新高考數(shù)學(xué)培優(yōu)(含學(xué)生版和教師版)20 利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值點(diǎn)問題

專題20利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值點(diǎn)問題

一、單選題

1.已知函數(shù)f(x)=sinx+V-水，則下列結(jié)論錯誤的是()

A./(X)是奇函數(shù)

B.若〃=0,則/(/)是增函數(shù)

C.當(dāng)。=一3時，函數(shù)”力恰有三個零點(diǎn)

D.當(dāng)以=3時，函數(shù)，(%)恰有兩個極值點(diǎn)

2.如圖是函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)函數(shù)y=/'(x)的圖象，則函數(shù)＞=〃力的極小值點(diǎn)的個數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

3.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)/'(x)=a(x+l)(x-a),若在％=。處取得極大值，則實(shí)數(shù)。的取值范

圍是()

A.(-1,0)B.(2,+oo)C.(0,1)D.(-co,—3)

4.若函數(shù)/(幻=；/一?2+%一5無極值點(diǎn)則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.(-1,1)B.[-1J]C.(-?>,-l)U(l,-Hx>)D.(-00+00)

5.已知函數(shù)/*)=/-0^+2如有兩個極值點(diǎn)，則〃的取值范圍是()

A.?+8)B.p+ooC.(e2,+oo)D.^-y,+oo

6.“〃>2”是“函數(shù)〃同=(工一々)-在(0,+力)上有極值”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

7.已知函數(shù)〃力=(1一/卜，若同時滿足條件：①3Ao?0,48),/為了(X)的一個極大值點(diǎn)；②

VXG(8,-KO),/(x)>0.則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(4,8]B.[8,y)C.(F,0)U[&”)D.(e,0)U(4,8]

8.若函數(shù)/(力=，'--+以(。為常數(shù))有兩個不同的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。取值范圍是()

A.[-l,4-oo)B.[2,+oo)C.(2,+oo)D.(1,+co)

9.已知函數(shù)/(x)=lnx-ax在冗=2處取得極值，則。=()

A.1B.2C.—D.-2

2

?2

10.設(shè)函數(shù)/(x)=人皿工+以妁工一丁，則卜列是函數(shù)極小值點(diǎn)的是()

4乃n乃C兀r5n

A.----B.一一C.-D.—

3333

11.函數(shù)/(x)=(x2-2x)/的圖象大致是()

A.B.

12.已函數(shù)/（幻=：%3-3公2+法的兩個極值點(diǎn)是sin。和cosJSwR）,則點(diǎn)（a力）的軌跡是（）

A.椎圓弧B.圓弧C.雙曲線弧D,拋物線弧

13.若x=l是函數(shù)/（力=-一水的極值點(diǎn)，則。的值是（）

A.1B.-1C.eD.-e

14.己知函數(shù)，（x）-gx3-4x,則/（X））的極大值點(diǎn)為（）

A.x=-4B.x=4C.x=—2D.x=2

15.若函數(shù)/（幻=3%2-2工+。仙工有兩個不同的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.a>1B.-l<a<0

C.a<\D.0<a<l

二、多選題

16.設(shè)函數(shù)/（x）=xln2x+x的導(dǎo)函數(shù)為f'（x）,則（）

A.rd）=oB.是的極值點(diǎn)

ee

C.7（x）存在零點(diǎn)D.在g,+oo）單調(diào)遞增

17.關(guān)于函數(shù)/*）=e、+〃sinx,下列結(jié)論正確的有（）

A.當(dāng)。=1時，/W在（0,/（0））處的切線方程為2x-y+l=o

B.當(dāng)a=l時，/(x)存在惟一極小值點(diǎn)看

C.對任意〃>0,/(X)在(一肛+8)上均存在零點(diǎn)

D.存在4<0,/(%)在(一%,長。)有且只有一個零點(diǎn)

18.已知函數(shù)/(%)=xsin-xeR,則下列說法正確的有()

A.f(x)是偶函數(shù)

B.7V)是周期函數(shù)

C.在區(qū)間惇兀)上，f(x)有且只有一個極值點(diǎn)

D.過(0,0)作y=/(x)的切線，有且僅有3條

19.已知f(x)=X----sinx.()

7T

A./(力的零點(diǎn)個數(shù)為4B.”力的極值點(diǎn)個數(shù)為3

C.x地為曲線y=/(x)的切線D.若/(%)=/(，)，則

20.設(shè)函數(shù)/(1)=二，則下列說法正確的是()

\nx

A./(x)定義域是(0,+e)B.XG(O,1)M,/(x)圖象位于工軸下方

C.7(力存在單調(diào)遞增區(qū)間D.7(X)有且僅有一個極值點(diǎn)

三、解答題

21.已知函數(shù)f(x)=/]nx+gax-J1.

(1)若f(x)只有一個極值點(diǎn)，求。的取值范圍.

⑵若函數(shù)g(X)=/(x2)(%>0)存在兩個極值點(diǎn)不當(dāng)，記過點(diǎn)尸(歡送(內(nèi)))，。(工2，8(出))的直線的斜率為女，

11,

證明：一+——>k.

22.已知函數(shù)/(:^=一,^+^^+瓜+白〃

(1)若/(五)是奇函數(shù)，且有三個零點(diǎn)，求力的取值范圍；

(2)若外力在x=l處有極大值一彳，求當(dāng)冗式一1,2]時/(力的值域.

23.(1)當(dāng)OWxW當(dāng)時，求證：x>sinx；

2

(2)若N之日+1對于任意的xw[0,+x)恒成立，求實(shí)數(shù)出的取值范圍；

⑶設(shè)公。求證；函數(shù)"x)=*T-cosx在0g上存在唯一的極大值點(diǎn)小,且

24.已知函數(shù)/(x)=ln(x+l)-at(awR).

(1)討論函數(shù)〃力的單調(diào)性.

⑵若g(力-+設(shè)±,々(凡<W)是函數(shù)g")的兩個極值點(diǎn)，若。之?求證:

g(X)-g(4)2^-21n2.

O

tn

25.已知函數(shù)/(x)=41nx—x+—，機(jī)＞0.

x

(1)討論/(幻的單調(diào)性;

⑵若小)有兩個極值點(diǎn)不再，求/型(%詞)+京f(的x2取)值范圍.

26.已知函數(shù)/(幻=0/+工3+法2(a,/?￡R),g(x)=/(x)+/'(x)是偶函數(shù).

(1)求函數(shù)g(x)的極值以及對應(yīng)的極值點(diǎn).

（2）若函數(shù)〃（幻=/（幻+：/+9—1?372+3+/,且力（處在［2,5］上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)C的取值范

圍.

27.已知函數(shù)/（力=奴3_1爐+法（&beRy其導(dǎo)函數(shù)為廣（力，且〃i）=r⑴+'.

26

（1）求a的值；

（2）設(shè)函數(shù)/（力有兩個極值點(diǎn)司，%2,求人的取值范圍，并證明過兩點(diǎn)尸（如/（%,））,Q（孫/（x2））

的直線機(jī)恒過定點(diǎn)，且求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）當(dāng)b>l時，證明函數(shù)8（耳=/（力+312-冗一1在R上只有一個零點(diǎn).

28.設(shè)函數(shù)/（幻=2/-3（。+1）/+6辦+/?,其中a,bsR.

（1）若曲線y=/（x）在（-1,7（一1））的切線方程為丁=121+3,求a,b的值；

（2）若/（x）在冗=3處取得極值，求。的值；

（3）若/。）在（-8,0）上為增函數(shù)，求&的取值范圍.

1,

29.已知函數(shù)=一alnx.其中。為常數(shù).

（1）若函數(shù)/（外在定義域內(nèi)有且只有一個極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

（2）已知/，/是函數(shù)/（X）的兩個不同的零點(diǎn)，求證：玉+9〉2G.

30.已知函數(shù)/（力=加+21n（l+x）-2sinx,a>0.

（1）若證明：當(dāng)卜，/（X）>O；

（2）若x=0是〃力的極大值點(diǎn)，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍.

專題20利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值點(diǎn)問題

一、單選題

1.已知函數(shù)f(x)=sinx+V-水，則下列結(jié)論錯誤的是()

A./(X)是奇函數(shù)

B.若〃=0,則/(/)是增函數(shù)

C.當(dāng)。=一3時，函數(shù)”力恰有三個零點(diǎn)

D.當(dāng)以=3時，函數(shù)，(%)恰有兩個極值點(diǎn)

【答案】C

【分析】

對A,根據(jù)奇函數(shù)的定義判定即可.由條件可得/'(x)=cosx+3x2-。，則/〃(x)=-sinx+6x,

/"(冗)=-8§1+620,所以/"(力=一§由了+61在/?上單調(diào)遞增,且/"(0)=0,所以當(dāng)4<0時，

/"(x)<0,當(dāng)x>0時，/*(x)>0,則r(x)=cosx+3/在(YO,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞

增.則((力之尸(0)=1-々,將。的值代入分別計(jì)算分析，可判斷選項(xiàng)B,C,D

【詳解】

對A,/(x)=sin/+V-ox的定義域?yàn)镽,且f(-x)=sin(-x)+(-x)3+ax

=-sinx-13+公=一/(不)故A正確.

由條件可得/'(x)=cosx+3x2-。，則/*(x)=-sinx4-6x,/ff(x)=-cosx+6>0

所以/〃("=一sinx+6x在R上單調(diào)遞增，且廣⑼=0

所以當(dāng)x<o時，r（x）<o,當(dāng)1>0時，r（x）>o,

則門x）=cosx+3f在（T>o,O）上單調(diào)遞減，在（0,+8）上單調(diào)遞增.則了'（力>r（0）=1-々

對B,當(dāng)〃=0時，/'（x）=cosx+3x2>0,所以是增函數(shù)，故B正確.

對C,當(dāng)。二一3時，由上可知,/'（力之/'（0）=1-。=4,

所以/（力是增函數(shù)，故不可能有3個零點(diǎn)故C錯誤.

對D,當(dāng)。=3時，/"（x）=cosx+3f-3,由上可知在（F,0）上單調(diào)遞減，在（0,+8）上單調(diào)遞增.

則ra）min=r（°）T—3=—2,r（-i）=cosi>o,r（i）=cosi>o

所以存在百?一LO）,W￡（O,I）,使得/（不）=0,r（再）=0成立

則在（-00,%）匕/（x）>0,在（x，w）上,/r（x）<0,在（w，+00）上,/（x）>0.

所以函數(shù)f（x）=sinx+d-3x在（70,3）單調(diào)遞增，在（％,9）的單調(diào)遞減，在（毛,*。）單調(diào)遞增.

所以函數(shù)/（x）恰有兩個極值點(diǎn)，故D正確.

故選：C

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性從而得出函數(shù)的零點(diǎn)和極值情況，解答本題的關(guān)鍵是

對原函數(shù)的單調(diào)性分析，由條件可得r（x）=8sx+3x2-a,則/〃（x）=-sinx+6x,

/〃（%）=-851+620所以/〃（司=一面冗+6X在/?上單調(diào)遞增,且/〃（0）=0,所以當(dāng)x<0時，

r（x）<o,當(dāng)x>o時,r（x）>o,則ra）=8sx+3f在（YO,O）上單調(diào)遞減，在（。,+8）上單調(diào)遞

增.則廣（無）之廣（0）=1-。，經(jīng)過多次求導(dǎo)分析出單調(diào)性，屬于中檔題.

2.如圖是函數(shù)y=/（x）的導(dǎo)函數(shù)y=/'（x）的圖象，則函數(shù)y=/（x）的極小值點(diǎn)的個數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】

通過讀圖由y=/'（x）取值符號得出函數(shù)y=/（x）的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值點(diǎn)，得出答案.

【詳解】

由圖象，設(shè)/'（力與R軸的兩個交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為。、〃其中

知在（一8,〃），S,+8）上/'（幻＞0,

所以此時函數(shù)/（X）在（-8,。），（〃,+8）上單調(diào)遞增，

在3,力）上，r（x）＜0,此時/（用在（出加上單調(diào)遞減，

所以/=〃時，函數(shù)取得極大值，x=b時，函數(shù)取得極小值.

則函數(shù)y=/W的極小值點(diǎn)的個數(shù)為I.

故選:B

【點(diǎn)睛】

本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的極值問題，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)攫.

3.已知函數(shù)〃力的導(dǎo)函數(shù),/(%)=0(工+1乂%一4),若〃力在處取得極大值，則實(shí)數(shù)。的取值范

圍是()

A.(-1,0)B.(2,+oo)C.(0,1)D.(-oo,-3)

【答案】A

【分析】

分四種情況討論，分別判斷x兩邊導(dǎo)函數(shù)值的符號，判斷了(外在x=〃處是否取得極大值，即可篩選出

a的取值范圍.

【詳解】

由“X)在工二。處取得極大值可知，當(dāng)時，f\x)>0；

當(dāng)%時，r(x)〈o,

其等價于①存在aDxw(A。)，使得。(x+l)(x-a)>0,

且②存在C,VX￡(4,C)，使得〃(X+l)(X-4)<0：

若。>。時，a(x+l)(x-a)>0的解集為(-8,-1)=(4+8),不滿足②即不存在%￡3,c),使得

a(x+l)(x—a)<0,故。>0時f(x)在x=。不是極大值；

若一1<。v0時，a(x+1)(%-。)>0的解集為(一1,a),a(x+D(x-a)v0的解集為(9,一1)5々,+00)，

滿足①②，故一1<。<0時，/&)在工=。處取得極大值；

若。=—1,。(工+1)&-。)恒小于等于0,不滿足①，故。二一1時，/3)在取不到極大值；

若av-l時，。*+1)(不一。)>0的解集為3,-1),不滿足②，故”-1時，八幻在工=〃處取不到極大值.

綜上，。的取值范圍是（—1,0）.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

求函數(shù)極值的步驟：⑴確定函數(shù)的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù):（x）；（3）解方程廣（力=0,求出函數(shù)定義

域內(nèi)的所有根;（4）檢查r（x）在r（x）=o的根/左右兩側(cè)值的符號,如果左正右負(fù)（左增右減），那么“X）

在七處取極大值，如果左負(fù)右正（左減右增），那么/（力在/處取極小值.

4.若函數(shù)=一依2+%一5無極值點(diǎn)則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.B.[―1?1]C.（~°°,—DUQ，"*"00）D.（―°o,—1]

【答案】B

【分析】

求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為了（幻=0最多1個實(shí)數(shù)根，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出。的范圍即可.

【詳解】

，f'（x）=x1-2ax+1，

由函數(shù)一以2+/一5無極值點(diǎn)知,

r*）=o至多1個實(shí)數(shù)根，

解得—1K441,

實(shí)數(shù)0的取值范圍是[7,1],

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題.

5.已知函數(shù)/(x)=e，一or?+2or有兩個極值點(diǎn)，則a的取值范圍是()

A.(e,+8)B.：,+8c.(e)+oo)D.—,+00

12JI2,

【答案】D

【分析】

根據(jù)函數(shù)有兩個極值點(diǎn)得到關(guān)于。的方程有兩個解，采用分離常數(shù)的方法分離出或，并采用構(gòu)造新函數(shù)的

方法確定出新函數(shù)的取值情況，由此分析出。的取值情況.

【詳解】

因?yàn)?*)=^一雙2+2℃有兩個極值點(diǎn)，所以/'(力=0有兩個不同實(shí)數(shù)根，所以e*-2改+2a=0有兩

個不同實(shí)數(shù)根，

所以犬=2〃(工一1)有兩個不同實(shí)數(shù)根，顯然。工0,

所以丁=?有兩個不同實(shí)數(shù)根，記g(x)=g'(x)=一，

2aeee

當(dāng)xw(-oo,2)時g<x)>0,當(dāng)1w(2,+?)時g[x)v0,

所以g(x)在(fO,2)上單調(diào)遞增，在(2,位)上單調(diào)遞減，所以g(x)max=晨2)=二，

又因?yàn)閤w(-oo,l]時，^(x)<0：當(dāng)xe(O,2)時，g(x)￡(0,2)；當(dāng)xe[2,~HX)時，g(x)w(0,/,

所以當(dāng)丁=■有兩個不同實(shí)數(shù)根時丁￡0,—,

2aex2a(e-)

所以2aAc?,所以

2

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查根據(jù)函數(shù)極值點(diǎn)的個數(shù)求解參數(shù)范圍，其中涉及到分離參數(shù)方法的使用，對學(xué)生的理解與計(jì)算能

力要求較高，難度較難.

6.是“函數(shù)〃司=(上一。)，在(0,+8)上有極值”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】

求出函數(shù)〃司=(/一。)6”的極值點(diǎn)，利用該極值點(diǎn)在(0,+“)內(nèi)求得實(shí)數(shù)。取值范圍，利用集合的包含關(guān)

系可得出結(jié)論.

【詳解】

?：f[x)={x-ci)ex,則/'(x)=(x-4+l)“'，令f'(x)=0,可得％-々一1.

當(dāng)xva-l時，//(x)<0；當(dāng)了〉”-1時，/'(%)>0.

所以，函數(shù)y=/(x)在1二〃-1處取得極小值.

若函數(shù)y=/(x)在(0,也)上有極值，則。一1>0,「.aAl.

因此，“〃>2”是“函數(shù)/(x)=(x-a)/在(0,+8)上有極值”的充分不必要條件.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查充分不必要條件的判斷，同時也考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值點(diǎn)，考查計(jì)算能力與推理能力，屬

于中等題.

7.已知函數(shù)-7卜，若同時滿足條件：①玉…(。，物)，/為f(x)的一個極大值點(diǎn)；②

VXG(8,+OO),/(力〉0.則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(4,8]B.[8,-w)C.(FO)U[8,3)D.(f0)U(4,8]

【答案】A

【分析】

條件①說明在(0,+8)上存在零點(diǎn)，極大值點(diǎn)，利用方程的根可得〃的范圍，然后求出條件②不等式

恒成立。的范圍，求交集可得。的范圍.

【詳解】

定義域是blxx。｝,

fM=—"~—,/(%)在(0,+8)存在極大值點(diǎn),則f—好+々=。有兩個不等

\XX)x

實(shí)根，△=/一4〃>0,avO或a>4,

設(shè)d一”+。=0的兩個實(shí)根為％,%(X</)，

或時,%2ax+>0<內(nèi)<1<X2時,%2—ax+A<0?

x.-^-x=a,

當(dāng)avO，〈7，則不<0<為，但方>巧時，r(%)>0，心不可能是極大值點(diǎn)；

x.+x1=a,,

當(dāng)a>4時，由〈知%>0,9>0,0<工<$或1>勺時，/(x)>0，M〈xvx2時，f(x)〈O.即

x,x2=a

/（幻在（0,西）和（“2，+0。）上遞增，在（與七）上遞減，為是極大值點(diǎn)，滿足題意.

所以。＞4.

f（x）=（l—＞0,則1一巴＞0,：x＞8,；.a＜x,；.aW8.

綜1:4＜。48.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，及不等式恒成立問題，求解不等式恒成立問題的方法是問題的轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)

化為求函數(shù)的最值.

8.若函數(shù)/（工）=""一，+依（。為常數(shù)）有兩個不同的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。取值范圍是（）

A.[-l,4-oo）B,[2,+oo）C.（2,+oo）D.（1,+co）

【答案】C

【分析】

首先求導(dǎo)得到/'（戈）=一""一d+。，將題意轉(zhuǎn)化為函數(shù)g（x）=eT+e”與＞的圖象有兩個不同的交點(diǎn),

再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間和最值，即可得到答案.

【詳解】

f\x）=-e-x-ex^a,函數(shù)/（耳二，、一"+以（。為常數(shù)）有兩個不同的極值點(diǎn)，

等價于函數(shù)g（x）="與y=。的圖象有兩個不同的交點(diǎn)，

g\x\=-ex+ex,因?yàn)間'(x)為增函數(shù),且g'(0)=0,

則xe(-oo,0),g'(x)vO,g(x)為減函數(shù),

XG(0,+OO),$(x)>0,g(x)為增函數(shù),

所以g("min=g(°)=2,故a>2.

故選：c

【點(diǎn)睛】

本題主要考查根據(jù)函數(shù)的極值點(diǎn)求參數(shù)，屬于中檔題.

9.已知函數(shù)=在工=2處取得極值，則。=()

A.1B.2C.—D.-2

2

【答案】C

【分析】

利用f(2)=0列方程，解方程求得。的值.

【詳解】

f(x)=—ci,依題意/(2)=0,即q—a=0,a=3.

x/2

此時/(x)=L-：=2三(尢>0)，所以〃力在區(qū)間(0,2)上遞增，在區(qū)間(2,+8)上遞減，所以“X)

在x=2處取得極大值，符合題意.

所以〃=!.

2

故選：C

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn)、極值，屬于基礎(chǔ)題.

10.設(shè)函數(shù)/(x)=xsinx+cosx-q,則下列是函數(shù)/(x)極小值點(diǎn)的是()

4乃乃-乃5人

A.-----B.一一C.-D.—

3333

【答案】D

【分析】

將函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，由于在x=■^的左側(cè)，導(dǎo)函數(shù)值小于0,右側(cè)導(dǎo)函數(shù)值大于0,得到x=g是函數(shù)/(x)

極小值點(diǎn).

【詳解】

1(

xsinx+xcosx-sinx——x=xcosx——

f\)=2I2J

,(3兀,i

cosx<—???r(x)<。；

當(dāng)問萬,7M2f

i

時,cosx>—,

2

3萬5左(與,2%)上單調(diào)遞增,

上單調(diào)遞減，在

T,T

???%=弓是〃力的極小值點(diǎn).

故選：。.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值點(diǎn)，關(guān)鍵是能夠明確極值點(diǎn)的定義，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定原函數(shù)的單調(diào)

性，進(jìn)而得到極值點(diǎn).

11.函數(shù)/(%)=，-2x)"的圖象大致是()

【答案】B

【分析】

根據(jù)解析式求得導(dǎo)函數(shù)，并求得極值點(diǎn)，由極值點(diǎn)個數(shù)可排除AD；再由時，/（%）恒為正，排除C

即可得解.

【詳解】

函數(shù)

貝1廣（力二任一2）/,令/，（力=o,

解得“X）的兩個極值點(diǎn)為土&，故排除AD,

且當(dāng)X<0時，/（X）恒為正，排除C,

即只有B選項(xiàng)符合要求，

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了由函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖像，導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)圖像的關(guān)系應(yīng)用，屬二基礎(chǔ)題.

12.已函數(shù)/（幻=,X3一灰的兩個極值點(diǎn)是sme和COSJSER）,則點(diǎn)（a,b）的軌跡是（）

A.橢圓弧B.圓弧C.雙曲線弧D.拋物線弧

【答案】D

【分析】

根據(jù)極值點(diǎn)的定義把。力用夕表示后，消去夕得關(guān)于。功的方程，由方程確定曲線.

【詳解】

,（a=sine+cos。

由題意/'*）=/—or+從所以sin/cos。是方程/一?+。=。的兩根，所以《且

Z?=sint/cost/

a?—4/?>0，所以/=l+2sin6cose=1+26，a=sin^+cos^=>/2sin^+—s[-\/2,y/2],

所以點(diǎn)（〃力）在曲線y=友）上，還要滿足/一45>0.軌跡為拋物線弧.

故選:D

【點(diǎn)睛】

本題考查值點(diǎn)的定義，考查由方程研究曲線，掌握極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系是解題基礎(chǔ).在由方程研究曲線時,

注意方程中變量的取值范圍.

13.若x=l是函數(shù)/（x）=，一?的極值點(diǎn)，則。的值是（）

A.1B.-1C.eD.~e

【答案】C

【分析】

根據(jù)題意得到了'（1）=6—。=0,即可得到答案.

【詳解】

由''(冗)=/_4,則/'(1)=6_白=0,則4=6.

故選：c

【點(diǎn)睛】

本題主要考查函數(shù)的極值點(diǎn)，屬于簡單題.

14.已知函數(shù)-4］，則/(X))的極大值點(diǎn)為()

A.x=-4B.x=4C.x=-2D.x=2

【答窠】C

【分析】

求出函數(shù)=-4x的導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)而求出導(dǎo)函數(shù)大于。以及小于0的解，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)在各段內(nèi)的符號

判斷函數(shù)在不同區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)的極值點(diǎn).

【詳解】

解：由f(x)=；d—4x,

得：f(x)=x2-4.

由門x)=f-4>。，得：x<-2,或x>2.

由/'(x)=f—4<。,得：一2cx<2.

所以函數(shù)〃元)的增區(qū)間為(YO,-2),(2,*o).函數(shù)/(力的減區(qū)間為(一2,2).

所以，x=-2是函數(shù)的極大值點(diǎn)，x=2是函數(shù)的極小值點(diǎn).

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查求具體函數(shù)的極值點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是區(qū)分極值點(diǎn)和極值的定義，屬二基礎(chǔ)題.

15.若函數(shù)/。)=3/一2/+。111工有兩個不同的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.a>\B.-1<a<0

C.a<\D.0<a<l

【答窠】D

【分析】

△=4-4。>0

計(jì)算f(x)，然后等價于ga)=Y-2x+a在(0,+8)由2個不同的實(shí)數(shù)根，然后計(jì)算42

x=--------->0

2

即可.

【詳解】

/*)的定義域是(0,+8)，

八——2+，A+J

xx

若函數(shù)/G)有兩個不同的極值點(diǎn)，

則g(x)=/-2x+。在(0,+oo)由2個不同的實(shí)數(shù)根，

A=4-4。>()

故，2—J4—4〃，解得：0<a<1,

x=--------->0

2

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查根據(jù)函數(shù)極值點(diǎn)個數(shù)求參，考查計(jì)算能力以及思維轉(zhuǎn)變能力，屬基礎(chǔ)題.

二、多選題

16.i殳函數(shù)/")=幻1?冗+工的導(dǎo)函數(shù)為f(幻，則()

A./(-)=0B.x=L是/⑺的極值點(diǎn)

ee

C./*)存在零點(diǎn)D./(x)在g,+8)單調(diào)遞增

【答案】AD

【分析】

求出定義域，再求導(dǎo)，計(jì)算即可判斷A,由導(dǎo)函數(shù)尸(x)=ln2x+21nx+l=(lnx+l)2N0,即可判斷選項(xiàng)

B、D.由/(x)>0,即可判斷選項(xiàng)C,從而可得結(jié)論.

【詳解】

由題可知f(x)=x\n2x+x的定義域?yàn)?0,+8),

對于A,ff(x)=ln2x+2lnx+l,則/'(1)=1+21n」+l=1—2+1=0,故A正確；

eee

對于B、D,f(x)=In2x+2Inx4-1=(Inx+1)2>0,所以函數(shù)/(x)單調(diào)遞增，故無極值點(diǎn)，故B錯誤，

D正確；

對于C，/(1)=工11121+%=工(加23+1)>0，故函數(shù)/(X)不存在零點(diǎn)，故C錯誤.

故選：AD.

17.關(guān)于函數(shù)/(x)=/+asinx,XG(-^,-KO),下列結(jié)論正確的有()

A.當(dāng)。=1時，/(X)在(0,7(0))處的切線方程為2x-y+l=0

B.當(dāng)。=1時，/(x)存在惟?極小值點(diǎn)/

C.對任意4>0，/(x)在(一乃,+0Q)上均存在零點(diǎn)

D.存在avO,/(")在(一匹長。)有且只有一個零點(diǎn)

【答案】ABD

【分析】

逐一驗(yàn)證，選項(xiàng)A,通過切點(diǎn)求切線，再通過點(diǎn)斜式寫出切線方程；選項(xiàng)B,通過導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)極值并判斷

極值范圍，選項(xiàng)C、D,通過構(gòu)造函數(shù)，將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化判斷函數(shù)的交點(diǎn)問題.

【詳解】

對丁A：當(dāng)”=1口寸，f(x)=ex+sinA,xe(-7r,-l-oo),

所以7(0)=1，故切點(diǎn)為(OJ),

/0)=e'+cosx，所以切線斜A=/'(0)=2，

故直線方程為丁-1=2(工一0),

即切線方程為：2x-y+l=0,故選項(xiàng)A正確；

對于B：當(dāng)°=1時，f(x)=ex+sinx,xw(一乃,+a)),

/'(力=e"+cosx,f"(x)=，-sin%>0,x￡(一耳”)恒成立,

所以r(x)單調(diào)遞增，又r(])=2>o,

rf-—3+cosf--1"上也<o,

I4JI4)2

所以存在/d-學(xué)，-g,使得了'優(yōu))=。,

I4乙)

即e"+cos%=0,則在(一萬,x0)上，Z(x)<0,/(x)單調(diào)遞減,

在(為,48)上，fM>0,/(%)單調(diào)遞增，

所以存在惟?極小值點(diǎn)小,故選項(xiàng)B正確；

對于C、D：/(x)=ex+dsinx,xe(-^,+oo),

人,,、x八加1sinx

令/(V)=e+〃sinx=O得：—=----，

ae

則令尸")=牛土，xe(-^-,+oo),

,cosx-sinx-V2sin(x--)令/(幻=(),

F(x)=--------：----=--------;-----

ee

冗

得：x=k;c+—,k>-\^keZ,

4

由函數(shù)y=J5sin(x-2)圖象性質(zhì)知：

4

xGI-+2%),—+2k兀|對，V2sin(x--)>0,F(x)=?吧單調(diào)遞減，

(44)4ex

癡］時，V2sin(x-4)<0,尸(%)=當(dāng)單調(diào)避增,

xG—+2女乃,—F27r+2

(4474e

5乃

所以當(dāng)％=二+2々%，k>「1,keZ時，尸(x)取得極小值，

4

即當(dāng)了=一紅，紅,…時，

尸。)取得極小值，

44

.(,「5」

J3n』5始

又(4人(4人，即nn十4卜尸［4卜…，

3元5芯

又因?yàn)樵诓犯?多｝廠(幻=詈單調(diào)遞減,

所以尸(幻之尸(,)=一也《子,

2

所以x=2版■+￡,k>0,AcZ時，R%)取得極大值,

4

Jr97r

即當(dāng)x=—、—，…時，尸(%)取得極大值.

44

V2—72

當(dāng)％￡(一7,+00)時，一一—F(x)<—,

2〉

IJ?—垃

所以當(dāng)一人〈—在《4,即。,f時,

a2/7

/(x)在(-4,+cQ)上無零點(diǎn)，所以選項(xiàng)C不正確;

當(dāng)一9一96彳時，即〃=時，

Isinx

y=--與y=一二的圖象只有一個交點(diǎn)，

ae

即存在avO,f(x)在(一九,中)。)有且只有一個零點(diǎn),

故選項(xiàng)D正確.

故選：ABD

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)的極值、切線、零點(diǎn)的問題，屬于較難題.

18.已知函數(shù)/(x)=xsinx,XGR,則下列說法正確的有()

A./(為是偶函數(shù)

B.f(x)是周期函數(shù)

C.在區(qū)間乃]上，/(力有且只有一個極值點(diǎn)

D.過(0,0)作＞=/(%)的切線，有且僅有3條

【答案】ACD

【分析】

利用函數(shù)的奇偶性的定義易知函數(shù)f(x)=xsinx為偶函數(shù)，所以A正確;根據(jù)周期性的定義可判斷B錯誤；

根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，易知/(為有且只有一個極值點(diǎn)，C正確；根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線過某點(diǎn)的切

線方程可知D正確.

【詳解】

對于A,因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽,顯然/(%)=〃T),所以函數(shù)/3)是偶函數(shù)，正確;

對于B,若存在非零常數(shù)7，使得/(X+T)=/(%)，令x=g則y+Tjs*n[=y?即

￡+r]cosT=￡,令x=o,則TsinT=O,因?yàn)槎」?,所以sinT=O,即cosT=l或cosT=-l.若

(2)2

cosT=l,則工+7=巳，解得T=0,舍去；若cosT=-l,則一十解得丁=一左，所以若

22\222

存在車零常數(shù)T，使得/(x+T)=/(x)，則丁=一萬.

即/(不一〃)=/(1)，令工=當(dāng)，則募),而/(')=],/(堇)=一葭，不符合題意.故

不存在非零常數(shù)7，使得/(x+T)=/(》)，B錯誤;

對于C,f(x)=xsinx,XGR,f'W=sinx+xcosx,/"(x)=2cos/-xsinx,

f\x)=2cosx-xsinA<0,故f(x)單減,

又=/'(〃)=一乃<0,故/(?=0在上有且僅有一個解，f(x)有且只有一個極值

點(diǎn)，故C正確；

對于D,設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為f,則切線方程為yTsin，=(sin/+/cosZ)(x-f),

TT

將(0,0)代入，得*cosr=0,解得1=0或，=一+攵4，keZ.

2

7T

若r=0,則切線方程為y=0；若t=]+k冗，則丁=±「D正確.

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷，周期性的定義的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線過某點(diǎn)的切線方程，

以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn)，屬于中檔題.

19.已知/(x)=X---sinx.()

A./(力的零點(diǎn)個數(shù)為4B./(X)的極值點(diǎn)個數(shù)為3

Cx地為曲線y=/(x)的切線D.若/(%)=/(毛)，則不+々=4

【答案】BC

【分析】

7r2x

首先根據(jù)/'(工)=0得到1——=cosx,分別畫出y=l--^和〉=<^。5、的圖像，從而得到函數(shù)的單調(diào)性

7V71

和極值，再依次判斷選項(xiàng)即可得到答案.

【詳解】

=l———COSX,令/'（力=0,得到1---=cosX.

71'71

2x

分別畫出y=l——和y=8sx的圖像，如圖所示：

冗

由圖知：1一一二COSX有三個解，即/㈤=0有三個解，分別為0,7T.

71'2

所以/￡(-oo,0),/f(x)=l-----cosx>0,/(x)為增函數(shù)，

71

x￡(0,5),//(%)=l---cosx<0/(x)為減函數(shù)，

乃)，/'(x)=l—幺一COSX>0,/(X)為增函數(shù)，

2Y

(乃,f(x)=l-----cosx<0,7(x)為減函數(shù).

71

所以當(dāng)x=0時，”可取得極大值為0,當(dāng)x時，/(“取得極小值為1，

當(dāng)％=萬時?，/(%)取得極大值為0,

所以函數(shù)/(力有兩個零點(diǎn)，三個極值點(diǎn)，A錯誤，B正確.

因?yàn)楹瘮?shù)〃力的極大值為0,所以不軸為曲線y=/(力的切線，故C正確.

因?yàn)樵冢?00,0）為增函數(shù)，（0段）為減函數(shù)，

所以存在司，％滿足且〃X）=/（W），

乙

兀

顯然％+x2V萬，故D錯誤.

故選：BC

【點(diǎn)睛】

本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，極值點(diǎn)和切線，屬于難題

20.設(shè)函數(shù)/（?=￡]，則下列說法正確的是（）

Inx

A./（力定義域是（0,+少）B.X￡（O,1）時，〃力圖象位于x軸下方

C.〃力存在單調(diào)遞增區(qū)間D.外“有且僅有一個極值點(diǎn)

【答案】BCD

【分析】

求出函數(shù)定義域判斷A,根據(jù)函數(shù)值的正負(fù)判斷B,求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)確定原函數(shù)的增區(qū)間，判斷C,

由導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性得極值，判斷D.

【詳解】

由題意，函數(shù)-滿足'：＞）八，解得X〉0且工工1，所以函數(shù)=￡"的定義域?yàn)?/p>

八）Inx[inxwO八，Inx

（O,l）U（l，+a），所以A不正確；

由“力=上二，當(dāng)RW（O,1）時，lnx＜0,???/（x）＜0,所以/（X）在（0,1）上的圖象都在軸的下方，所

以8正確;

41

eI1nx——

，所以r(力>0在定義域上有解，所以函數(shù)“X)存在單調(diào)遞增區(qū)間，所以C是

./⑴Ix

(Inx)2

正確的;

由g(力=lnx—L則屋(工)=,+3(工>0),所以g'(x)>0,函數(shù)g(x)單調(diào)增，則函數(shù)/(%)=0只

XXX

有一個根%,使得/(%)=。，當(dāng)X￡(O?o)時，/'?<0,函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)X￡(%,+8)時，函數(shù)單

調(diào)遞增，所以函數(shù)只有一個極小值，所以。正確;

故選：BCD.

【點(diǎn)睛】

本題考查求函數(shù)的定義域，考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，掌握極值的定義，單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

是解題關(guān)鍵.

三、解答題

21.已知函數(shù)/(x)=/Inx+gav-4

⑴若f(x)只有一個極值點(diǎn)，求。的取值范圍.

⑵若函數(shù)g(x)=/(『)(1>0)存在兩個極值點(diǎn)內(nèi)，/，記過點(diǎn)?(玉，8(玉)),。。2,8。2))的直線的斜率為左，

11,

證明：一+——>k

【答案】(1)avO；(2)證明見解析.

【分析】

d<0,

(1)先求導(dǎo)，令五=〃，則〃>0.令。-〃+2/,解不等式組，，小、八即得解;

。(0)>0,

1