中考數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)訓(xùn)練專題30 圓冪定理（解析版）

專題30圓冪定理模型的概述：相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等。

割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓交點的距離的積相等。弦切角定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧所對的圓心角度數(shù)的一半，等于它所夾的弧所對的圓周角讀數(shù)。切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。相交弦定理、切割線定理和割線定理統(tǒng)稱為圓冪定理。圓冪定理實質(zhì)上是反映兩條相交直線與圓的位置關(guān)系的性質(zhì)定理，其本質(zhì)與比例線段相關(guān)。相交弦定理模型：如左圖，⊙O中，弦AB、CD相交于點P,則AP?DP=BP?CP證明：如中圖，連接AB、CD在△APB和△CPD中∠1=∠2（同弧所對圓周角相等）∴△APB∽△CPD∴APCP=BPDP則AP?∠3=∠4【進階】如右圖，OP所在直線與⊙O交于M、N兩點，r為⊙O的半徑，則AP?DP=BP?CP=MP?NP=(r-OP)(r+OP)=割線定理模型：若從圓外一點P引圓的兩條割線PAB和PCD，則AP?BP=CP?DP?].’=證明（方法一）：如中圖，連接AC、BD∵∠1+∠2=180°，∠2+∠3=180°∴∠1=∠3在△APC和△DPB中∠1=∠3，∠P=∠P∴△APC∽△DPB∴APDP=CPBP則AP證明（方法二）：如右圖，連接AD、BC在△PAD和△PCB中∠PAD=∠PCB（∠1=∠2），∠P=∠P∴△PAD∽△PCB∴APCP=DPBP則AP?【進階】若從圓外一點P引圓的兩條割線PAB和PMN，且割線PMN經(jīng)過圓心，r為⊙O的半徑，則AP?BP=MP?NP=(OP-r)(OP+r)=OP2弦切角定理模型：線段AB切⊙O于點B，線段BC、CD為⊙O的弦，則∠1=∠2=12∠證明：連接OB、OD，則∠4=∠5∵線段AB切⊙O于點B∴∠1+∠4=90°∵∠3+∠4+∠5=180°∴∠3+2∠4=180°又∵∠3=2∠2∴∠2+∠4=90°∴∠1=∠2則∠1=∠2=12∠切割線定理模型：如右圖，線段ADC是⊙O的一條割線，AB是⊙O的一條切線，切點為點B，則AB2=AD?證明：∵∠1=∠2（弦切角定理模型），∠A=∠A∴△ABD∽△ACB∴ABAC=ADAB則AB【能力培優(yōu)練】1．如圖，PA切⊙O于點，PBC是⊙O的一條割線，且PA=23，BC=2A．2 B．

6 C．4 D．2【答案】A【分析】設(shè)PB=x，則PC=3x，根據(jù)切割線定理得PA2=PB?PC，從而可求得PB的長．【詳解】解：設(shè)PB=x，則PC=3x，∵PA2=PB?PC，PA=2，BC=2PB，∴x?3x=12，∴x=2．故選A．【點睛】此題考查切割線定理的運用．2．如圖，PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割線，如果PB=2，PC=4，則PA的長為________．【答案】22【分析】根據(jù)切割線定理直接求出，再將二次根式化簡即可.【詳解】解：∵PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割線，PB=2，PC=4，∴PA2=PB×PC，即PA2=8∴PA=22.故答案為22.【點睛】本題主要考查了切割線定理以及二次根式化簡，正確掌握切割線定理是解決問題的關(guān)鍵.3．弗朗索瓦·韋達是十六世紀(jì)法國最杰出的數(shù)學(xué)家之一，最早提出“切割線定理”（圓冪定理之一），指的是從圓外一點引圓的切線和割線，則切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項，下面緊跟著圓的切線作圖的思路嘗試證明與運用．(1)作圖（保留作圖痕跡）：已知AB是圓O的直徑，點P是BA延長線上的一點，①作線段OP的中垂線MN交OP于點Q；②以Q為圓心，PQ為半徑作圓，交圓O于點E、F；③連接PE和PF；試說明PE是圓O切線的理由．(2)計算：若圓O半徑OB=4，PB=14，嘗試證明“切割線定理”并計算出PE的長度．【答案】(1)見解析(2)證明見解析，【分析】（1）按要求作圖，根據(jù)MN是OP的中垂線，得到OQ=OP，點O在圓Q上，OQ=EQ=PQ，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)可得∠OEP=90°，即可證明；（2）根據(jù)切線的性質(zhì)和圓周角定理的推論可得∠EBO=∠AEP，證得△AEP∽△EBP，所以APEP=EPBP，E（1）作圖如下：連接OE，EQ，∵以Q為圓心，PQ為半徑作圓，交圓O于點E、F；∴QE=QP，∵MN是OP的中垂線，∴OQ=OP，點O在圓Q上，∴OQ=EQ=PQ，∴∠EOQ=∠OEQ，∠PEQ=∠EPQ，∵∠EOP+∠OEQ+∠QEP+∠EPQ=180°，∴2（∠OEQ+∠QEP）=180°，∴∠OEQ+∠QEP=90°，即∠OEP=90°，OE垂直EP，∴PE是圓O的切線．（2）證明：連接BE，OA，∵EP是圓O的切線，AB為圓O的直徑，∴∠OEP=90°，∠BEA=90°，∴∠BEO=∠AEP∵OE和OB為圓O的半徑，∴∠BEO=∠EBO，∴∠EBO=∠AEP，∵∠EPB=∠EPA，∴△AEP∴APEP∴EP∵OB=4，PB=14，∴AB=2OB=8，AP=BP－AB=14－8=6，∴EP∴．【點睛】本題考查圓的切線證明以及相似三角形的性質(zhì)與判定，根據(jù)題意證明△AEP4．圓冪定理是平面幾何中最重要的定理之一，它包含了相交弦定理、切割線定理、割線定理以及它們的推論，其中切割線定理的內(nèi)容是：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項．你能給出證明嗎？下面是證明的開頭：已知：如圖①，點P為⊙O外一點，切線PA與圓相切于A，割線PBC與圓相交于點B、C．求證：PA2＝PB?PC證明：如圖②，連接AB、AC、B0、AO，因為PA切⊙0于點A，∴．PA⊥AO，∠PAB＋∠BAO＝90°．閱讀以上材料，完成下列問題：(1)補充完成上面的證明過程；(2)如圖③，割線PDE與⊙O交于D、E，且PB＝BC＝4，PE＝7，求DE的長．【答案】(1)見解析(2)DE的長為17【分析】（1）先證△PAB∽△PCA（2）結(jié)合（1）同理可得PA2=PD?PE，所以PB（1）證明：如圖②，連接AB、AC、BO、AO，∵PA切⊙O于點A∴PA⊥AO，即∵OA=OB，

∴∠OAB=∵∠OAB+∴2∠∴∠OAB+∴∠PAB=∵∠C=∴∠PAB=又∵∠P=∴△PAB∴PAPC=∴PA（2）由（1）PA2=PB∴PB?PC=PD∴PD=PB∴DE=PE?PD=7?32∴DE的長為177【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證明△PAB5．在數(shù)學(xué)課上，當(dāng)老師講到直線與圓的位置關(guān)系時，張明同學(xué)突發(fā)奇想，特殊線與圓在不同的位置情況下會有怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？于是在課下他查閱了老師推薦他的《幾何原本》，這本書是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得所著的一部數(shù)學(xué)著作．它是歐洲數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，總結(jié)了平面幾何五大公設(shè)，被廣泛地認(rèn)為是歷史上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)幾何部分最成功的教科書．其中第三卷命題36-2圓冪定理（切割線定理）內(nèi)容如下：切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長比例中項．（比例中項的定義：如果a、b、c三個量成連比例即a:b=b:c，則b叫做a和c的比例中項）(1)為了說明材料中定理的正確性，需要對其進行證明，下面已經(jīng)寫了不完整的“已知”和“求證”，請補充完整，并寫出證明過程．已知：如圖，A是圓O外一點，AB是圓O的切線，直線ACD為圓O的割線．求證：證明：(2)已知AC=2，CD=4，則AB的長度是．【答案】(1)AB(2)2【分析】（1）根據(jù)比例中項的定義寫出“求證”，連接BO并延長交⊙O于點E，連接BC,BD,CE，先根據(jù)圓的切線的性質(zhì)可得BE⊥AB，再根據(jù)圓周角定理可得∠BCE=90°,∠E=∠（2）先根據(jù)線段和差求出AD=6，再根據(jù)（1）的結(jié)論即可得．【詳解】（1）求證：AB證明：如圖，連接BO并延長交⊙O于點E，連接BC,BD,CE是⊙O的切線，，∴∠ABC+由圓周角定理得：∠BCE=90°,∴∠∴∠在△ABC和△ADB中，∴△∴AB∴A（2）解：∵AC=2，CD=4∴AD=AC+CD=6由（1）已證：AB∴A解得AB=23或AB=?2故答案為：23【點睛】本題考查了圓的切線的性質(zhì)、圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握圓的切線的性質(zhì)和圓周角定理是解題關(guān)鍵．6．復(fù)習(xí)鞏固切線：直線和圓只有一個公共點，這時這條直線和圓相切，我們把這條直線叫做圓的切線，這個點叫做切點.如圖1，直線l1為⊙O的切線割線：直線和圓有兩個公共點，這時這條直線和圓相交，我們把這條直線叫做圓的割線.如圖1，直線l2為⊙O的割線切線長：過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間線段的長，叫做這點到圓的切線長.閱讀材料《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得所普的一部數(shù)學(xué)著作.它是歐州數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，總結(jié)了平面幾何五大公設(shè)，被廣泛地認(rèn)為是歷史上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)幾何部分最成功的教科書其中第三卷命題36一2圓冪定理（切割線定理）內(nèi)容如下：切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項.為了說明材料中定理的正確性，需要對其進行證明，下面已經(jīng)寫了不完整的“已知”和“求證”，請補充完整，并寫出證明過程已知：如圖2，A是⊙O外一點，．求證：[提示]輔助線可先考慮作⊙O的直徑DE．【答案】AD是⊙O的切線，直線ABC為⊙O的割線；AD2【分析】按照題設(shè)要求，寫出“已知”和“求證”，然后證明△ABD∽△ADC，即可求解．【詳解】解：（已知：如圖，A是⊙O外一點，）AD是⊙O的切線，直線ABC為⊙O的割線．求證：AD故答案為：AB是⊙O的切線，直線ACD為⊙O的割線，AD證明：連接BD，連接DO并延長交⊙O于點E，連接BE，∵AD是⊙O的切線，∴∠ADB+∵DE是圓的直徑，∴∠DBE=90°=∴∠ADB=又∵∠E=∴∠ADB=∵∠BAD=∴△ABD∽△ADC，∴ABAD∴AD【點睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)、同弧或等弧所對的圓周角相等以及相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，正確作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵．7．閱讀下列材料，完成相應(yīng)任務(wù)：弗朗索瓦?韋達，法國杰出數(shù)學(xué)家．第一個有意識地和系統(tǒng)地使用字母來表示已知數(shù)、未知數(shù)及其乘冪，帶來了代數(shù)學(xué)理論研究的重大進步，在歐洲被尊稱為“代數(shù)學(xué)之父”．他還發(fā)現(xiàn)從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項（切割線定理）．如圖1，P是⊙O外一點，PC是⊙O的切線，PA是⊙O的一條割線，與⊙O的另一個交點為B，則PC證明：如圖2，連接AC、BC，過點C作⊙O的直徑CD，連接AD．∵PC是⊙O的切線，∴PC⊥∴，即∠PCB+∠……任務(wù)：(1)請按照上面證明思路寫出該證明的剩余部分．(2)如圖3，PA與⊙O相切于點A，連接PO并延長與⊙O交于點B、C，∠P=∠BAD，BC=8，AP=3BP，連接CD．①CD與AP的位置關(guān)系是．②求BD的長．【答案】(1)見解析(2)①平行；②BD=【分析】（1）先根據(jù)切線的性質(zhì)和圓周角定理證得∠PCB=∠BAC，進而證明△PCB（2）根據(jù)圓周角定理證得∠P=（3）連接AC，根據(jù)已知和（1）中結(jié)論和△PAB∽△PCA求得AP=3，AC=3AB，再利用勾股定理求得AB=4510【詳解】（1）證明：如圖2，連接AC、BC，過點C作⊙O的直徑CD，連接AD．∵PC是⊙O的切線，∴PC⊥∴，即∠PCB+∠∵CD是直徑，∴∠CAD=90°，即∠DAB+∵∠DAB=∴∠PCB=∵∠P=∴△PCB∴PC:PA=PB:PC，∴PC（2）解：①∵∠DCB=∠DAB∴∠P=∴CD∥故答案為：平行；②如圖3，連接AC，∵PA與⊙O相切，PC為割線，∴PA∵AP=3BP，∴PC=9BP，∴BC=8BP=8，即BP=1，∴AP=3，由（1）可知，△PAB∴PA:PC=AB:AC=3:9，∴AC=3AB，在Rt△ABC中，∠BAC=90°由勾股定理可知，AB∴AB2+∴AB=4由（1）中證明過程可知∠PAB=∠ADB，又∠P=∴△PAB∴AB:DB=PB:AB，即45∴BD=32【點睛】本題考查圓的切線和割線性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、平行線的判定、勾股定理等知識，熟練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與運用，利用相似三角形的性質(zhì)探究線段間的數(shù)量關(guān)系是解答的關(guān)鍵．8．切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項．切割線定理揭示了從圓外一點引圓的切線和割線時，切線與割線之間的關(guān)系．如圖1，P是⊙O外一點，PT切⊙O于點T，PA交⊙O于點B（即PA是⊙O的割線），則PT下面是切割線定理的證明過程：證明：如圖2，連接TO并延長，交⊙O于點C，連接BC．∵PT切⊙O于點T，∴∠∴∠∵CT是⊙O……(1)根據(jù)前面的證明思路，補全剩余的證明過程；(2)在圖1中，已知AB=6，PB=5，則PT=______，ATTB【答案】(1)見解析(2)55，55【分析】（1）先證明∠2=∠A，再證明△PBT（2）根據(jù)PT2=PA?PB可求出PT的值，根據(jù)△PBT∽△PTA【詳解】（1）證明：如圖2，連接TO并延長，交⊙O于點C，連接BC．∵PT切⊙O于點T，∴∠CTP=90°∴．∵是⊙O的直徑，∴∠1+∴∠2=∵∠A=∴∠2=∵∠P=∴△PBT∴PBPT∴PT（2）解：∵AB=6，PB=5，∴PA=11．∴PT∴PT=55∵△PBT∴ATTB∴ATTB故答案為：55，555【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，證明△PBT9．讀下面材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項．下面是不完整的證明過程，請補充完整．已知：P為⊙O外一點，PA與⊙O交于A，B兩點，PM與⊙O相切于點M求證：PM證明：如圖，連接AM，BM，連接MO并延長交⊙O于點C，連接BC∵PM為⊙O的切線，∴_______=90°，∴∠CMB+∠BMP=90°，∵CM為⊙O的直徑，∴_______=90°，∴∠CMB+∠MCB=90°，∴∠MCB=_______，∵∠MAB=∠MCB，∴∠BMP=∠MAB．∵∠P=∠P，∴△PBM∽_______．∴PMPA=PBPM學(xué)習(xí)任務(wù)：如圖，若線段AB與⊙O相交于C，D兩點，且，射線AB，BF為⊙O的兩條切線，切點分別為E，F(xiàn)，連接CF．(1)求證：AE=BF；(2)若BF=6，CD=2BD，∠FBC=60°，求△BCF【答案】(1)∠CMP；∠CBM；∠BMP；△PMA；見解析(2)27【分析】閱讀材料：連接AM，BM，連接MO并延長交⊙O于點C，連接BC，證△PBM∽△（1）由閱讀材料得AE2=AC?AD，BF2=BD?BC，再由（2）由閱讀材料得BF2=BD?BC，從而求出BC=63，再過點F作FG⊥BC于點G，解Rt△（1）閱讀材料證明：如圖，連接AM，BM，連接MO并延長交⊙O于點C，連接BC∵PM為⊙O的切線，∴∠CMP=90°，∴∠CMB+∵CM為⊙O∴∠CBM=90°，∴∠CMB+∴∠MCB=∠BMP∵∠MAB=∴∠BMP=∵∠P=∴△PBM∽△∴PMPA∴PM故答案為：∠CMP，∠CBM，∠BMP，△PMA．（1）證明：∵AE，BF為⊙O∴AE2=AC?AD∵，∴AC+CD=BD+CD，即AD=BC．∴AE∴AE=BF．（2）解：∵CD=2BD，設(shè)BD=m，則CD=2m，BC=3m，由由閱讀材料得，BF即3m2=∴BC=63如圖1，過點F作FG⊥BC于點在Rt△BFG中，即FG=3∴S△BCF【點睛】本題考查切線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，本題屬閱讀材料題，通過閱讀，探究出一個結(jié)論，再運用結(jié)論解決其他問題，屬中考試常用考類型．10．我們知道，直線與圓有三種位置關(guān)系：相交、相切、相離．當(dāng)直線與圓有兩個公共點（即直線與圓相交）時，這條直線就叫做圓的割線．割線也有一些相關(guān)的定理．比如，割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓交點的距離的積相等．下面給出了不完整的定理“證明一”，請補充完整．已知：如圖①，過⊙O外一點P作⊙O的兩條割線，一條交⊙O于A、B點，另一條交⊙O于C、D點．求證：PA?證明一：連接AD、BC，∵∠A和∠C為BD所對的圓周角，∴______．又∵∠P=∠P，∴即PA?研究后發(fā)現(xiàn)，如圖②，如果連接AC、BD，即可得到學(xué)習(xí)過的圓內(nèi)接四邊形ABDC．那么或許割線定理也可以用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)來證明．請根據(jù)提示，獨立完成證明二．證明二：連接AC、BD，【答案】證明一：∠A=∠C，△ADP∽△CBP，APCP【分析】（1）證明△ADP∽△CBP（2）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得∠PBD=∠ACD，進一步證明△ACP∽△【詳解】解：證明一：連接AD、BC，∵∠A和∠C為BD所對的圓周角，∴∠A=又∵∠P=∴△ADP∽△CBP∴APCP即PA?故答案為：∠A=∠C，△ADP∽△CBP，APCP證明二：連接AC、BD，∵四邊形ABDC為圓內(nèi)接四邊形，∴，又∵∠ABD+∴∠PBD=又∵∠P=∴△ACP∽△DBP∴APDP=CP【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．11．如圖，P是⊙O外一點，割線POB與⊙O相交于A、B，切線PC與⊙O相切于C，若PA=2，PC=3，求⊙0的半徑．【答案】5【分析】設(shè)圓半徑為r，根據(jù)切割線定理得到PC2=PA?PB，代入得出方程32=2（2+2r），求出方程的解即可．【詳解】解：設(shè)圓半徑為r由切割線定理，得PC2=PA?PB，∴32=2（2+2r），解得r=5∴⊙O的半徑54【點睛】本題考查了切割線定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)題意得出方程，題目比較典型，難度不大．12．閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到與圓交點的兩條線段長的比例中項．證明過程如下：如圖1：已知：點P是⊙O外一點，PF是切線，F(xiàn)是切點，PBA是割線，點A，B是它與⊙O的交點，求證：P證明：連接FO并延長交⊙O于C，連接AF，BF，BC，∵PF是⊙O的切線，∴∠∵CF是⊙O的直徑，∴∠∴∠C+∠CFB=90°

∴又∵∠C=∴......任務(wù)：(1)完成材料證明部分中的“依據(jù)”，填入空格．(2)把證明過程補充完整．(3)定理應(yīng)用：已知PT為⊙O的切線，T是切點，PBA是⊙O的割線，交OC于D，為⊙O的直徑，OC=BD=4cm，AD=3cm，求PB的長．【答案】(1)切線的性質(zhì)定理；直徑所對的圓周角是直角；同弧所對的圓周角相等(2)見解析(3)20【分析】（1）利用圓周角定理推論、切線性質(zhì)找等角即可解答；（2）先構(gòu)造相似三角形，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例解答即可；（3）設(shè)TD=x,BP=y，如圖：連接AC，BT，先證△ADC～△TDB，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列式求得x【詳解】（1）證明：連接FO并延長交⊙O與C，連接AF，BF，BC，∵PF是⊙O∴∠∵CF是⊙O∴∠∴∠C+∠CFB=90°

∴又∵∠C=∴…………故答案為：切線的性質(zhì)定理；直徑所對的圓周角是直角；同弧所對的圓周角相等．（2）證明：連接FO并延長交⊙O與C，連接AF，BF，BC，∵PF是⊙O∴∠∵CF是⊙O∴∠∴

∴又∵∠C=∴又∵∠∴∴PBPF∴P（3）解：設(shè)TD=x,BP=y，如圖：連接AC，BT，∵∠∴∴AD:CD=TD:BD，∴AD·DB=CD·TD，即3×4=8?xx，解得：x=6或由切割線定理PT2=PA·PB，由勾股定理∴（y+4)2∴PB=20cm【點睛】本題綜合考查了閱讀理解能力、圓周角定理、切線的性質(zhì)定理、切線長定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點，從閱讀材料中提取有用信息是解答本題的關(guān)鍵．13．閱讀與思考九年級學(xué)生小剛喜歡看書，他在學(xué)習(xí)了圓后，在家里突然看到某本數(shù)學(xué)書上居然還有一個相交弦定理（圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等），下面是書上的證明過程，請仔細閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù)．圓的兩條弦相交，這兩條弦被交點分成的兩條線段的積相等．已知：如圖1，O的兩弦AB，CD相交于點P．求證：APBP證明：如圖1，連接AC，BD．∵∠C=∠B，∠A=∴△APC∴APDP∴APBP∴兩條弦相交，被交點分成的兩條線段的積相等．任務(wù)：(1)請將上述證明過程補充完整．根據(jù)：；@：．(2)小剛又看到一道課后習(xí)題，如圖2，AB是O的弦，P是AB上一點，，PA=3cm，OP=15cm，求⊙【答案】(1)有兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形相似，；(2)⊙O的半徑為6cm．【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)求解即可；（2）延長OP交圓O于點D，延長PO交圓O于點F，設(shè)圓O的半徑為rcm，則PF=r+15cm【詳解】（1）證明：如圖1，連接AC，BD．∵∠C=∠B，∠A=∴△APC∴APDP∴APBP∴兩條弦相交，被交點分成的兩條線段的積相等．故答案為：有兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形相似；CPBP（2）延長OP交圓O于點D，延長PO交圓O于點F，設(shè)圓O的半徑為rcm，而，PA=3cm，OP=15cmPF=15+rcm，PD=根據(jù)（1）中結(jié)論得APBP=DPF∴r2解得：r=6或r=?6（不符合題意，舍去），⊙O的半徑為6cm．【點睛】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，圓的相交弦定理，圓周角定理，理解題意，熟練掌握運用圓的相交弦定理是解題關(guān)鍵．14．閱讀與思考九年級學(xué)生小剛喜歡看書，他在學(xué)習(xí)了圓后，在家里突然看到某本數(shù)學(xué)書上居然還有一個相交弦定理（圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等），下面是書上的證明過程，請仔細閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù)．圓的兩條弦相交，這兩條弦被交點分成的兩條線段的積相等．已知：如圖1，⊙O的兩弦AB，CD相交于點P．求證：AP?證明：如圖1，連接AC，BD．∵∠C=∠B，∠A=∴△APC∴APDP∴AP?∴兩條弦相交，被交點分成的兩條線段的積相等．任務(wù)：(1)請將上述證明過程補充完整．根據(jù)：____________；@：____________．(2)小剛又看到一道課后習(xí)題，如圖2，AB是⊙O的弦，P是AB上一點，AB=10cm，PA=4cm，，求⊙【答案】(1)有兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形相似；；(2)7【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)求解即可；（2）延長OP交圓O于點D，延長PO交圓O于點F，設(shè)圓O的半徑為rcm，則PF=5+rcm，【詳解】（1）連接AC，BD．∵∠C=∠B，∠A=∴△APC∴APDP∴AP?∴兩條弦相交，被交點分成的兩條線段的積相等．故答案為：有兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形相似；；（2）延長OP交圓O于點D，延長PO交圓O于點F，設(shè)圓O的半徑為rcm，則PF=5+rcm，根據(jù)（1）中結(jié)論得AP·BP=DP·FP，即為4×10?4解得：r=7或r=?7（不符合題意，舍去），⊙O的半徑為7cm【點睛】題目主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，圓的相交弦定理等，理解題意，熟練掌握運用圓的相交弦定理是解題關(guān)鍵．15．九年級學(xué)生小剛是一個喜歡看書的好學(xué)生，他在學(xué)習(xí)完第二十四章圓后，在家里突然看到爸爸的初中數(shù)學(xué)書上居然還有一個相交弦定理（圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等），非常好奇，仔細閱讀原來就是：PA?PB=PC?PD，小剛很想知道是如何證明的，可異證明部分污損看不清了，只看到輔助線的做法，分別連結(jié)AC、BD．聰明的你一定能幫他證出，請在圖1中做出輔助線，并寫出詳細的證明過程．小剛又看到一道課后習(xí)題，如圖2，AB是⊙O弦，P是AB上一點，AB=10cm，PA=4cm，OP=5cm，求⊙O的半徑，愁壞了小剛，樂于助人的你肯定會幫助他，請寫出詳細的證明過程．【答案】（1）見解析；（2）⊙O的半徑R為7．【分析】（1）連結(jié)AC，BD，根據(jù)圓周角定理得到∠C=∠B，∠A=∠D，再根據(jù)三角形相似的判定定理得到△APC∽△DPB，利用相似三角形的性質(zhì)得AP：DP=CP：BP，變形有AP?BP=CP?DP；由此得到相交弦定理；（2）由AB=10，PA=4，OP=5，易得PB=10-4=6，PC=OC-OP=R-5，PD=OD+OP=R+5，根據(jù)相交弦定理得到PA?PB=PC?PD，即4×6=（R-5）×（R+5），解方程即可得到R的值．【詳解】（1）圓的兩條弦相交，這兩條弦被交點分成的兩條線段的積相等．已知，如圖1，⊙O的兩弦AB、CD相交于E，求證：AP?BP=CP?DP．證明如下：連結(jié)AC，BD，如圖1，∵∠C=∠B，∠A=∠D，∴△APC∽△DPB，∴AP：DP=CP：BP，∴AP?BP=CP?DP；所以兩條弦相交，被交點分成的兩條線段的積相等．（2）過P作直徑CD，如圖2，∵AB=10，PA=4，OP=5，∴PB=10﹣4=6，PC=OC﹣OP=R﹣5，PD=OD+OP=R+5，由（1）中結(jié)論得，PA?PB=PC?PD，∴4×6=（R﹣5）×（R+5），解得R=7（R=﹣7舍去）．所以⊙O的半徑R=7．【點睛】本題考查的是圓，熟練掌握相交弦定理和相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.16．小高同學(xué)在一本數(shù)學(xué)課外讀物上看到一個與圓相關(guān)的角——弦切角（弦切角的定義：把頂點在圓上，一邊與圓相切，另一邊和圓相交的角叫做弦切角），知道了弦切角定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧所對的圓周角度數(shù)．【證明】在證明時，細心的小高考慮了三種情況，圓心在弦切角∠PAB的一條邊上，圓心在弦切角外，圓心在弦切角內(nèi)．如圖1，PA與⊙O相切于點A，AB為直徑，當(dāng)圓心O在AB上時，容易得到∠PAB=90°，所以弦切角∠PAB=(1)如圖2，PA是⊙O的切線，A為切點，AC為直徑，∠PAB夾弧所對的圓周角為∠C，求證：∠(2)如圖3，PA是⊙O的切線，A為切點，∠PAB夾弧所對的圓周角為∠C．求證；∠【解決問題】(3)如圖4，△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點E，過點B作⊙O的切線交AC的延長線于點D，直接寫出∠CBD與∠CAB【答案】(1)見解析(2)見解析(3)∠【分析】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)得∠PAC=90°，根據(jù)圓周角定理得∠ACB=90°（2）作直徑AD，連接CD，由（1）同理得，∠PAD=（3）連接AE，由（1）知，∠DBC=【詳解】（1）證明：∵AC為直徑∴∠∵∠∴∠∵PA是⊙O∴∠∴∠即∠∴∠PAB=（2）證明：如圖，過點A作直徑AD交⊙O于點D，連接BD，∵四邊形ACBD是⊙O∴∠D+∠∵PA是⊙O∴∴∠即∠∵AD為直徑∴∠∵∠∴∠即∠∴∠（3）解：連接AE，由（1）知，∠是直徑，∴∠∵∴∴故答案為∠【點睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識，將一般情況轉(zhuǎn)化為特殊情形是解題的關(guān)鍵．17．閱讀與思考閱讀下面內(nèi)容并完成任務(wù)：頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角．弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角．如圖1，直線NM與⊙O相切于點A，AB為⊙O的弦，∠BAM叫弦切角，AB叫做弦切角∠BAM所夾的弧，∠C是AB所對的圓周角，AC為直徑時，很容易證明∠BAM=小華同學(xué)認(rèn)為這是一種特殊情況，若AC不是直徑會如何呢？即在圖2中∠BAM=∠C嗎？她連接AO并延長，交⊙O于點C'，連接C小穎同學(xué)利用圖3證明了當(dāng)弦切角∠BAM小亮積極思考，提出當(dāng)弦切角∠BAM為鈍角時，能證明∠BAM=任務(wù)：(1)請按照小華的思路，利用圖2證明∠BAM=(2)結(jié)合小華、小穎的思路或結(jié)論，利用圖4解答小亮提出的問題；(3)寫出在上面解決問題的過程中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想：______（寫出兩種）；(4)解決問題：如圖5，點P為⊙O的弦CB延長線上一點，PA切⊙O于點A，連接AB，AC，∠P=19°，∠ABP=140°，則∠C=【答案】(1)見解析(2)見解析(3)轉(zhuǎn)化思想和類比思想(4)21【分析】（1）連接AO并延長，交⊙O于點C'，連接C'B，則，根據(jù)AC'是⊙O的直徑，可得（2）連接AO并延長，交⊙O于點D，連接DB，根據(jù)AD是⊙O的直徑，可得∠D+