中考數(shù)學二輪培優(yōu)訓練第02講 平面直角坐標系與圖形運動（解析版）

第02講平面直角坐標系與圖形運動在數(shù)學幾何學習中，平面直角坐標系是每年學考的必考內(nèi)容，也是我們幾何學習和復習的重點。【必備知識】一、平面直角坐標系的有關(guān)概念，直角坐標平面上的點與坐標之間的一一對應(yīng)關(guān)系1．在平面內(nèi)取一點，過點畫兩條互相垂直的數(shù)軸，且使它們以點為公共原點．這樣，就在平面內(nèi)建立了一個直角坐標系．通常，所畫的兩條數(shù)軸中，有一條是水平放置的，它的正方向向右，這條數(shù)軸叫做橫軸（記作軸）；另一條是鉛直放置的，它的正方向向上，這條數(shù)軸叫做縱軸（記作軸）．如圖所示，記作平面直角坐標系；點叫做坐標原點（簡稱原點），軸和軸統(tǒng)稱為坐標軸．建立直角坐標系的平面叫做直角坐標平面（簡稱坐標平面）2．在平面直角坐標系中，點所對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對叫做點的坐標，記作，其中叫做橫坐標，叫做縱坐標．3.平面直角坐標系的兩條坐標軸把平面分成四個區(qū)域．這四個區(qū)域依次叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限．同時規(guī)定，軸、軸不屬于任何象限．4．經(jīng)過點且垂直于軸的直線可以表示為直線，經(jīng)過點且垂直于軸的直線可以表示為直線．二、平面直角坐標平面上點的平移、對稱及簡單圖形的對稱問題1．一般地，如果點沿著與軸或軸平行的方向平移個單位，那么向右平移所對應(yīng)的點的坐標為；向左平移所對應(yīng)的點的坐標為；向上平移所對應(yīng)的點的坐標為；向下平移所對應(yīng)的點的坐標為．2．一般地，在直角坐標平面內(nèi)，與點關(guān)于軸對稱的點的坐標為；與點關(guān)于軸對稱的點的坐標為．3．一般地，在直角坐標平面內(nèi)，與點關(guān)于原點對稱的點的坐標為．【思考】在平面直角坐標系中，點的平移和對稱在坐標的變化方面有何異同？三、平面直角坐標平面上兩點間距離公式在直角坐標平面內(nèi)，平行于軸的直線上的兩點、的距離；平行于軸的直線上的兩點、的距離．2．兩點的距離公式：如果直角坐標平面內(nèi)有兩點、，它們的坐標分別為、，那么兩點的距離．【思考】兩點間距離公式是如何推導的？【注意】在運用兩點間距離公式時注意坐標的符號．【應(yīng)對方法與策略】1.對于直角坐標平面內(nèi)的任意一點，過點作軸的垂線，垂足為，可得點在軸上所對應(yīng)的實數(shù)；再過點作軸的垂線，垂足為，可得點在軸上所對應(yīng)的實數(shù)，那么有序?qū)崝?shù)對表示點，這樣的有序?qū)崝?shù)對是唯一確定的．反過來，任意給定一對有序?qū)崝?shù)，可在軸上描出實數(shù)所對應(yīng)的點，在軸上描出實數(shù)所對應(yīng)的點；再過點作軸的垂線，過點作軸的垂線，那么這兩條垂線的交點表示有序?qū)崝?shù)對，這樣的點也是唯一確定的．于是，平面內(nèi)的每一點都有唯一的有序?qū)崝?shù)對與它對應(yīng)．2.因為橫軸向右為正，所以點向右平移時橫坐標變大，向左平移時橫坐標變小，同理向上平移時縱坐標變大，向下平移縱坐標變小；關(guān)于軸對稱，兩對稱點在一條垂直軸的直線上，所以橫坐標不變，縱坐標互為相反數(shù)，同理關(guān)于軸對稱時，縱坐標不變，橫坐標互為相反數(shù)．【記憶技巧】點的平移右加左減，上加下減；【多題一解】題型一：點的坐標（共5小題）1．（2022?衢州）在平面直角坐標系中，點A（﹣1，﹣2）落在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根據(jù)第三象限中點的坐標特征：橫坐標為負數(shù)，縱坐標為負數(shù)，由此可確定A點位置．【解答】解：∵﹣1＜0，﹣2＜0，∴點A（﹣1，﹣2）在第三象限，故選：C．【點評】本題考查平面直角坐標系中點的坐標特征，熟練掌握平面直角坐標系中各象限點的坐標特點是解題的關(guān)鍵．2．（2022?六盤水）兩個小伙伴拿著如圖的密碼表玩聽聲音猜動物的游戲，若聽到“咚咚﹣咚咚，咚﹣咚，咚咚咚﹣咚”表示的動物是“狗”，則聽到“咚咚﹣咚，咚咚咚﹣咚咚，咚﹣咚咚咚”時，表示的動物是（）A．狐貍 B．貓 C．蜜蜂 D．?！痉治觥扛鶕?jù)點的坐標解決此題．【解答】解：由題意知，咚咚﹣咚咚對應(yīng)（2，2），咚﹣咚對應(yīng)（1，1），咚咚咚﹣咚對應(yīng)（3，1）．∴咚咚﹣咚對應(yīng)（2，1），表示C；咚咚咚﹣咚咚對應(yīng)（3，2），表示A；咚﹣咚咚咚對應(yīng)（1，3），表示T．∴此時，表示的動物是貓．故選：B．【點評】本題主要考查點的坐標，熟練掌握點的坐標的表示方法與意義是解決本題的關(guān)鍵．3．（2022?青海）如圖所示，A（2，0），AB＝3，以點A為圓心，AB長為半徑畫弧交x軸負半軸于點C，則點C的坐標為（）A．（3，0） B．（，0） C．（﹣，0） D．（﹣3，0）【分析】根據(jù)點A坐標就可以求出線段OA的長，又因為AB＝3，所以求出CO長即可解答．【解答】解：∵A（2，0），AB＝3，∴OA＝2，AC＝AB＝3，∴OC＝AC﹣OA＝3﹣2＝，∵點C在x軸的負半軸上，∴點C的坐標為（﹣，0）．故選：C．【點評】本題考查坐標與圖形性質(zhì)的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是熟練掌握正負半軸表示的點的坐標的性質(zhì)．4．（2022?河池）如果點P（m，1+2m）在第三象限內(nèi)，那么m的取值范圍是（）A．﹣＜m＜0 B．m＞﹣ C．m＜0 D．m＜﹣【分析】根據(jù)點P在第三象限，即橫縱坐標都是負數(shù)，據(jù)此即可列不等式組求得m的范圍．【解答】解：根據(jù)題意得，解①得m＜0，解②得m＜．則不等式組的解集是m＜﹣．故選：D．【點評】本題考查了一元一次不等式組的解法，點的坐標特征．解一元一次不等式組時，一般先求出其中各不等式的解集，再求出這些解集的公共部分，解題規(guī)律是：同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到．5．（2022?揚州）在平面直角坐標系中，點P（﹣3，a2+1）所在象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根據(jù)平方數(shù)非負數(shù)判斷出點P的縱坐標是正數(shù)，再根據(jù)各象限內(nèi)點的坐標特征解答．【解答】解：∵a2≥0，∴a2+1≥1，∴點P（﹣3，a2+1）所在的象限是第二象限．故選：B．【點評】本題考查了各象限內(nèi)點的坐標的符號特征，記住各象限內(nèi)點的坐標的符號是解決的關(guān)鍵，四個象限的符號特點分別是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．題型二：規(guī)律型：點的坐標（共4小題）6．（2022?河南）如圖，在平面直角坐標系中，邊長為2的正六邊形ABCDEF的中心與原點O重合，AB∥x軸，交y軸于點P．將△OAP繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°，則第2022次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點A的坐標為（）A．（，﹣1） B．（﹣1，﹣） C．（﹣，﹣1） D．（1，）【分析】由正六邊形的性質(zhì)可得A（1，），再根據(jù)由360°÷90°＝4可知，每4次為一個循環(huán)，由2022÷4＝505……2，可知點A2022與點A2重合，求出點A2的坐標可得答案．【解答】解：∵邊長為2的正六邊形ABCDEF的中心與原點O重合，∴OA＝AB＝2，∠BAO＝60°，∵AB∥x軸，∴∠APO＝90°，∴∠AOP＝30°，∴AP＝1，OP＝，∴A（1，），∵將△OAP繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°，可知點A2與D重合，由360°÷90°＝4可知，每4次為一個循環(huán)，∴2022÷4＝505……2，∴點A2022與點A2重合，∵點A2與點A關(guān)于原點O對稱，∴A2（﹣1，﹣），∴第2022次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點A的坐標為（﹣1，﹣），故選：B．【點評】本題主要考查了正六邊形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)確定每4次為一個循環(huán)是解題的關(guān)鍵．7．（2022?濟南）規(guī)定：在平面直角坐標系中，一個點作“0”變換表示將它向右平移一個單位，一個點作“1”變換表示將它繞原點順時針旋轉(zhuǎn)90°，由數(shù)字0和1組成的序列表示一個點按照上面描述依次連續(xù)變換．例如：如圖，點O（0，0）按序列“011…”作變換，表示點O先向右平移一個單位得到O1（1，0），再將O1（1，0）繞原點順時針旋轉(zhuǎn)90°得到O2（0，﹣1），再將O2（0，﹣1）繞原點順時針旋轉(zhuǎn)90°得到O3（﹣1，0）…依次類推．點（0，1）經(jīng)過“011011011”變換后得到點的坐標為（﹣1，﹣1）．【分析】根據(jù)變換的定義解決問題即可．【解答】解：點（0，1）經(jīng)過011變換得到點（﹣1，﹣1），點（﹣1，﹣1）經(jīng)過011變換得到點（0，1），點（0，1）經(jīng)過011變換得到點（﹣1，﹣1），故答案為：（﹣1，﹣1）．【點評】本題考查規(guī)律型：點的坐標，平移變換，旋轉(zhuǎn)變換等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．8．（2022?黔西南州）如圖，在平面直角坐標系中，A1（2，0），B1（0，1），A1B1的中點為C1；A2（0，3），B2（﹣2，0），A2B2的中點為C2；A3（﹣4，0），B3（0，﹣3），A3B3的中點為C3；A4（0，﹣5），B4（4，0），A4B4的中點為C4；…；按此做法進行下去，則點C2022的坐標為（﹣1011，）．【分析】根據(jù)題意得點?n的位置按4次一周期的規(guī)律循環(huán)出現(xiàn)，可求得點C2022在第二象限，從而可求得該題結(jié)果．【解答】解：由題意可得，點?n的位置按4次一周期的規(guī)律循環(huán)出現(xiàn)，∵2022÷4＝505……2，∴點C2022在第二象限，∵位于第二象限內(nèi)的點C2的坐標為（﹣1，），點C6的坐標為（﹣3，），點C10的坐標為（﹣5，），……∴點?n的坐標為（﹣，），∴當n＝2022時，﹣＝﹣＝﹣1011，＝＝，∴點C2022的坐標為（﹣1011，），故答案為：（﹣1011，）．【點評】此題考查了點的坐標方面規(guī)律性問題的解決能力，關(guān)鍵是能根據(jù)題意確定出該點的出現(xiàn)規(guī)律．9．（2022?荊門）如圖，過原點的兩條直線分別為l1：y＝2x，l2：y＝﹣x，過點A（1，0）作x軸的垂線與l1交于點A1，過點A1作y軸的垂線與l2交于點A2，過點A2作x軸的垂線與l1交于點A3，過點A3作y軸的垂線與l2交于點A4，過點A4作x軸的垂線與l1交于點A5，……，依次進行下去，則點A20的坐標為（1024，﹣1024）．【分析】寫根據(jù)一次函數(shù)圖象上點的坐標特征可得出點A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8等的坐標，根據(jù)坐標的變化即可找出變化規(guī)律“A4n+1（22n，22n+1），A4n+2（﹣22n+1，22n+1），A4n+3（﹣22n+1，﹣22n+2），A4n+4（22n+2，﹣22n+2）（n為自然數(shù)）”，依此規(guī)律結(jié)合20＝5×4即可找出點A20的坐標．【解答】解：當x＝1時，y＝2，∴點A1的坐標為（1，2）；當y＝﹣x＝2時，x＝﹣2，∴點A2的坐標為（﹣2，2）；同理可得：A3（﹣2，﹣4），A4（4，﹣4），A5（4，8），A6（﹣8，8），A7（﹣8，﹣16），A8（16，﹣16），A9（16，32），…，∴A4n+1（22n，22n+1），A4n+2（﹣22n+1，22n+1），A4n+3（﹣22n+1，﹣22n+2），A4n+4（22n+2，﹣22n+2）（n為自然數(shù)）．∵20＝5×4，∴錯誤，應(yīng)改為：∴點A20的坐標為（22×4+2，﹣22×4+2），即（210，﹣210），即（1024，﹣1024）．故答案為：（1024，﹣1024）．【點評】本題考查了兩條直線相交或平行問題、一次函數(shù)圖象上點的坐標特征以及規(guī)律型中點的坐標，根據(jù)坐標的變化找出變化規(guī)律“A4n+1（22n，22n+1），A4n+2（﹣22n+1，22n+1），A4n+3（﹣22n+1，﹣22n+2），A4n+4（22n+2，﹣22n+2）（n為自然數(shù)）”是解題的關(guān)鍵．題型三：坐標確定位置（共2小題）10．（2022?煙臺）觀察如圖所示的象棋棋盤，若“兵”所在的位置用（1，3）表示，“炮”所在的位置用（6，4）表示，那么“帥”所在的位置可表示為（4，1）．【分析】直接利用已知點坐標得出原點位置進而得出答案．【解答】解：如圖所示：“帥”所在的位置：（4，1），故答案為：（4，1）．【點評】本題主要考查了坐標確定位置，正確得出原點位置是解題的關(guān)鍵．11．（2021?山西）如圖是一片楓葉標本，其形狀呈“掌狀五裂型”，裂片具有少數(shù)突出的齒，將其放在平面直角坐標系中，表示葉片“頂部”A，B兩點的坐標分別為（﹣2，2），（﹣3，0），則葉桿“底部”點C的坐標為（2，﹣3）．【分析】根據(jù)A，B的坐標確定出坐標軸的位置，點C的坐標可得．【解答】解：∵A，B兩點的坐標分別為（﹣2，2），（﹣3，0），∴得出坐標軸如下圖所示位置：∴點C的坐標為（2，﹣3）．故答案為：（2，﹣3）．【點評】本題主要考查了用坐標確定位置，和由點的位置得到點的坐標．依據(jù)已知點的坐標確定出坐標軸的位置是解題的關(guān)鍵．題型四：坐標與圖形性質(zhì)（共4小題）12．（2022?銅仁市）如圖，在矩形ABCD中，A（﹣3，2），B（3，2），C（3，﹣1），則D的坐標為（）A．（﹣2，﹣1） B．（4，﹣1） C．（﹣3，﹣2） D．（﹣3，﹣1）【分析】先根據(jù)A、B的坐標求出AB的長，則CD＝AB＝6，并證明AB∥CD∥x軸，同理可得AD∥BC∥y軸，由此即可得到答案．【解答】解：∵A（﹣3，2），B（3，2），∴AB＝6，AB∥x軸，∵四邊形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝6，AB∥CD∥x軸，同理可得AD∥BC∥y軸，∵點C（3，﹣1），∴點D的坐標為（﹣3，﹣1），故選：D．【點評】本題主要考查了坐標與圖形，矩形的性質(zhì)，熟知矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．（2022?臺灣）已知坐標平面上有一直線L與一點A．若L的方程式為x＝﹣2，A點坐標為（6，5），則A點到直線L的距離為何？（）A．3 B．4 C．7 D．8【分析】根據(jù)L的方程式為x＝﹣2，A點坐標為（6，5），可知A點到直線L的距離為：6﹣（﹣2），然后計算即可．【解答】解：∵L的方程式為x＝﹣2，A點坐標為（6，5），∴A點到直線L的距離為：6﹣（﹣2）＝6+2＝8，故選：D．【點評】本題考查坐標與圖形性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出點A到直線L的距離．14．（2022?槐蔭區(qū)一模）以直角坐標系的原點O為圓心，以1為半徑作圓．若點P是該圓上第一象限內(nèi)的一點，且OP與x軸正方向組成的角為α，則點P的坐標為（）A．（cosα，1） B．（1，sinα） C．（sinα，cosα） D．（cosα，sinα）【分析】作PA⊥x軸于點A．那么OA是α的鄰邊，是點P的橫坐標，為cosα；PA是α的對邊，是點P的縱坐標，為sinα．【解答】解：作PA⊥x軸于點A，則∠POA＝α，sinα＝，∴PA＝OP?sinα，∵cosα＝，∴OA＝OP?cosα．∵OP＝1，∴PA＝sinα，OA＝cosα．∴P點的坐標為（cosα，sinα）故選：D．【點評】解決本題的關(guān)鍵是得到點P的橫縱坐標與相應(yīng)的函數(shù)和半徑之間的關(guān)系．15．（2022?吉林）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（﹣2，0），點B在y軸正半軸上，以點B為圓心，BA長為半徑作弧，交x軸正半軸于點C，則點C的坐標為（2，0）．【分析】由圖象可得OB與圓的直徑重合，由BO⊥AC及垂徑定理求解．【解答】解：由圖象可得OB與直徑重合，∵BO⊥AC，∴OA＝OC，∵A（﹣2，0），∴C（2，0），故答案為：（2，0）．【點評】本題考查與圓的有關(guān)計算，解題關(guān)鍵是掌握垂徑定理及其推論．題型五：坐標方法的簡單應(yīng)用一、單選題1．（2020·河北·中考真題）如圖，從筆直的公路旁一點出發(fā)，向西走到達；從出發(fā)向北走也到達．下列說法錯誤的是（

）A．從點向北偏西45°走到達B．公路的走向是南偏西45°C．公路的走向是北偏東45°D．從點向北走后，再向西走到達【答案】A【分析】根據(jù)方位角的定義及勾股定理逐個分析即可．【詳解】解：如圖所示，過P點作AB的垂線PH，選項A：∵BP=AP=6km，且∠BPA=90°，∴△PAB為等腰直角三角形，∠PAB=∠PBA=45°，又PH⊥AB，∴△PAH為等腰直角三角形，∴PH=km，故選項A錯誤；選項B：站在公路上向西南方向看，公路的走向是南偏西45°，故選項B正確；選項C：站在公路上向東北方向看，公路的走向是北偏東45°，故選項C正確；選項D：從點向北走后到達BP中點E，此時EH為△PEH的中位線，故EH=AP=3，故再向西走到達，故選項D正確．故選：A．【點睛】本題考查了方位角問題及等腰直角三角形、中位線等相關(guān)知識點，方向角一般以觀測者的位置為中心，所以觀測者不同，方向就正好相反，但角度不變．2．（2022·河北·平泉市教育局教研室二模）如圖，在圍棋棋盤上有3枚棋子，如果黑棋?的位置用有序數(shù)對(0，?1)表示，黑棋?的位置用有序數(shù)對(?3，0)表示，則白棋③的位置可用有序數(shù)對表示為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)黑棋①的坐標向上1個單位確定出坐標原點，然后建立平面直角坐標系，再寫出白棋③的坐標即可．【詳解】解：建立平面直角坐標系如圖，白棋③的坐標為（-2，1）．故選：C．【點睛】本題考查了坐標確定位置，根據(jù)已知點的坐標確定出坐標原點的位置是解題的關(guān)鍵．3．（2022·河南開封·二模）如圖是東西流向且兩岸，互相平行的一段河道，在河岸有一棵小樹，在河岸的琪琪觀測到小樹在他的北偏西方向上，則琪琪的位置可能是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分別畫出在，，，處觀察小樹的角度，判斷即可．【詳解】解，如圖，，，，分別是小樹在點，，，處的方位角，小樹在點的北偏西方向上，故選C．【點睛】本題主要考查根據(jù)方位描述確定物體的位置，明確題意、熟知方位是解題的關(guān)鍵．二、填空題4．（2022·甘肅蘭州·中考真題）如圖，小剛在蘭州市平面地圖的部分區(qū)域建立了平面直角坐標系，如果白塔山公園的坐標是（2，2），中山橋的坐標是（3，0），那么黃河母親像的坐標是______．【答案】【分析】根據(jù)白塔山公園的坐標是（2，2），中山橋的坐標是（3，0）畫出直角坐標系，然后根據(jù)點的坐標的表示方法寫出黃河母親像的坐標；【詳解】解：如圖，根據(jù)白塔山公園的坐標是（2，2），中山橋的坐標是（3，0）畫出直角坐標系，∴黃河母親像的坐標是．故答案為：．【點睛】本題考查了坐標確定位置：平面內(nèi)的點與有序?qū)崝?shù)對一一對應(yīng)；記住直角坐標系中特殊位置點的坐標特征是解題的關(guān)鍵．5．（2022·浙江麗水·三模）如圖，射線表示北偏西，若射線，則射線表示的方向為_________．【答案】北偏東【分析】求出的度數(shù)，根據(jù)方向角的概念得出答案即可．【詳解】如圖∵，∴，∵由射線OA表示北偏西30°，得，∴，∴射線OB表示的方向為北偏東，故答案為：北偏東．【點睛】本題考查了方向角，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形分析是解題的關(guān)鍵．三、解答題6．（2020·黑龍江綏化·中考真題）如圖，熱氣球位于觀測塔P的北偏西50°方向，距離觀測塔的A處，它沿正南方向航行一段時間后，到達位于觀測塔P的南偏西37°方向的B處，這時，B處距離觀測塔P有多遠？（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，，，，，．）【答案】．【分析】先在中求出PC，進而在中即可求出PB．【詳解】解：由已知，得．在中，，∴．在中，，∴．答：B處距離觀測塔約為．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用--方向角問題，結(jié)合航行中的實際問題，將解直角三角形的相關(guān)知識有機結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)學應(yīng)用于實際生活的思想．題型六：兩點間距離公式一．選擇題（共1小題）1．（2022?江陰市模擬）如圖，半徑為1的⊙O的圓心在坐標原點，P為直線y＝﹣x+2上一點，過點P作⊙O的切線，切點為A，連接OA，OP．下列結(jié)論：①當△OAP為等腰直角三角形時，點P坐標為（1，1）；②當∠AOP＝60°時，點P坐標為（2，0）；③△OAP面積最小值為；④∠APO≤45°．其中正確的有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠OAP＝90°，根據(jù)題意設(shè)P（a，﹣a+2），利用兩點間距離公式可得OP＝，當△OAP為等腰直角三角形時，可得OP＝OA＝，然后進行計算即可判斷①；當∠AOP＝60°時，可求出∠APO＝30°，從而可得OP＝2OA＝2，然后進行計算即可判斷②；在Rt△AOP中，利用勾股定理可得AP2＝OP2﹣OA2＝2（a﹣1）2+1，從而求出AP的最小值，然后利用三角形的面積進行計算即可判斷③；在AP上取一點為C，使AC＝OA＝1，從而可求出∠ACO＝45°，然后利用③的結(jié)論可得AP≥1，從而可得∠APO≤∠ACO，即可判斷④．【解答】解：∵AP與⊙O相切于點A，∴∠OAP＝90°，∵點P在直線y＝﹣x+2上，∴設(shè)P（a，﹣a+2），∴OP＝，當△OAP為等腰直角三角形時，∴OA＝AP＝1，∴OP＝OA＝，∴＝，∴a1＝a2＝1，∴P（1，1），故①正確；當∠AOP＝60°時，∴∠APO＝90°﹣∠AOP＝30°，∴OP＝2OA＝2，∴＝2，∴a1＝0，a2＝2，∴P（0，2）或（2，0），故②不正確；在Rt△AOP中，OP2＝a2+（2﹣a）2，OA2＝1，∴AP2＝OP2﹣OA2＝a2+（2﹣a）2﹣1＝2a2﹣4a+3＝2（a﹣1）2+1，∴當a＝1時，AP2的最小值為1，∴AP的最小值為1，∴△OAP面積最小值＝OA?AP＝×1×1＝，故③正確；如圖：在AP上取一點為C，使AC＝OA＝1，∵∠OAP＝90°，∴∠AOC＝∠ACO＝45°，由③可得：AP≥1，∴∠APO≤∠ACO，∴∠APO≤45°，故④正確，所以，上列結(jié)論，其中正確的有3個，故選：B．【點評】本題考查了含30度角的直角三角形，切線的性質(zhì)，等腰直角三角形，一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，二次函數(shù)的最值，兩點間距離公式，熟練掌握二次函數(shù)的最值，以及兩點間距離公式是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共1小題）2．（2022?海曙區(qū)自主招生）如圖，點A、B、C均在坐標軸上，AO＝BO＝CO＝1，過A、O、C作⊙D，E是⊙D上任意一點，連結(jié)CE，BE，則CE2+BE2的最大值是6．【分析】連接AC，OD，DE，設(shè)E（x，y），利用90°的圓周角所對的弦是直徑可得，AC是⊙D的直徑，再利用平面直角坐標系中的兩點間距離公式求出CE2+BE2＝2（x2+y2）+2，OE2＝x2+y2，可得當OE為⊙D的直徑時，OE最大，CE2+BE2的值最大，然后進行計算即可解答．【解答】解：連接AC，OD，DE，設(shè)E（x，y），∵∠AOC＝90°，∴AC是⊙D的直徑，∵AO＝BO＝CO＝1，∴A（0，1），C（1，0），B（﹣1，0），∴AC＝，CE2＝（x﹣1）2+y2，BE2＝（x+1）2+y2，∴CE2+BE2＝（x﹣1）2+y2+（x+1）2+y2＝2（x2+y2）+2，∵OE2＝x2+y2，∴當OE為⊙D的直徑時，OE最大，CE2+BE2的值最大，∴OE2＝AC2＝（）2＝2，∴CE2+BE2的最大值＝2×2+2＝6，故答案為：6．【點評】本題考查了三角形的外接圓與外心，勾股定理，圓周角定理，坐標與圖形的性質(zhì)，點與圓的位置關(guān)系，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共1小題）3．（2021?西吉縣二模）閱讀下列一段文字，然后回答下列問題．已知在平面內(nèi)兩點P1（x1，y1）、P2（x2，y2），其兩點間的距離，同時，當兩點所在的直線在坐標軸或平行于坐標軸或垂直于坐標軸時，兩點間距離公式可簡化為|x2﹣x1|或|y2﹣y1|．（1）已知A（2，4）、B（﹣3，﹣8），試求A、B兩點間的距離；（2）已知A、B在平行于y軸的直線上，點A的縱坐標為4，點B的縱坐標為﹣1，試求A、B兩點間的距離；（3）已知一個三角形各頂點坐標為D（1，6）、E（﹣2，2）、F（4，2），你能判定此三角形的形狀嗎？說明理由．【分析】（1）根據(jù)兩點間的距離公式計算；（2）根據(jù)平行于坐標軸的兩點間距離公式計算；（3）根據(jù)兩點間距離公式分別求出DE、EF、DF，根據(jù)等腰三角形的概念判斷即可．【解答】解：（1）AB＝＝13；（2）AB＝4﹣（﹣1）＝5；（3）△DEF是等腰三角形，理由如下：DE＝＝5，EF＝＝6，DF＝＝5，則DE＝DF，∴△DEF是等腰三角形．【點評】本題考查的是兩點間的距離公式，熟記兩點間的距離公式是解題的關(guān)鍵．題型七：數(shù)形結(jié)合思想1．（2022?館陶縣模擬）如圖，出租車司機王師傅從A地出發(fā)，要到距離A地13km的C地去，先沿：北偏東70°方向行駛了12km，到達B地，然后再從B地行駛了5km到達C地，此時王師傅位于B地的（）A．北偏東20°方向上 B．北偏西20°方向上 C．北偏西30°方向上 D．北偏西40°方向上【分析】由AB＝15km，BC＝5km，AC＝13km，得出AC2＝BC2+AB2，即∠ABC＝90°，作出平行線，利用其性質(zhì)和互余的性質(zhì)推理即可得出．【解答】解：過B作BD∥AE，∵AB＝15km，BC＝5km，AC＝13km，∴AC2＝BC2+AB2，即∠ABC＝90°，又∵∠DAB＝70°，∴∠1＝90°﹣70°＝20°，∴∠2＝∠1＝20°，即C點在B點北偏西20°方向上，故選：B．【點評】本題考查了解直角三角形有關(guān)的方向角問題，解題關(guān)鍵在于能夠利用勾股定理的逆定理和平行線的性質(zhì)與解三角形進行解答．二．填空題（共4小題）2．（2022?惠陽區(qū)一模）等腰Rt△A1BC1，等腰Rt△A2C1C2，等腰Rt△A3C2C3…按如圖所示放置，點B的橫坐標為1，點A1，A2，A3，A4…在直線y＝x上，分別以A2C1，A3C2，A4C3…的中點O1，O2，O3…為圓心，A2O1，A3O2，A4O3…的長為半徑畫，，…依次按此作法進行下去，則的長是22019π（結(jié)果保留π）．【分析】根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)，OB＝1，可得A1B＝1，A2C1＝2，A3C2＝4，A4C3＝8.....，可以此類推，則AnCn﹣1＝2n﹣1，由分別以A2C1，A3C2，A4C3…的中點O1，O2，O3…為圓心，可得的半徑為2﹣1，的半徑為4﹣2，的半徑為8﹣4.....，可以此類推，的半徑為2n﹣2n﹣1，再根據(jù)是以半徑為22021﹣22020的圓，即可得出答案．【解答】解：如圖所示，根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)可得，A1B＝1，A2C1＝2，A3C2＝4，A4C3＝8.....，以此類推，則AnCn﹣1＝2n﹣1，∵的半徑為2﹣1，的半徑為4﹣2，的半徑為8﹣4.....，以此類推，的半徑為2n﹣2n﹣1，∴是以半徑為22021﹣22020的圓，∴＝＝＝π（22020﹣22019）＝22019π．故答案為：22019π．【點評】本題主要考查了弧長的計算，規(guī)律型問題及一次函數(shù)圖象上坐標的特征，熟練掌握弧長的計算，及一次函數(shù)圖象上坐標的特征，找出問題的規(guī)律進行計算是解決本題的關(guān)鍵．3．（2022?渾南區(qū)一模）在平面直角坐標系中，A點坐標為（0，3），直線y＝﹣2x+8交x軸于點B，交y軸于點C，第一象限內(nèi)有一動點P，且滿足PA＝PC+2，則△PAB周長的最小值為4+7．【分析】根據(jù)題干所給條件，利用待定系數(shù)法求出點B和點C的坐標，再利用勾股定理求出AB和BC的長度，再利用PA與PC的關(guān)系將求解PA+PB轉(zhuǎn)化為求解PC+PB，即可求解．【解答】解：如圖，∵直線y＝﹣2x+8交x軸于點B，交y軸于點C，∴點B的坐標為（4，0），點C的坐標為（0，8），∴OB＝4，OC＝8，∵A點坐標為（0，3），∴OA＝3，∴AB＝＝5，BC＝＝4，∵第一象限內(nèi)有一動點P，且滿足PA＝PC+2，∴△PAB周長＝AB+PA+PB＝AB+PB+PC+2，∵PB+PC≥BC，∴PB+PC+AB+2≥BC+AB+2，即PB+PC+AB+2≥4+7，∴△PAB周長的最小值為4+7，故答案為：4+7．【點評】本題考查一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，最短路徑等知識點，解題的關(guān)鍵是利用PA與PC的關(guān)系將求解PA+PB轉(zhuǎn)化為求解PC+PB．4．（2022?和縣一模）為了在校運會中取得更好的成績，小丁積極訓練，在某次試投中鉛球所經(jīng)過的路線是如圖所示的拋物線的一部分．已知鉛球出手處A距離地面的高度是1.68米，當鉛球運行的水平距離為2米時，達到最大高度2米的B處，則小丁此次投擲的成績是7米．【分析】建立坐標系，設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣2）2+2，由待定系數(shù)法求得拋物線的解析式，令y＝0，得關(guān)于x的一元二次方程，求得方程的解并根據(jù)問題的實際意義作出取舍即可．【解答】解：建立坐標系，如圖所示：由題意得：A（0，1.68），B（2，2），點B為拋物線的頂點，設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣2）2+2，把A（0，1.68）代入得：4a+2＝1.68，解得a＝﹣0.08，∴y＝﹣0.08（x﹣2）2+2，令y＝0，得﹣0.08（x﹣2）2+2＝0，解得x1＝7，x2＝﹣3（舍），∴小丁此次投擲的成績是7米．故答案為：7．【點評】本題考查了二次函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用，正確建立平面直角坐標系、熟練掌握待定系數(shù)法及二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．5．（2022?越秀區(qū)校級二模）某學生在一平地上推鉛球，鉛球出手時離地面的高度為米，出手后鉛球在空中運動的高度y（米）與水平距離x（米）之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣x2+bx+c，當鉛球運行至與出手高度相等時，與出手點水平距離為8米，則該學生推鉛球的成績?yōu)?0米．【分析】建立平面直角坐標系，用待定系數(shù)法求得拋物線的解析式，再令y＝0，得關(guān)于x的一元二次方程，求得方程的解并作出取舍即可．【解答】解：設(shè)鉛球出手點為點A，當鉛球運行至與出手高度相等時為點B，根據(jù)題意建立平面直角坐標系，如圖：由題意可知，點A（0，），點B（8，），代入y＝﹣x2+bx+c，得：，解得．∴y＝﹣x2+x+，當y＝0時，0＝﹣x2+x+，解得x1＝10，x2＝﹣2（不符合題意，舍去）．∴該學生推鉛球的成績?yōu)?0m．故答案為：10．【點評】本題考查了二次函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用，熟練掌握待定系數(shù)法及二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共5小題）6．（2022?桂林模擬）如圖，在平面直角坐標系中，已知△ABC的三個頂點的坐標分別是A（2，3），B（1，1），C（3，1）．（1）畫出△ABC關(guān)于x軸對稱的△A1B1C1；（2）若點P是△ABC與△A1B1C1的對稱中心，請直接寫出點P的坐標；（3）以點O為位似中心，在y軸的左側(cè)將△ABC放大到原來的2倍，得到△A2B2C2，請畫出△A2B2C2．【分析】（1）根據(jù)關(guān)于x軸對稱的點的坐標特征找出點A1，B1，C1，描點即可．（2）根據(jù)點P是△ABC和△A1B1C1的對稱中心，即可得出點P坐標．（3）在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點的坐標的比等于k或﹣k，則把A，B，C的橫坐標分別乘以﹣2得到A2，B2，C2的坐標，再描點即可．【解答】解：（1）△A1B1C1如圖所示．（2）∵點P是△ABC與△A1B1C1的對稱中心，∴P（2，0）．（3）△A2B2C2如圖所示．【點評】本題考查作圖﹣位似變換，正確得出對應(yīng)點位置是解題的關(guān)鍵．7．（2022?深圳模擬）如圖，在單位長度為1的正方形網(wǎng)格中建立一直角坐標系，一條圓弧經(jīng)過網(wǎng)格點A、B、C，請在網(wǎng)格圖中進行下列操作（以下結(jié)果保留根號）：（1）利用網(wǎng)格找出該圓弧所在圓的圓心D點的位置，寫出D點的坐標為（2，0）；（2）連接AD、CD，若扇形DAC是一個圓錐的側(cè)面展開圖，則該圓錐底面半徑為；（3）連接BC，將線段BC繞點D旋轉(zhuǎn)一周，求線段BC掃過的面積．【分析】（1）線段AB與BC的垂直平分線的交點為D；（2）連接AC，先判斷∠ADC＝90°，則可求的弧長，該弧長即為圓錐底面圓的周長，由此可求底面圓的半徑；（3）設(shè)BC的中點為E，線段BC的運動軌跡是以D為圓心DC、DE分別為半徑的圓環(huán)面積．【解答】解：（1）過點（2，0）作x軸垂線，過點（5，3）作與BC垂直的線，兩線的交點即為D點坐標，∴D（2，0），故答案為：（2，0）；（2）連接AC，∵A（0，4），B（4，4），C（6，2），∴AD＝2，CD＝2，AC＝2，∵AC2＝AD2+CD2，∴∠ADC＝90°，∴的長＝×2π×2＝π，∵扇形DAC是一個圓錐的側(cè)面展開圖，∴π＝2πr，∴r＝，故答案為：；（3）設(shè)BC的中點為E，∴E（5，3），∴DE＝3，∴S＝π×（CD2﹣DE2）＝2π，∴線段BC掃過的面積是2π．【點評】本題考查圓錐的展開圖，垂徑定理，能夠由三點確定圓的圓心位置，理解圓錐展開圖與圓錐各部位的對應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．8．（2022?漢陽區(qū)模擬）如圖，在由邊長為1的小正方形組成的正方形網(wǎng)格中