2024屆吉林省長春市某中學(xué)高三第二次診斷性檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷含解析

2024屆吉林省長春市第五中學(xué)高三第二次診斷性檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。

2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。

3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：木題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知函數(shù)=（'是奇函數(shù)，則g（7（T））的值為（）

[g（x\x<0

A.-10B.-9C.-7D.1

2.關(guān)于函數(shù)/（此=2^上二+cos2/,下列說法正確的是（）

l+tan~x

A.函數(shù)的定義域?yàn)镽

37r7r

B.函數(shù)一個(gè)遞增區(qū)間為一七,二

C.函數(shù)/*）的圖像關(guān)于直線x=￡對(duì)禰

O

D.將函數(shù)y=V2sin2x圖像向左平移￡個(gè)單位可得函數(shù)>=fix）的圖像

O

7171

3.已知”=log35，〃=（z）3,c=log]二，則。也C的大小關(guān)系為

A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

4.設(shè)。<〃<1,隨機(jī)變量J的分布列是

-101

3(I-p)21

P

35〃

23

則當(dāng)〃在（；,：）內(nèi)增大時(shí)，（）

34

A.EC）減小，D?）減小B.EC）減小，小。）增大

C.鳳。）增大，。（。）減小D.七（。）增大，。（。）增大

5.已知邊長為4的菱形ABC。，NDA8=60。,M為。。的中點(diǎn)，N為平面A8CO內(nèi)一點(diǎn)，若AN=NM,則

AM-AN=()

A.16B.14C.12D.8

6.在三角形ABC中，67=1,"c=------------------,求〃sinA=()

sinAsinA+sinB-sinC

A.①B,巫C.1D.國

2322

7.若雙曲線E：4-4=1(a>0力>。)的一個(gè)焦點(diǎn)為/(3,0),過/點(diǎn)的直線/與雙曲線￡交于A、8兩點(diǎn),

a-/r

且AB的中點(diǎn)為尸(—3,-6),則E的方程為()

c.￡--21=1D.￡._Z=1

44='?6336

8.在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛〃〃｝中，若出4=3,則log34+log3〃2+，+log34o=（）

A.1+log35B.6C.4D.5

9.已知拋物線戶=4x的焦點(diǎn)為凡拋物線上任意一點(diǎn)P,且產(chǎn)。_L），軸交y軸于點(diǎn)。，貝I」PQPF的最小值為（）

1I

A.--B.--C."ID.1

42

10.在長方體ABCO-AgGR中，4B=1,AD=6,A4,=百，則直線。。與平面48G所成角的余弦值為（）

B6一

235

11.己知函數(shù)/（x）=sinx+力，要得到函數(shù)g（x）=cosx的圖象，只需將y=/（x）的圖象（）

A.向左平移看個(gè)單位長度B.向右平移專個(gè)單位長度

C.向左平移當(dāng)個(gè)單位長度D.向右平移當(dāng)個(gè)單位長度

1212

2

12.雙曲線工2_匯=1的漸近線方程為（）

2

A.y=±xB.y=±xC.y=±5/2.rD.y=±V3x

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.（26-出）的二項(xiàng)展開式中，含&項(xiàng)的系數(shù)為.

14.已知/"）=卜小1<0,若“3a—2）>4〃a）,則a的取值范圍是.

15.已知集合A={x[/=2k-l,ReZ},B={x\x=2k,keZ]t則Ap|3=.

16.函數(shù)/*）=（a—1）n-3（a>La工2）過定點(diǎn).

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

fx=1+coscr

17.（12分）曲線G的參數(shù)方程為1.（口為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)

[y=sina

系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為夕cos2e=4sin9.

（1）求曲線G的極坐標(biāo)方程和曲線G的直角坐標(biāo)方程；

（2）過原點(diǎn)且傾斜角為的射線/與曲線G，G分別交于兩點(diǎn)（異于原點(diǎn)），求|04卜|。目的取值

范圍.

18.（12分）已知。泊都是大于零的實(shí)數(shù).

(1)證明三+”/+〃；

ba

⑵若，“，證明石>4.

19.（12分）如圖，四邊形A8CO是邊長為3的菱形，。七」平面ABCD,A6JLA￡>,AfV/OE,O￡；=3Af\

（1）求證：ACJ?平面BDE;

（2）若跖與平面A3CO所成角為60°,求二面角尸—8E—。的正弦值.

20.（12分）已知函數(shù)/（\=Inx+f+l.

（1）若對(duì)任意x>0,/（x）<0恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

22

（2）若函數(shù)/（X）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)由，X2（X1<X2）,證明：工+幺>2.

電

21.(12分)己知函數(shù)/")=-“sin.E.

jr

(1)若/?(X)在0,-上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

O

7T

(2)若0=1,對(duì)立￡0,-,恒有八戲，樂成立，求實(shí)數(shù)匕的最小值.

乙

22.(10分)在如圖所示的多面體中，四邊形A4￡G是矩形，梯形為直角梯形，平面DG即_L平面A跳:G,

且DG_LGE,DF//GE,AB=2AG=2DG=2DF=2.

(1)求證：FG上平面BEF.

(2)求二面角A-M-E的大小.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、B

【解析】

根據(jù)分段函數(shù)表達(dá)式，先求得/(-1)的值，然后結(jié)合/(X)的奇偶性，求得g(7(T))的值.

【詳解】

X'+xx>0

因?yàn)楹瘮?shù)/(幻=<”一是奇函數(shù)，所以/(一1)二一/(1)=-2,

g(x\x<0

g(f(T)=g(-2)=f(-2)=一/⑵=-10.

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查分段函數(shù)的解析式、分段函數(shù)求函數(shù)值，考查數(shù)形結(jié)合思想.意在考查學(xué)生的運(yùn)算能力，分析問題、解決

問題的能力.

2、B

【解析】

化簡到/(x)=應(yīng)sin(2x+(),根據(jù)定義域排除ACO,計(jì)算單調(diào)性知3正確，得到答案.

【詳解】

_2tan:+cos2x=sin2x+cos2x=&sin(2x+2],

1+tan2xI4j

故函數(shù)的定義域?yàn)椋瑇xw'+k/MsZ卜故A錯(cuò)誤；

JTjr71

當(dāng)~—時(shí)，2x+—e,函數(shù)單調(diào)遞增，故8正確；

ooJ4122

當(dāng)工=一￡,關(guān)于的對(duì)稱的直線為工=￡不在定義域內(nèi)，故c錯(cuò)誤.

482

平移得到的函數(shù)定義域?yàn)镽,故不可能為)，=/*),。錯(cuò)誤.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角恒等變換，三角函數(shù)單調(diào)性，定義域，對(duì)稱，三角函數(shù)平移，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.

3、D

【解析】

分析：由題意結(jié)合對(duì)數(shù)的性質(zhì)，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和指數(shù)的性質(zhì)整理計(jì)算即可確定a,b,c的大小關(guān)系.

詳解：由題意可知：logy3<logy—<logfi,即I<〃v2,o<_L<_L=],即Ov〃<l,

■2⑷⑷

,1,?,7

/。處三=/，心5>/。?5，即。>〃，綜上可得：c〉a>〃.本題選擇。選項(xiàng).

點(diǎn)睛：對(duì)于指數(shù)賽的大小的比較，我們通常都是運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，但很多時(shí)候，因幕的底數(shù)或指數(shù)不相同，不

能直接利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較.這就必須掌握一些特殊方法.在進(jìn)行指數(shù)嘉的大小比較時(shí)，若底數(shù)不同，則首先

考慮將其轉(zhuǎn)化成同底數(shù)，然后再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷.對(duì)于不同底而同指數(shù)的指數(shù)塞的大小的比較，利用

圖象法求解，既快捷，又準(zhǔn)確.

4、C

【解析】

E(4)=(-l)x1(i-/?)+^/?=|p-1,〃(幻=七?2)-七2(/，判斷其在(4,內(nèi)的單調(diào)性即可.

333334

【詳解】

1??1(23、

解：根據(jù)題意￡4)=(-1必(1-〃)+)="=在"hq內(nèi)遞增，

2

E(^)=(-l)xl(l-/?)+lp=1

JJJ

?小?戶、行“、1八、1N1、，4,424(1Y1

D(4)=￡(4-)-￡-(^)=-(l-p)+-p-(-/?--)-=--/<+-/^+-=--p--\+-，

1(23、

是以〃=彳為對(duì)稱軸，開口向下的拋物線，所以在K，z上單調(diào)遞減，

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了利用隨機(jī)變量的分布列求隨機(jī)變量的期望與方差，屬于中檔題.

5、B

【解析】

取AW中點(diǎn)。，可確定AM.ON=0；根據(jù)平面向量線性運(yùn)算和數(shù)量積的運(yùn)算法則可求得AM2,利用

AMAN=AM(AO+ON\可求得結(jié)果.

【詳解】

取中點(diǎn)。，連接ON,

I)wc

4R

?：AN=NM,ON±AM,即AMON=0.

NDAB=60，ZADM=120,

/.AM2=(DM-D/1)2=DM2+D>42-21DM|?|DA|COSZADM=4+16+8=28,

則AMAN=AM^AO+ON^=AMAO+AMON=^AM2=14.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查平面向量數(shù)量積的求解問題，涉及到平面向量的線性運(yùn)算，關(guān)鍵是能夠?qū)⑺笙蛄窟M(jìn)行拆解，進(jìn)而利用平面

向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解.

6、A

【解析】

利用正弦定理邊角互化思想結(jié)合余弦定理可求得角8的值，再利用正弦定理可求得bsinA的值.

【詳解】

b+ca+b>pr人+ca+b-一加、、、

v---=---—：---由正弦定理得----=--------,整理得+c,—Zr=，4，

sinAsinA+sinB-sinCaa+b-c

22t2<

由余弦定理得cosB-"+c-------=—,,?,0<3<不，B=—.

lac23

由正弦定理得/?sinA=〃sinB=Ixsin—=—.

sinAsinB32

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用正弦定理求值，涉及正弦定理邊角互化思想以及余弦定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.

7、D

【解析】

求出直線/的斜率和方程，代入雙曲線的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，結(jié)合焦點(diǎn)的坐標(biāo)，可得的方程組,

求得的值，即可得到答案.

【詳解】

由題意，直線/的斜率為4=即/=翳=1,

可得直線/的方程為），=工-3,

把直線I的方程代入雙曲線二-4=1,可得S?-"+6〃2K一%?一=0,

a-b-

設(shè)人（內(nèi)，片）,8（工2，%），則M+X,=J__r

a~b~

由A8的中點(diǎn)為。（一3,-6）,可得解答從=2標(biāo),

又由/=/=9,即/+2/=9,解得"瓜b=娓,

所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為工=1.

36

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，其中解答中屬于運(yùn)用雙曲線的焦點(diǎn)和聯(lián)立方程組，合理利用根與系數(shù)的關(guān)

系和中點(diǎn)坐標(biāo)公式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力.

8、D

【解析】

由對(duì)數(shù)運(yùn)算法則和等比數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算.

【詳解】

由題意log3a}+log3a2++log36o=log3（的24o）

5

=log3（d//6）=5log3（6z5676）=51og33=5.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查等比數(shù)列的性質(zhì),考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則.掌握等比數(shù)列的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

9、A

【解析】

設(shè)點(diǎn)尸則點(diǎn)Q（O,y），F(xiàn)（l,o）,利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得PQ?尸產(chǎn)二」（），2-2）2-1,利用二次函

、4J1674

數(shù)的性質(zhì)可得最值.

【詳解】

解：設(shè)點(diǎn)尸,則點(diǎn)Q（（）,y）,F（l,o）,

/.P2.PF=-^,0-1=^-^-=—（/-2）2--,

1^44-J16416%）4

當(dāng)）/=2時(shí)，PQP廠取最小值，最小值為

4

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查拋物線背景下的向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題.

10、C

【解析】

在長方體中A6//GR，得。2與平面A64交于R,過。做。。"LAR于。，可證。.平面A6GQ,可得

NQQA為所求解的角，解RfAADR,即可求出結(jié)論.

【詳解】

在長方體中AB//G。］,平面4BG即為平面A8GQ,

過。做OOJ.AR于。，QA/JL平面

小匚平面明。。,，A3_L。。,ABCAR=D,

OO_L平面ABQD.,:.ZDD,A為DD、與平面ABC,所成角,

在RlMDD、,DD、=M=瓜AD=艮.AD、=亞,

DP,x/3x/15

cosNDD]A=

.?.直線DD,與平面ABC,所成角的余弦值為半.

故選:C.

【點(diǎn)睛】

本題考查直線與平面所成的角，定義法求空間角要體現(xiàn)“做”“證”“算”，三步驟缺一不可，屬于基礎(chǔ)題.

11、A

【解析】

根據(jù)函數(shù)圖像平移原則，即可容易求得結(jié)果.

【詳解】

乃)，(乃、

因?yàn)閒x+—=sinx+—=cosx,

I12jI2)

故要得到g(x),只需將/(x)向左平移5個(gè)單位長度.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)圖像平移前后解析式的變化，屬基礎(chǔ)題.

12、C

【解析】

根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，即可寫出漸近線方程.

【詳解】

2

雙曲線/一2_二1,

2

???雙曲線的漸近線方程為），=土&,

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，屬于容易題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、-160

【解析】

寫出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，然后取工的指數(shù)為:求得廣的值，則五項(xiàng)的系數(shù)可求得.

【詳解】

由3—號(hào)二!，可得廠=3.

62

?二含五項(xiàng)的系數(shù)為（一1）126-3.屐=一160.

故答案為：一160

【點(diǎn)睛】

本題考查了二項(xiàng)式定理展開式、需熟記二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題.

14、（2,+oo）

【解析】

函數(shù)/（1）等價(jià)為/（"二1N，由二次函數(shù)的單調(diào)性可得/（工）在A上遞增，/（3。-2）＞4/（々）即為

f（3a-2）＞f（2a）t可得”的不等式，解不等式即可得到所求范圍.

【詳解】

-x2,x<0,等價(jià)為/。）=工可，

且x<0時(shí)，“"=一/遞增，/>0時(shí)，遞增，

且/（0）=0,在尢=0處函數(shù)連續(xù)，

可得/（工）在R上遞增，

/（3〃-2）>4/（々）即為43。-2）>/（2）/（。）=/（為），可得3〃一2>2々，解得〃>2,

即〃的取值范圍是（2,+8）.

故答案為：（2,內(nèi)）.

【點(diǎn)睛】

本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性的判斷和運(yùn)用：解不等式，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

15>0

【解析】

利用交集定義直接求解.

【詳解】

解：-集合A={x|R=2攵一1/EZ}={奇數(shù)},

B={x[%=2&/wZ}={偶數(shù)},

:.Ar>B=0.

故答案為：0.

【點(diǎn)睛】

本題考查交集的求法，考查交集定義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

16、（0,—2）

【解析】

令x=0,/（0）=1-3=-2,與參數(shù)無關(guān)，即可得到定點(diǎn).

【詳解】

由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得x=0,函數(shù)值與參數(shù)無關(guān)，

所有/（刈=（?一1）、—3過定點(diǎn)（0,-2）.

故答案為：(0,-2)

【點(diǎn)睛】

此題考查函數(shù)的定點(diǎn)問題，關(guān)鍵在于找出自變量的取值使函數(shù)值與參數(shù)無關(guān)，熟記常見函數(shù)的定點(diǎn)可以節(jié)省解題時(shí)間.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)p=2cos。，X2=4y；(2)8,86).

【解析】

(1)先將曲線G化為普通方程，再由直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系：犬=pcos&)，=Qsin<9,02=f+y2,

可得G極坐標(biāo)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；

(JI乃、

(2)由已知可得出射線/的極坐標(biāo)方程為。=a-<6Z<-，聯(lián)立C1和的極坐標(biāo)方程可得點(diǎn)A和點(diǎn)8的極坐標(biāo),

143>

從而得出|04H0M=8tana,由a的范圍可求得4HoM的取值范圍.

【詳解】

(1)曲線G的普通方程為(4一1)2+9=1,即f+),2-2x=0,

其極坐標(biāo)方程為/?2-2pcos=0=>p=2cos；

曲線G的極坐標(biāo)方程為pcos20=4sin0,即22cos?6=42sin6,

其直角坐標(biāo)方程為V=4y；

(2)射線/的極坐標(biāo)方程為。-<?<-,

(43；

0—ct[0=cc4sincc

聯(lián)立c=42cosa,a),聯(lián)立〈,一八=B(——ta)

夕=2cos0夕cos_0=4sin。cos-a

八qsina八n7i匚

=2cosa----------=8tana,—<1<tan6/<v3

cos-a43

???I。4Ho網(wǎng)的取值范圍是[886)

【點(diǎn)睛】

本題考查圓的參數(shù)方程與普通方程互化，圓，拋物線的極坐標(biāo)方程與普通方程的互化，以及在極坐標(biāo)下的直線與圓和

拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題.

18、(1)答案見解析.(2)答案見解析

【解析】

2g2

(1)利用基本不等式可得土+〃超。，藝+42b,兩式相加即可求解.

ba

(L2\

二曲/(”與,代入不等式，利用基本不等式即可求解.

(2)由(1)知力..力a+b-----

a

【詳解】

(1)—+b]&a,—+a2b

ba

兩式相加得生+±./+b

ab

■(b2\

由知力..力=曲+2&

(2)(1)a+b-----a

1.b'(a-b)a1

于是，-----------------..ab+----------+—+----------

ba(a-b)ab'a(a—b)

,ab“a-b)1

ab+—r+H----------------

by)a(a-b))

..23>4.

ba

【點(diǎn)睛】

本題考查了基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

19、(1)證明見解析(2)2叵

13

【解析】

(1)由已知線面垂直得OEJ.AC,結(jié)合菱形對(duì)角線垂直，可證得線面垂直;

(2)由已知知兩兩互相垂直.以/冽3,。￡分別為x軸，)'軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系Dr”如圖所示,

由已知線面垂直知跖與平面ABC。所成角為NOBE=60。，這樣可計(jì)算出?！?。尸的長，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面

的法向量，由法向量夾角可得二面角.

【詳解】

證明：(1)因?yàn)镺E_L平面A5CO,ACu平面A8CO,所以O(shè)E1AC.

因?yàn)樗倪呅蜛3CO是菱形，所以ACJ.80.

又因?yàn)?DCDE=D，8Ou平面au平面

所以4C_L平面

解：（2）據(jù)題設(shè)知，D4,力CDE兩兩互相垂直.以。A/X?,O￡分別為大軸，>軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系Dr），z如圖

所示,

np廠

因?yàn)榘嗯c平面A8CO所成角為60。，即/。8￡=60。，所以——=V3

DB

又AO=3,OE=3Ab,所以。石=3",/1尸=遙，

所以A（3,O,O）,B（3,3,O）,F（3,O,#）,E（O,O,3"）,C（O,3,O）

所以8尸二（0,—3,6），石尸二（3,0,-27%）

-3y+?z=0

設(shè)平面BEF的一個(gè)法向量m=（x,y,z）,貝卜令z=\/6,則m=（4,2,>/6j.

3x-2>/6z=0

ULM1

因?yàn)?c_L平面BOE,所以C4為平面BDE的一個(gè)法向量，且C4=（3,—3,0）

…m-CA3x4+（-3）x2+0x太岳

blCOS<ZW,CA>=]r;r-[：=

IH|CA|，4、22+（甸2邛2+（一3）2+（）213，

13

所以二面角尸一4七一。的正弦值為二

13

【點(diǎn)睛】

本題考查線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，考查用向量法求二面角.立體幾何中求空間角常常是建立空間直角坐標(biāo)系，

用空間向量法求空間角，這樣可減少思維量，把問題轉(zhuǎn)化為計(jì)算.

20、（1）?<-1；（2）證明見解析.

【解析】

（1）求出/（X）,判斷函數(shù)/（X）的單調(diào)性，求出函數(shù)/（X）的最大值，即求。的范圍；

（2）由（1）可知，NG（0,1）,X2￡。,轉(zhuǎn)）.對(duì)12分々￡（1,2）和/￡[2,田）兩種情況討論，構(gòu)造函數(shù)，利用放縮法

和基本不等式證明結(jié)論.

【詳解】

(1)由〃力Jnx+or+1=皿得〃加_絆.

XfyiXt

令/(x)=0,."=l.

當(dāng)Ovxcl時(shí)，/(^)>0；當(dāng)X>1時(shí)，/(x)vO；

.?J(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+00)上單調(diào)遞減，

.??〃力皿=/(1)=。+1?

對(duì)任意%>0,/(冗)<0恒成立，/.4+1<0,「.4<一1.

(2)證明：由(1)可知，“X)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(l,y)上單調(diào)遞減,

：.X}￡(0,1),9€(1,+00).

若超?1,2),則2-占?0,1),

\nx1_ln(2-^)1

令g(x)=f(x)-〃2-x)=?,0<x<l

xx2-x2-x

Inxln(2-x)ln-(x-1)~+1八

InxIn(2-x)丁」=一一一->()

「?g(司=—彳z>

廠(2-4

??.g(x)在(。,1)上單調(diào)遞增，.?.g(“<g(l)=(V./(x)<〃2—x),

.-./(2-X1)>/(XI)=/(X2).

???大?0,1卜.2—>>1,又人>1，在(1，位)上單調(diào)遞減,

:.2-xl<x29:.玉+工2>2.

若々E[2,+OO),貝UX>2顯然成立.

綜上，A|+X2>2.

又，+.E,22—xX)=2x,—-+M22

X2&—X

以上兩式左右兩端分別相加，得

百-+x,+噸-+%32(%+x,),即—+土->辦+弓,

x2~X]x2x]

r2r2

所以工+工>2.

“%

【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問題，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，屬于難題.

21、(1)[->/3,+oo)(2)-e1

7T

【解析】

⑴求得了"),根據(jù)已知條件得到f'(x)NO在05恒成立，由此得到。sinx+cosxNO在恒成立，利用

分離常數(shù)法求得。的取值范圍.

(2)構(gòu)造函數(shù)設(shè)g(x)=/(x)-法，利用求二階導(dǎo)數(shù)的方法，結(jié)合g(x)W0恒成立，求得〃的取值范圍，由此求得〃

的最小值.

【詳解】

(1)fix)=ae<lxsinx+etlxcosx=eM(asinx+cosx)

TT兀

因?yàn)?⑴在o,-上單調(diào)遞增，所以(。注°在0,-恒成立,

BP^sinA+cosx^OS0,—恒成立,

6

當(dāng)x=0時(shí)，上式成立，aeR

當(dāng)可哼+、COSX1-J11

,有;---=-------,需-------，

sinxtanxktanxymax

而0<xW二，()<tanx<且，_L>V3,__L<-V3,故CIN7

63tanxtanx

綜上，實(shí)數(shù)。的取值范圍是［-6,+8)

(2)設(shè)g(x)=f(x)-bx-exsinx-bx?