中考數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)訓(xùn)練專題27 四點共圓(解析版)

專題27四點共圓四點共圓的性質(zhì)：1）共圓的四個點所連成同側(cè)共底的兩個三角形的頂角相等（如下圖1，∠BAC=∠BDC）；2）圓內(nèi)接四邊形的對角互補（如下圖2，∠1=∠2）；3)圓內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對角（如下圖3，∠1=∠3）。四點共圓的判定方法：1）若四個點到一個定點的距離相等，則這四個點共圓。如圖，若AO=BO=CO=DO，則點A、B、C、D四點共圓。理由：到定點的距離等于定長的點都在同一個圓上（圓的定義）。2）共斜邊的兩個直角三角形的四個頂點共圓(可在考試中直接使用)。如圖，已知△ABC和△BCD為直角三角形，∠BAC=∠BDC=90°，點0為斜邊中點則點A、B、C、D四點共圓。理由：連接AO、OD∴AO=BO=CO=DO∴點A、B、C、D四點共圓3）同側(cè)共邊三角形且公共邊所對角相等的四個頂點共圓。已知：在BC同側(cè)兩個三角形△ABC和△BDC,且∠BAC＝∠BDC

求證：A、B、C、D四點共圓

證明(反證法)：過A，B，D作圓O，交BC所在直線于C’，連結(jié)DC’，使∠BAC＝∠BDC’∵∠BAC＝∠BDC∴∠BDC＝∠BDC’①又∵∠BDC與∠BDC’有相同的頂點且點C與點C’不重合∴∠BDC≠∠BDC’②則①與②矛盾∴點C與點C’重合，則點C也在圓O上，即點A、B、C、D四點共圓4)對角互補四邊形的四個頂點共圓。已知：四邊形ABCD中，∠A+∠C=180°求證：A，B，C，D四點共圓證明（反證法）：過A，B，D作圓O，假設(shè)C不在圓O上，點C在圓外或圓內(nèi)，若點C在圓外，設(shè)BC交圓O于C’，連結(jié)DC’，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠A+∠DC’B=180°，∵∠A+∠C=180°∴∠DC’B=∠C這與三角形外角定理矛盾，故C不可能在圓外。類似地可證C不可能在圓內(nèi)?！郈在圓O上，也即A，B，C，D四點共圓。5)在⊙O中，弦AB、CD相交于點P,若AP?DP=BP?CP，則A、B、C、D四點共圓。證明：在△APB和△CPD中AP?DP=BP?CP∠3=∠4∴△APB∽△CPD∴∠1=∠2則A、B、C、D四點共圓6)若AB、CD兩條線段延長后交于點P,且AP?BP=CP?DP，則A、B、C、D四點共圓。證明：在△APC和△DPB中AP?BP=CP?DP∠P=∠P∴△APC∽△DPB∴∠1=∠3而∠2+∠3=180°∴∠1+∠2=180°則A、B、C、D四點共圓【培優(yōu)過關(guān)練】1．（湖南省長沙市湘郡未來中學(xué)2022-2023學(xué)年九年級上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)試卷）如圖，已知中，，，，，過點作的垂線，與的延長線交于點，則的最大值為（

）A．4 B．5 C． D．【答案】C【分析】由，，證明，推出，當(dāng)有最大值時，有最大值，根據(jù)，得到點A、C、B、P四點共圓，若有最大值，則應(yīng)為直徑，由，得到是圓的直徑，勾股定理求出，即可得到答案．【詳解】解：∵∴∵∴∴∴∴，∴當(dāng)有最大值時，有最大值，∵，∴點A、C、B、P四點共圓，若有最大值，則應(yīng)為直徑，∵，∴是圓的直徑，∴，∴的最大值為，故選：C．【點睛】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，四點共圓的判定和性質(zhì)，正確掌握四點共圓的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（浙江省嘉興市2021年中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在中，，AB=AC=5，點在上，且，點E是AB上的動點，連結(jié)，點，G分別是BC，DE的中點，連接，，當(dāng)AG=FG時，線段長為（

）A． B． C． D．4【答案】A【分析】連接DF，EF，過點F作FN⊥AC，F(xiàn)M⊥AB，結(jié)合直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半求得點A，D，F(xiàn)，E四點共圓，∠DFE=90°，然后根據(jù)勾股定理及正方形的判定和性質(zhì)求得AE的長度，從而求解．【詳解】解：連接DF，EF，過點F作FN⊥AC，F(xiàn)M⊥AB∵在中，，點G是DE的中點，∴AG=DG=EG又∵AG=FG∴點A，D，F(xiàn)，E四點共圓，且DE是圓的直徑∴∠DFE=90°∵在Rt△ABC中，AB=AC=5，點是BC的中點，∴CF=BF=，F(xiàn)N=FM=又∵FN⊥AC，F(xiàn)M⊥AB，∴四邊形NAMF是正方形∴AN=AM=FN=又∵，∴∴△NFD≌△MFE∴ME=DN=AN-AD=∴AE=AM+ME=3∴在Rt△DAE中，DE=故選：A．【點睛】本題考查直徑所對的圓周角是90°，四點共圓及正方形的判定和性質(zhì)和用勾股定理解直角三角形，掌握相關(guān)性質(zhì)定理正確推理計算是解題關(guān)鍵．3．（2021年江蘇省無錫市濱湖區(qū)、經(jīng)開區(qū)七校聯(lián)考中考二模數(shù)學(xué)試題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，將△ABC繞點A沿順時針方向旋轉(zhuǎn)后得到△ADE，直線BD、CE相交于點O，連接AO．則下列結(jié)論中：①△ABD∽△ACE；②∠COD＝135°；③AO⊥BD；④△AOC面積的最大值為8，其中正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】①由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)證明即可判斷；②由①的結(jié)論可得，，進而得到，即可判斷；③證明為等腰三角形即可判斷；④由題意直線BD、CE相交于點，當(dāng)時，的面積最大，通過勾股定理計算求出最大值，進而進行判斷【詳解】①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：，即故①正確②設(shè)相交于點,如圖：由①，可得，又故②正確③，可知四點共圓，則即故③正確④設(shè)到的距離為，，以為底邊，當(dāng)最大時候，△AOC面積的才最大，由③可知是等腰三角，,當(dāng)點到的距離最大時即當(dāng)時，最大即當(dāng)旋轉(zhuǎn)角度時，過作于點，如圖，由②可知由③可知,由①可知在中，，在中，,在中，故④不正確綜上所述：①②③正確，共計3個故選C【點睛】本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)，三角形相似的性質(zhì)與判定，同弧所對的圓周角相等，圓內(nèi)接四邊形對角互補，等腰三角形性質(zhì)，勾股定理，正確的作輔助線和熟練的幾何基礎(chǔ)知識是解題的關(guān)鍵．4．（2021年廣東省深圳市龍崗區(qū)九年級下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷（二模））如圖，正方形中，、相交于點，是邊上的一點，且，連接、、，線段、分別交對角線、于點、．過點作．交的延長線于．下列結(jié)論中：①；②；③；④其中正確的結(jié)論有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】①正方形對角線垂直平分三角形外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角和，可得結(jié)果；②連接AQ，可得∠QEP=∠AEQ=∠ABQ=90°，即A、Q、B、E四點共圓，可得∠QAE=90°-∠AQE=45°，即可得AE=EQ；③過P作AC的垂線于點G，設(shè)BP=a，由勾股定理得AP=a，AC=3a，正方形對角線垂直相等且互相平分，知，即可求解；④AD∥BC，可得△BEP∽△DEA，△PFC∽△DFA，根據(jù)相似的性質(zhì)可得，設(shè)S△BEP=s，則S△OEP=s，S△BPO=2s，S△POC=4s，S△OPE=s，可得S四邊形OEPF=s，S正方形ABCD=24s．【詳解】解：①∵∠POB=∠PDO+∠OPD，∠POC=∠PAO+∠APO，∠POB+∠POC=∠BOC，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠BOC=90°，∴∠PDO+∠OPD+∠PAO+∠APO=90°，∴∠PAO+∠APO+∠PDO=90°，∴①正確；②連接AQ，∵QE⊥AP，∴∠QEP=∠AEQ=∠ABQ=90°，∴A、Q、B、E四點共圓，∴∠AQE=∠ABE=∠ABC=45°，∴∠QAE=45°，∴AE=EQ，∴②正確；③過P作AC的垂線于點G，設(shè)BP=a，PC=2a，∴BC=3a，∴AP=a，∴AC==3a，∴AO=BO=，∵BD⊥AC，PE⊥AC，∴BD∥PG，∴，∴PG=×=，∴sin∠PAC，∴③錯誤；④∵AD∥BC，∴△BEP∽△DEA，△PFC∽△DFA，∴BE：DE=1：3，CF：AF=2：3，∴BE：EO=1：1，OF：CF=1：4，設(shè)S△BEP=s，則S△OEP=s，S△BPO=2s，S△POC=4s，∴S△OPF=s，∴S△BCO=2s+4s=6s，∴S四邊形OEPF=s+s=s，則10S四邊形OEPF=s，S正方形ABCD=4s×6=24s，∴④錯誤，綜上①②正確，故選：B．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)的應(yīng)用，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，圓周角定理等，解本題關(guān)鍵掌握正方形的性質(zhì)，相似三角形判定與性質(zhì)等．5．（江蘇省宿遷市沭陽縣沭陽紅巖學(xué)校2020-2021學(xué)年九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，在中，，，，點P為平面內(nèi)一點，且，過C作交PB的延長線于點Q，則CQ的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意可得A、B、C、P四點共圓，由AA定理判定三角形相似，由此得到CQ的值與PC有關(guān)，當(dāng)PC最大時CQ即取最大值．【詳解】解：∵在中，，，，∴A、B、C、P四點共圓，AB為圓的直徑，AB=∵∴∴△ABC∽△PQC∴，，即∴當(dāng)PC取得最大值時，CQ即為最大值∴當(dāng)PC=AB=5時，CQ取得最大值為故選：B．【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)以及四點共圓，掌握同圓或等圓中，同弧所對的圓周角相等確定四點共圓，利用相似三角形性質(zhì)得到線段間等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．6．（山東省煙臺市芝罘區(qū)（五四制）2021-2022學(xué)年九年級上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點A、B坐標(biāo)分別為（3，0）、（0，4），點C是x軸正半軸上一點，連接BC．過點A垂直于AB的直線與過點C垂直于BC的直線交于點D，連接BD，則sin∠BDC的值是__________．【答案】【分析】根據(jù)圖形的特點證明∠BDC=∠BAO，故可出sin∠BDC的值．【詳解】∵BA⊥AD，BC⊥CD∴∠BAD=∠BCD=90°∴A、B、C、D四點共圓∴∠BDA=∠BCA∵∠BDA+∠DBA=∠BCA+∠CBO=90°∴∠DBA=∠CBO∴∠DBA-∠CBA=∠CBO-∠CBA即∠DBC=∠ABO又∠DBC+∠BDC=∠ABO+∠BAO=90°∴∠BDC=∠BAO∵點A、B坐標(biāo)分別為（3，0）、（0，4），∴BO=4，OA=3，AB=∴sin∠BAO=∴sin∠BDC=故答案為：．【點睛】此題主要考查三角函數(shù)的求解，解題的關(guān)鍵是熟知四點共圓的性質(zhì)、勾股定理及三角函數(shù)的求解方法．7．（2020年湖北省武漢中考數(shù)學(xué)二模試題）如圖，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)25°得到，EF交BC于點N，連接AN，若，則__________．【答案】102.5°【分析】先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，，得到點A、N、F、C共圓，再利用，根據(jù)平角的性質(zhì)即可得到答案；【詳解】解：如圖，AF與CB相交于點O，連接CF，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到：AC=AF，，，，∴點A、N、F、C共圓，∴，又∵點A、N、F、C共圓，∴，∴（平角的性質(zhì)），故答案為：102.5°【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、平角的性質(zhì)、點共圓的判定，掌握平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；8．（廣東省珠海市香洲區(qū)紫荊中學(xué)2021-2022學(xué)年九年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）如圖，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，直角△ADE的邊AE在線段AC上，AE＝AD＝2，將△ADE繞直角頂點A按順時針旋轉(zhuǎn)一定角度，連接CD、BE，直線CD，BE交于點F，連接AF，過BC中點G作GM⊥CD，GN⊥AF．（1）求證：BE＝CD；（2）求證：旋轉(zhuǎn)過程中總有∠BFA＝∠MGN；（僅對0°＜＜90°時加以證明）（3）在AB上取一點Q，使得AQ＝1，求FQ的最小值．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）2﹣【分析】（1）根據(jù)題中各角之間的關(guān)系可得：，依據(jù)三角形全等的判定定理可證，由全等三角形的性質(zhì)即可證明；（2）由（1）中全等三角形的性質(zhì)可得：，利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出：，得出點C，點B，點A，點F四點共圓，根據(jù)同弧所對的圓周角相等可得：，，再由四邊形內(nèi)角和及各角之間的等量關(guān)系即可得出結(jié)論；（3）由點F在以BC為直徑的圓上運動，可得點Q，點F，點G三點共線時，QF有最小值，由勾股定理及三角形中位線定理可得：，，再由勾股定理及各線段之間的數(shù)量關(guān)系即可得解．【詳解】（1）證明：∵，∴，在△BAE與△CAD中，，∴，∴；（2）證明：由（1）得：，∴，∵，，∴∴點C，點B，點A，點F四點共圓，如圖所示：∴，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴；（3）解：如（2）圖所示，過點G作GH⊥AB于H，∵點C，點B，點A，點F四點共圓，∴點F在以BC為直徑的圓上運動，∴點Q，點F，點G三點共線時，QF有最小值，∵，，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴QF的最小值為．【點睛】題目主要考查全等三角形的判定定理及性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，線段間距離最短問題，理解題意，作出相應(yīng)圖形，綜合運用這些知識點是解題關(guān)鍵．9．（湖北省武漢市漢陽區(qū)2021-2022學(xué)年八年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）定義：三角形一個內(nèi)角的平分線和與另一個內(nèi)角相鄰的外角平分線相交所成的銳角稱為該三角形第三個內(nèi)角的遙望角．（1）如圖1，∠E是△ABC中∠A的遙望角．①若∠A＝40°，直接寫出∠E的度數(shù)是；②求∠E與∠A的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（2）如圖2，四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，點E在BD的延長線上，連CE，若∠BEC是△ABC中∠BAC的遙望角，求證：DA＝DE．【答案】（1）①20°；②，理由見解析；（2）證明見解析【分析】（1）①根據(jù)題目定義推出∠E＝∠A，從而得出結(jié)論；②直接根據(jù)求解①過程證明即可；（2）首先根據(jù)題意推出A、B、C、D四點共圓，然后作四邊形ABCD的外接圓交CE于點F，連接AF，DF，再根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等推出∠AFD＝∠DFE，然后根據(jù)“遙望角”的定義推出∠E＝∠DAF，即可證△DAF≌△DEF，從而得出結(jié)論．【詳解】（1）解：①∵∠E是△ABC中∠A的遙望角，∴∠EBC＝∠ABC，∠ECD＝∠ACD，∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠A，∵∠A＝40°，∴∠E＝20°．故答案為：20°；②，理由如下：∵∠E是△ABC中∠A的遙望角，∴∠EBC＝∠ABC，∠ECD＝∠ACD，∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠A；（2）證明：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴A、B、C、D四點共圓，作四邊形ABCD的外接圓交CE于點F，連接AF，DF，∵四邊形FBCD內(nèi)接于⊙O，∴∠DFC+∠DBC＝180°，∵∠DFC+∠DFE＝180°，∴∠DFE＝∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∵∠ABD＝∠AFD，∴∠AFD＝∠DFE，∵∠BEC是△ABC中∠BAC的遙望角，由（1）得∠E＝∠BAC，∵∠BAC＝∠BDC，∴∠E＝∠BDC，∵∠E+∠DCE＝∠BAC，∴∠E＝∠DCE，∵∠DCE＝∠DAF，∴∠E＝∠DAF，∵DF＝DF，∠AFD＝∠DFE，∴△DAF≌△DEF（AAS），∴DA＝DE．【點睛】本題考查新定義問題，涉及三角形角平分線的拓展運用，圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等，理解題目定義，靈活運用“四點共圓”的證明方法是解題關(guān)鍵．10．（2021年福建省福州外國語學(xué)校中考適應(yīng)性練習(xí)三模數(shù)學(xué)試題）在中，，，．將繞點B順時針旋轉(zhuǎn)得到，直線，交于點P．（1）如圖1，當(dāng)時，連接．①求的面積；②求的值；（2）如圖2，連接，若F為中點，求證；C，E，F(xiàn)三點共線．【答案】（1）①10．②．（2）證明見解析部分．【分析】（1）①過點作于．證明四邊形是矩形，推出，利用勾股定理求出，可得結(jié)論．②利用面積法求出，再利用勾股定理求出，推出，可得結(jié)論．（3）如圖2中，連接，取的中點，連接，．想辦法證明，可得結(jié)論．【詳解】解：（1）①過點作于．，，，四邊形是矩形，，在中，，由旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)可知，，．②由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，，，，，，．（2）如圖2中，連接，取的中點，連接，．，，，，是由旋轉(zhuǎn)得到，，，，，，，，，，，，，，，四點共圓，，，，，、、三點共線．【點睛】本題考查了幾何變換綜合題，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是證明．11．（2021年江蘇省鹽城市鹽都區(qū)、大豐區(qū)中考二模數(shù)學(xué)試題）如圖，將一副斜邊相等的直角三角板按斜邊重合擺放在同一平面內(nèi)，其中∠DAB＝45°，∠CAB＝30°，點O為斜邊AB的中點，連接CD交AB于點E．設(shè)AB＝1．（1）求證：A、B、C、D四個點在以點O為圓心的同一個圓上；（2）分別求△ABC和△ABD的面積；（3）過點D作DF∥BC交AB于點F，求OE︰OF的比值．【答案】（1）見解析；（2）△ABC的面積為，△ABD的面積為；（3）【分析】(1)根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得0C=OA=OB=OD，即可得出答案．(2)根據(jù)已知條件可計算出AC、BC、AD、BD的長度，根據(jù)三角形的面積公式即可得出答案．(3)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到,，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，解直角三角形得到，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.【詳解】（1）證明：如圖，連接OD、OC，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點O是AB的中點，∴OC＝OA＝OB，在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，點O是AB的中點，∴OD＝OA＝OB，∴OA＝OB＝OC＝OD，∴A、B、C、D四個點在以點O為圓心的同一個圓上；（2）解：△ABC的面積為；△ABD的面積為（3）解：是等腰直角三角形，點O為斜邊AB的中點∵DF∥BC∵∴△DEF∽△CEB，∴又得．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)(兩組對應(yīng)角分別相等的兩個三角形相似；相似三角形對應(yīng)邊成比例)，三角形的面積的計算(三角形面積=底底邊上的高)，解直角三角形，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．12．（2021年福建省九年級下學(xué)期百校聯(lián)考（診斷卷二）數(shù)學(xué)試題）如圖，四邊形內(nèi)接于，對角線，垂足為，于點，直線與直線于點．（1）若點在內(nèi)，如圖1，求證：和關(guān)于直線對稱；（2）連接，若，且與相切，如圖2，求的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）根據(jù)垂直及同弧所對圓周角相等性質(zhì)，可得，可證與全等，得到，進一步即可證點和關(guān)于直線成軸對稱；（2）作出相應(yīng)輔助線如解析圖，可得與全等，利用全等三角形的性質(zhì)及切線的性質(zhì)，可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和即可得出答案．【詳解】解：（1）證明：∵，，∴，∵，∴，又∵同弧所對圓周角相等，∴，∴，在與中，∴，∴，又，∴點和關(guān)于直線成軸對稱；（2）如圖，延長交于點，連接，，，，∵，，∴、、、四點共圓，、、、四點共圓，∴，，在與中，，∴，∴，∴為等腰直角三角形，∴，∴，又，∴，∵與相切，∴，∴，∴，∴，∴，∴．【點睛】題目主要考查圓的有關(guān)性質(zhì)、三角形全等、成軸對稱、平行線性質(zhì)等，作出相應(yīng)輔助線及對各知識點的熟練運用是解題的關(guān)鍵．13．（2021年新動力數(shù)學(xué)元月調(diào)考模擬試題（二））問題背景：在學(xué)習(xí)課本例題“矩形ABCD的四個頂點A，B，C，D在同一個圓上”后，小明進行了如下研究：（1）如圖1，四邊形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°．AC、BD是對角線，取BD的中點O，連接OA，OC，得點A，B，C，D在⊙O上，進而可得∠BAC=∠BDC，請幫小明按照思路補全圖形，并寫出證明過程；遷移應(yīng)用：（2）如圖2，四邊形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠ADB=2∠CAD，證明：AB=2CE；拓展應(yīng)用：（3）如圖3，在Rt中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，AC=6，若點D滿足AD=AC，點E是CD中點，若CD=4，直接寫出BE的值．【答案】（1）圖見解析，證明見解析；（2）見解析；（3）或【分析】（1）根據(jù)題意正確畫出圖形，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出OA=OB=OC=OD，則點、、、共圓，再根據(jù)同圓中同弧所對的圓周角相等可得出結(jié)論；（2）取的中點，由（1）可知，點、、、在上，過點O作OF⊥于，根據(jù)條件證出（AAS），，便可得出；（3）根據(jù)題意畫出兩種不同的圖形，由等腰三角形三線合一得∠AEC=90°，CE=2,由（1）得點、、、共圓，過點C作CF⊥BE（或BE的延長線）于點F，根據(jù)圓周角定理和解直角三角形的相關(guān)知識可依次求出BC、CF、EF、BF，則或．【詳解】解：（1）如圖，點是的中點在中，．同理．點、、、在上（2）取的中點，由（1）可知，點、、、在上，過點O作OF⊥于，連接，則．∵OF⊥，OA=OB，∴，AB=2BF，∠BFO=90°，，，，，；，（AAS），，即，．（3）在Rt△ABC中，∵AC=6，∠BAC=60°，∴BC=，∵AD=AC，E是CD的中點，CD=4，∴CE=ED=2，AE⊥CD，即∠AEC=90°，又∠ABC=90°，則由（1）知A、B、C、E四點共圓，如下圖，過點C作CF⊥BE于點F，∵，∠BAC=60°，∴∠BEC=∠BAC=60°，在Rt△EFC中，EF，F(xiàn)C在Rt△BFC中，，∴．如下圖，過點C作CF⊥BE的延長線于點F，∵，∠BAC=60°，∴∠BEC=180°-∠BAC=120°，∠FEC=180°-∠BEC=60°，在Rt△EFC中，EF，F(xiàn)C在Rt△BFC中，，∴．故BE的長為或．【點睛】本題是幾何綜合問題，考查了四點共圓、圓的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、解直角三角形等內(nèi)容，較難，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．14．（浙江省寧波市鄞州區(qū)東錢湖中學(xué)2019年九年級上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題）我們知道：有一內(nèi)角為直角的三角形叫做直角三角形．類似地我們定義：有一內(nèi)角為45°的三角形叫做半直角三角形．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點，A（4，0），B（－4，0），D是y軸上的一個動點，∠ADC=90°(A、D、C按順時針方向排列)，BC與經(jīng)過A、B、D三點的⊙M交于點E，DE平分∠ADC，連結(jié)AE，BD．顯然ΔDCE、ΔDEF、ΔDAE是半直角三角形．（1）求證：ΔABC是半直角三角形；（2）求證：∠DEC=∠DEA；（3）若點D的坐標(biāo)為（0，8），求AE的長；（4）BC交y軸于點N，問的值是否發(fā)生變化？若不發(fā)生變化，請求出其值；若發(fā)生變化，請說明理由.【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）；（4）不變，為.【分析】（1）先求得∠ADE=45°，由同弧所對的圓周角可知：∠ABE=∠ADE=45°，根據(jù)定義得：△ABC是半直角三角形；（2）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得：AD=BD，由等角對等邊得：∠DAB=∠DBA，由D、B、A、E四點共圓，則∠DBA+∠DEA=180°，可得結(jié)論；（3）設(shè)⊙M的半徑為r，根據(jù)勾股定理列方程為：（8-r）2+42=r2，可得⊙M的半徑為5，由同弧所對的圓心角和圓周角的關(guān)系可得∠EMA=2∠ABE=90°，根據(jù)勾股定理可得結(jié)論；（4）過點C作CH⊥DO于H，過點C作CQ⊥BA于Q,通過證明Rt△HDC≌Rt△ADO，推出HC=OD，DH=OA，推出CQ=BQ，得出∠CBQ=45°，推出△HCN為等腰直角三角形即可.【詳解】解：（1）∵∠ADC=90°，DE平分∠ADC，∴∠ABE=∠ADE=45?∴ΔABC是半直角三角形（2））∵OM⊥AB，OA=OB，∴AD=BD，∴∠DAB=∠DBA，∵∠DEB=∠DAB，∴∠DBA=∠DEB，∵D、B、A、E四點共圓，∴∠DBA+∠DEA=180°，∵∠DEB+∠DEC=180°，∴∠DEA=∠DEC；（3））①如圖，連接AM，ME，設(shè)⊙M的半徑為r，∵點D的坐標(biāo)為（0,8）∴OM=8-r由得解得r=5

∴⊙M的半徑為5∵∠ABE=45°∴∠EMA=2∠ABE=90°，∴EA2=MA2+ME2=52+52=50∴（4）不變，為過點C作CH⊥DO于H，過點C作CQ⊥BA于Q，∵∠CDH+∠ODA=90°，∠CDH+∠CDH=90°，∴∠ODA=∠CDA，在△HDC和△ADO中，∴Rt△HDC≌Rt△ADO（AAS），∴HC=OD，DH=OA，又∵BO=AO，∴HO=DH+DO=OB+CH，而CH=OQ，HO=CQ，∴CQ=OB+OQ=BQ，∴∠CBQ=45°，又∵CH∥BA，∴∠HCN=45°，∴△HCN為等腰直角三角形，∴∴=【點睛】本題考查圓綜合題、圓的有關(guān)性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形全等的性質(zhì)和判定，等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會設(shè)未知數(shù)列方程解決問題，屬于中考壓軸題．15．（第九章圓（二））如圖所示，正方形中，為對角線，點為上一點，過作，交于，求證：.【答案】見解析.【分析】先根據(jù)正方形的性質(zhì)可得∠CDA=90°，再根據(jù)得到∠AEF=90°，從而得證，，，共圓，，繼而得出AE=FE.【詳解】在正方形ABCD中，,∠BDC=45°∵∴∴∠ADC+∠AEF=180°∴，，，共圓，∴，∴∴.【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，四點共圓，以及等腰三角形的判定，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵16．（2023年陜西省渭南市臨渭區(qū)中考一模數(shù)學(xué)試卷）【結(jié)論理解】“善思”小組開展“探究四點共圓的條件”活動，得出結(jié)論：對角互補的四邊形的四個頂點共圓．該小組繼續(xù)利用上述結(jié)論進行探究．(1)【問題探究】如圖1，在矩形中，點E為上一點，將沿翻折，點C的對應(yīng)點F恰好落在邊上，做經(jīng)過F、E、C三點的圓，請根據(jù)以上結(jié)論判斷點B點______（填“在”或“不在”）該圓上；(2)如圖2，四邊形是的內(nèi)接四邊形，，，，求四邊形的面積．(3)【問題解決】如圖3，四邊形是某公園的一塊空地，現(xiàn)計劃在空地中修建與兩條小路，（小路寬度不計），將這塊空地分成四部分，記兩條小路的交點為P，其中與空地中種植草坪，與空地中分別種植郁金香和牡丹花．已知，且點C到的距離是，求種植牡丹花的地塊的面積比種植郁金香的地塊的面積多多少？【答案】(1)在(2)(3)【分析】（1）矩形的性質(zhì)及折疊的性質(zhì)得：，則四點B、C、E、F共圓，從而可得答案；（2）由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、勾股定理即可求得四邊形的面積；（3）過點C作于E，過點B作，交的延長線于點F，易證，則，從而可分別求得的面積，兩個面積之差即可所求的結(jié)果．【詳解】（1）解：∵四邊形是矩形，∴，由折疊的性質(zhì)得：，∴，∴四點B、C、E、F共圓，∴點B在點C、E、F確定的圓上，故答案為：在；（2）解：∵四邊形是圓內(nèi)接四邊形，∴，∵，∴，由勾股定理，，；（3）解：如圖，過點C作于E，過點B作，交的延長線于點F，則，，∵，，∴，∵，∴，∴；∵，，∴．【點睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，折疊的性質(zhì)等知識，有一定的綜合性，熟練掌握這些知識并正確運用是關(guān)鍵．17．（2023年河南省周口市鄲城實驗中學(xué)等兩校九年級中考數(shù)學(xué)一模試題）請閱讀以下材料，完成相應(yīng)任務(wù)．我們知道，過任意一個三角形的三個頂點能作一個圓，那么過任意一個四邊形的四個頂點能作一個圓嗎？李雷經(jīng)過實踐探究發(fā)現(xiàn)了如下結(jié)論：如果線段同側(cè)兩點（與線段在同一平面內(nèi)）分別與線段兩端點的連線所組成的夾角相等，那么這兩點和線段兩端點四點共圓．下面是李雷證明上述命題的過程（不完整）．已知：如圖1，點，是線段同側(cè)兩點，且．求證：點，，，四點共圓．證明：作的外接圓，假設(shè)點在外或在內(nèi)．如圖2，若點在外．設(shè)與交于點，連接，則（依據(jù)一），又（依據(jù)二），．．這與已知條件“”矛盾，故點在外不成立；如圖3，若點在內(nèi)，（請同學(xué)們補充完整省略的部分證明過程）綜上所述，作的外接圓，點在上，即點，，，四點共圓．(1)填空：將材料中依據(jù)一、依據(jù)二補充完整；依據(jù)一：；依據(jù)二：．(2)請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；(3)填空：如圖4，在四邊形中，，對角線，交于點，為中點，若，，則．【答案】(1)同弧所對的圓周角相等；三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和(2)見解析(3)【分析】（1）由圓周角定理和三角形的外角性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）作的外接圓，假設(shè)點在外或在內(nèi)．由反證法、圓周角定理以及三角形的外角性質(zhì)即可得出結(jié)論；（3）證點，，，四點共圓，再由相似三角形得，然后由為中點，得，即可解決問題．【詳解】（1）解：依據(jù)一：同弧所對的圓周角相等；依據(jù)二：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；故答案為：同弧所對的圓周角相等；三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；（2）如圖3，若點在內(nèi)，延長與交于點，連接，則，又，．．這與已知條件“”矛盾，故點在內(nèi)不成立；（3），點，，，四點共圓，∵，∴，∴，，為中點，，，，，，解得：（負(fù)值已舍去），故答案為：．【點睛】本題是四點共圓綜合題目，考查了四點共圓、反證法、圓周角定理、相似三角形的判定和性質(zhì)以及三角形的外角性質(zhì)等知識，本題綜合性強，熟練掌握圓周角定理，證明四點共圓是解題的關(guān)鍵，屬于中考常考題型．18．（浙江省寧波市鄞州區(qū)2022-2023學(xué)年九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）綜合與實踐“善思”小組開展“探究四點共圓的條件”活動，得出結(jié)論：對角互補的四邊形四個頂點共圓．該小組繼續(xù)利用上述結(jié)論進行探究．提出問題：如圖1，在線段AC同側(cè)有兩點B，D，連接，如果，那么A，B，C，D四點在同一個圓上．探究展示：求證：點A，B，C，D四點在同一個圓上如圖2，作經(jīng)過點A，C，D的，在劣弧上取一點E（不與A，C重合），連接，，則．(1)請完善探究展示(2)如圖3，在四邊形中，，則∠4的度數(shù)為．(3)拓展探究：如圖4，已知是等腰三角形，，點D在上（不與的中點重合），連接．作點C關(guān)于的對稱點E，連接并延長交的延長線于F，連接．①求證：A，D，B，E四點共圓；②若，的值是否會發(fā)生變化，若不變化，求出其值；若變化，請說明理由【答案】(1)圓內(nèi)接四邊形對角互補；過不在同一直線上的三個點有且只有一個圓(2)45°(3)①見解析；②的值不會發(fā)生變化，值為8【分析】（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、過三點的圓解答即可；（2）根據(jù)四點共圓、圓周角定理解答；（3）①根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到，，，，進而得到，證明結(jié)論；②連接，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計算即可．【詳解】（1）解：如圖2，作經(jīng)過點A，C，D的，在劣弧AC上取一點E（不與A，C重合），連接，，則，∵，∴，∴點A，B，C，E四點在同一個圓上（對角互補的四邊形四個頂點共圓），∴點B，D在點A，C，E所確定的上，∴點A，B，C，D四點在同一個圓上；（2）解：∵，∴點四點在同一個圓上，∴，∵，∴，故答案為：；（3）①證明：∵，∴，∵點與點關(guān)于的對稱，∴，，∴，，∴，∴，∴A，D，B，E四點共圓；②解：的值不會發(fā)生變化，理由如下：如圖4，連接，∵點與點關(guān)于的對稱，∴，∴，∴，∵A，D，B，E四點共圓，∴，∴，∴A，B，F(xiàn)，C四點共圓，∴，∵，∴，∴，∴．【點睛】本題考查的是四點共圓、相似三角形的判定和性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)，正確理解四點共圓的條件是解題的關(guān)鍵．19．（吉林省長春市長春外國語（實驗）學(xué)校2022-2023學(xué)年九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）[問題情境]如圖①，在四邊形ABCD中，，求證：四點共圓．小吉同學(xué)的作法如下：連接，取的中點，連接、，請你幫助小吉補全余下的證明過程；[問題解決]如圖②，在正方形中，，點是邊的中點，點是邊上的一個動點，連接，作于點．（1）如圖②，當(dāng)點恰好落在正方形對角線上時，線段的長度為

；（2）如圖③，過點Р分別作于點，于點，連接，則的最小值為

．【答案】【小問1】證明見解析

【小問2】；【分析】[問題情境]連接，取的中點，連接、，如圖所示，根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，得到，即可得證；[問題解決]（1）由[問題情境]中結(jié)論知四點共圓，如圖所示，根據(jù)圓周角定理及正方形性質(zhì)得到，利用勾股定理得到，從而由等腰直角三角形邊的關(guān)系得到；（2）根據(jù)矩形性質(zhì)得到，求的最小值就是求最小值，結(jié)合[問題情境]中結(jié)論知四點共圓，從而利用“圓外點到圓周上動點距離最值模型”，即可得到答案．【詳解】[問題情境]證明：連接，取的中點，連接、，如圖所示：，，四點共圓；[問題解決]（1）解：由[問題情境]中結(jié)論可知四點共圓，如圖所示：，在正方形中，當(dāng)點恰好落在正方形對角線上時，，在正方形中，，點是邊的中點，，，，在，，，，則，故答案為：；（2）由題意可知，四邊形為矩形，則；由[問題情境]中結(jié)論知四點共圓，圓心為中點，如圖所示：的最小值就是求最小值，根據(jù)“圓外點到圓周上動點距離最值模型”，則的最小值就是最小值，過作，則四邊形為矩形，如圖所示：，圓心為中點，由平行線分線段成比例定理得到為中點，即為中位線，，，在中，，，則，的最小值就是最小值，故答案為：．【點睛】本題考查圓綜合，涉及四點共圓、正方形性質(zhì)、勾股定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、“圓外點到圓周上動點距離最值模型”、平行的判定與性質(zhì)、中位線判定與性質(zhì)等知識，熟練運用相關(guān)幾何性質(zhì)及判定求證是解決問題的關(guān)鍵．20．（江蘇省南京市鼓樓區(qū)2022-2023學(xué)年九年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）以下是“四點共圓”的幾個結(jié)論，你能證明并運用它們嗎？I．若兩個直角三角形有公共斜邊，則這兩個三角形的4個頂點共圓（圖①、②）；Ⅱ．若四邊形的一組對角互補，則這個四邊形的4個頂點共圓（圖③）；Ⅲ．若線段同側(cè)兩點與線段兩端點連線的夾角相等，則這兩點和線段兩端點共圓（圖④）．(1)在圖①、②中，取的中點O，根據(jù)得，即A，B，C，D共圓；(2)在圖③中，畫⊙O經(jīng)過點A，B，D（圖⑤）．假設(shè)點C落在外，交于點E，連接，可得，所以，得出矛盾；同理點C也不會落在內(nèi)，即A，B，C，D共圓．結(jié)論Ⅲ同理可證．(3)利用四點共圓證明銳角三角形的三條高交于一點．已知：如圖⑥，銳角三角形的高，相交于