2023-2024學年吉林省G6教考聯(lián)盟高二年級下冊7月期末考試數(shù)學試題（含解析）

2023-2024學年吉林省G6教考聯(lián)盟高二下學期7月期末考試數(shù)學試題

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.已知集合4={x|2x-2<1},B=[x\x+220},則2n8=()

33

A.[-2.|)B.(-2.1)C.[-2,+oo)D.[—l,+8)

2.命題uVxe(0,1),x2>In]”的否定是(

A.VxG(0,1),x2<In%B.Vxg(0,1),x2>Inx

C.3%6(0,1),x2<In%D.3%《(0,l)>x2<In%

3.函數(shù)/CO=嗎券的圖像為()

4.已知函數(shù)/(%)=3/,(l)x-4x2-21nx,則/''(1)=()

A.5B,4C.-4D.-5

5.在數(shù)學中，布勞威爾不動點定理是拓撲學里一個非常重要的不動點定理，它可應用到有限維空間，并構(gòu)

成一般不動點定理的基石.簡單的講就是對于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)/（功，存在一個點與，使得/（右）=

沏，那么我們稱該函數(shù)為“不動點”函數(shù)，下列為“不動點”函數(shù)的是（）

第1頁，共15頁

A./(%)=%+§B.f(%)=In%+1

C./(%)=ex+1D,/(%)=2x2+2%+1

6.7名研究人員在3個不同的無菌研究艙同時進行工作，每名研究人員必須去一個艙，且每個艙至少去1

人，由于空間限制，每個艙至多容納3人，則不同的安排方案共有()種.

A.720B.1050C.1440D.360

7.已知正數(shù)％,y,z,滿足3久=4'=6Z,則下列說法不正確的是(

111112

?+方=』B,x>y>zC-z+7<yD.3X<4y<6z

111

8.若a=e工，b=",c=逆，貝|()

A.b<c<aB.a<b<cC.c<a<bD,b<a<c

二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項中有多項符合題目要求。

9.下列說法中，正確的命題是()

A.在兩個隨機變量的線性相關(guān)關(guān)系中，若相關(guān)系數(shù)r越大，則樣本的線性相關(guān)性越強

B.在具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個變量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)所得的回歸直線方程夕=&+標中，b=-2,x=l,y=3,

則2=5

C.在回歸分析中，決定系數(shù)朋的值越大，說明殘差平方和越小

D.以模型y=ce"去擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求出回歸方程，設(shè)z=lny,將其變換后得到線性方程

z=0.3%+4,則c,k的值分別是e4和。.3

10.下列命題是真命題的是()

,,11

A.右一<T,貝！Jlna>In/?

ab

B,若a+2b=3,則2a+4^>4#

C.若Q>b>0,則-[c>2

D.若正實數(shù)a,b滿足1+3=1，則六+言的最小值為6

CLDCL—1D—1

11.已知定義在7?上的函數(shù)/(乃滿足/(2*+6)=/(—2乂)，且/Q—1)+/(久+l)=/(—2),若/'(|)=1,則

()

A./(2024)=08)(%)的對稱中心為(一3,0)

C./(%)是周期函數(shù)D￡駕(T)9/(k—分=2025

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

第2頁，共15頁

12.(6—39的展開式的常數(shù)項為.(用數(shù)字作答)

13.已知函數(shù)/(X)=｛配:：—?廣工“，對于任意兩個不相等的實數(shù)均，冷6R,都有不等式

<0成立，則實數(shù)a取值范圍為.

14.有n個編號分別為1,2,…，九的盒子，第1個盒子中有3個白球1個黑球，其余盒子中均為1個白球1個黑

球，現(xiàn)從第1個盒子中任取一球放入第2個盒子，再從第2個盒子中任取一球放入第3個盒子，以此類推，從

第九個盒子中取到黑球的概率是.

四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題12分)

4m—

己知累函數(shù)/'(久)=X―2—(rneZ)的圖象關(guān)于y軸對稱，且f(久)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

(1)求m的值及函數(shù)/(%)的解析式；

(2)若f(a-2)</(1+2d),求實數(shù)a的取值范圍.

16.(本小題12分)

1H

設(shè)函數(shù)f(x)=alnx--+1,其中在aeR,曲線y=/(久)在點(l,f(1))處的切線垂直于y軸.

(1)求a的值；

(2)求函數(shù)/O)極值.

17.(本小題12分)

目前，教師職業(yè)越來越受青睞，考取教師資格證成為不少人的就業(yè)規(guī)劃之一.當前，中小學教師資格考試分筆試

和面試兩部分，筆試通過后才能進入面試環(huán)節(jié).已知某市2024年共有10000名考生參加了中小學教師資格考

試的筆試，筆試成績KM60,102),只有筆試成績高于70分的考生才能進入面試環(huán)節(jié).

(1)利用正態(tài)分布的知識，估計該市報考中小學教師資格的10000名筆試考生中,進入面試的人數(shù)(結(jié)果只保

留整數(shù))；

(2)現(xiàn)有甲、乙、丙3名考生進入了面試，且他們通過面試的概率分別為設(shè)這3名考生中通過面試的人

數(shù)為工求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望.

參考數(shù)據(jù):若X-MXM),則<X<jU+cr)?0.6827,〃+2<7)=0.9545,尸(〃-3。<X</2+3<7)~

0.9973.

18.(本小題12分)

在學校食堂就餐成為了很多學生的就餐選擇.學校為了解學生食堂就餐情況，在校內(nèi)隨機抽取了100名學

生，其中男生和女生人數(shù)之比為1:1,現(xiàn)將一周內(nèi)在食堂就餐超過3次的學生認定為“喜歡食堂就餐”，不

第3頁，共15頁

超過3次的學生認定為“不喜歡食堂就餐”.“喜歡食堂就餐”的人數(shù)比“不喜歡食堂就餐”人數(shù)多20人,

“不喜歡食堂就餐”的男生只有10人.

男生女生合計

喜歡食堂就餐

不喜歡食堂就餐10

合計100

(1)將上面的列聯(lián)表補充完整，并依據(jù)小概率值a=0.001的獨立性檢驗，分析學生喜歡食堂就餐是否與性

別有關(guān)；

(2)該校甲同學逢星期二和星期四都在學校食堂就餐，且星期二會從①號、②號兩個套餐中隨機選擇一

個套餐，若星期二選擇了①號套餐，則星期四選擇①號套餐的概率為專若星期二選擇了②號套餐，則星

期四選擇①號套餐的概率為《，求甲同學星期四選擇②號套餐的概率.

(3)用頻率估計概率，從該校學生中隨機抽取10名，記其中“喜歡食堂就餐”的人數(shù)為X.事件"X=k"的

概率為P(X=k),求使P(X=k)取得最大值時k的值.

2a+b+c+d

參考公式：x=Qa+b^+axa+cXb+dy其中兀=-

a0.10.050.010.0050.001

2.7063.8416.6357.87910,828

19.(本小題12分)

已知函數(shù)/O)=e'-a%(e是自然對數(shù)的底數(shù)).

(1)討論函數(shù)/(久)的單調(diào)性；

(2)若g(x)="(*-1)-alnx+/(X)有兩個零點分別為"x2.

⑴求實數(shù)a的取值范圍；

e2

(ii)求證:%i%2>■產(chǎn)］+%2.

第4頁，共15頁

答案解析

1.A

【解析】解：,.?力={x\x<2)<B={x\x>-2},

3

AC\B=[—2,—

故選/.

2.C

【解析】

解：命題“Vx6(0,1)>%2>inx"的否定是"mxE(0,1),x2<lnxn.

故選C.

3.0

【解析】解：函數(shù)/(久)=比的定義域為{乂)#0},

且/'(—%)=3滬=—9=-住,

函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，4選項錯誤：

當x>l時，八久)=等三=3^=能一0函數(shù)單調(diào)遞增，故2C選項錯誤;

故選D

4.A

【解析】解：(。)=3f(l)-8x-|,

令x=1,可得/(1)=31(1)—8—2,解得r(1)=5.

5.B

1

【解析】解：對于4令/'(x)=x+-=%,

1

即一=0,而％W0,

X

第5頁，共15頁

所以方程《=0無根，

所以函數(shù)/(X)不是"不動點"函數(shù)，故/不正確；

對于B,令伉x+l=x,不難看出x=1是該方程的根，

所以/(%)是“不動點”函數(shù)，故3正確；

對于C,令=ex+1=x,即x+l=O,

令g(x)=ex—x+1,則g'(x)=ex—l=0,得x=0,

當x<0時，g'(x)<0,。(久)在(-8,0)單調(diào)遞減，

當x>0時,g'(x)>0,g(x)在(0,+8)單調(diào)遞增,

所以g(x)》g(0)=e°-0+1=2>0,

所以方程e，—％+1=0無根，

所以函數(shù)f(x)不是“不動點”函數(shù)，故C不正確；

對于D,令/'(X)=2x2+2x+1=x,得2/+%+1=0,

因為4=1-4x2xl=-7<0,

所以方程2比2+x+1-0無根，

所以函數(shù)f(x)不是“不動點”函數(shù)，故。不正確.

故選反

6.B

【解析】解：由題意可知，7名研究員的安排可以是按人數(shù)為1,3,3分為3組分到三個研究艙,

或者是按人數(shù)為2,2,3分為3組分到三個研究艙，

按人數(shù)為1，3,3分為3組分到三個研究艙，共有隼遐?“=420(種)安排方案，

按人數(shù)為2,2,3分為3組分到三個研究艙時，共有筆弊2^=630(種)安排方案，

出

故共有420+630=1050(種)安排方案.

故選B.

1.C

【解析】解：&選項，因為正數(shù)x,y,z,滿足3x=4〉=6z,

令3X=4〃=6?=k(k>1),

則久=log3/c,y=log4/c,z=log6/c,

第6頁，共15頁

Ill-1

所以7+與=logfc3+5logM=log3+log2=log6故"正確；

AL.kfcfzc

B選項，因為k>l,所以0<logk3<logM<logk6,

所以康>氤>氤，即log3k>log4k>10g6%

即久>y>z,故8正確；

112

c選項，-+-=log/c3+logfcG=log/,18>logfclG=21og/c4=故C錯誤；

。選項，3x=3log3k=log^/c

Igk

4y=410g4k=log^fc=筋，

Ig/c

6z=610g6k=log^fc=標，

因6<8<9,

所以（m）6<（避）6<（方）6,所以*<退<避，即0<lg乖<lg口<lg4,

又Igk>0,故6z>4y>3x,故。正確.

故選C.

8.0

【解析】解：令人無)=野，則ro)=與"，

當x〉e時，f(x)<0,函數(shù)>x)單調(diào)遞減;

當0<x<e時,f'(x)>0,函數(shù)<x)單調(diào)遞增,

因為a=&，所以Ina=，n2=瞿=/(4),

又Inb=^=/(e),e<4,所以/(e)>/(4),

所以Ina>Inb,

故a>b,

因為.a=1<e12G<B

/oiii1i

T7中汨退_32_32_36_3石

又因為3后—1—11—1—1（?<1,

706m23x332346

故c=鄧>平,從而有c>a,

綜上所述：b<a<c.

故選D

第7頁，共15頁

9.BCD

【解析】解：對于選項人,應是相關(guān)系數(shù)m越大，則樣本的線性相關(guān)性越強，則錯誤；

對于選項B,

b=-2,x=1,9=3代入回歸直線方程為y=2+5%,即3=2-2,則2=5,正確；

對于選項C,顯然正確；

對于選項。，對y=ce"兩邊取對數(shù)得Iny=Inc+fcx,設(shè)z=Iny,貝!Jz=kx+Inc,與z=0.3x+4比較

得，貝!J4=lnc,k=0.3,即c=e3正確.

10.BD

【解析】解：a項，當a<o,6>0時，滿足(<《，但Ina都沒有意義，故/項為假命題;

B項，a+2b=3,2a+#2212a，4b=2,2。+2b=2停=4避,等號成立時，a=26=|,故8

項為真命題;

C項，可舉反例，若令a=5,"4,c=f則言=%||<3祟即a>20,但黑若故C

項為假命題；

。項，若正實數(shù)a,b滿足?+/=1,貝他=金=言>0,解得a〉l,同理6>1,

則」7+Ry=+，，=1]+9(a—])>2—^—r'9(a—1)=6,

a—1b—1a—11a—1\a—1、'

當且僅當a=3時成立，所以A+磊的最小值為6,故。項為真命題.

5U—1D—1

11.ACD

【解析】解：因為/。-1)+/(%+1)=[(-2),

所以/(久+l)+/(x+3)=/-2),BP/(x-l)=f(x+3),故/(x)=/(x+4),

所以/(%)是周期為4的周期函數(shù)，則C正確.

令x=-1,得f(-2)+/(0)=/(-2),貝妤(0)=0,從而/(2024)=/(0)=0,故/正確.

因為f(2x+6)=/(—2x),所以/(x+6)=/(-%),所以/(—x)=f(x+6T2)=f(x—6),

故/(久)的圖象關(guān)于直線X=-3對稱，則3錯誤.

易得/'(%)的周期為4,且其圖象關(guān)于直線％=-3及工=3對稱，則直線x=-3+4/及％=3+4n(nGZ)均

為/(%)圖象的對稱軸，

第8頁，共15頁

從而八一2)=/(0)=0,/(|)=/(|)=1.

令x=5,得/弓—1)+/弓+1)=0,

即臉=-/(|)=T，則解)=/(!)=/(|)=T，

故戲?qū)?-=-/(1)+2/(|)-3/(|)+4符…-2025/(喈)

=(1-2-3+4)++(2021-2022-2023+2024)+2025=2025,故D正確.

12衛(wèi)

,2

【解析】解：(依-；)9的展開式通項為Tr+1=圓■(S9T.(一；)'=/?(一9'?X號,

令守=0,解得r=3,所以，展開式中的常數(shù)項為或(一1)3=-段.

故答案為：■

13.[-7,-5]

【解析】解：因為對于任意兩個不相等的實數(shù)小，XGR,都有不等式“三)？3)＜0成立,

2X1—X2

所以函數(shù)y=/(%)在R上單調(diào)遞減，

又因為當％時，f(x)=\x2+4x-5|=|(x+5)(x-l)|,

作出y=|/+4%—5］的圖象，如圖所示：

由此可得函數(shù)在(一8,-5］和(一2,1)上單調(diào)遞減，

又因為當久時，/(x)=ax-33,且函數(shù)在R上單調(diào)遞減,

一5

所以a<0解得一7＜。＜-5,

a2+4a-5>a2—33

第9頁，共15頁

即實數(shù)a取值范圍為[—7,—5].

故答案為[—7,—5].

145Vx(扔t

【解析】解：記事件4表示從第爪=1,2,,n)個盒子里取出黑球，

則P(4i)=1，P西)號，

12316

P(&)=PGM2)+=PG41)P(42閡)+P西P02I砧="X4+.Xt=/，

4-D4-31Z

211117

P(&)=PG42)P(4")+P西P(&I⑸=P(&)xq+P西X：扛PQ42)+A/，

進而可得PQ4?)=P(^n-1)X|+P(mx|=PGV1)X|+[1_PQ4n_D]x|=W(an_i)+1,

(n>2),

,即P(4)-六加(4-I)T，

1111111

又P(41)-；,P^2)->=一占'PJ2)g=抑⑶)g]，

X

.??{P(4J-}是首項為3，公比為守的等比數(shù)列，P(xn)4=4《)7，

xn1

???P(Al)=|4^--

15.解：(1)由幕函數(shù)在(0,+8)上單調(diào)遞增知，

若應>000<根<4,

又mGZ,m=1,2,3,

3

當m=1或m=3,/(%)=京不符合題設(shè)；

當租=2,/(%)=/為偶函數(shù)，關(guān)于y軸對稱，符合；

綜上，m=2且/(%)=%2；

(2)由/(%)=/為偶函數(shù)，開口向上，

且f(a-2)</(1+2a),

所以|a-2|<11+2a\,

兩邊平方，得a?—4a+4<4a2+4a+1,

第10頁，共15頁

化簡得3a2+8a—3>0,解得a>^|'或a<—3,

故實數(shù)a的取值范圍(-8,-3)UR+8).

【解析】(1)由基函數(shù)的單調(diào)性求得0<機<4,由機eZ,通過檢驗即可求解;

(2)由已知得|a-2|<|1+2可，兩邊平方，即可求解實數(shù)a的取值范圍.

16.解：(I)；/(久)=5+七V

由題意可得：曲線y=/(")在點(1)(1))處的切線的斜率為0,

即.(1)=a+；—[=0,解得a=1.

(2)由(1)可得：f(x)=]+**5匕產(chǎn)+%>0),

令((%)>0,則0<%<1,

令,。)<0,則％>1,

則/(%)在(1,+8)上單調(diào)遞減，在(0,1)上單調(diào)遞增，

1

故/(久)有極大值/⑴=-p無極小值.

【解析】(1)求導，根據(jù)r(i)=o運算求解；

(2)求導，利用導數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性，進而確定極值.

17.解：(1)由題意可知〃=60,a—10,

則P(f>70)=P(f>〃+o)=1~P(|X~/z|-ff)^0,15865,

則共10000X0.15865=1586.5,即1586人進入面試；

(2)由題意可知，隨機變量X的可能取值有0、1、2、3,

1111

則P(X=0')=-x-x-=—,

=l^)=3-x1-x1-,+1-x2-x1-,+1-x1-x1-1=-

321,311,12111

P(X=2)=-x-x-+zx-x-+-x-x-=—

43211

P(X=3)=4X3X7=4

所以，隨機變量X的分布列如下表所示:

第11頁，共15頁

X0123

11111

p

244244

故E(X)=°x/+。義扛2義芫+3義?曾

【解析】(1)由題意可知〃=60,c=10,根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)即可求出概率.

(2)分析可知隨機變量X的可能取值有0、1、2、3,計算出隨機變量X在不同取值下的概率，可得出隨機

變量X的分布列，進一步可求得E(X)的值.

18.解：⑴

男生女生合計

喜歡食堂就餐402060

不喜歡食堂就餐103040

合計5050100

零假設(shè)H。:假設(shè)食堂就餐與性別無關(guān)，

由列聯(lián)表可得/=I。鬻°2°)2x16.667>10,828,

50X50X60X40

所以依據(jù)小概率值a=0001的獨立性檢驗，我們推斷“。不成立，

即認為學生喜歡食堂就餐與性別有關(guān)聯(lián).且此推斷犯錯誤的概率不大于0.001.

(2)記星期二選擇了①號套餐為事件公，選擇②號套餐為4，

星期四選擇了①號套餐為事件名,選擇②號套餐為私,

I

則P(4)=P(42)W，P(B1\A1)=j,P(B1\A2)=l，

所以P(BD=PJDPC+P(42)P⑸|&)=|x|+|x|=g,

所以P(&)=l-P(Bi)=

(3)依題意可得學生“喜歡食堂就餐”的概率P=毀=|，

則§SB(10,1),

k10fek10k

所以P(f=k)=C^0(1)-(l-|)-=C^0(|)-(|)-(0<k<10且kGN),

第12頁，共15頁

尸

rf>尸f

\-c--c+

pr-f>p-f

若P(f=k)取得最大值,vlc-c

-1)席】(|)1(|廣劉

r231k

>

--xO-+

551

解

即31>2-<-<

Xl-k

-5-

15

【解析】(1)列出列聯(lián)表，然后計算%徐霖吃各即可；

□UX3UXOUX4U

(2)記星期二選擇了①號套餐為事件公，選擇②號套餐為乙，星期四選擇了①號套餐為事件當,選擇

②號套餐為B2,然后得到P(BD，再利用P(%)=1-P(BQ求解即可；

2

-

5

(3)依題意可得fsBQO,)然后解不等式組2

-1。-\備喀1(2)11即可，

5

19.解：(1)已知函數(shù)f(x)=ex-ax,函數(shù)定義域為R,

可得((%)=ex-a,

當。<0時，/'(%)〉0恒成立，所以函數(shù)/(%)在R上單調(diào)遞增；

當a>0時，

當工<仇(2時，當(%)<0,/(%)單調(diào)遞減;

當久時，/'(%)>0,/(%)單調(diào)遞增，

綜上，當。<0時，/(%)在R上單調(diào)遞增；

當a>0時，/(%)在(-8,M口)上遞減，在(仇a,+8)上遞增；

(2)①已知g(%)=exQx—l)—alnx+/(%)=xex-alnx—ax,函數(shù)定義域為(0,+8),

若9(%)有兩個零點分別為%1，%2，

不妨設(shè)%(%)=xex-alnx-ax=xex—aln{xex},函數(shù)定義域為(0,+oo),

此時函數(shù)h(%)有兩個零點，

不妨設(shè)t=%u久，函數(shù)定義域為(0,+8),

可得y=(%+l)ex>0恒成立，

所以函數(shù)t=%e久在X>0上單調(diào)遞增，

此時g?)有兩個零點，

因為g'(t)=討=皆

當a<0時，g'(t)>0,g(t)單調(diào)遞增，不滿足條件；

第13頁，共15頁

當a>0時，

當OVtVa時，g，(t)<0,g?單調(diào)遞減；

當t>a時，g，(t)>0,g(t)單調(diào)遞增，

所以g(t)巾譏=g(a)=a-alna,

若g(a)>0,此時a-a仇a>0,

解得0VaVe,

可得g(t)>0恒成立，沒有零點，不滿足條件；

若g(a)=0,止匕時a—a仇a=0,

解得a=e,

此時9(1)有且僅有一個零點，不滿足條件；

若g(a)<0,此時此時a—a仇a<0,

解得a>e,

又g(l)=1>0,g(e)=e—a<0,g(e。)=ea—a2>0,

此時g(t)在(l,e),(e，O上各存在一個零點，滿足條件，

綜上，a的取值范圍為(e,+8)；

②證明：要證％62>/片，

即證：Inxi+Znx2>2—(%i+%2)?

X2

即證1noie透)+ln(x2e)>2,

X2

由①知力1=%送久1,t2=x2e,

此時需證,打+lnt2>