2024-2025學年山東省青島市高三上冊1月期末數(shù)學檢測試題（含解析）

2024-2025學年山東省青島市高三上學期1月期末數(shù)學檢測試題一、選擇題；本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合A＝，B＝，則A∩B等于()A.[1,3] B.[1,5] C.[3,5] D.[1，＋∞)2.若復數(shù)z滿足：，則的共軛復數(shù)的虛部為（）A.-2 B.i C.0 D.23.我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中說：“九百九十六斤棉，贈分八子做盤纏．次第每人多十七，要將第八數(shù)來言．務要分明依次第，孝和休惹外人傳．”意為：“996斤棉花，分別贈送給8個子女做旅費，從第1個孩子開始，以后每人依次多17斤，直到第8個孩子為止．分配時一定要按照次序分，要順從父母，兄弟間和氣，不要引得外人說閑話．”在這個問題中，第8個孩子分到的棉花為（）A.184斤 B.176斤 C.65斤 D.60斤4.已知隨機變量服從正態(tài)分布，且，則（）A.0.5 B.0.625 C.0.75 D.0.8755.已知，則（）A. B. C. D.6.設(shè)，是橢圓的兩個焦點，P是橢圓上一點，且點P到兩個焦點的距離之差為1，則的面積為（）A.2 B.3 C. D.7.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且在區(qū)間上只取得一次最大值，則的取值范圍是（）A. B. C. D.8.定義在上的函數(shù)滿足，且當時，.若對，都有，則的取值范圍是（）A. B.C. D.二、選擇題；本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9.古希臘著名數(shù)學家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn):“平面內(nèi)到兩個定點的距離之比為定值的點的軌跡是圓”.后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.在平面直角坐標系中，點滿足.設(shè)點的軌跡為，下列結(jié)論正確的是（）A.的方程為B.在軸上存在異于的兩定點，使得C.當三點不共線時，射線是平分線D.在上存在點，使得10.已知函數(shù)，若在上的值域是，則實數(shù)的可能取值為（）A. B. C. D.11.對于伯努利數(shù)，有定義.則（）A B.C. D.12.已知函數(shù)（為正整數(shù)，）的最小正周期，將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后所得圖象關(guān)于原點對稱，則下列關(guān)于函數(shù)的說法正確的是（）A.是函數(shù)的一個零點 B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱C.方程在上有三個解 D.函數(shù)在上單調(diào)遞減三、填空題；本題共4小題，每小題5分，共20分13.一個布袋中，有大小、質(zhì)地相同的4個小球，其中2個是紅球，2個是白球，若從中隨機抽取2個球，則所抽取的球中至少有一個紅球的概率是______.14.已知拋物線的焦點為，過點作傾斜角為的直線交于，兩點，過，分別作的切線、，與交于點，，與軸的交點分別為，，則四邊形的面積為______________．15.已知函數(shù)，則的最小值為____.16.已知函數(shù)有六個不同零點，且所有零點之和為，則的取值范圍為__________．四、解答題；本題共6個小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.某電視臺“挑戰(zhàn)主持人”節(jié)目挑戰(zhàn)者闖第一關(guān)需要回答三個問題，其中前兩個問題回答正確各得分，回答不正確得分，第三個問題回答正確得分，回答不正確得分．如果一位挑戰(zhàn)者回答前兩個問題正確的概率都是，回答第三個問題正確的概率為，且各題回答正確與否相互之間沒有影響．若這位挑戰(zhàn)者回答這三個問題的總分不低于分就算闖關(guān)成功．（）求至少回答對一個問題概率．（）求這位挑戰(zhàn)者回答這三個問題的總得分的分布列．（）求這位挑戰(zhàn)者闖關(guān)成功的概率．18.請你設(shè)計一個包裝盒，如圖所示，ABCD是邊長為60cm的正方形硬紙片，切去如陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得A，B，C，D四個點重合于圖中的點P，正好形成一個長方體形狀的包裝盒，E，F(xiàn)是AB邊上被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個端點，設(shè)cm.（1）求包裝盒的容積關(guān)于x的函數(shù)表達式，并求出函數(shù)的定義域.（2）當x為多少時，包裝盒的容積V（）最大？最大容積是多少？19.已知函數(shù)（1）函數(shù)為的導函數(shù)，討論當時的單調(diào)性；（2）當時，證明：存在唯一的極大值點.20.已知數(shù)列中，，，，（1）求通項公式；（2）設(shè)，求．21.已知直線方程為，其中.（1）當變化時，求點到直線的距離的最大值及此時的直線方程；（2）若直線分別與x軸、y軸的負半軸交于A、B兩點，求面積的最小值及此時的直線方程.22.已知函數(shù)．（1）求的極值；（2）若，且，證明：．2024-2025學年山東省青島市高三上學期1月期末數(shù)學檢測試題一、選擇題；本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合A＝，B＝，則A∩B等于()A.[1,3] B.[1,5] C.[3,5] D.[1，＋∞)【正確答案】C【分析】求出中不等式的解集確定出，求出中的范圍確定出，找出與的交集即可【詳解】由中不等式變形可得：，解得由中得到，即則故選本題主要考查的是集合的交集及其運算，屬于基礎(chǔ)題．2.若復數(shù)z滿足：，則的共軛復數(shù)的虛部為（）A.-2 B.i C.0 D.2【正確答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用復數(shù)的乘方、加減運算計算即可判斷作答.詳解】因，則，所以所求共軛復數(shù)為，其虛部為0.故選：C3.我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中說：“九百九十六斤棉，贈分八子做盤纏．次第每人多十七，要將第八數(shù)來言．務要分明依次第，孝和休惹外人傳．”意為：“996斤棉花，分別贈送給8個子女做旅費，從第1個孩子開始，以后每人依次多17斤，直到第8個孩子為止．分配時一定要按照次序分，要順從父母，兄弟間和氣，不要引得外人說閑話．”在這個問題中，第8個孩子分到的棉花為（）A.184斤 B.176斤 C.65斤 D.60斤【正確答案】A【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前n項和公式、等差數(shù)列的通項公式進行求解即可.【詳解】依題意得，八個子女所得棉花斤數(shù)依次構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)該等差數(shù)列為，公差為d，前n項和為，第一個孩子所得棉花斤數(shù)為，則由題意得，，解得，．故選：A4.已知隨機變量服從正態(tài)分布，且，則（）A.0.5 B.0.625 C.0.75 D.0.875【正確答案】C【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性，由題中條件，直接求解即可.【詳解】因為，并且又因為，所以，所以所以，所以故選：C5.已知，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與二倍角公式和誘導公式求解即可【詳解】因為，所以，且，所以，所以，所以．故選：C．6.設(shè)，是橢圓的兩個焦點，P是橢圓上一點，且點P到兩個焦點的距離之差為1，則的面積為（）A.2 B.3 C. D.【正確答案】C【分析】由題意結(jié)合橢圓的定義求出，又因為，由余弦定理可求出，再求出，由三角形的面積公式即可得出答案.【詳解】因為橢圓的方程為：，則，，是橢圓的兩個焦點，P是橢圓上一點，因為點P到兩個焦點的距離之差為1，所以假設(shè)，則，解得：，又因為，在中，由余弦定理可得：，所以，所以的面積為.故選：C.7.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且在區(qū)間上只取得一次最大值，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)三角恒等變換化簡，結(jié)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間和取得最值的情況，利用整體法即可求得參數(shù)的范圍.【詳解】因為，因為在區(qū)間上單調(diào)遞增，由，則，則，解得，即；當時，，要使得該函數(shù)取得一次最大值，故只需，解得；綜上所述，的取值范圍為.故選：C.8.定義在上的函數(shù)滿足，且當時，.若對，都有，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)已知，利用分段函數(shù)的解析式，結(jié)合圖像進行求解.【詳解】因為當時，，所以，又因為函數(shù)滿足，所以函數(shù)的部分圖像如下，由圖可知，若對，都有，則.故A，C，D錯誤.故選：B.二、選擇題；本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9.古希臘著名數(shù)學家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn):“平面內(nèi)到兩個定點的距離之比為定值的點的軌跡是圓”.后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.在平面直角坐標系中，點滿足.設(shè)點的軌跡為，下列結(jié)論正確的是（）A.的方程為B.在軸上存在異于的兩定點，使得C.當三點不共線時，射線是的平分線D.在上存在點，使得【正確答案】BC【分析】設(shè)點，由可求出的方程，即可判斷A；設(shè)，，將轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式，由點的軌跡為即可求出，的值，即可判斷選項B；由可得是的平分線即可判斷選項C；設(shè)，由可得的方程，然后與的方程聯(lián)立求解可判斷D.【詳解】設(shè)點，則由可得，化簡可得，故A錯誤；假設(shè)在軸上存在異于，的兩定點，，使得，設(shè)，，由可得，即化簡可得：，由點的軌跡為可得，，解得：，或，（舍去），即存在，，即存在點，，使得，故選項B正確；對于選項C：當，，三點不共線時，由，可得是的平分線，故選項C正確；若存在點M，使得，可設(shè)，則，化簡可得，與聯(lián)立可得方程組無解，故不存在，故D錯誤.故選：BC10.已知函數(shù)，若在上的值域是，則實數(shù)的可能取值為（）A. B. C. D.【正確答案】BC【分析】根據(jù)已知求出的范圍即可.【詳解】，因為，所以又因為的值域是，所以可知的取值范圍是.故選：BC.11.對于伯努利數(shù)，有定義.則（）A. B.C. D.【正確答案】ACD【分析】根據(jù)伯努利數(shù)的定義以及二項式定理，將寫成遞推公式的形式，逐一代入計算即可判斷選項.【詳解】由得，，所以，，同理，，所以，，其中第項為即可得令，得；令，得；令，得同理，可得；即可得選項AC正確，B錯誤；由上述前12項的值可知，當為奇數(shù)時，除了之外其余都是0，即，也即；所以D正確.故選：ACD.12.已知函數(shù)（為正整數(shù)，）的最小正周期，將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后所得圖象關(guān)于原點對稱，則下列關(guān)于函數(shù)的說法正確的是（）A.是函數(shù)的一個零點 B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱C.方程在上有三個解 D.函數(shù)在上單調(diào)遞減【正確答案】ABD【分析】先由周期范圍及為正整數(shù)求得，再由平移后關(guān)于原點對稱求得，從而得到，對于AB，將與代入檢驗即可；對于C，利用換元法得到在內(nèi)只有兩個解，從而可以判斷；對于D，利用整體法及的單調(diào)性即可判斷.【詳解】因為，，所以，解得，又為正整數(shù)，所以，所以，所以函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后所得圖象對應的函數(shù)，（點撥：函數(shù)的圖象經(jīng)過平移變換得到的圖象時，不是平移個單位長度，而是平移個單位長度），由題意知，函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，故，即，又，所以，，所以，對于A，，故A正確；對于B，，故B正確；對于A，令，因為，所以，顯然在內(nèi)只有，兩個解，即方程在上只有兩個解，故C錯誤；對于A，當時，，因為在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故D正確.故選：ABD.關(guān)鍵點點睛：求解此類問題的關(guān)鍵是會根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換法則求出變換后所得圖象對應的函數(shù)解析式，注意口訣“左加右減，上加下減，橫變，縱變A”在解題中的應用.三、填空題；本題共4小題，每小題5分，共20分13.一個布袋中，有大小、質(zhì)地相同的4個小球，其中2個是紅球，2個是白球，若從中隨機抽取2個球，則所抽取的球中至少有一個紅球的概率是______.【正確答案】【分析】先求出“所抽取的球中至少有一個紅球”的對立事件的概率，再用1減去此概率的值，即得所求．【詳解】從中隨機抽取2個球，所有的抽法共有種，事件“所抽取的球中至少有一個紅球”的對立事件為“所抽取的球中沒有紅球”，而事件：“所抽取的球中沒有紅球”的概率為，故事件“所抽取的球中至少有一個紅球”的概率等于，故答案為.本題考查等可能事件的概率，“至多”、“至少”問題的概率通常求其的對立事件的概率，再用1減去此概率的值，屬于簡單題.14.已知拋物線的焦點為，過點作傾斜角為的直線交于，兩點，過，分別作的切線、，與交于點，，與軸的交點分別為，，則四邊形的面積為______________．【正確答案】4【分析】求得焦點的坐標，直線的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，即可求出、兩點坐標；由導數(shù)的幾何意義，求得切線，的方程，求得交點的坐標，求得，的坐標，可得，再由三角形的面積公式，計算可得所求值．【詳解】解：拋物線的焦點為且直線的傾斜角為，則，所以直線方程為，即，設(shè)，，不妨設(shè)在第一象限，聯(lián)立，消去得解得、，代入直線方程，則、，因為直線與拋物線相切于點，即，則，所以，同理可得，則可得直線方程為，即，則其與軸交點，令，則，所以，直線的方程為，即，則其與軸交點，令，則，所以，所以，聯(lián)立、的方程，解得，即點坐標為，．故．15.已知函數(shù)，則的最小值為____.【正確答案】【分析】化簡函數(shù)的解析式，利用換元法，通過二次函數(shù)的最值的求解即可．【詳解】解：f（x）＝（x2+x）（x2﹣5x+6）＝x（x+1）（x﹣2）（x﹣3）＝[x（x﹣2）][（x+1）（x﹣3）]＝（x2﹣2x）（x2﹣2x﹣3），不妨令t＝x2﹣2x≥﹣1，則（t≥﹣1），所以當時，f（x）取最小值．故答案為本題考查函數(shù)與方程的應用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．16.已知函數(shù)有六個不同零點，且所有零點之和為，則的取值范圍為__________．【正確答案】【分析】根據(jù)函數(shù)的對稱性可求得的值，將問題轉(zhuǎn)化為與有個不同交點的問題，通過分類討論和導數(shù)的方式得到單調(diào)性和極值，進而確定的圖象，采用數(shù)形結(jié)合的方式得到結(jié)果.【詳解】，圖象關(guān)于對稱，又的六個零點之和為，，解得：，，令，則與有個不同交點，；當時，，在上單調(diào)遞增；當時，，，又與在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，使得，且當時，；當時，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，結(jié)合對稱性可得其大致圖象如下圖所示：由圖象可知：若與有個不同交點，則，即實數(shù)的取值范圍為.故答案為.方法點睛：解決函數(shù)零點問題的基本方法：（1）直接法：求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點問題；（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點問題；（3）分離變量法：由分離變量得出，將問題等價轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點問題.四、解答題；本題共6個小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.某電視臺“挑戰(zhàn)主持人”節(jié)目的挑戰(zhàn)者闖第一關(guān)需要回答三個問題，其中前兩個問題回答正確各得分，回答不正確得分，第三個問題回答正確得分，回答不正確得分．如果一位挑戰(zhàn)者回答前兩個問題正確的概率都是，回答第三個問題正確的概率為，且各題回答正確與否相互之間沒有影響．若這位挑戰(zhàn)者回答這三個問題的總分不低于分就算闖關(guān)成功．（）求至少回答對一個問題的概率．（）求這位挑戰(zhàn)者回答這三個問題的總得分的分布列．（）求這位挑戰(zhàn)者闖關(guān)成功的概率．【正確答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）.【詳解】試題分析：（Ⅰ）由題意結(jié)合對立事件概率公式可得至少回答對一個問題的概率為.（Ⅱ）這位挑戰(zhàn)者回答這三個問題的總得分的所有可能取值為.計算各個分值相應的概率值即可求得總得分X的分布列；（Ⅲ）結(jié)合(Ⅱ)中計算得出概率值可得這位挑戰(zhàn)者闖關(guān)成功的概率值為.試題解析：（Ⅰ）設(shè)至少回答對一個問題為事件,則.（Ⅱ）這位挑戰(zhàn)者回答這三個問題的總得分的所有可能取值為.根據(jù)題意,,,,,,.隨機變量的分布列是:（Ⅲ）設(shè)這位挑戰(zhàn)者闖關(guān)成功為事件,則.18.請你設(shè)計一個包裝盒，如圖所示，ABCD是邊長為60cm的正方形硬紙片，切去如陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得A，B，C，D四個點重合于圖中的點P，正好形成一個長方體形狀的包裝盒，E，F(xiàn)是AB邊上被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個端點，設(shè)cm.（1）求包裝盒的容積關(guān)于x的函數(shù)表達式，并求出函數(shù)的定義域.（2）當x為多少時，包裝盒的容積V（）最大？最大容積是多少？【正確答案】（1），（2）當時，包裝盒的容積最大是【分析】（1）設(shè)包裝盒的高為，底面邊長為，分別將用表示，求出函數(shù)的解析式，注明定義域即可．（2）利用函數(shù)的導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的最值即可．【小問1詳解】解：設(shè)包裝盒的高為，底面邊長為，則，，，所以，；【小問2詳解】解：由，可得，當時，；當時，，所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，當時，取得極大值也是最大值：．所以當時，包裝盒的容積最大是．19.已知函數(shù)（1）函數(shù)為的導函數(shù)，討論當時的單調(diào)性；（2）當時，證明：存在唯一的極大值點.【正確答案】（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增（2）證明見解析【分析】（1）由導數(shù)分析單調(diào)性求解，（2）由導數(shù)分析單調(diào)性，及零點存在性定理證明．【小問1詳解】，設(shè)，則.當時，令，則，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【小問2詳解】證明：當時，，，由（1）可知的最小值為，而，又，由函數(shù)零點存在定理可得存在使得，又在上單調(diào)遞減，所以當時，，當時，，故為的極大值點，又上單調(diào)遞增，故在上不存在極大值點，所以存在唯一的極大值點，20.已知數(shù)列中，，，，（1）求的通項公式；（2）設(shè)，求