂直于正立投影面,且傾斜于另兩投影面的平面;側(cè)垂面——垂直于側(cè)立投影面,且傾斜于另兩投影面的平面。投影面垂直面的投影特性如表2-4所示。

表

2-4投影面垂直面的投影特性

比較表2-4中各平面的投影,可以看出它們的共同特征是:①平面在所垂直的投影面上的投影積聚成一條與投影軸傾斜的直線,并且反映與另外兩個投影面的傾角。②

平面的其他兩面投影均為比原形小的類似形。

2)一般位置平面由于一般位置平面對三個投影面都傾斜,因此它的三面投影都不可能積聚成直線,也不可能反映實形,而是小于原平面圖形的類似形,如圖2-32所示。

圖

2-32一般位置平面的投影

2.4.2平面內(nèi)的直線和點

1.平面內(nèi)的直線直線在平面內(nèi)的幾何條件是:

(1)一直線若通過平面上的兩點,則此直線必在該平面上,如圖2-33(a)所示。

(2)一直線若通過平面上的一點,且平行于該平面上的一直線,則此直線必在該平面上,如圖2-33(b)所示。在圖2-33(a)中,平面P由AB和BC決定,點M和N分別在AB和BC上,則過點M、N的直線MN必在平面P內(nèi)。在圖2-33(b)中,平面P由AB和BC所決定,點M在AB上,且MN平行于直線BC,則直線MN必在平面P內(nèi)。

圖

2-33平面內(nèi)的直線

2.平面內(nèi)的點

點在平面內(nèi)的幾何條件是:如果點在平面內(nèi)的任一直線上,則此點在該平面內(nèi)。因此,若在平面內(nèi)取點,必須先在平面內(nèi)取一直線,然后再在此直線上取點。如圖2-33中(a)、(b)所示,由于M點在直線AB上,所以M點必在平面P內(nèi)。例2-4已知△ABC平面內(nèi)點K的正面投影k′,如圖2-34(a)所示,試求它們的另一面投影。

例2-4

已知△