考點03函數(shù)的概念與性質(8種題型10個易錯考點)(原卷版)

考點03函數(shù)的概念與性質（8種題型10個易錯考點）【課程安排細目表】真題搶先刷，考向提前知二、考點清單三、題型方法四、易錯分析五、刷好題六.刷壓軸一一、真題搶先刷，考向提前知一．選擇題（共3小題）1．（2022?上海）下列函數(shù)定義域為R的是（）A．y＝ B．y＝x﹣1 C．y＝ D．y＝2．（2023?上海）下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（）A．y＝sinx B．y＝cosx C．y＝x3 D．y＝2x3．（2021?上海）以下哪個函數(shù)既是奇函數(shù)，又是減函數(shù)（）A．y＝﹣3x B．y＝x3 C．y＝log3x D．y＝3x二．填空題（共2小題）4．（2020?上海）若函數(shù)y＝a?3x+為偶函數(shù)，則a＝．5．（2022?上海）設函數(shù)f（x）滿足對任意x∈[0，+∞）都成立，其值域是Af，已知對任何滿足上述條件的f（x）都有{y|y＝f（x），0≤x≤a}＝Af，則a的取值范圍為．三．解答題（共3小題）6．（2020?上海）已知非空集合A?R，函數(shù)y＝f（x）的定義域為D，若對任意t∈A且x∈D，不等式f（x）≤f（x+t）恒成立，則稱函數(shù)f（x）具有A性質．（1）當A＝{﹣1}，判斷f（x）＝﹣x、g（x）＝2x是否具有A性質；（2）當A＝（0，1），f（x）＝x+，x∈[a，+∞），若f（x）具有A性質，求a的取值范圍；（3）當A＝{﹣2，m}，m∈Z，若D為整數(shù)集且具有A性質的函數(shù)均為常值函數(shù)，求所有符合條件的m的值．7．（2021?上海）已知函數(shù)f（x）＝﹣x．（1）若a＝1，求函數(shù)的定義域；（2）若a≠0，若f（ax）＝a有2個不同實數(shù)根，求a的取值范圍；（3）是否存在實數(shù)a，使得函數(shù)f（x）在定義域內具有單調性？若存在，求出a的取值范圍．8．（2021?上海）已知x1，x2∈R，若對任意的x2﹣x1∈S，f（x2）﹣f（x1）∈S，則有定義：f（x）是在S關聯(lián)的．（1）判斷和證明f（x）＝2x﹣1是否在[0，+∞）關聯(lián)？是否有[0，1]關聯(lián)？（2）若f（x）是在{3}關聯(lián)的，f（x）在x∈[0，3）時，f（x）＝x2﹣2x，求解不等式：2≤f（x）≤3．（3）證明：f（x）是{1}關聯(lián)的，且是在[0，+∞）關聯(lián)的，當且僅當“f（x）在[1，2]是關聯(lián)的”．

二二、考點清單1.函數(shù)的概念設A，B是兩個非空數(shù)集，如果按照確定的法則f，對A中的任意數(shù)x，都有唯一確定的數(shù)y與它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作y＝f(x)，x∈A.2.函數(shù)的定義域、值域(1)函數(shù)y＝f(x)自變量取值的范圍(數(shù)集A)叫做這個函數(shù)的定義域；所有函數(shù)值構成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}叫做這個函數(shù)的值域.(2)如果兩個函數(shù)的定義域相同，并且對應法則完全一致，則這兩個函數(shù)為相等函數(shù).3.函數(shù)的表示法表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖象法和列表法.4.分段函數(shù)(1)在函數(shù)的定義域內，對于自變量x的不同取值區(qū)間，有著不同的對應法則，這種函數(shù)稱為分段函數(shù).(2)分段函數(shù)是一個函數(shù)，分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集.5.函數(shù)的單調性(1)單調函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義設函數(shù)y＝f(x)的定義域為A，區(qū)間M?A，如果取區(qū)間M中任意兩個值x1，x2，改變量Δx＝x2－x1>0，則當Δy＝f(x2)－f(x1)>0時，就稱函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間M上是增函數(shù)Δy＝f(x2)－f(x1)<0時，就稱函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間M上是減函數(shù)圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的(2)如果一個函數(shù)在某個區(qū)間M上是增函數(shù)或是減函數(shù)，就說這個函數(shù)在這個區(qū)間M上具有單調性，區(qū)間M稱為單調區(qū)間.6.函數(shù)的最值前提設函數(shù)y＝f(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足條件(1)對于任意x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(3)對于任意x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M結論M為最大值M為最小值7.函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點奇函數(shù)設函數(shù)y＝f(x)的定義域為D，如果對D內的任意一個x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，則這個函數(shù)叫做奇函數(shù)關于原點對稱偶函數(shù)設函數(shù)y＝g(x)的定義域為D，如果對D內的任意一個x，都有－x∈D，且g(－x)＝g(x)，則這個函數(shù)叫做偶函數(shù)關于y軸對稱8.函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù)：對于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當x取定義域內的任何值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期.(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.三三、題型方法一．函數(shù)的定義域及其求法（共3小題）1．（2023?虹口區(qū)二模）函數(shù)y＝lg（x﹣1）+的定義域為．2．（2023?普陀區(qū)二模）函數(shù)的定義域為．3．（2023?浦東新區(qū)模擬）函數(shù)的定義域為．二．函數(shù)的值域（共1小題）4．（2023?虹口區(qū)二模）對于定義在R上的奇函數(shù)y＝f（x），當x＞0時，，則該函數(shù)的值域為．三．函數(shù)解析式的求解及常用方法（共1小題）5．（2023?寶山區(qū)校級模擬）已知a＞0，函數(shù)（x∈[1，2]）的圖象的兩個端點分別為A、B，設M是函數(shù)f（x）圖象上任意一點，過M作垂直于x軸的直線l，且l與線段AB交于點N，若|MN|≤1恒成立，則a的最大值是．四．函數(shù)的圖象與圖象的變換（共2小題）6．（2023?黃浦區(qū)模擬）設a，b，c，d∈R，若函數(shù)y＝ax3+bx2+cx+d的部分圖像如圖所示，則下列結論正確的是（）A．b＞0，c＞0 B．b＞0，c＜0 C．b＜0，c＞0 D．b＜0，c＜07．（2023?上海模擬）已知函數(shù)，則其圖象大致是（）A． B． C． D．五．函數(shù)的最值及其幾何意義（共3小題）8．（2023?浦東新區(qū)校級一模）函數(shù)f（x）＝x，g（x）＝x2﹣x+2．若存在x1，x2，…，xn∈[0，]，使得f（x1）+f（x2）+…+f（xn﹣1）+g（xn）＝g（x1）+g（x2）+…+g（xn﹣1）+f（xn），則n的最大值是（）A．11 B．13 C．14 D．189．（2023?徐匯區(qū)二模）已知函數(shù)，x∈[b，+∞），其中b＞0，a∈R，若f（x）的最小值為2，則實數(shù)a的取值范圍是．10．（2023?浦東新區(qū)二模）函數(shù)在區(qū)間上的最小值為．六．函數(shù)奇偶性的性質與判斷（共6小題）11．（2023?閔行區(qū)二模）下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)的為（）A．y＝0 B． C．y＝x2 D．y＝2x12．（2023?楊浦區(qū)二模）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間（﹣∞，0）上嚴格遞減的是（）A．y＝2|x| B．y＝ln（﹣x） C． D．13．（2023?奉賢區(qū)二模）已知y＝f（x）為R上的奇函數(shù)，且當x≥0時，，則y＝f（x）的駐點為．14．（2023?金山區(qū)二模）已知y＝f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，當x≥0時，f（x）＝2x3+2x﹣1，則f（﹣2）＝．15．（2023?靜安區(qū)二模）已知函數(shù)為偶函數(shù)，則函數(shù)f（x）的值域為．16．（2023?寶山區(qū)校級模擬）設定義在R上的奇函數(shù)y＝f（x），當x＞0時，f（x）＝2x﹣4，則不等式f（x）≤0的解集是．七．奇偶性與單調性的綜合（共3小題）17．（2023?崇明區(qū)二模）下列函數(shù)中，既是定義域內單調遞增函數(shù)，又是奇函數(shù)的為（）A．f（x）＝tanx B． C．f（x）＝x﹣cosx D．f（x）＝ex﹣e﹣x18．（2023?浦東新區(qū)模擬）下列函數(shù)在定義域中，既是奇函數(shù)又是嚴格減函數(shù)的是（）A．y＝﹣lnx B． C．y＝ex﹣e﹣x D．y＝﹣x|x|19．（2023?浦東新區(qū)校級三模）下列函數(shù)中，既是定義域內單調增函數(shù)，又是奇函數(shù)的是（）A．f（x）＝tanx B．f（x）＝x﹣ C．f（x）＝x﹣cosx D．f（x）＝x（ex+e﹣x）八．函數(shù)恒成立問題（共6小題）20．（2023?浦東新區(qū)三模）已知定義在R上的函數(shù)y＝f（x）．對任意區(qū)間[a，b]和c∈[a，b]，若存在開區(qū)間I，使得c∈I∩[a，b]，且對任意x∈I∩[a，b]（x≠c）都成立f（x）＜f（c），則稱c為f（x）在[a，b]上的一個“M點”．有以下兩個命題：①若f（x0）是f（x）在區(qū)間[a，b]上的最大值，則x0是f（x）在區(qū)間[a，b]上的一個M點；②若對任意a＜b，b都是f（x）在區(qū)間[a，b]上的一個M點，則f（x）在R上嚴格增．那么（）A．①是真命題，②是假命題 B．①是假命題，②是真命題 C．①、②都是真命題 D．①、②都是假命題21．（2023?金山區(qū)二模）已知函數(shù)y＝f（x）和y＝g（x）的表達式分別為，g（x）＝x|x2﹣a|，若對任意，若存在x2∈[﹣3，0]，使得g（x1）＜f（x2），則實數(shù)a的取值范圍是．22．（2023?長寧區(qū)二模）若對任意x∈[1，2]，均有|x2﹣a|+|x+a|＝|x2+x|，則實數(shù)a的取值范圍為．23．（2023?奉賢區(qū)二模）設函數(shù)y＝f（x）的定義域是R，它的導數(shù)是f'（x）．若存在常數(shù)m（m∈R），使得f（x+m）＝﹣f'（x）對一切x恒成立，那么稱函數(shù)y＝f（x）具有性質P（m）．（1）求證：函數(shù)y＝ex不具有性質P（m）；（2）判別函數(shù)y＝sinx是否具有性質P（m）．若具有求出m的取值集合；若不具有請說明理由．24．（2023?松江區(qū)模擬）已知fa（x）＝|x|+|x﹣a|，其中a∈R．（1）判斷函數(shù)y＝fa（x）的奇偶性，并說明理由；（2）當a＝4時，對任意非零實數(shù)c，不等式均成立，求實數(shù)t的取值范圍．25．（2023?黃浦區(qū)模擬）定義在R上的函數(shù)y＝f（x），y＝g（x），若|f（x1）﹣f（x2）|≥|g（x1）﹣g（x2）|對任意的x1，x2∈R成立，則稱函數(shù)y＝g（x）是函數(shù)y＝f（x）的“從屬函數(shù)”．（1）若函數(shù)y＝g（x）是函數(shù)y＝f（x）的“從屬函數(shù)”且y＝f（x）是偶函數(shù)，求證：y＝g（x）是偶函數(shù)；（2）若，求證：當a≥1時，函數(shù)y＝g（x）是函數(shù)y＝f（x）的“從屬函數(shù)”；（3）設定義在R上的函數(shù)y＝f（x）與y＝g（x），它們的圖像各是一條連續(xù)的曲線，且函數(shù)y＝g（x）是函數(shù)y＝f（x）的“從屬函數(shù)”．設α：“函數(shù)y＝f（x）在R上是嚴格增函數(shù)或嚴格減函數(shù)”；β：“函數(shù)y＝g（x）在R上為嚴格增函數(shù)或嚴格減函數(shù)”，試判斷α是β的什么條件？請說明理由．四四、易錯分析易錯點1：求函數(shù)的單調區(qū)間忽視定義域致錯函數(shù)y＝eq\r(x2＋3x)的單調遞減區(qū)間為()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,2))) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，＋∞))C．[0，＋∞) D．(－∞，－3]易錯點2：判斷函數(shù)的奇偶性忽視定義域致錯判斷函數(shù)f(x)＝eq\r(\f(1－x,1＋x))的奇偶性：易錯點3：有關分段函數(shù)的不等式問題忽視定義域致錯設函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋12，x<1，,4－\r(x－1)，x≥1，))則使得f(x)≥1的自變量x的取值范圍為__________．易錯點4：有關抽象函數(shù)的不等式問題忽視定義域致錯設a∈R，已知函數(shù)y＝f(x)是定義在[－4,4]上的減函數(shù)，且f(a＋1)>f(2a)，則a的取值范圍是()A．[－4,1) B．(1,4]C．(1,2] D．C．（1，＋∞)易錯點5：有關分段函數(shù)的單調性問題忽視端點值致錯已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x<1，,x2－2ax，x≥1))在R上單調遞增，則實數(shù)a的取值范圍為________．易錯點6：有關奇函數(shù)的解析式忽視自變量0的函數(shù)值致錯已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)，當x>0時，f(x)＝x2＋x－1，則函數(shù)f(x)的解析式為_______．易錯點7：使用換元法忽視新變量的取值范圍致錯若f(2x)＝4x－2x，則f(x)＝________.易錯點8：忽視零點存在性定理前提條件而致錯對于函數(shù)f(x)，若f(－1)f(3)<0，則()A．方程f(x)＝0一定有實數(shù)解B．方程f(x)＝0一定無實數(shù)解C．方程f(x)＝0一定有兩實根D．方程f(x)＝0可能無實數(shù)解易錯點9：搞不清復合函數(shù)的自變量而致錯已知f(x2－1)的定義域為[0,3]，則f(2x－1)的定義域是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(9,2))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(9,2)))C. D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(9,2)))易錯點10：搞不清函數(shù)圖象左右平移規(guī)則而致錯將函數(shù)y＝f(－x)的圖象向右平移1個單位長度得到函數(shù)________的圖象．五五、刷好題一．函數(shù)的定義域及其求法（共2小題）1．（2021?黃浦區(qū)三模）函數(shù)f（x）＝的定義域為．2．（2021?黃浦區(qū)三模）如圖，某城市設立以城中心O為圓心、r公里為半徑的圓形保護區(qū)，從保護區(qū)邊緣起，在城中心O正東方向上有一條高速公路PB、西南方向上有一條一級公路QC，現(xiàn)要在保護區(qū)邊緣PQ弧上選擇一點A作為出口，建一條連接兩條公路且與圓O相切的直道BC．已知通往一級公路的道路AC每公里造價為a萬元，通往高速公路的道路AB每公里造價是m2a萬元，其中a，r，m為常數(shù)，設∠POA＝θ，總造價為y萬元．（1）把y表示成θ的函數(shù)y＝f（θ），并求出定義域；（2）當時，如何確定A點的位置才能使得總造價最低？二．函數(shù)的值域（共1小題）3．（2021?徐匯區(qū)校級三模）下列函數(shù)中，與函數(shù)y＝x3的值域相同的函數(shù)為（）A．y＝（）x+1 B．y＝ln（x+1） C．y＝ D．y＝x+三．函數(shù)的圖象與圖象的變換（共2小題）4．（2022?徐匯區(qū)三模）函數(shù)f（x）＝（﹣1）sinx圖象的大致形狀是（）A． B． C． D．5．（2022?楊浦區(qū)模擬）定義域為[a，b]的函數(shù)y＝f（x）圖象的兩個端點為A（a，f（a）），B（b，f（b）），M（x，y）是y＝f（x）圖象上任意一點，過點M作垂直于x軸的直線l交線段AB于點N（點M與點N可以重合），我們稱||的最大值為該函數(shù)的“曲徑”，下列定義域為[1，2]上的函數(shù)中，曲徑最小的是（）A．y＝x2 B．y＝ C．y＝x﹣ D．y＝sinx四．復合函數(shù)的單調性（共2小題）6．（2021?浦東新區(qū)三模）函數(shù)y＝的單調遞減區(qū)間為．7．（2021?徐匯區(qū)校級三模）函數(shù)y＝lgsin2x的單調遞減區(qū)間為．五．函數(shù)的最值及其幾何意義（共2小題）8．（2022?浦東新區(qū)校級模擬）若分段函數(shù)f（x）＝，將函數(shù)y＝|f（x）﹣f（a）|，x∈[m，n]的最大值記作Za[m，n]，那么當﹣2≤m≤2時，Z2[m，m+4]的取值范圍是．9．（2021?金山區(qū)二模）設m為給定的實常數(shù)，若函數(shù)y＝f（x）在其定義域內存在實數(shù)x0，使得f（x0+m）＝f（x0）+f（m）成立，則稱函數(shù)f（x）為“G（m）函數(shù)”．（1）若函數(shù)f（x）＝2x為“G（2）函數(shù)”，求實數(shù)x0的值；（2）若函數(shù)f（x）＝lg，為“G（1）函數(shù)”，求實數(shù)a的取值范圍；（3）已知f（x）＝x+b（b∈R）為“G（0）函數(shù)”，設g（x）＝x|x﹣4|．若對任意的x1，x2∈[0，t]，當x1≠x2時，都有＞2成立，求實數(shù)t的最大值．六．函數(shù)奇偶性的性質與判斷（共2小題）10．（2021?長寧區(qū)二模）設f（x）＝xα（α∈{﹣2，﹣1，，，1，2}），則“y＝f（x）圖象經(jīng)過點（﹣1，1）”是“y＝f（x）是偶函數(shù)”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分又非必要條件11．（2021?奉賢區(qū)二模）設函數(shù)f（x）＝lg（1﹣cos2x）+cos（x+θ），θ∈[0，）．（1）討論函數(shù)y＝f（x）的奇偶性，并說明理由；（2）設θ＞0，解關于x的不等式f（+x）﹣f（﹣x）＜0．七．抽象函數(shù)及其應用（共1小題）12．（2021?上海模擬）設f（x）是定義在實數(shù)集R上的函數(shù)，且滿足下列關系f（10+x）＝f（10﹣x），f（20﹣x）＝﹣f（20+x），則f（x）是（）A．偶函數(shù)，又是周期函數(shù) B．偶函數(shù)，但不是周期函數(shù) C．奇函數(shù)，又是周期函數(shù) D．奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)八．函數(shù)恒成立問題（共4小題）13．（2021?浦東新區(qū)校級三模）已知實數(shù)a＞0，函數(shù)f（x）＝，g（x）＝x+a，若對任意x1∈[﹣2a，2a]，總存在x2∈[﹣2a，2a]，使得f（x2）≤g（x1），則a的最大值為．14．（2021?徐匯區(qū)二模）已知實數(shù)a、b使得不等式|ax2+bx+a|≤x對任意x∈[1，2]都成立，在平面直角坐標系xOy中，點（a，b）形成的區(qū)域記為Ω．若圓x2+y2＝r2上的任一點都在Ω中，則r的最大值為．15．（2021?寶山區(qū)校級模擬）已知函數(shù)f（x）＝3﹣2log2x，g（x）＝log2x．（1）當x∈[1，4]時，求函數(shù)h（x）＝[f（x）+1]?g（x）的值域；（2）給定n∈N，如果對任意的x∈[2n，2n+1]，不等式恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．16．（2021?黃浦區(qū)三模）已知函數(shù)f（x）＝a﹣（a為實常數(shù)）．（1）討論函數(shù)f（x）的奇偶性，并說明理由；（2）當f（x）為奇函數(shù)時，對任意x∈[1，6]，不等式f（x）≥恒成立，求實數(shù)u的最大值．八八.刷壓軸一、填空題1．（2023·上海崇明·統(tǒng)考二模）若函數(shù)的圖像上點與點、點與點分別關于原點對稱，除此之外，不存在函數(shù)圖像上的其它兩點關于原點對稱，則實數(shù)的取值范圍是____________．2．（2023·上海徐匯·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，，其中，，若的最小值為2，則實數(shù)的取值范圍是__________.二、解答題3．（2023·上海徐匯·位育中學?？寄M預測）已知函數(shù)，.(1)判斷函數(shù)的奇偶性；(2)若函數(shù)在處有極值，且關于x的方程有3個不同的實根，求實數(shù)m的取值范圍；(3)記（是自然對數(shù)的底數(shù)）.若對任意、且時，均有成立，求實數(shù)a的取值范圍.4．（2023·上海金山·統(tǒng)考一模）若函數(shù)是其定義域內的區(qū)間上的嚴格增函數(shù)，而是上的嚴格減函數(shù)，則稱是上的“弱增函數(shù)”.若數(shù)列是嚴格增數(shù)列，而是嚴格減數(shù)列，則稱是