專題15-8-分式的加減(知識講解)-八年級數(shù)學(xué)上冊(人教版)

專題15.8分式的加減（知識講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．能利用分式的基本性質(zhì)通分．2．會進(jìn)行同分母分式的加減法．3．會進(jìn)行異分母分式的加減法．【要點(diǎn)整理】要點(diǎn)一、同分母分式的加減同分母分式相加減，分母不變，把分子相加減；上述法則可用式子表為：.特別說明：“把分子相加減”是把各分式的分子的整體相加減，即各個分子都應(yīng)用括號，當(dāng)分子是單項(xiàng)式時，括號可以省略；當(dāng)分子是多項(xiàng)式時，特別是分子相減時，括號不能省，不然，容易導(dǎo)致符號上的錯誤.（2）分式的加減法運(yùn)算的結(jié)果必須化成最簡分式或整式.要點(diǎn)二、異分母分式的加減異分母分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?，再加減.上述法則可用式子表為：.特別說明：異分母的分式相加減，先通分是關(guān)鍵.通分后，異分母的分式加減法變成同分母分式的加減法.（2）異分母分式加減法的一般步驟：①通分，②進(jìn)行同分母分式的加減運(yùn)算，③把結(jié)果化成最簡分式.【典型例題】類型一、同分母分式的加減1、計算：．華華的計算過程如下：解：原式．請問華華的計算結(jié)果正確嗎？如果不正確，請說明理由．【答案】不正確，理由見解析【分析】按照同分母的減法法則計算即可．解：華華的計算結(jié)果不正確，理由：減式的分子是一個多項(xiàng)式，沒有注意分?jǐn)?shù)線的括號作用；正確的運(yùn)算是：原式．【點(diǎn)撥】本題考查了分式的加減，掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．注意：減式的分子是一個多項(xiàng)式，運(yùn)算時要注意分?jǐn)?shù)線的括號作用，防止出現(xiàn)的錯誤．舉一反三：【變式】計算：（1）【答案】（1）；（2）m-n；（3）1；（4）-1【分析】首先通分，然后再依照“分母不變，分子相加減”的規(guī)則進(jìn)行運(yùn)算，計算過程中要合理運(yùn)用因式分解相關(guān)公式，注意結(jié)果要約分化為最簡形式.解：（1）原式=；（2）原式=；（3）原式=；（4）原式=.【點(diǎn)撥】分式加減運(yùn)算中，通分是關(guān)鍵環(huán)節(jié)，要學(xué)會尋找最簡公分母，同時注意最后結(jié)果的約分.類型二、異分母分式的加減 2、閱讀材料，并回答問題：小亮在學(xué)習(xí)分式運(yùn)算過程中，計算解答過程如下：解：①②③④問題：（1）上述計算過程中，從步開始出現(xiàn)錯誤（填序號）；（2）發(fā)生錯誤的原因是：；（3）在下面的空白處，寫出正確解答過程：【答案】（1）③；（2）分式加法法則運(yùn)用錯誤；（3）見解析【分析】觀察整個運(yùn)算過程，根據(jù)分式的加法運(yùn)算法則，找出錯誤的步驟并正確求解即可．解：（1）③；（2）同分母分式相加時，分母不變，分子相加，不能去掉分母；（3）原式，，，．【點(diǎn)撥】本題考查了分式的加法運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】計算下列各題（1）（2）【答案】（1）0；（2）【分析】（1）先通分，可化成同分母分式，根據(jù)同分母分式的加減，可得答案；

（2）從左到右依次通分相減即可．解：（1）原式.（2）原式.【點(diǎn)撥】本題考查了分式的加減，異分母分式通分是解答此題的關(guān)鍵．類型三、分式的加減乘除混合運(yùn)算3、先化簡，再求值：，其中．【答案】；【分析】分式的混合運(yùn)算，注意先算乘除，然后算加減，有小括號先算小括號里的，然后代入求值即可．解：==當(dāng)時，原式．【點(diǎn)撥】本題考查分式的混合運(yùn)算，分式的化簡求值，掌握運(yùn)算順序和計算法則正確計算是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】先化簡，再求值：，其中【答案】；【分析】分式的混合運(yùn)算，注意先算乘除，然后算加減，有小括號先算小括號里面的，然后代入求值即可解：把代入上式，得：【點(diǎn)撥】本題考查分式的混合運(yùn)算，掌握運(yùn)算法則和運(yùn)算順序正確計算是解題關(guān)鍵．【變式2】先化簡：，然后從，，中選擇一個合適的數(shù)代入求值．【答案】；1【分析】根據(jù)分式的減法和除法可以化簡題目中的式子，然后從0，2，3中選擇一個使得原分式有意義值，代入化簡后的式子即可解答本題．解：∵當(dāng)或時，原式?jīng)]有意義，∴當(dāng)時，原式．【點(diǎn)撥】本題考查分式的化簡求值，明確分式化簡求值的方法和分式有意義的條件是解答本題的關(guān)鍵．類型四、分式的加減乘除運(yùn)算的應(yīng)用4．探索：（1）如果，則m=（2）如果，則m=總結(jié)：如果（其中a.b.c為常數(shù)），則m=應(yīng)用：利用上述結(jié)論解決：若代數(shù)式的值為整數(shù)，求滿足條件的整數(shù)x的值．【答案】（1）m=﹣13；（2）m=﹣5；（3）m=b﹣ac；（4）x=2或0【分析】（1）根據(jù)分式的性質(zhì)把5化出來，再根據(jù)等式的性質(zhì)求出m的值；（2）根據(jù)分式的性質(zhì)把3化出來，再根據(jù)等式的性質(zhì)求出m的值；總結(jié)：根據(jù)分式的性質(zhì)把a(bǔ)化出來，再根據(jù)等式的性質(zhì)求出m的值，先把代數(shù)式的4化出來即可求解.解：（1）∵∴m=﹣13；（2）∵∴m=﹣5；總結(jié)：∵∴m=b﹣ac；應(yīng)用：∵=又∵代數(shù)式的值為整數(shù)，∴為整數(shù)，∴x﹣1=1或x﹣1=﹣1，∴x=2或0【點(diǎn)撥】此題主要考查分式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知等式進(jìn)行求解，再得出規(guī)律進(jìn)行解答.舉一反三：【變式】閱讀下列材料，并解答總題：材料：將分式拆分成一個整式與一個分式（分子為整數(shù)）的和的形式．解：由分母x+1，可設(shè)則=∵對于任意上述等式成立∴，解得，∴這樣，分式就拆分成一個整式與一個分式的和的形式．（1）將分式拆分成一個整式與一個分式（分子為整數(shù)）的和的形式為___________；（2）已知整數(shù)使分式的值為整數(shù)，則滿足條件的整數(shù)=________．【答案】（1）；（2）4、16、2、-10【分析】（1）仿照例題，列出方程組，求出a、b的值，把原式拆分成一個整式與一個分式（分子為整數(shù)）的和的形式；

（2）仿照例題，列出方程組，求出a、b的值，把原式拆分成一個整式與一個分式（分子為整數(shù)）的和的形式，根據(jù)整除運(yùn)算解答；解：（1）由分母x-1，可設(shè)x2+6x-3=（x-1）（x+a）+b

則x2+6x-3=（x-1）（x+a）+b=x2+ax-x-a+b=x2+（a-1）x-a+b

∵對于任意x上述等式成立，解得：，拆分成x+7+故答案為：x+7+（2）由分母x-3，可設(shè)2x2+5x-20=（x-3）（2x+a）+b

則2x2+5x-20=（x-3）（2x+a）+b=2x2+ax-6x-3a+b=2x2+（a-6）x-3a+b

∵對于任意x上述等式成立，，解得拆分成2x+11+∵整數(shù)使分式的值為整數(shù)，∴為整數(shù)，則滿足條件的整數(shù)x=4、16、2、-10，

故答案為：4、16、2、-10；【點(diǎn)撥】本題考查的是分式的混合運(yùn)算，掌握多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則、二元一次方程組的