平面幾何證明常用方法

PAGE6目錄引言………………2.利用平行四邊形性質(zhì)添加平行線證題……3.利用圓中的等量關(guān)系巧作輔助圓證題………………4.利用平移、旋轉(zhuǎn),翻折,幾何證明中的三種基本變換證題…5.反證法證題………………6.巧用面積法解幾何題…………結(jié)論…………………參考文獻……………致謝………平面幾何證明題的常用技巧數(shù)學(xué)計算機科學(xué)學(xué)院摘要靈活、恰當(dāng)?shù)剡x擇解題方法是求解平面幾何問題的良好途徑。解決任何一道平面幾何證明題,都要應(yīng)用這樣或那樣的方法,而選擇哪一種方法,就取決于我們用什么樣的解題思路。本文試對平面幾何證明題中常用的幾種解題思路及方法進行分析?！娟P(guān)鍵詞】平面幾何證明題思路技巧TheplanegeometryprovingthecommonlyusedskillCollegeofMathematicsandComputerScienceAbstract:Flexible,properlychoosetheproblemsolvingmethodisagoodwayofsolvingplanegeometry.Anysolveaplanegeometryproving,onewayortheothermethod,andthechoiceofwhichmethod,itdependsonwhatkindofwayweuse.Thisarticletrytoplanegeometryprovingthatiscommonlyusedinseveralproblem-solvingideasandmethodsareanalyzed.Keywords：PlanegeometryToprovethetopicTrainofthoughtskills1引言平面幾何難學(xué),是很多初中生在學(xué)習(xí)中的共識,這里面包含了很多主觀和客觀因素,而學(xué)習(xí)不得法,沒有適當(dāng)?shù)慕忸}思路則是其中的一個重要原因。波利亞曾說過,“解題的成功要靠正確思路的選擇,要靠從可以接近它的方向去攻擊堡壘。為了辨別哪一條思路正確,哪一個方向可接近它,就要試探各種方向和思路?！庇纱丝梢?掌握證明題的一般思路、探索證題過程中的數(shù)學(xué)思維、總結(jié)證題的基本規(guī)律是求解幾何證明題的關(guān)鍵。2利用平行四邊形性質(zhì)添加平行線證題于是,∠BAC＝90°.所以,AD2＝＝(AB2＋AC2).這里,添加AC的平行線,將BC的以D為中點的性質(zhì)傳遞給EN,使解題找到出路.例7如圖7,AB為半圓直徑,D為AB上一點,分別在半圓上取點E、F,使EA＝DA,FB＝DB.過D作AB的垂線,交半圓于C.求證：CD平分EF.證明：如圖7,分別過點E、F作AB的垂線,G、H為垂足,連FA、EB.易知DB2＝FB2＝AB·HB,AD2＝AE2＝AG·AB.二式相減,得DB2－AD2＝AB·(HB－AG),或(DB－AD)·AB＝AB·(HB－AG).于是,DB－AD＝HB－AG,或DB－HB＝AD－AG.就是DH＝GD.顯然,EG∥CD∥FH.故CD平分EF.這里,為證明CD平分EF,想到可先證CD平分GH.為此添加CD的兩條平行線EG、FH,從而得到G、H兩點.證明很精彩.經(jīng)過一點的若干直線稱為一組直線束.一組直線束在一條直線上截得的線段相等,在該直線的平行直線上截得的線段也相等.如圖8,三直線AB、AN、AC構(gòu)成一組直線束,DE是與BC平行的直線.于是,有＝＝,即＝或＝.此式表明,DM＝ME的充要條件是BN＝NC.利用平行線的這一性質(zhì),解決某些線段相等的問題會很漂亮.例8如圖9,ABCD為四邊形,兩組對邊延長后得交點E、F,對角線BD∥EF,AC的延長線交EF于G.求證：EG＝GF.證明：如圖9,過C作EF的平行線分別交AE、AF于M、N.由BD∥EF,可知MN∥BD.易知S△BEF＝S△DEF.有S△BEC＝S△ⅡKG－*5ⅡDFC.可得MC＝CN.所以,EG＝GF.例9如圖10,⊙O是△ABC的邊BC外的旁切圓,D、E、F分別為⊙O與BC、CA、AB的切點.若OD與EF相交于K,求證：AK平分BC.證明：如圖10,過點K作BC的行平線分別交直線AB、AC于Q、P兩點,連OP、OQ、OE、OF.由OD⊥BC,可知OK⊥PQ.由OF⊥AB,可知O、K、F、Q四點共圓,有∠FOQ＝∠FKQ.由OE⊥AC,可知O、K、P、E四點共圓.有∠EOP＝∠EKP.顯然,∠FKQ＝∠EKP,可知∠FOQ＝∠EOP.由OF＝OE,可知Rt△OFQ≌Rt△OEP.則OQ＝OP.于是,OK為PQ的中垂線,故QK＝KP.所以,AK平分BC.綜上,我們介紹了平行線在平面幾何問題中的應(yīng)用.同學(xué)們在實踐中應(yīng)注意適時添加平行線,讓平行線在平面幾何證題中發(fā)揮應(yīng)有的作用.3利用圓中的等量關(guān)系巧作輔助圓在某些數(shù)學(xué)問題中,巧妙添置輔助圓常可以溝通直線形和圓的內(nèi)在聯(lián)系,通過圓的有關(guān)性質(zhì)找到解題途徑.下面舉例說明添置輔助圓的若干思路.3.1挖掘隱含的輔助圓解題有些問題的題設(shè)或圖形本身隱含著“點共圓”,此時若能把握問題提供的信息,恰當(dāng)補出輔助圓,并合理挖掘圖形隱含的性質(zhì),就會使題設(shè)和結(jié)論的邏輯關(guān)系明朗化.1.1作出三角形的外接圓例1如圖1,在△ABC中,AB＝AC,D是底邊BC上一點,E是線段AD上一點且∠BED＝2∠CED＝∠A.求證：BD＝2CD.分析：關(guān)鍵是尋求∠BED＝2∠CED與結(jié)論的聯(lián)系.容易想到作∠BED的平分線,但因BE≠ED,故不能直接證出BD＝2CD.若延長AD交△ABC的外接圓于F,則可得EB＝EF,從而獲取.證明：如圖1,延長AD與△ABC的外接圓相交于點F,連結(jié)CF與BF,則∠BFA＝∠BCA＝∠ABC＝∠AFC,即∠BFD＝∠CFD.故BF:CF＝BD:DC.又∠BEF＝∠BAC,∠BFE＝∠BCA,從而∠FBE＝∠ABC＝∠ACB＝∠BFE.故EB＝EF.作∠BEF的平分線交BF于G,則BG＝GF.因∠GEF＝∠BEF＝∠CEF,∠GFE＝∠CFE,故△FEG≌△FEC.從而GF＝FC.于是,BF＝2CF.故BD＝2CD.1.2利用四點共圓例2凸四邊形ABCD中,∠ABC＝60°,∠BAD＝∠BCD＝90°,AB＝2,CD＝1,對角線AC、BD交于點O,如圖2.證sin∠AOB＝..分析：由∠BAD＝∠BCD＝90°可知A、B、C、D四點共圓,欲求sin∠AOB,聯(lián)想到托勒密定理,只須求出BC、AD即可.解：因∠BAD＝∠BCD＝90°,故A、B、C、D四點共圓.延長BA、CD交于P,則∠ADP＝∠ABC＝60°.設(shè)AD＝x,有AP＝x,DP＝2x.由割線定理得(2＋x)x＝2x(1＋2x).解得AD＝x＝2－2,BC＝BP＝4－.由托勒密定理有BD·CA＝(4－)(2－2)＋2×1＝10－12.又SABCD＝S△ABD＋S△BCD＝.故sin∠AOB＝.例3已知：如圖3,AB＝BC＝CA＝AD,AH⊥CD于H,CP⊥BC,CP交AH于P.求證：△ABC的面積S＝AP·BD.分析：因S△ABC＝BC2＝AC·BC,只須證AC·BC＝AP·BD,轉(zhuǎn)化為證△APC∽△BCD.這由A、B、C、Q四點共圓易證(Q為BD與AH交點).證明：記BD與AH交于點Q,則由AC＝AD,AH⊥CD得∠ACQ＝∠ADQ.又AB＝AD,故∠ADQ＝∠ABQ.從而,∠ABQ＝∠ACQ.可知A、B、C、Q四點共圓.∵∠APC＝90°＋∠PCH＝∠BCD,∠CBQ＝∠CAQ,∴△APC∽△BCD.∴AC·BC＝AP·BD.于是,S＝AC·BC＝AP·BD.3.2構(gòu)造相關(guān)的輔助圓解題有些問題貌似與圓無關(guān),但問題的題設(shè)或結(jié)論或圖形提供了某些與圓的性質(zhì)相似的信息,此時可大膽聯(lián)想構(gòu)造出與題目相關(guān)的輔助圓,將原問題轉(zhuǎn)化為與圓有關(guān)的問題加以解決.2.1聯(lián)想圓的定義構(gòu)造輔助圓例4如圖4,四邊形ABCD中,AB∥CD,AD＝DC＝DB＝p,BC＝q.證對角線AC的長為.分析：由“AD＝DC＝DB＝p”可知A、B、C在半徑為p的⊙D上.利用圓的性質(zhì)即可找到AC與p、q的關(guān)系.解：延長CD交半徑為p的⊙D于E點,連結(jié)AE.顯然A、B、C在⊙D上.∵AB∥CD,∴BC＝AE.從而,BC＝AE＝q.在△ACE中,∠CAE＝90°,CE＝2p,AE＝q,故AC＝＝.2.2聯(lián)想直徑的性質(zhì)構(gòu)造輔助圓例5已知拋物線y＝－x2＋2x＋8與x軸交于B、C兩點，點D平分BC.若在x軸上側(cè)的A點為拋物線上的動點,且∠BAC為銳角,證AD的取值范圍是3＜AD≤9..分析：由“∠BAC為銳角”可知點A在以定線段BC為直徑的圓外,又點A在x軸上側(cè),從而可確定動點A的范圍,進而確定AD的取值范圍.解：如圖5,所給拋物線的頂點為A0(1,9),對稱軸為x＝1,與x軸交于兩點B(－2,0)、C(4,0).分別以BC、DA為直徑作⊙D、⊙E,則兩圓與拋物線均交于兩點P(1－2,1)、Q(1＋2,1).可知,點A在不含端點的拋物線PA0Q內(nèi)時,∠BAC＜90°.且有3＝DP＝DQ＜AD≤DA0＝9,即AD的取值范圍是3＜AD≤9.2.3聯(lián)想圓冪定理構(gòu)造輔助圓例6AD是Rt△ABC斜邊BC上的高,∠B的平行線交AD于M,交AC于N.求證：AB2－AN2＝BM·BN.分析：因AB2－AN2＝(AB＋AN)(AB－AN)＝BM·BN,而由題設(shè)易知AM＝AN,聯(lián)想割線定理,構(gòu)造輔助圓即可證得結(jié)論.證明：如圖6,∵∠2＋∠3＝∠4＋∠5＝90°,又∠3＝∠4,∠1＝∠5,∴∠1＝∠2.從而,AM＝AN.以AM長為半徑作⊙A,交AB于F,交BA的延長線于E.則AE＝AF＝AN.由割線定理有BM·BN＝BF·BE＝(AB＋AE)(AB－AF)＝(AB＋AN)(AB－AN)＝AB2－AN2,即AB2－AN2＝BM·BN.例7如圖7,ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形,延長AB和DC相交于E,延長AB和DC相交于E,延長AD和BC相交于F,EP和FQ分別切⊙O于P、Q.求證：EP2＋FQ2＝EF2.分析：因EP和FQ是⊙O的切線,由結(jié)論聯(lián)想到切割線定理,構(gòu)造輔助圓使EP、FQ向EF轉(zhuǎn)化.4平移、旋轉(zhuǎn),翻折,幾何證明中的三種基本變換所謂幾何變換就是根據(jù)確定的法則，對給定的圖形(或其一部分)施行某種位置變化，然后在新的圖形中分析有關(guān)圖形之間的關(guān)系．4.1正三角形類型在正ΔABC中，P為ΔABC內(nèi)一點，將ΔABP繞A點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)600，使得AB與AC重合。經(jīng)過這樣旋轉(zhuǎn)變化，將圖（1-1-a）中的PA、PB、PC三條線段集中于圖（1-1-b）中的一個ΔP'CP中，此時ΔP'AP也為正三角形。例1.如圖：（1-1）：設(shè)P是等邊ΔABC內(nèi)的一點，PA=3，PB=4，PC=5，證明∠APB的度數(shù)是150°.證：以PA為一邊，向外作正三角形APQ，連接BQ，可知

PQ=PA=3，∠APQ=60°，

由于AB=AC，PA=QA，∠CAP+∠PAB=60°=∠PAB+∠BAQ，即：∠CAP=∠BAQ，所以

△CAP≌△BAQ

可得：CP=BQ=5，

在△BPQ中，PQ=3，PB=4，BQ=5，由勾股定理，知△BPQ是直角三角形。所以

∠BPQ=90°

所以

∠APB=∠APQ+∠BPQ=60°+90°=150°。4.2正方形類型在正方形ABCD中，P為正方形ABCD內(nèi)一點，將ΔABP繞B點按順時針方向旋轉(zhuǎn)900，使得BA與BC重合。經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變化，將圖（2-1-a）中的PA、PB、PC三條線段集中于圖（2-1-b）中的ΔCPP'中，此時ΔBPP'為等腰直角三角形。例2

.如圖（2-1）：P是正方形ABCD內(nèi)一點，點P到正方形的三個頂點A、B、C的距離分別為PA=1，PB=2，PC=3。證正方形ABCD面積為2√2+5。

解：作ΔAED使∠DAE=∠BAP，AE=AP

連結(jié)EP，則ΔADE≌ΔABP（SAS）

同樣方法，作ΔDFC且有ΔDFC≌ΔBPC。

易證ΔEAP為等腰直角三角形，

又∵AP=1

∴PE=√2同理，PF=3√2

∵∠EDA=∠PBA，∠FDC=∠PBC

又∵∠PBA+∠PBC=90°

∴∠EDF=∠EDA+∠FDC+∠ADC=90°+90°=180°

∴點E、D、F在一條直線上。

∴EF=ED+DF=2+2=4，

在ΔEPF中，EF=4，EP=√2，F(xiàn)P=3√2

由勾股定理的逆定理，可知ΔEPF為直角三角形

正方形ABCD的面積=△EPF的面積+△EPA的面積+=△PFC的面積=2√2+54.3等腰直角三角形類型在等腰直角三角形ΔABC中，∠C=900,P為ΔABC內(nèi)一點，將ΔAPC繞C點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)900，使得AC與BC重合。經(jīng)過這樣旋轉(zhuǎn)變化，在圖（3-1-b）中的一個ΔP'CP為等腰直角三角形。

例3．如圖，在ΔABC中，∠ACB=900，BC=AC，P為ΔABC內(nèi)一點，且PA=3，PB=1，PC=2。證∠BPC的度數(shù)為135°。因為△ABC中AC＝BC，∠ACB=90°

所以可將三角形APC繞C旋轉(zhuǎn)90度，CA與CB重合，P移動到D，連接PD

顯然BD＝PA＝1，CD＝PC＝2，∠PCD＝90°，∠APC＝∠CDB

所以PD＝2√2，∠PDC＝∠DPC＝45°

因為PB＝3

所以PD^2＋BD^2＝PB^2

所以ΔPBD是直角三角形且∠PDB＝90°

所以∠CDB＝90°＋45°＝135°

所以∠APC＝∠CDB＝135°5.1反證法證明平面幾何問題,運用反證法是一種重要的方法.反證法就是先假設(shè)待證的結(jié)論不成立,經(jīng)過嚴密的推理,推出和已知條件或已知的定義、定理、公理相矛盾,從而肯定待證結(jié)論成立.一、用于“必然性”問題的證明如果一個命題的結(jié)論以“必然”、“等于”等形式給出，考慮使用反證法常常奏效。例1：證明：三角形的三個內(nèi)角中，至少有一個角不大于60°.已知：△ABC，求證：∠A、∠B、∠C、中至少有一個角不大于60°。證明：假設(shè)三角形ABC的三個內(nèi)角A、B、C都大于60°，則∠A+∠B+∠C＞180°，即三個內(nèi)角的和大于180°，這與三角形的內(nèi)角和等于180°相矛盾，所以三角形的三個內(nèi)角至少有一個角不大于60°。二、常規(guī)性證明習(xí)題此類習(xí)題可用常規(guī)證明，也并不復(fù)雜。如例題2，利用平行和等邊對等角就可以證明。但在此利用反證法證明，通過簡單習(xí)題的運用，可讓學(xué)生進一步理解反證法的運用，對學(xué)生思維能力的提升，也為學(xué)生在分析復(fù)雜問題的結(jié)論是否正確時提供一種方法。例2：如圖1，已知∠CAE是△ABC的外角，AD∥BC，且∠1=∠2，12圖5求證：12圖5證明：假設(shè)AB≠AC，則∠B≠∠C，因為AD∥BC，所以∠1=∠B，∠2=∠C，所以∠1≠∠2，這與已知∠1=∠2相矛盾，所以AB=AC。三、用于“結(jié)論否定形式”的命題的證明當(dāng)命題的結(jié)論涉及到否定形式的論斷時，宜用反證法。而此類習(xí)題用常用證明方法很難證明。例3：如圖2，在△ABC中，D、E兩點分別在AB和AC上。求證：CD、BE不能互相平分。證明：假設(shè)CD、BE互相平分，連接DE，則根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，所以有DE//BC，BD//EC，這與BD、CE相交于點A矛盾。所以CD、BE不能互相平分。四、用于證明“唯一性”的問題有些唯一性命題的證明使用反證法證明較簡捷。此類習(xí)題以概念性習(xí)題為主。例4：試說明兩條直線相交，只有一個交點。證明：如圖，假設(shè)直線AB與CD有兩個或兩個以上的交點。不妨設(shè)交于點P，點E兩個交點，則過點P、E的直線有兩條，即直線AB與CD，這與“過兩點有且只有一條直線”相矛盾。所以，兩條直線相交，只有一個交點。6巧用面積法解幾何題用面積法解幾何問題是一種重要的數(shù)學(xué)方法，在初中數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，這種方法有時顯得特別簡捷，有出奇制勝、事半功倍之效，請看以下幾例。6.1.利用面積法求線段的長例1.如圖1，AD是的斜邊BC上的高，且，AB＝45，求AD。解：由勾股定理得：例2.如圖2，矩形ABCD中AB＝a，BC＝b，M是BC的中點，，E是垂足，求證：證明：連結(jié)DM，由勾股定理得：6.2.利用面積法證線段等式例3.如圖3，AD是的角平分線，求證：證明：過點D作于E，于F，過點A作于H由，則有即例4.已知一直角三角形兩直角邊為a、b，斜邊c上的高為h，求證：證明：由三角形面積關(guān)系有即整理后，即得6.3.利用面積法證線段不等式例5.