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第一章函數(shù)與極限1第四節(jié)無窮小與無窮大一、無窮小的概念三、無窮大的概念五、無窮小與極限的關(guān)系二、無窮小的運(yùn)算性質(zhì)四、無窮小與無窮大的關(guān)系2當(dāng)定義.

若時(shí),函數(shù)則稱函數(shù)例如:函數(shù)當(dāng)時(shí)為無窮小;數(shù)列時(shí)為無窮小。為時(shí)的無窮小.一、無窮小的概念?無窮小是一個(gè)很小的數(shù)嗎？無窮小是比任意一個(gè)數(shù)都小的量嗎？3.在某極限過程中，兩個(gè)無窮小量之和仍是一個(gè)無窮小.可推廣至有限個(gè)情形定理五、無窮小的運(yùn)算性質(zhì)例如：說明:

無限個(gè)無窮小之和不一定是無窮小!5推論1.常數(shù)與無窮小量之積仍為無窮小量.推論2.有限個(gè)無窮小量之積仍為無窮小量.定理在某一極限過程中，無窮小與有界量的積仍是一個(gè)無窮小量.例如：6例1.

求解:

利用定理2可知說明:

y=0是的漸近線.7注意：

我們沒有討論兩個(gè)無窮小的商的情形，因?yàn)檫@一情形較復(fù)雜，將在以后專門討論.例如：不是無窮小量.是無窮小量；是無窮大量；8定義

.若任給M>0,一切滿足不等式的

x,總有則稱函數(shù)當(dāng)時(shí)為無窮大,

使對(duì)若在定義中將①式改為①則記作(正數(shù)X),記作總存在三、無窮大9例2.10證明證:任給正數(shù)M,要使即只要取則對(duì)滿足的一切x,有所以若則直線為曲線的鉛直漸近線.漸近線說明:例3.11例4.證:要取故12注意:1.無窮大不是很大的數(shù),它是描述函數(shù)的一種狀態(tài).2.函數(shù)為無窮大,必定無界.但反之不真!例如,函數(shù)當(dāng)?shù)詴r(shí),不是無窮大!注意：不要混淆無窮大與無界變量?jī)蓚€(gè)概念！13例5.解:但是該數(shù)列無界.14四、無窮小與無窮大的關(guān)系若為無窮大,為無窮小;若為無窮小,且則為無窮大.則據(jù)此定理,關(guān)于無窮大的問題都可轉(zhuǎn)化為無窮小來討論.在自變量的同一變化過程中,說明:定理當(dāng)時(shí)為無窮小.15?1.兩個(gè)無窮大的和（差）仍是無窮大嗎？2.無窮大與有界變量的積仍是無窮大嗎？考慮:16五、無窮小與極限的關(guān)系其中

為時(shí)的無窮小量.證:當(dāng)時(shí),有對(duì)自變量的其它變化過程類似可證.定理17小結(jié)無窮小的定義無窮大的定義無窮小與極限的關(guān)系無窮小的運(yùn)算性質(zhì)無窮

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