函數(shù)-導數(shù)2-3函數(shù)的奇偶性知識分享

考綱要求1.結(jié)合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的含義．2．會運用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì).熱點提示1.函數(shù)的奇偶性作為函數(shù)的一個重要性質(zhì)，仍是2011年高考考查的重點，常與函數(shù)的單調(diào)性、周期性等知識交匯命題．2．在每年的高考試題中，三種題型都有可能出現(xiàn)，多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，屬中、低檔題.1．奇偶函數(shù)的定義(1)如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意一個x，都有

，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)．(2)如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意一個x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做 ．如果函數(shù)f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，那么我們就說函數(shù)f(x)具有 ．f(－x)＝f(x)奇函數(shù)奇偶性3．函數(shù)奇偶性的判定方法(1)根據(jù)定義判定，首先看函數(shù)的定義域是否關于

對稱，若不對稱，則函數(shù)是

函數(shù)；若對稱，再判定f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)．有時判定f(－x)＝±f(x)比較困難，可考慮判定f(－x)±

或判定＝

(f(－x)≠0)．原點非奇非偶f(x)＝0±1

(2)性質(zhì)法判定．①在定義域的公共部分內(nèi)，兩奇函數(shù)之積(商)為偶函數(shù)；兩偶函數(shù)之積(商)也為偶函數(shù)；一奇一偶函數(shù)之積(商)為奇函數(shù)(注意取商時分母不為零)；②偶函數(shù)在區(qū)間(a，b)上遞增(減)，則在區(qū)間(－b，－a)上

；奇函數(shù)在區(qū)間(a，b)與(－b，－a)上的增減性 ．遞減(增)相同

4.奇函數(shù)在關于原點對稱的兩個區(qū)間上有

的單調(diào)性；偶函數(shù)在對稱的兩個區(qū)間上有

的單調(diào)性．相同相反1．對任意實數(shù)x，下列函數(shù)為奇函數(shù)的是()A．y＝2x－3 B．y＝－3x2C．y＝ln5x D．y＝－|x|cosx解析：A為非奇非偶函數(shù)，B、D為偶函數(shù)，C為奇函數(shù)．設y＝f(x)＝ln5x＝xln5，∴f(－x)＝－xln5＝－f(x)．答案：C2．已知f(x)＝ax2＋bx是定義在[a－1,2a]上的偶函數(shù)，那么a＋b的值是 ()答案：B3．已知函數(shù)y＝f(x)為奇函數(shù)，若f(3)－f(2)＝1，則f(－2)－f(－3)＝________.解析：∵f(x)為奇函數(shù)且f(3)－f(2)＝1，∴f(－2)－f(－3)＝f(3)－f(2)＝1.答案：14．下面四個命題：①偶函數(shù)的圖象一定與y軸相交；②奇函數(shù)的圖象一定通過原點；③偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱；④既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)的函數(shù)一定是f(x)＝0(x∈R)．其中正確的命題序號為________．解析：當y＝f(x)在x＝0處無定義時，①②都不正確；∵偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱，∴③正確；∵既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)可以寫成f(x)＝0，x∈[－a，a](其中a可為任一確定的正實數(shù))，∴④錯誤．答案：③5．設函數(shù)f(x)＝(x＋1)(x＋a)為偶函數(shù)，求實數(shù)a的值．解：∵f(x)＝(x＋1)(x＋a)，∴f(－x)＝(－x＋1)(－x＋a)．又∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(x)＝f(－x)，∴(x＋1)(x＋a)＝(－x＋1)(－x＋a)，x2＋(a＋1)x＋a＝x2－(a＋1)x＋a，∴a＋1＝－(a＋1)，∴a＝－1.(3)函數(shù)的定義域為R.若x為無理數(shù)，則－x也是無理數(shù)，∴f(x)＝f(－x)＝0；若x為有理數(shù)，則－x也是有理數(shù)，∴f(x)＝f(－x)＝1.綜上可知，對任意實數(shù)x都有f(x)＝f(－x)．∴f(x)為偶函數(shù)．

判斷函數(shù)的奇偶性，首先應考察定義域是否關于原點對稱，再研究f(x)與f(－x)的關系.

【例2】已知函數(shù)f(x)對一切x、y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．(1)試判斷f(x)的奇偶性；(2)若f(－3)＝a，用a表示f(12)．思路分析：(1)判斷f(x)的奇偶性，即找f(－x)與f(x)之間的關系，∴令y＝－x，有f(0)＝f(x)＋f(－x)，再想法求f(0)即可；(2)尋找f(12)與f(－3)之間的關系，注意用(1)問的結(jié)論．解：(1)顯然f(x)的定義域是R，關于原點對稱．又∵函數(shù)f(x)對一切x、y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，∴令x＝y(tǒng)＝0，得f(0)＝2f(0)，∴f(0)＝0.再令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)為奇函數(shù)．(2)∵f(－3)＝a且f(x)為奇函數(shù)．∴f(3)＝－f(－3)＝－a.又∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，x、y∈R，∴f(12)＝f(6＋6)＝f(6)＋f(6)＝2f(6)＝2f(3＋3)＝4f(3)＝－4a.變式遷移2

函數(shù)f(x)，x∈R，若對于任意實數(shù)x1，x2都有f(x1＋x2)＋f(x1－x2)＝2f(x1)f(x2)．試判斷函數(shù)y＝f(x)的奇偶性．解：∵對于任意實數(shù)x1，x2都有f(x1＋x2)＋f(x1－x2)＝2f(x1)f(x2)，∴令x1＝0，x2＝x，得f(x)＋f(－x)＝2f(0)f(x) ①令x1＝x，x2＝0，得f(x)＋f(x)＝2f(0)f(x) ②由①②得，f(－x)＝f(x)，∴y＝f(x)為偶函數(shù)．(1)證明：∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，∴f(x)是以4為周期的周期函數(shù)．判斷函數(shù)的周期只需證明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可證明函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為T，函數(shù)的周期性常與函數(shù)的其他性質(zhì)綜合命題，是高考考查的重點問題.

變式遷移3

(2009·山東高考)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，若方程f(x)＝m(m>0)在區(qū)間[－8,8]上有四個不同的根x1，x2，x3，x4，則x1＋x2＋x3＋x4＝________.解析：∵f(x－4)＝－f(x)，∴f(x)＝－f(x－4)＝－[－f(x－8)]＝f(x－8)．知函數(shù)f(x)的周期為T＝8，又f(x)＝－f(x－4)，∴f(x＋2)＝－f(x－2)＝f(2－x)，知函數(shù)f(x)關于直線x＝2對稱．函數(shù)f(x)大體圖象為：x1＋x2＝－12，x3＋x4＝4.∴x1＋x2＋x3＋x4＝－8.答案：－8【例4】已知函數(shù)y＝f(x)的定義域為R，且對任意a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)．且當x>0時，f(x)<0恒成立，f(3)＝－3.(1)證明：函數(shù)y＝f(x)是R上的減函數(shù)；(2)證明：函數(shù)y＝f(x)是奇函數(shù)；(3)試求函數(shù)y＝f(x)在[m，n](m，n∈Z)上的值域．(1)證明：設任意x1，x2∈R，且x1<x2，f(x2)＝f[x1＋(x2－x1)]＝f(x1)＋f(x2－x1)．∵x2－x1>0，∴f(x2－x1)<0.∴f(x2)＝f(x1)＋f(x2－x1)<f(x1)．故f(x)是R上的減函數(shù)．(2)證明：∵f(a＋b)＝f(a)＋f(b)恒成立，∴可令a＝－b＝x，則有f(x)＋f(－x)＝f(0)．又令a＝b＝0，則有f(0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0.從而任意的x∈R，f(x)＋f(－x)＝0，∴f(－x)＝－f(x)．故y＝f(x)是奇函數(shù)．(3)解：由于y＝f(x)是R上的單調(diào)遞減函數(shù)，∴y＝f(x)在[m，n]上也是減函數(shù)，故f(x)在[m，n]上的最大值f(x)max＝f(m)，最小值f(x)min＝f(n)．由于f(n)＝f[1＋(n－1)]＝f(1)＋f(n－1)＝…＝nf(1)，同理f(m)＝mf(1)．又f(3)＝3f(1)＝－3，∴f(1)＝－1，∴f(m)＝－m，f(n)＝－n.因此函數(shù)y＝f(x)在[m，n]上的值域為[－n，－m]．

解決抽象函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等問題時，若條件中含有某一范圍內(nèi)某一式子都成立的語句時，常采用賦值法，但賦值要恰當.

解：對任意的x∈R，有f(－x)＝－(x3＋x)＝－f(x)，所以，f(x)是R上的奇函數(shù)．因為?x1，x2∈R，且x1<x2，均有x<x，從而x＋x1